Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики
Подождите немного. Документ загружается.
3
10
Изображение
фокального
пятна
в
отраженном
свете
83
(: >
-'::0),
максимумы
относительных
интенсивностей
для
различных
плосковолно
вых
компонент
пучка составляют
max[E~J/max[E~]
=
О,ОЗ,
max[E~J/max[E;]
=
О,4З.
Таким
образом,
по
сравнению
с
ситуацией,
когда
разделяющая
поверхность
отсут
ствовала
(см.
рис.
З.I0),
интенсивность
продольного
поля
приблизительно
в
четыре
раза
сильнее
Как
понять
это
явление?
В
соответствии
с
граничными
условиями
на
поверхности
поперечные
компоненты
поля
Е;]"
и
Е
у
должны
быть
непрерывными
при
прохождении
через
поверхность.
В
то
же
время
продольные
компоненты
изменяются
по
закону
(З.94)
При
=2
=
2,З04
изменение
Е;
с
разных
сторон
границы
раздела
составит
5,З.
Это
качественное
рассуждение
не
противоречит
точно
подсчитанным
величинам.
В
фо
кальной
плоскости
продольное
поле
имеет
два
максимума
непосредственно
рядом
с
оптической
осью.
Их
расположение
ориентировано
вдоль
направления
поляризации,
что
и
приводит
К
вытягиванию
формы
пятна.
Относительная
величина
тax[E~]
остается
небольшой,
однако
в
присутствии
границы
раздела
возрастает
в
10
раз.
для
того
чтобы
построить
картину
распределения
дипольной
ориентации
произ
ВО.1ЬНО
ориентированных
одиночных
молекул,
желательно,
чтобы
все
три
компоненты
возбуждающего
поля
(Е/.,
Е
у
,
E
z
)
в
фокусе
имели
сравнимую
величину.
Было
по
казано,
что
это
может
быть
достигнуто
при
освещении
кольцевым
пучком,
когда
центральная
часть
лазерного
пучка
затемняется
[18].
Такой
пучок
можно
получить,
ес.1И
разместить
в
центре
возбуждающего
пучка
препятствие,
например
диск.
В
этом
с.lучае
интегрирование
по
плосковолновым
компонентам
должно
происходить
в
диа
пазоне
[B
lllill
.•.
Вшах],
а
не
как
прежде,
по
полному
диапазону
[о
...
Вшах].
Используя
кольцевое
освещение,
мы
отбросим
плосковолновые
компоненты,
распространяющи
еся
вблизи
оптической
оси,
подавляя
тем
самым
поперечные
компоненты
электри
ческого
поля.
Вследствие
этого
продольные
компоненты
поля
в
фокусе
возрастут
по
сравнению
с
поперечными.
Кроме
того,
локальная
поляризация
поверхности
границы
раздела
за
счет
продольных
компонент
поля приведет
к
увеличению
Еу-компоненты
ПО,lЯ.
Следовательно,
наличие
сильных
продольных
компонент
поля
является
необ
ходимым
условием
возникновения
сильного
поля
Е
у
вблизи
поверхности
границы
раздела.
Оказывается,
что
можно
создать
такой
кольцевой
пучок,
чтобы
три
распре
де.lения,
показанные
на
рис.
З.l
О,
в-д,
имели
сопоставимую
величину.
3.10.
Изображение
фокального
пятна
в
отраженном
свете
Интересно
исследовать
свойства
отраженного
поля
Е
т
,
задаваемого
уравнения
:\IИ
(З
85)
и
(З.87).
Изображение
отраженного
пятна
может
быть
записано
с
помощью
экспериментальной
установки,
показанной
на
рис.
З.18.
Расположенная
под
углом
450
светоделительная
пластина
отражает
часть
входящего
пучка
наверх,
где
он
фокуси
руется
при
помощи
объектива
с
высокой
числовой
апертурой вблизи
плоской
поверх
ности.
Расстояние
между
фокусом
(z
=
О)
и
поверхностью
обозначено
zo.
Отраженное
поле
собирается
этой
же
линзой,
пропускается
через
светоделительную
пластину
и
затем
фокусируется
второй
линзой
на
плоскость
изображения.
В
схеме
имеются
четыре
различные
среды,
и
мы
обозначим
их
с
помощью
показателей
преломления,
указанных
на
рис.
З.18.
Нас
будет
интересовать
результирующее
распределение
поля
в
плоскости
изображения.
Покажем,
что
в
случае,
когда
пучок
падает
из
оптически
бо.lее
плотной
среды,
изображение
пятна
в
отраженном
свете
будет
сильно
искажено.
Отраженное
поле
в
дальней
зоне
Е;:О
до
момента,
когда
оно
будет
преломлено
первой
линзой,
описывается
соотношением
(З.87).
