Обработка материалов давлением: сборник научных трудов. Вып. №20
Подождите немного. Документ загружается.
Обработка материалов давлением №1 (20), 2009
что позволяет заключить, что зависимость )(
12
ε
ε
f
=
при
01
ε
ε
≥ (некоторая константа)
представляется линейной функции в виде:
ε
ε
ε
Δ
+
=
12
, (18)
где
ε
Δ – приращение накопленной деформации при обратном кручении, обеспечи-
вающее эффект изотропного упрочнения.
На рис. 3 показаны графики
)(ef
=
σ
для стали 40Х. Здесь 1 – кривая течения
0
σ
;
2 – повышенный за счет изотропного упрочнения условный предел текучести
2,0Р
σ
при ус-
ловии
е=
2
ε
; 3 – условный предел текучести при обратном кручении в соответствии с выра-
жением (17); точки – опытные значения.
Из представленных данных следует, что расчетные значения
2,0
σ
с отклонением
≤ 10 % совпадают с опытными. Можно отметить, что при 03,0
=
е значение
2,0Р
σ
= 560 МПА
и превышает исходный предел текучести ~ 50 %. Предел текучести при обратном кручении
обр2,0
σ
= 315 МПа, что больше исходного предела текучести почти на 10 %.
Полученные расчетные данные по оценке повышенного значения условного предела
текучести
2,0Р
σ
после реверсивного кручения качественно совпадают с данными
2,0Р
σ
,
установленными деформированием заготовки в цикле нагружения растяжение – сжатие [2].
Таким образом, рассмотренный способ изотропного упрочнения можно использовать с
достаточной эффективностью для улучшения механических свойств деталей, которые по тем
или иным причинам не подвергаются термическому упрочнению, например тонкостенных валов
из нержавеющих сталей аустенитного класса (IXI8H9T), работающих в агрессивных средах.
Рис. 3. Зависимость напряжений
от деформаций
ВЫВОДЫ
На основании модели анизотропно-упрочняющегося тела Г. Бакхауза рассмотрен эф-
фект восстановления изотропии механических свойств реверсивным кручением. При этом
указанные свойства, например, условный предел текучести, становятся больше исходных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дель Г. Д. Технологическая механика / Г. Д. Дель.– М.: Машиностроение, 1976. – 180 с.
2. Хван Д. В. Повышение эффективности в обработке металлов давлением / Д. В. Хван.– Воронеж,
Воронеж: Изд-во Воронежского государственного университета, 1995. – 224 с.
3. Бакхауз Г. Анизотропия упрочнения. Теория в сопоставлении с экспериментом / Г. Бакхауз //
Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1976. – № 6. –
С. 12–129.
Хван А. Д. – канд. техн. наук, доц. ВГТУ;
Евдокимова Н. А. – студентка ВГТУ.
ВГТУ – Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия.
E-mail: prmex@prmex.vorstu.ru
ε
1
σ
,
MПа
400
0
600
800
0.01
0.02
0.03
0.04
1
2
3
0.05
40
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
УДК 539.374.001.8.621.7-111
Чигиринский В. В.
О НОВЫХ ПОДХОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Получено замкнутое решение плоской задачи теории пластичности в аналитическом
виде для упрочняющейся среды [1–4]. Тригонометрическая и фундаментальная подстановки
позволили получить дифференциальные зависимости между неизвестными функциями, оп-
ределить их вид. Решение имеет место тогда, когда ними существует аналитическая связь
типа Коши-Римана.
В итоге появляется аналитическая возможность анализа напряженно-
деформированного состояния металла с позиций нового метода, включая разработку обоб-
щенной теории пластичности.
Постановка задачи, включает: исходные уравнения [4], [5]
Уравнения равновесия:
0;0 =
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
yxyx
yyxxy
x
σ
τ
τ
σ
. (1а)
Условие пластичности:
2
2
2
44)( k
xyyx
⋅=⋅+−
τσσ
. (1б)
Уравнения связи для скоростей деформаций и деформаций:
;
2
1
'
F
xy
yx
xy
yx
=
−
=
⋅
−
γ
ξ
ξ
τ
σ
σ
2
2
F
xy
yx
xy
yx
=
−
=
⋅
−
γ
ε
ε
τ
σ
σ
. (1в)
Уравнения несжимаемости для скоростей деформаций и деформаций:
.0;0
=
+
=
+
yxyx
ε
ε
ξ
ξ
(1г)
Уравнения неразрывности скоростей деформаций и деформаций:
;
'2
2
2
2
2
xyxy
xyy
x
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
γξ
ξ
.
2
2
2
2
2
xyxy
xyy
x
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
γε
ε
(1д)
Уравнение теплопроводности:
)(
2
2
2
2
2
y
T
x
T
a
t
T
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
, (1е)
где
xyyx
τ
σ
σ
,,
– компоненты тензора напряжений;
k
– сопротивление деформации сдвига;
xy
yx
.
,,
γξξ
– компоненты тензора скоростей деформаций;
xyyx
γ
ε
ε
,,
– компоненты тензо-
ра деформаций;
T
– температура.
Модель сложной пластической среды:
3
21
)()()(
m
m
i
m
ii
TГHT ⋅⋅⋅=
χ
, (2)
где
iii
ГHТ ,,
– интенсивности касательных напряжений, скоростей деформации сдвига, де-
формаций сдвига;
321
,, mmm
– постоянные коэффициенты.
В систему (1) включены уравнения деформационной теории пластичности и теории те-
чения. Кроме этого добавлено уравнение теплопроводности, [6]. Уравнения связи напряжений,
скоростей деформаций и деформаций показывают, что напряжения должны реагировать, как
на деформационные, так и на скоростные параметры процесса. Модель (2) – это реальная
упрочняющаяся среда.
Граничные условия для напряжений [7] :
[
]
α
τ
2
−
⋅
−
=
АФSinT
in
,
kТ
i
=
,
41
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
или
)22
2
(
ατα
σ
σ
τ
CosSin
xy
yx
n
⋅−⋅
−
=
, (3)
где
n
τ
– контактное касательное напряжение;
α
– угол, определяющий положение наклон-
ной площадки;
A
– постоянный коэффициент, определяющий напряженное состояние точ-
ки; Ф – функция координат y
x
, .
Дополнительные условия заданы контактными удельными силами трения (3), изме-
няющимися по синусоидальному закону с деформационным и скоростным упрочнением. Все
интенсивности и температура зависят от координат очага деформации:
).,(),,(),,( yxTTyxHHyxГГ
iiiiii
=
=
=
Для получения модели (2) рассмотрим три уравнения второго порядка в частных про-
изводных, неоднородных, гиперболического типа:
22
2
2
2
2
2
2
xy
xyxy
k
yxyx
τ
ττ
−
∂∂
∂
⋅=
∂
∂
−
∂
∂
; (4а)
;
1
2
1
2
2
2
2
2
x
xx
F
xyxy
ξ
ξξ
⋅
∂∂
∂
⋅=
∂
∂
−
∂
∂
(4б)
.
1
2
2
2
2
2
2
2
x
xx
F
xyxy
ε
εε
⋅
∂∂
∂
⋅=
∂
∂
−
∂
∂
(4в)
Для удовлетворения граничным условиям вида (3) необходимо принять связь между
касательным напряжением и сопротивлением пластической деформацией на сдвиг в виде,
т. е.
АФSink
ху
⋅=
τ
. Для сложной пластической среды задача решается с учетом того, что
имеет место сложная зависимость от координат, т. е.
).,,,,( yxTHГfk
ii
=
При этом
'
exp
θ
σ
⋅= Ск
, где
),,,,(
'
yxTHГf
ii
=
θ
,
σ
C
– коэффициент, характеризующий напряженное
состояние точки.
Производные в данном случае необходимо брать как от сложной функции [10]
и после подстановки в первое уравнение (4) получим:
[
]
{
⋅−+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
'
2
''''''
()()(
нyxtixгiхнxxtixгiхн
АФTГНTГН
θθθθθθθ
[
]
}
⋅+−⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅
xyxytiyгiунyytiyгiу
АФАФTГНTГН 2)()
2
'''''
θθθθθ
[
]
{
[
⋅+⋅−⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅
'''''
()(2)(
гiунxyxtixгiхн
НАФАФTГНАФSin
θθθθθ
]
+⋅⋅++⋅⋅⋅−−+⋅+⋅
iyixггiххнiуiхннyyxxytiy
ГГНННАФАФTГ
''''
(2)
θθθθ
}
0)()
'''
=⋅⋅+⋅⋅+⋅+ АФCosTTTГ
xytyxttixyг
θθθ
, (5)
где
xixix
TH ,, Γ
– частные производные от интенсивностей скоростей деформаций, деформа-
ций сдвига и температуры по координате
x
.