Теперь
мы
можем
отразить
это
поле
двумя
линзами
и
перефокусировать
его
в
плоскость
изображения.
Необхо-
84
Гл.
3.
Распространение
и
фокусировка
оптических
nолеи
димо
описать
преломление
этого
поля
двумя
линзами
и
повторную
фокусировку
его
на
плоскость
изображения.
Две
линзы
осуществляют
преобразование
между
сферической
и
цилиндрической
системами
координат.
В
разд.
3.5
было
показано.
что
линза
преломляет
единичный
вектор
пр
в
вектор
ne,
и
наоборот.
в
то
время
/
/'-ф=======?-
sin8
/
sin8'
f'
....
-
"'/'
Рис
3
18
Схема
экспериментальной
установки
для
исследования
изображения
дифракционно
ограниченного
фокального
пятна.
Линейно-поляризованный
пучок
отражается
при
помощи
светоделительной
пластины
(BS)
и
фокусируется
объективом
с
фокусным
расстояние~I
.f
и
с
высокой
числовой
апертурой
на
плоскую
границу
раздела
между
двумя
диэлектричеСКИ~IИ
средами
с
показателями
nI. n2
Отраженное
поле
собирается
при
помощи
той
же
линзы
11.
проходя
через
светоделительную
пластину,
вновь
фокусируется
второй
линзой
с
фОКУСНЫ~I
расстоянием
f'
как
единичный
вектор
пф
не
испытывает
преломления.
Для
того
чтобы
обозреть
весь
процесс
формирования
изображения,
рассмотрим
путь
света
с
самого
начала
Входящее
поле
E
ine
поляризовано
вдоль
оси
х,
таким
образом
параксиальныи
пучок
можно
записать
в
виде
(395)
где
E
ine
-
произвольный
профиль
пучка.
Выраженное
в
цилиндрических
координатах
поле
имеет
вид
E
ine
=
Еiпе[соsфn
р
-
siпфnф].
(3.96)
После
преломления
первой
линзой
f
оно
превращается
в
следующее
поле:
- .
[,
. ]
~~
( ,
n)
1/2
Е
-
Еше
соsФn
р
-
sшФnф
-
СОНи
•
7/1
(3.97)
3
10
Изображение
фокального
пятна
в
отраженном
свете
85
Затем
поле
отражается
плоской
поверхностью.
Коэффициент
отражения
Фре-
не.1Я
/./1
отвечает
за
отражение
по-поляризованного
поля,
а
коэффициент
г
В
-
П,,-поляризованного.
Таким
образом,
отраженное
поле
будет
иметь
вид
Е
=
Eint.(,2'k:IZ"[-СОSф1'РПО
-
siпф'г"пф]
f!!i
(СОI>
0)'/2, (3.98)
У
Тl1
Г.1е
:1)
означает
смещение
из
фокуса
(см.
(3.87».
Далее
поле
преломляется
той
же
.1ИНЗОЙ
с
фокусным
расстоянием
f:
(3.99)
и
распространяется
как
коллимированный
пучок
вдоль
оси
z
в
отрицательном
на
праВ.lении.
В
декартовых
координатах
поле
будет
иметь
вид
(3.100)
Такой
вид
поле
имеет непосредственно
после
преломления
вспомогательной
сферой
радиуса
.г.
Для
падающего
излучения,
сфокусированного
на
идеально
отражающую
поверхность,
расположенную
в
Zo
=
О,
коэффициент
отражения
г
Р
=
1,
а
г"
=
_1').
В
ЭТО~1
случае
мы
получаем
просто
E~
=
-Еiпсп
х
,
что,
кроме
знака
«-,),
полностью
совпадает
с
полем,
которое
рассматривается
как входное
в
(3.49).
Разница
в
знаке
указывает
на
то,
что
отраженное
поле
распространяется
«сверху
вниз».
Чтобы
получить
в
произвольной
точке
вид
отраженного
коллимированного
пуч
ка,
распространяющегося
вдоль
оптической
оси,
необходимо
сделать
подстановку
..,ill
О
=
р/.г,
("ОН
(}
=
[1
-
(Р/
f?P/2,
где
р
означает
расстояние
от
оптической
оси
в
направлении
цилиндрического
радиуса
(см.
задачу
3.8).
Это
позволяет
нам
по
строить
распределение поля
в
плоскости
поперечного
сечения
к
коллимированному
отраженному
пучку.
Мы
видим,
что
коэффициенты
Френеля
изменяют
поляризацию
и
амплитудный
профиль
пучка
и,
что
еще
более
важно,
его
фазовый
профиль.
ЕС.1И
смещение
из
фокуса
нулевое
(zo
=
О),
вариации
фазы
возникают
только
на
расстояниях Р
>
Ре,
при
которых
коэффициенты
Френеля
становятся
комплексными.
Это
критическое
расстояние
равно
р"
=
fn2/n'
и
представляет
собой
радиус,
соот
ветствующий
критическому
углу
полного
внутреннего
отражения
ОС
= arc8in(n2/nl).
ЕС.1И
(!, <
J.
то
условием
отсутствия
искажений
является
n2
>
n,.
Теперь
перейдем
к
преломлению
на
второй
линзе
1'.
Сразу
после
преломления
отраженный
пучок
будет
иметь
вид
Е
=
EiI1C(,:bl-:IZU[-
СОRфгРпо,
-
siпфгSпф]
f!!i
(COHO')1/2,
У
nз
(3.101)
Г.1е
мы
ввели
новый
азимутальный
угол
О',
как
пока
за
но
на
рис.
3.18.
Это
поле
отвечает
полю
в
дальней
зоне
Е;:",
которое
необходимо
подставить
в
(3.33)
для
вычисления
распределения
в
пространстве
изображения.
Выразим
поле
в
декартовых
координатах
поля,
используя
соотношения
(3.41)-(3.42)
для
по'
и
пф,
тогда
получим
Е;""
=
-Е,,,,.(,'bl,,Z,,
,.fJСОНО'СО8фнillф+гВsiпфsiпф
по
(C080')1/2.
[
1'1'
С08
О'
cos
2
Ф
-
г
В
sin
2
Ф
]
~
-Г
Р
8iПО'С08ф+0
nз
(3.102)
1)
Отметим.
что
коэффициенты
отражения
Т
Р
и
т"
при
нормальном
падении
плоской
волны
ОТ.lичаются
на
множитель
-1.
т
е
r
8
(B
=
О)
=
-ТР(В
=
О).
-
Примеч.
авm
86
Гл
3.
Распространение
и
фокусировка
оптических
nолеи
Теперь
это
поле
в
дальней
зоне
можно
подставить
в
(3.47),
что
после
приведения
к
данной
задаче
дает
Е(р,
<р,
z)
=
(3.103)
Обратим
внимание,
что
нам
пришлось
поменять
знак
в
одной
из
экспонент,
для
того
чтобы
удовлетворить
условию
распространения
поля
вдоль
оси
::
в
отрицатель
ном
направлении.
В
дальнейшем
мы
можем
выразить
продольные
волновые
числа
k:
1
и
k
z2
через
угол
()/.
Тогда
и
коэффициенты
отражения
и
преломления
Френеля
также
станут
функциями
угла
()/.
Однако
удобнее
все
же
работать
в
терминах
угла
О,
а
для
этого
соответствующим
образом
преобразовать интеграл
в
соотношении
(3.103).
Как
видно
из
рис.
3.18,
углы
()
и
()/
связаны
соотношением
sin{} _
f'
sin{}' - 7'
(3.104)
что
позволяет
нам
выразить
новый
продольный
волновой
вектор
k
z
з
через
угол
О
(3.105)
Подставляя
в
это
соотношение
(3.104),
введем
переменные
интегрирования
О
и
()
Коэффициенты
отражения
Френеля
т
в
(())
и
Т
р
((})
задаются
соотношением
(249).
дополненным
выражением
для
продольных
волновых
чисел
k
z
I
И
k:
2
из
(3
91
)
и
(3.92).
Для
первых
трех
эрмитовых
мод
выражение
для
E
inc
((},
ф)
В
явном
виде
было
получено
в
(3.52)-(3.54),
а
угловая
зависимость
от
Ф
может
быть
проинтегрирована
аналитически
при
помощи
(3.57).
Таким
образом,
теперь
у
нас
есть
все
необходимое.
чтобы
рассчитать
изображение
вблизи
фокуса.
На
практике,
в
реальных
оптических
системах
вторая
фокусирующая
линза имеет
значительно
большее
фокусное
расстояние:
f /
f'
«
1.
в
этом
случае
мы
можем
существенно
упростить
выражение
за
счет
следующего
приближения:
[1
±
(f
/ 1')2 sin
2
(}j1/n
~
1 ±
~
(:,)
2
Si1l
2
().
(3106)
Если
мы
оставим
только
низший
порядок
по
f /
f',
функцию
изображения
поля
можно
будет
представить
в
виде
I
8
шах
211'
-k
f'е-
ikз
!
f2 f f
,.,
.)
Е(р,Ф,z)
= ' 3
21Г
f,2
Е,;"((},ф)е(t/2)k
з
Z
Ul
!
)-~iJl-(I
х
О
о
х
е,kзР(f/f')сон(Ф-.р)
sill(}cusО(/Ф(18,
(3.107)
где
под
E~
понимается
Б.