В уравнении (5) принято, что смешанные производные от функции
θ
равны нулю.
Это оправдывает себя при построении решения. Несмотря на большое количество частных
производных и громоздкость вывода, в новых переменных удалось упростить уравнение
(4а). Как и для более простой пластической среды, имеют место варианты, при которых
возможно упорядочивание нелинейных членов уравнений. Появились суммы и разности
квадратов соответствующих производных в операторах
, стоящих перед тригонометриче-
скими функциями. Уравнение (5) тождественно равно нулю, если выражения, стоящие
в квадратных скобках равны нулю. Действительно:
yxtixгiхнx
АФTГН −=⋅+⋅+⋅=
''''
θθθθ
,
хуtixгiунy
АФTГН =⋅+⋅+⋅=
''''
θθθθ
.
Тогда из последних соотношений имеем:
42
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
ухххtixгiхнxx
AФTГН −=⋅+⋅+⋅= )(
''''
θθθθ
;
хуууtiyгiунyy
AФTГН =⋅+⋅+⋅= )(
''''
θθθθ
;
+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅−=
yxttixyгiyixггiххнiуiхннуу
TTГГГНННАФ
'''''
(
θθθθθ
)
'
xyt
T⋅
θ
;
+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅=
yxttixyгiyixггiххнiуiхннхх
TTГГГНННАФ
'''''
(
θθθθθ
)
'
xyt
T⋅
θ
,
где
ixixн
ГH ,,
'
θ
– частные производные от показателя экспоненты, интенсивности скорости
деформации сдвига и деформации сдвига соответственно по интенсивности сдвига и по ко-
ординате
x
.
Следуя далее, смешанные производные равны нулю, тогда:
;;;
''
3
''
2
''
1
dTddГddHd
tiгiн
θθθθθθ
===
'
3
'
2
'
1
'
θθθθ
dddd ++= ; );(
''
1 i
H
θθ
= )(
''
2 i
Г
θθ
= ; )(
''
3
T
θθ
= .
Показатель экспоненты определяется как сумма трех функций, учитывающих влияние
скорости деформации, деформации и температуры, т. е.:
'
3
'
2
'
1
'
θθθθ
++= .
Приведенные выше математические выкладки показывают, что решение уравнений
(1) допускает учет влияния на сопротивление сдвигу трех отмеченных факторов. Последние
зависимости, необходимо привести в соответствие с решением деформационной и темпера-
турной задачи. Имеют место соотношения:
)(
'
3
'
2
'
1
'
3
'
2
'
1
'
θθθθθθθθ
AAAA ++−=++=−=
;
θθ
'
1
'
1
A−= ;
θθ
'
2
'
2
A−= ,
θθ
'
3
'
3
A−= .
Отсюда
'
3
'
2
'
1
AAAA ++= , где
'
3
'
2
'
1
,, AAA – постоянные величины, определяющие
влияние скорости, степени деформации и температуры.
Выражения, стоящие в квадратных скобках оператора (5) представляют собой соот-
ношения Коши-Римана. Отсюда можно показать, что функции
'
θ
и
Φ
являются гармониче-
скими. Взяв производные по координатам, имеем:
0;0
''
=+=+
yyxxyyxx
АФАФ
θθ
.
Таким образом, определен тип неизвестных функций, являющихся гармоническими,
следовательно, эти функции можно считать заданными и окончательное их построение опре-
делиться очевидными и граничными условиями в очаге деформации. Следует отметить, что
произведение экспоненты на тригонометрическую функцию, аргумент которой является гар-
монической функцией, дает гармоническую функцию вида АФSin
⋅
'
exp
θ
, или же
AФCos
⋅
'
exp
θ
.
Сопротивление сдвигу и составляющие тензора напряжений [8]:
)exp()exp()exp(
'
3
'
2
'
1
θθθ
σ
А
АААСк −⋅−⋅−⋅=
; (6а)
)()exp()exp()exp(
'
3
'
2
'
1
АФSinАААС
xy
⋅−⋅−⋅−⋅=
θθθτ
σ
; (6б)
CyfАФCosАААС
x
+++⋅−⋅−⋅−⋅= )()()exp()exp()exp(
0
'
3
'
2
'
1
σθθθσ
σ
; (6в)
CxfАФCosАААС
y
+++⋅−⋅−⋅−⋅−= )()()exp()exp()exp(
0
'
3
'
2
'
1
σθθθσ
σ
. (6г)
При
yxxxх
АФ−=++= )()()(
'
3
'
2
'
1
'
θθθθ
;
.)()()(
'
3
'
2
'
1
'
xyyyy
АФ=++=
θθθθ
Перейдем к рассмотрению деформационной задачи.