V
1/.:\
(3.108)
3 1
О
Изображение
фокального
пятна
в
отраженном
свете
87
Чтобы наше
рассмотрение
оставалось
в
прежних
границах,
предположим,
что
па.1ающиЙ
пучок имеет
гауссов
профиль,
определенный
в
(3.52).
Используя
соотно
шение
(3.57),
можно
проинтегрировать
по
ф,
и
тогда
окончательно
получим
_ _ _ k
a
/
,-1k
з
(z+f')
по
.
Е(/}.у,.)
-
Е
о
-,
(,
-
[(Ior
+ [2rcos2rp)nx -
[2rsш2rpnу],
2
ff;
2/1
nЗ
где
введены
обозначения
[о,
({).
:) =
0'1"
/".(0)
сонО
Hin
О[Тр(О)
-
rS(О)]Jо(kзрнiп
О
f/
/')
х
()
()
(3.109)
х
ехр[
(i/2)kзz(f
/
/')2
sin
2
О
+ 2ik
t
Zo
сон
O]dO.
(3.111)
Здесь
./'".
-
функция
аподизации,
определенная
соотношением
(3.56).
Видно,
что
пятно
зависит
от
коэффициентов
Френеля
и
величины
смещения
из
фокуса
Zo.
Последний
только
добавляет
к
каждой
плосковолновой
компоненте
дополнительный
фазовый
набег.
Если
верхняя
среда
'ТI2
является
идеальным
проводником,
то
выпол
няется
условие
"1' = -
r"
=
1,
и
тогда
интеграл
[21
равен
нулю.
В
этом
случае
пятно
в
отраженном
свете
является
линейно-поляризованным
и
симметричным
относитель
но
вращения
для
того
чтобы
перейти
к
обсуждению
распределений
поля
в
плоскости
изоб
ражения.
положим
'1/1
=
1,518
в
области
объекта
и
nз
= 1
в
области
изображения,
и
числовую
апертуру
линзы
равной
1,4
(Ошах
= 67,260).
На
рис.
3.19
в
нижнем
ряду
показана
интенсивность
электрического
поля
IE
r
l
2
для
случая
идеально
отражающей
поверхности
в
зависимости
от
небольшого
смещения
из
положения
фокуса.
На
ней
хорошо
видно.
что
форма
и
размер
пятна
не
слишком
сильно
зависят
от
этого
смещения.
При
этом.
как
показано
в
верхнем
ряду
рис.
3.19,
ситуация
приобретает
суще
ственно
иной
характер,
если
среда,
находящаяся
по
ту
сторону
плоской
поверхности,
имеет
меньший
показатель
преломления,
чем
среда,
в
которой
происходит
фокуси
ровка.
т.
е.
11'2
<
11
t.
В
этом
случае
отраженное
пятно
сильно
меняется
в
зависимости
от
величины
смещения
относительно
фокуса.
Форма
пятна
заметно
отличается
от
гауссовой.
представляя
собой
пятно оптической
системы,
обладающей
осевым
астиг
матизмом.
Общий
размер
пятна
возрастает,
поляризация
более
не
сохраняется
по
причине
того,
что
[о,
и
[2,
становятся
сравнимы
по
порядку
величины.
Изображения,
показанные
на
рис.
3.19,
могут
быть
воспроизведены
в
лабораторных
условиях.
Од
нако
если
использовать
дихроичные
светоделительные
пластины,
следует
учитывать,
что
для
.~-
и
р-поляризаций
они
имеют
несколько
различные
параметры.
И
действи
тельно.
изображения
на
рис.
3.19
очень
чувствительны
к
относительным
величинам
в
суперпозиции
двух
поляризаций.
Использование
на
пути
отраженного
пучка
по
.1яризатора
позволит
изучать
каждую
поляризацию
в
отдельности,
как
пока
за
но
на
рис.
3.20
Обратим
внимание,
что
максимум
интенсивности
картины
в
отраженном
свете
не
соответствует
настройке
положения
фокуса
на
плоской
поверхности.
Фокус
наведен
на
поверхность
в
том
случае,
когда
центр
полученного
изоб
ражения
обладает
максимумом
интенсивности
ио(р,
Z
)).
Изображения
на
рис.
3.19
88
Гл
3
Распространение
и
фокусировка
оптических
nолеи
Zu = -/14
Z/)=O
Z,,=
+;14
Рис
3.19
Изображение
дифракционно-ограниченного
фокального
пятна
в
отраженном
свете
Пятно
передвигается
с
шагом
>'/4
по
плоской
поверхности
Смещение
И3
фОl\уса
:()
110.10-
жительно
(отрицательно)
в
случае,
когда
фокус
находится
ниже
(выше)
этой
поверхности
Первичная
фокусирующая
линза
имеет
числовую
апертуру
1,4
Показатель
"реломления
n.
=
1,518,
фактор
перекрытия
10
= 2
В
верхнем
ряду
показаны
изображения
в
случае
границы
раздела
воздух-стекло
(n2 = 1),
а в
нижнем
-
воздух-металл
(С2
-:х:.)
Большие
аберрации,
наблюдающиеся
в
случае
границы
раздела воздух-стекло,
связаны
с
тем,
что
плосковолновые
компоненты,
испытавшие
полное
внутреннее
отражение,
формируют
второи,
мнимый,
фокус
над
поверхностью
Стрелками
показано
направление
поляризации
первичного
входящего
пучка
и
3.20
отражают
плотность
энергии
электрического
поля,
именно
эту
величину
определяют
оптические
детекторы
типа
CCD-камерbl.
С
другой
стороны,
nодная
плотность
энергии
представляет
собой
усредненный
по
времени
вектор
Поинтинга,
который
должен
давать
симметричные
относительно
вращения
изображения
Как
же
объяснить
возникновение
сильно
искаженных
пятен
в
случае,
когда
речь идет
о
границе
раздела
стекло-воздух?
Суть
этого
определяется
природои
полного
внутреннего
отражения.
Все
плосковолновые
компоненты,
углы
падения
которых
находятся
внутри
диапазона
[О
...
8
с
],
где
8(.
-
угол
полного
внутреннего
отражения
(~41,20
в
случае
границы
раздела
воздух-стекло),
частично
пропуска
ются,
а
частично
отражаются
поверхностью
границы
раздела.
Оба
коэффициента
отражения,
ТВ
и
Т
р
,
являются
действительными
числами,
и
между
падающей
и
отраженной
волной
не
появляется
фазового
сдвига.
С
другой
стороны.
ПЛОСКОВО.l
новые
компоненты,
углы
падения
которых
находятся
внутри
диапазона
[0(.
ОIll"Х]
,
полностью
отражаются
от
поверхности.
В
этом
случае
коэффициенты
отражения
яв
ляются
комплексными
величинами,
что
приводит
к
возникновению
фазового
сдвига
между
падающей
и
отраженной
волной.
Это
обстоятельство
можно
рассматривать
как
добавление
разности
пути
между
отраженной
и
падающей
волной
подобно
сдвигу
Гуза-Хэнша
(Gооs-Напsсhеп
shift)
[19].
Это
при
водит
к
смещению
видимой
точки
отражения
за
поверхность
и
затеlll
к
возникновению
второго
мнимого
фокуса
[20].
Для
демонстрации
этого
эффекта
мы
отобразили
на рис
3.21
только
рассеянные
поля
(отраженное
и
прошедшее).
изображенные
на
рис.
3.17.
Если
мы
измерим
излучение
на
поверхности
сферы
большого
радиуса,
охватывающей
систему,
направление
распространение
излучения
3 10
Jlзображение
фОКадьного
пятна
8
отраженном
С8ете
89
Рис
3 20
РаJложение
отраженного
изображения
для
случая
наведения
фокуса
на
плоскую
поверхность
(Ilентральный
ряд
на
рис.
3.19)
на
две
ортогональные
поляризации
а,
8 -
ПО.lяризаllИЯ
в
направлении
поляризации
падающего
излучения
(п
.•
),
б,
г
-
поляризация.
перпеН..1икулярная
поляризации
падающего
излучения
(пу);
а,
б
-
результат
численного
расчета,
8.
г
-
экспериментальный
результат
б~..1ет
таким.
lI.aK
показано
двумя
прямыми,
пересекающимися
над
поверхностью.
Несмотря
на
то
что,
казалось
бы, все
отраженное
излучение
исходит
от
поверхности,
:\Ibl
наблюдаем
видимый
источник,
находящийся
над
ней.
Проследим
за
максимумом
из.lучения,
двигаясь
из
области
дальнего
поля
в
направлении
к
поверхности,
и
уви
.1И!\l.
что
излучение
отклоняется
в
сторону
фокуса.
Это
свидетельствует
о
том,
что
.1анныЙ
источник
излучения
действительно
находится
в
фокусе.
Таким
образом,
мы
\lOжем
сформулировать
важный
результат,
который
состоит
в
том,
что
отраженный
свет.
связанный
с
угловым
диапазоном
[О
...
ос],
исходит
из
реального
фокуса,
на
ХО.1ящегося
на
поверхности,
а
свет,
связанный
с
угловым
диапазоном
[ОС
..•
Вшах],
исход,Ит
из
мнимого
фокуса,
находящегося
над
поверхностью.
Необходимо
уточнить,
что
.I\IНИМЫЙ.