;
2
ctgАt
xy
yx
=
⋅
−
τ
σ
σ
ФctgВ
xy
yx
1
'
=
−
γ
ξ
ξ
;
ctgАt =
ФctgВ
1
=
1
F
;
43
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
xy
yx
γ
εε
−
=
ФctgВ
2
;
ctgАt =
ФctgВ
2
=
2
F
.
С учетом уравнений несжимаемости имеем:
ФtgВ
F
xxxy 1
1
'
2
1
2 ⋅⋅=⋅⋅=
ξξγ
; ФtgВ
F
xxxy 2
2
2
1
2 ⋅⋅=⋅⋅=
εεγ
.
Можно показать, что :
ФCosВexрC
yx 1
''
1
⋅⋅=−=
θξξ
ξ
;
ФCosВexрC
yx 2
''
2
⋅⋅=−=
θεε
ε
.
Подставляя последние соотношения в уравнения неразрывности скоростей деформа-
ций и деформаций (1) или (4) получаем:
[
]
+⋅−+++−− ФSinВФВФВ
xyyyyxхх 11
''
1
''
1
2
1
''
1
''
1
)()(
θθθθ
[
)()(2
1
''
1
''
11 yxyx
ФВФВ +⋅−⋅+
θθ
+
]
=
⋅
−
ФCosВФВФВ
yyxx 111
)(
,22
1
''
111
ФCosВФSinВФВ
xyxy
⋅⋅+⋅⋅=
θ
(7)
также :
[
]
+⋅−+++−− ФSinВФВФВ
xyyyyxхх 22
''
2
''
2
2
2
''
2
''
2
)()(
θθθθ
[
)()(2
2
''
2
''
22 yxyx
ФВФВ +⋅−⋅+
θθ
+
]
=
⋅
−
ФCosВФВФВ
yyxx 222
)(
.22
2
''
222
ФCosВФSinВФВ
xyxy
⋅⋅+⋅⋅=
θ
(8)
Уравнения (7) и (8) формально напоминают (5). Появляются аналогичные скобки. Это
позволяет получить тождества для функций
x
ξ
и
x
ε
в уравнениях неразрывности при ус-
ловии:
yx
ФВ
1
''
1
)( −=
θ
;
xy
ФВ
1
''
1
)( =
θ
;
yx
ФВ
2
''
2
)( −=
θ
;
,)(
2
''
2 xy
ФВ=
θ
где
θθθθ
2
''
21
''
1
, ВВ −=−= – показатели экспонент функций, определяющих поля скоростей
деформаций и деформаций,
ФВ
1
и
ФВ
2
– аргументы тригонометрических функций, опреде-
ляющие поля скоростей деформаций и деформаций. Полученные выше дифференциальные
соотношения, также представляют собой соотношения Коши-Римана, а указанные функции
являются гармоническими.
Выражения для скоростей деформаций и деформаций имеют вид:
ФCosВВCФCosВC
yx 111
''
1
)exp(exp ⋅−⋅=⋅⋅=−=
θθξξ
ξξ
; (9а)
ФSinВВCФSinВC
xy 111
''
1
'
)exp(2exp2 ⋅−⋅=⋅⋅=
θθγ
ξξ
; (9б)
)exp(2exp2
1
''
1
θθ
ξξ
ВCCH
i
−⋅=⋅=
; (9в)
ФCosВВCФCosВC
yx 222
''
2
)exp(exp ⋅−⋅=⋅⋅=−=
θθεε
εε
; (10а)
ФSinВВCФSinВC
xy 222
''
2
)exp(2exp2 ⋅−⋅=⋅⋅=
θθγ
εε
; (10б)
)exp(2exp2
2
''
2
θθ
εε
ВCC
i
−⋅=⋅=Γ , (10в)
при
,)(
1
''
1 xy
ФВ=
θ
yx
ФВ
1
''
1
)( −=
θ
, ,)(
2
''
2 xy
ФВ=
θ
yx
ФВ
2
''
2
)( −=
θ
.