фокус
над
поверхностью
не
является
реальной
геометрической
точкой.
Он
представляет
собой
множество
точек,
распределенных
вдоль
вертикальной
оси.
Bo.1Hbl.
исходящие
из
этих
точек,
имеют
разные относительные
фазы
и
образуют
конический
волновой
фронт,
схожий
с
конусом
Маха
в
гидродинамике.
Возникающие
в
результате
тороидальные
аберрации
были
впервые
исследованы
Мэкером
(Maeker)
и
ЛеХl\Iаном
(Lеhmап)
[21].
Наблюдение
аберраций
в
изображении,
полученном
при
отражении
от
фокальной
точки.
имеет
важные
следствия
для
конфокальной
микроскопии
и
записи
инфор
:\Iации
В
этих
методиках
отраженный
пучок
фокусируется
на
маленькое
отверстие
в
п.носкости
изображения.
По
причине
аберраций
отраженного
пятна
б6льшая
часть
отраженного
света
задерживается
отверстием,
нарушая
чувствительность
системы
и
ее
разрешение.
Однако было
показано,
что
этот
эффект
дает
огромный
контраст
в
с.1учае.
если
образец
обладает
металлическими
и
диэлектрическими
свойства
\IИ
[20],
Т.
к.
металлическая
поверхность
не
вносит
аберрациЙ.
И
в
заключение
необ
ХО.lИI\IO
подчеркнуть,
что
пятно
в
реальном
фокусе
на
поверхности
слабо
зависит
от
90
Гл.
3
Распространение
и
фокусировка
оптических
полей
Рис.
3.21
Рассеянное
излучение
лазера
(отраженное
и
прошедшее),
сфокусированного
на
границу
раздела
воздух-стекло
Пара
метры
те
же,
что
и на
рис.
3.17.
Линии
указывают
каж~
щееся
направление
излучения для
наблюдателя,
находящегося
в
дальней
зоне
Лучи
сходятся
в
мнимом
фокусе,
расположенном
на
расстоянии
~
О
...
>.
над
поверхностью
Плосково.1новые
компоненты
с
углами
в
диапазоне
[О
...
8
е
]
исходят
из
фокальной
точки
на
поверхности.
сверхкритические
плоские
волны
исходят
из
мнимого
фокуса,
находящегося
над
поверхностью.
давая
вклад
в
аберрации,
показанные
на
рис.
3.19
Размер
изображения
16>'
х
31>'
ее
свойств,
а
аберрации
связаны
исключительно
с
изображением
в
отраженном
свете
Понимание
изображений,
представленных
на
рис.
3.19, 3.20,
чрезвычайно
важно
при
юстировке
оптических
систем,
например,
для
того,
чтобы
убедиться,
что
фокальная
плоскость
лазера
совпадает
с
границей
раздела
стекло-воздух
(плоскостью
объекта).
Задачи
3.1.
Приосевой
гауссов
пучок
не
является
строгим
решение!VI
уравнений
Максвелла.
поэтому
его
поле
не
свободно
от
расходимости
('\7
.
Е
=F
О).
Потребовав
выпол
нения
равенства
'\7
.
Е
=
О,
можно
вывести
выражение
для
продольной
проекции
поля
E
z
.
Предполагая,
что
Е
у
=
О,
получите
E
z
в
первом
неисчезающеl\l
порядке
малости.
Изобразите
схематически
распределение
IE
z
12
в
фокальной
плоскости.
3.2.
Получите
разложение
произвольного
оптического
поля
на
поперечное
электри
ческое (ТЕ)
и
поперечное
магнитное
(ТМ)
поля.
Продольная
компонента
поля
E
z
исчезает
в
случае ТЕ-поля,
тогда
как
в
случае
ТМ-поля
исчезает
Н:
3.3.
Рассмотрите
поля,
выходящие
из
рассеченного полого
идеально
проводящего
металлического
волновода
квадратного
сечения
со
стороной
ао.
Величина
00
подобрана
таким
образом,
что
волновод
поддерживает
лишь
TEo1-моду
нижнего
порядка,
поляризованную
в
направлении
х.
Предполагая,
что
влиянием
краев
разрезанных
сторон
волновода
на
поля
можно
пренебречь,
(а)
рассчитайте
пространственный
спектр
Фурье
электрического
поля
в
выход
ной плоскости
(z =
О);
(б)
рассчитайте
и
постройте
соответствующее
дальнее
поле
(Е·
Е*).
3.4.
Проверьте,
что
в
сильносфокусированном
гауссовом
пучке
энергия
сохраняется.
как
описано
в
разд.
3.6.
Для
этого
сравните
поток
энергии
через
поперечные
плоскости
по
обе
стороны
от
оптических
линз.