Сопоставляя формулы (9), (10) и (6), убеждаемся, что во всех выражениях имеют ме-
сто зависимости от координат
θ
и Φ . Поля напряжений, скоростей деформаций и деформа-
ций согласуются присутствием указанных функций.
Рассмотрим температурную задачу, решение которой также может определяться ука-
занными выше зависимостями. Рассмотрим дифференциальное уравнение для стационарного
температурного поля:
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
T
x
T
.
44
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
Решение определяется в виде:
),()exp(
33
''
3
ФCosВФSinВCT
T
+⋅⋅=
θ
(11)
при
,)(
3
''
3 yx
ФВ−=
θ
xy
ФВ
3
''
3
)( =
θ
.
Покажем, что (11) является решением уравнения Лапласа.
Подставив производные (11) в уравнение теплопроводности, после упрощений, получим:
[
]
{
[
]
[
]
⋅+++−⋅++
xyyyyxyxxx
ФВФВФВ
3
''
3
''
33
''
33
''
3
''
3
)()()()()(
θθθθθ
[
]
}
[
⋅++⋅⋅++⋅−⋅ 2)(2)()(
33
''
3333
''
3 xxxxxy
ФВФВФCosВФSinВФВ
θθ
]
0)()(
3333
''
3
=−⋅+⋅⋅ ФSinВФCosВФВФВ
yyyy
θ
(12)
Как и ранее, в уравнении (12) появляются скобки,
[
]
yx
ФВ
3
''
3
)( +
θ
,
[
]
xy
ФВ
3
''
3
)( −
θ
, кото-
рые являются результатом преобразований нелинейных операторов, стоящих при тригоно-
метрических функциях. Если положить указанные скобки равными нулю,
yx
ФВ
3
''
3
)( −=
θ
,
xy
ФВ
3
''
3
)( =
θ
, то дифференциальное уравнение (12) превращается в тождество. Покажем это.
После дифференцирования скобок получаем:
yxхх
ФВ
3
''
3
)( −=
θ
;
xyyy
ФВ
3
''
3
)( =
θ
;
yxxx
ФВ )(
''
33
θ
=
;
)(
''
3 xyyy
ФВ
θ
=
.
Выражения в скобках соответствуют условию Коши-Римана. Следовательно, вводи-
мые в рассмотрение функции являются гармоническими, и в температурных зависимостях
присутствуют те же переменные, что и для напряжений и деформаций.
Для температурной задачи:
θθ
3
''
3
В−=
.
Из выше приведенного видно, что интенсивности и температура задаются параметри-
ческих от одинаковых координатных функций. Это позволяет деформационные параметры
и температуру математически выразить через единую зависимость. Таким образом:
3
21
1
33
11
)
)(
()
2
()
2
()exp(
В
T
В
i
В
i
ФCosВФSinВC
T
C
Г
C
H
+⋅
=
⋅
=
⋅
=−
εξ
θ
.
Подставляя в выражение для сопротивления деформации
i
Тk
=
, получим:
(
)
()
(
)()
321
33
22
m
T
mm
ФCosВФSinВCCCCk +⋅=
εξσ
3
21
)()()(
m
m
i
m
i
TГH⋅
,
где
1
'
1
1
В
А
m =
;
2
'
2
2
В
А
m =
;
3
'
3
3
В
А
m =
.
Тогда .)()()(
3
21
m
m
i
m
ii
THT ⋅Γ⋅⋅=
χ
(13)
Можно показать, что
АВВВ
=
=
=
321
, где
'
3
'
2
'
1
АААА ++=
, т. е. имеет место тожде-
ственное удовлетворение уравнений связи без каких-либо ограничений.
Если задачу привести к более простой математической модели (
0
'
3
'
2
== АА
), типа:
(
)
.
1
m
ii
HТ ⋅=
α
Выражения (6) упрощаются, что соответствует решению:
)()exp(
'
1
АФSinАС
xy
⋅−⋅=
θτ
σ
;
CyfАФCosАС
x
+++⋅−⋅= )()()exp(
0
'
1
σθσ
σ
;
CxfАФCosАС
y
+++⋅−⋅−= )()()exp(
0
'
1
σθσ
σ
. (14)
При
yxх
АФ−== )(
'
1
'
θθ
,
xyy
АФ== )(
'
1
'
θθ
,
'
1
АА =
компоненты тензора скоростей де-
формаций имеют вид:
ВФCosCВФCos
yx
⋅⋅=⋅=−=
''
exp
θβξξ
ξ
,
ВФSinC
xy
⋅⋅⋅=
'''
exp2
θγ
ξ
, (15)
при
yx
ВФ−=
''
θ
,
xy
ВФ=
''
θ
,
ВВ =
1
.