Для
удобства
выберите одну
из
плоскостей
так,
чтобы
она
проходила
через
точку
фокуса
(.::
=
О).
Поток
энергии
удобнее
всего
рассчитать,
вычислив
проекцию
на ось
z
усредненного
по
вре
мени
вектора
Пойнтинга
(Sz)
и
проинтегрировав
ее
по
площади
поперечной
35
310
Задачи
91
плоскости
Указание:
используйте
условие
ортогональности
функций
Бесселя
х
J
JII(a)bx)Jn(a2bx)xdx =
~д(a)
-
а2).
a1Ь
О
Проверьте
размерности!
(3.112)
Рассмотрите
малое
круглое
отверстие
радиуса
ао
в
бесконечно
тонком
идеально
проводящем
экране,
освещенном
падающей
по
нормали
плоской
волной,
поля
ризованной
вдоль
оси
х.
В
длинноволновом
пределе
(л
~
ао)
электрическое
поле
в
апертуре
(.:
=
О,
х
2
+
у2
~
a~)
получено
Баукампом
[22]:
Е
( )
__
4ikE
o
2ag
-
х
2
-
2
у
2
J.
Х,у
- 3 '
1г
J
ag
-
х
2
-
у2
Е
( ) = _ 4zkE
o
ху
у
х,
у
3.
/ '
,
1г
yag-x
2
_
y
2
(3.113)
где
Б
о
-
амплитуда
поля
падающей
волны.
Соответствующий
пространствен
ный
фурье-спектр
рассчитан
Ван
Лабеке
и
др.
[23]:
~
, . _ 21kaJE
o
[3k~
cos(aok
p
) _
(agk~
+
3k~
+
agk;k~)
Sill(aokp)]
Е,(А"А
Il
)
- 3 2
2k
4
3k
5
'
1г
ао
р
ао
р
(3.114)
E"{k,, k
ll
) = _
2/kaJ2Eo
[3ktkY
~os4(aokp)
_
kжk"
(3
-
a~k:)
Sill(aok
p
)] ,
~
ao~ ao~
(3.115)
где
k" =
(k,;
+
k~))/2
-
поперечное
волновое
число.
(а)
Выведите
фурье-спектр
продольной
компоненты
поля
E
z
.
(б)
Найдите
выражение
для
поля
Е
=
(Е
х
,
Е
у
,
E
z
)
в
произвольной
точ
ке
(./',,IJ,
z).
(в)
Рассчитайте
дальнее
поле
и
выразите
его
в
сферических
координатах
(1·,
/),.р)
как
Е
=
(Е"
Е,1,
Е<р)
в
произвольной
точке
(х,
у,
z).
36
Отраженное
изображение
лазерного
луча,
сфокусированное
на
диэлектриче
ской
границе
раздела,
дается
равенствами
(3.109)-(3.111).
Получите
эти
выра
жения
из
равенства
(3.100),
которым
определяется
отраженное
поле.
Обратите
внимание
на
то,
что
поле
распространяется
противоположном
по
отношению
к
оси:.
направлении.
3,7,
Покажите,
что
поле
Е,
определенное
через
Er, E
r
и
Е
!
В
разд.
3.9,
удовлетворя
ет
граничным
условиям
на
поверхности
z =
Zo.
Покажите,
что
уравнение
Гельм
гольца
и
условия
расходимости
удовлетворены
в
каждом
из
полупространств.
3
8,
Чтобы
скорректировать
аберрации,
возникающие
при
отражении
сильносфоку
сированного
пучка
от
границы
раздела,
мы
разрабатываем
пару
фазовых
пла
стин.
С
помощью
поляризатора-светоделителя
коллимированный
отраженный
пучок
расщепляется
на
два
полностью
поляризованных
пучка
(см.
рис.
3.18
и
равенство
(3.100».
Искажения
фазы
в
каждом
пучке
исправляются фазовой
пластинкой.
После
коррекции
пучки
вновь
сводятся
на
плоскости
изображения.
Рассчитайте
и
постройте
распределение
фазы
каждой
фазовой
пластинки,
если
исходное
поле
представляет
собой
гауссов
пучок
(fo --+ 00),
сфокусированный
объективом
с
N
А
=
1,4
на
границе
раздела
стекло-воздух
(zo
=
О)
и
отра
женный
от
оптически
более
плотной
среды
с
n)
= 1,518.
Что
произойдет,
если
фокус
сместится
от
границы
(zo
=F
О)?
92
Гл
3.
Распространение
и
фокусировка
оптических
nолеи
Список
литературы
Muller
М
, Squier
J,
Wilson
К
R.,
and
Brakenhoff G J
зо
microscopy
о!
tгапsрагеп!
objects using third-harmonic generation
//
Microsc 1998 V 191.