45
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
В выражениях (14), (15) присутствуют одинаковые гармонические функции
θ
и
Ф
.
При этом,
θθ
⋅−= А
'
,
θθ
⋅−= В
''
, при ФА
=
,
'''
θθ
=
.
Интенсивность касательных напряжений и скоростей сдвига:
[]
=⋅+++−−++⋅=
2
2
00
)()(
4
1
АФSinkCАФkCosCАФCoskT
i
σσ
=
'
exp
θ
σ
⋅= Ck ;
''2222
exp22)2()(44
θβββγξ
ξ
⋅⋅=⋅=⋅⋅+⋅⋅=+⋅= CВФSinВФCosH
xyxi
Используем (14) для анализа напряженного состояния пластической среды плоской
осадки на шероховатых плитах. Из условия пластичности можно показать, что:
АФCosk
⋅
⋅
−
=
2
0
σ
,
0
kC
=
,
где
0
k – сопротивление сдвигу в начале очага деформации на контакте.
Для более полного удовлетворения очевидных и граничных условий в очаге деформа-
ции, рассматриваемые функции можно представить в виде суммы гармонических функций,
т. е.
∑
=
=
n
k
k
АФАФ
1
,
∑
=
=
n
k
k
1
θθ
. Тогда из уравнений Лапласа и соотношений Коши-Римана
имеем:
)(
22
136
yxyxААyxАААФ −⋅⋅⋅−⋅⋅= ;
(
)
(
)
[
]
{
}
2244
13
22
6
'
5,125,05,0 yxyxААyxАА ⋅⋅−+⋅⋅−−⋅⋅−=
θ
.
В выражениях постоянные величины определялись из реальных граничных условий:
;4
0
6
hl
АА
⋅
⋅=
ψ
()
hlhl
hl
АА
+⋅⋅
⋅
−
⋅⋅=
3
113
2
16
ψ
;
[]
)1(0,2
0
ffarctg
−
⋅
⋅
=
ψ
;
(
)
[
]
ffarctg
−
⋅
⋅
=
12,2
1
ψ
,
где
l
и h – длина и высота очага деформации при осадке полосы,
f
– коэффициент трения.
В выражениях (14) коэффициент:
)exp(
'
0
0
0
θ
σ
−⋅=
АФCos
k
C ,
при этом
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅
⋅
⋅−
⋅
⋅=
4444
22
1360
hlhl
АА
hl
АААФ
;
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⋅⋅−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅−=−=
16
5,1
1616
25,0
44
,0
2244
13
22
60
'
0
hlhl
АА
hl
ААА
θθ
.
Имеем:
0
0
'
0
'
0
)exp(
kАФCos
АФCos
k
x
+⋅
−
⋅−=
θθ
σ
;
0
0
'
0
'
0
)exp(
3 kАФCos
АФCos
k
y
+⋅
−
⋅⋅−=
θθ
σ
;
АФSin
АФCos
k
xy
⋅
−
⋅=
0
'
0
'
0
)exp(
θθ
τ
. (16)
Для оценки полученного результата по выражениям (16) были подсчитаны компоненты
тензора напряжений на контакте и в очаге деформации. На рис. 1 и 2 представлено распреде-
ление нормальных и касательных напряжений на контакте полосы при разных значениях
фактора формы
h
l
и коэффициента трения f . На рис. 3 и 4 показано распределение верти-
кальных нормальных напряжений по высоте в нейтральном сечении. На рис. 1, 2 верхних, по
вертикали, изображены относительные нормальные напряжения
0/
2k
y
σ
, нижних, относитель-
ные касательные напряжения
0
/ k
xy
τ
. На рис. 3 и 4 по вертикали
0/
2k
y
σ
. Анализ вычислений
46
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
по выражениям (16) показывает, что решения плоской задачи реагирует на параметры процес-
са (фактор формы
h
l
и коэффициент трения f ). С увеличением коэффициента трения f
и фактора формы
hl / контактные напряжения растут, рис. 1, 2. Увеличиваются напряжения
и в очаге деформации, рис. 3, 4. Эти результаты подтверждены многочисленными эксперимен-
тальными данными [9]. Здесь они представлены для подтверждения теоретических положений
метода гармонических функций.
Следует подчеркнуть, что полученные выше распределения напряжений описываются
едиными аналитическими зависимостями. Нет необходимости разбивать очаг деформации на
зоны с разными законами контактного
трения, как это сделано в работе [10]. Описание кон-
тактных касательных напряжений тригонометрической функцией, рис. 1, 2 позволяет впи-
сать тригонометрическую кривую в совмещенную эпюру контактного трения с разными за-
конами. Для предлагаемого решения естественным является переход касательных напряже-
ний через нуль, не создавая при этом искусственной переходной функции, в зоне симметрии.
Рис. 1. Распределение нормальных и касательных напряжений на контакте при осадке
на шероховатых бойках
8=
h
l
, 5,0...1,0=f
47
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
Рис. 2. Распределение нормальных и касательных напряжений на контакте при осадке
на шероховатых бойках 3,0=
f , 15...1=
h
l
Рис. 3. Распределение нормальных напряжений по высоте полосы при осадке на
шероховатых бойках
8=
h
l
, 5,0...1,0=f
48
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
Рис. 4. Распределение нормальных напряжений по высоте полосы при осадке на
шероховатых бойках 3,0
=
f , 15...1=
h
l
ВЫВОДЫ
Представленные результаты качественно и количественно отражают общие законо-
мерности распределения полей напряжений по всему очагу деформации. В полной мере
удовлетворены граничные условия. Предложенная методика и, в частности выражения (16)
могут быть рекомендованы для расчетов прикладных задач.
Предложенный метод решения задач с использованием гармонических функций ре-
ально отражает процессы пластической обработки. На
базе уравнений деформационной тео-
рии и теории пластического течения, показаны возможности использования деформацион-
ных, скоростных параметров процесса и температуры на распределение напряжений в очаге
пластического течения. Теоретическим путем, за счет присутствия одинаковых координат-
ных функций, определена аналитическая связь между напряжениями, температурой и де-
формациями. Получена математическая модель сложной пластической среды.
ЛИТЕРАТУРА
1. Чигиринский В. В. Определение напряженного состояния пластического тела в условиях пло-
ской деформации / В. В. Чигиринский // Изв .вузов. Черная металлургия. – 1990. – № 7. – С. 48–49.
2. Чигиринский В. В. Определение деформированного состояния пластического тела в условиях
плоского течения / В. В. Чигиринский // Изв. вузов. Черная металлургия. – 1990. – № 9. – С. 32–33.
3. Чигиринский В. В. Некоторые особенности теории
пластичности применительно к процессам
ОМД / В. В. Чигиринский // Тр .науч.-техн. конф. «Теория и технология процессов пластической деформа-
ции-96». – М.: МИСиС, 1997. – С. 568–572.
4 V. V. Chygyryns’kyy Analysis of the State of Stress of a Medium under Conditions of Inhomogeneous Plastic
Flow / V. V. Chygyryns’kyy, I. Mamuzic, G. V. Bergeman // Metalurgija. Zagreb. – 2004. – Vol. 43, br. 2. – P.87–93.
5. Аркулис Г. Э. Теория пластичности / Г. Э. Аркулис, В. Г. Дорогобид. – М.: Металлургия, 1987. – 251 с.
6. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов,
А. А. Самарский. – М.: Наука,
1977. – 735 с.
7. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. – М.: Машино-
строение, 1975. – 399 с.
8. Чигиринский В. В. Некоторые особенности замкнутого решения для плоской задачи теории
пластичности / В. В. Чигиринский, В. Н. Левченко // Наукові вісті. Сучасні проблеми металургії «Пласти-
чна деформація металів».– ВАТ «
Синельниківська Теплоізоляція». – 2005. – С. 138–143.
9. Чекмарев А. П., Клименко П. Л.Экспериментальное исследование удельных давлений на кон-
тактной поверхности при прокатке в калибрах / А. П. Чекмарев, П. Л. Клименко // Обработка металлов
давлением: сб. тр. Днепропетровского металлургического ин-та.– Харьков, М., 1960. – Вып. 39.
10. Сторожев М. В. Теория обработки металлов давлением / М. В. Сторожев, Е
. А. Попов.– М.:
Машиностроение, 1977. – 422 с.
Чигиринский В. В. – д-р техн. наук, проф. ЗНТУ.
ЗНТУ – Запорожский национальный технический университет.
E-mail: valerij@zntu.edu.ua
49