Р
266-274
2
Siegman
А
Е
Lasers -
Мill
Уаllеу,
СА.
University Science Books, 1986
3.
Mandel L.
and
Wolf
Е
Optica! Coherence and Quantum Optics - New
York
CamlJridge
University
Press, 1995.
4.
Zauderer
Е.
Соmр!ех
argument Hermite-Gaussian and Laguerre-Gaussial1 beams / / J
Ор!
Soc.
Аm.
А
1986.
У.3.
Р
465-469.
5.
Bochoue E.J.,
Мооге
G
Т,
and Scully
М.
О.
Acce!eration
о!
particles
Ьу
ап
asymmetГlc
Hermite-Gaussian !aser
Ьеаm
/ / Phys.
Rev.
А.
1992 V 46
Р.6640-6653
6 Xie
Х
S
and
Trautman J
К.
Optica! studies
о!
sing!e mo!ecu!es
а!
гооm
temperature
/;
Аппи
Rev. Phys Chem 1998
У.49
Р.441-480.
7.
Novotny L , Beversluis
М
R,
Youngworth
К
S ,
and
Brown
Т
G Longitudinal
field
modes
probed
Ьу
sing!e mo!ecules
//
Phys. Rev Lett 2001. V 86
Р
5251-5254
8
Ashkin
А
,Dziedzic
J
М
, Bjorkholm J
Е.,
and Chu S Observation
о!
а
siпglе-lJеаm
gгаdiепt
force optica! trap for die!ectric partic!es / / Opt Lett. 1986. V
11
Р
288-290
9.
Wolf
Е.
E!ectromagnetic diffraction in optica! systems 1
Ап
integral representation oi the
image
fie!d
/ /
Ргос
Roy
Soc.
А.
1959.
У.253
Р
349-357
10
Richards
В.
and
Wolf
Е
Electromagnetic diffraction
in
optical systems
11
Structure oi the
image
fie!d
in
ап
ap!anatic system / /
Ргос
Roy.
Soc
А.
1959. V 253
Р
358-379
11.
Youngworth
К
S and Brown
Т
G Focusing
of
high numerical aperture
cylindrical-\(~ctor
beams / / Opt Express 2000. V
7.
Р
77-87
12.
Youngworth
К
S and Brown
К.
S Inhomogeneous polarization
in
scanning optical
mi-
croscopy / /
Ргос
SPIE. 2000. V 3919.
Р.75-85
13
Dorn
R,
Quabis
R,
and
Leuchs G Sharper focus
[ог
а
radially polarize(j light
Ьеаm
/:
Phys Rev Lett 2003 V
91
Р
233901.
14.
Nouotny L , Sanchez
Е.
J , and Xie
Х.
S Near-field optical imaging using metal tips illumi-
nated
Ьу
higher-order Hermite-Gaussian beams / / Ultramicroscopy 1998 V
71
Р
21-29
15.
Snadden
М.!
, Bell
А
S., Clarke R
В.М.,
Riis
Е,
and Mclntyre D
Н
Doughnut mode
magneto-optical trap / /
Opt Soc
Аm
В.
1997 V
14
Р
544-552
16
Тidwell
S
С.,
Ford D
Н,
and
Кiтигa
D.
Generating radially po!arized beams interferomet-
rically / /
Арр!
Opt 1990
У.29
Р
2234-2239
17.
Chew W
С.
Waves and Fie!ds in Inhomogeneous Media - New
York
Уап
Nostrand
Reinho!d, 1990
18.
Sick
В.,
Hecht
В.,
and Novotny L. Orientational imaging
of
single molecules
Ьу
annular
illumination / /
Phys
Rev.
Lett. 2000
У.85.
Р.4482-4485
19
Jackson J
D.
Classical Electrodynamics. - New York. John Wi!ey & Sons, 3rd edn . 1998
20 Karrai
К,
Lorenz
Х,
and
Nouotny L. Enhanced reflectivity contrast
iп
сопfосаl
soli(j
immersion !ens microscopy / / Appl. Phys. Lett. 2000 V
11
Р
3459-3461
21. Maecker
Н.
and
Lehmann G
Ше
Grenze der Tota!reflexion
I-Ш
/ /
Апп
Physik 1952
У.
10.
Р.115-128,
153-160, and
161-166
22 Bouwkamp
С
J.
Оп
Bethe's theory of diffraction
Ьу
small holes / / Philips Res
Rep
1950
У.5.
Р.321-332
23
Van
Labeke D , Barchiesi D , and Baida
Р.
Optical characterization
о!
nanosources used
111
scanning near-fie!d optical microscopy / / Opt Soc
Аm
А
1995 V
12
Р
695-703