Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики
Подождите немного. Документ загружается.
3
4.
Угловой
спектр
поля
в
дальней
зоне
63
для
вывода
соответствующих
РМ
полей
будем
требовать,
чтобы
иРМ
=
=
(О,
Н"'
Н,,).
После
проведения
аналогичной
процедуры
расчета
получим,
что
в
РМ
решениях
электрическое
и
магнитное
поля
просто
меняются
местами:
ос
ЕР]I
(,1',.11,'::)
=
Z/I<
J J
Ну
(k:r,
ky;
О)
k~z
(k~
+
k;)n
x
- k;ckyn
y
+
-ос
ос
иРМ
(a~,
У,.::)
= J J Hy(k;c, k
y
;
О)
:z
[kzn
y
-
kуnz]еt[kжХ+kуУ±k'Z]dkхdkу.
(3.26)
-:>О
Отсюда
непосредственно
следует,
что
в
параксиальном
приближении
РЕ-
и
РМ
решения
являются
идентичными.
И
в
этом
случае
они
становятся
идентичными
с
Т
ЕМ
-решениями.
Разложение
произвольного
поля
на
Р
Е-
иРМ
-поля
было
получено
обнулением
одной
из
поперечных
компонент.
Такая
же
схема
используется
для
разложения
на
поперечно-электрическое
(Т
Е)
и
поперечно-магнитное
(Т
М)
поля,
когда
одна
продольная
компонента
поля
полагается
равной
нулю
(см.
задачу
3.2).
3.4.
Угловой
спектр
поля
в
дальней
зоне
В
этом
разделе
мы
получим
важный
результат
фурье-оптики
и
геометрической
оптики,
который
непосредственно
следует
из
описания
поля
через
угловое
спектраль
ное
представление.
Рассмотрим
определенное
(локализованное)
распределение
поля
в
плоскости
.:
=
О.
Его
угловое
спектральное
представление
дает
нам
информацию
о
том,
как
поле
распространяется
и
как
будет
отображаться
на
плоскости
z =
zo.
Теперь
зададимся
вопросом,
что
будет
представлять
собой
поле
на
плоскости,
которая
очень
сильно
удалена.
И
наоборот,
мы
можем
спросить,
каково
будет
результирующее
поле,
если
мы
сфокусируем
определенное
поле
в
дальней
зоне на
плоскость
изображения.
Начнем
с
уже
знакомого
нам
углового
спектра
оптического
поля
ос
Е(х,
у,
z) = J J
E(k
x
,
k
y
;
О)еi[kжХ+k"У±k'Z]dkхdkу.
(3.27)
-00
Нас
будет
интересовать
асимптотическое
приближение
этого
поля
в
дальней
.зоне,
т.
е.
мы
будем
вычислять
поле
в
точке
r = r
oo
,
находящейся
на
бесконечном
удалении
от
плоскости
объекта.
Введем
единичный
вектор,
сонаправленный
с
r
oo
,
таким
образом,
( )
х
у
z
s=
Sx,Sy,Sz
=(-,-,-),
r r r
(3.28)
где
Т'
=
(;1:2
+
1/
+ .:2)1/2 -
это
расстояние
от
объекта
до
r
oo
.
Для
вычисления
поля
в
дальней
зоне
Е""
устремим
r
-+
00
и
перепишем
соотношение
(3.27)
в
виде
-
'k
[!Е.:.
!з.
±!Е.:.
]
E(k
x
, k
y
;
O)e
t
r k
в
ж
+
k
Ву
k
в.
dkxdk
y
,
(3.29)
В
силу
экспоненциального
спадания
эванесцентные
волны
не
дают
вклада
в
поле
на
бесконечности.
Поэтому
мы
отбросили
этот
вклад,
ограничив
область
интегриро-
64
Гл
3
Распространение
и
фокусировка
оптических
nолеи
вания
пространством
(k~
+
k~)
~
k
2
.
Асимптотическое
поведение
двойного
интеграла
при
kr
--+
XJ
может
быть
получено
методом
стационарной
фазы.
Для
ознакомления
с
этим методом
мы
отсылаем
заинтересованного
читателя
к
гл.
3.3
книги
[31.
Не
вдаваясь
в
детали,
запишем
результат
для
(3.29):
(330)
Это
соотношение
говорит
о
том,
что
поле
в
дальней
зоне
полностью
определяется
фурье-спектром
полей
Е(
k
x
,
k
y
;
о)
в
плоскости
объекта,
если
заменить
k,
-+
k.ч,
.
а
k
y
--+
ks
y
.
Это
просто
означает.
что
единичный
вектор
s
удовлетворяет
соотношению
_ ( ) _
(k"
k
y
k
z
)
(3
31)
s -
Sx,Sy,Sz
-
k'
k'
k . .
откуда
следует,
что
только
одна
плоская
волна
с
волновым
вектором
k = (k,.
klJ'
k:)
из
углового
спектра
дает
вклад
в
поле
в
плоскости
z =
О
в
точке
дальней
зоны.
расположенной
по
направлению
единичного
вектора
s.
А
вклад
всех
остальных
плоских
волн
подавляется
деструктивной
интерференцией.
Этот
красивейший
ре
зультат
позволяет
нам
рассматривать
поле
в
дальней
зоне
как
набор
лучей.
каждый
из
которых
задается
определенной
плоской
волной
из
исходного
углового
спектра
(геометрическая
оптика).
Сопоставляя
(3.30)
и
(3.31),
выразим
фурье-спектр
Е
через
поле
в
дальней
зоне:
(332)
помня
о
том,
что вектор
s
полностью
определяется
через
k,.
klJ'
Это
выражение
можно
подставить
в
(3.27),
тогда
получим
(333)
Таким
образом,
коль
скоро
эванесцентные
поля
не
являются
частью
нашей
си
стемы,
поле
Е
и
его
представление
в
дальней
зоне
Е
ос
являются
фурье-образами
друг
друга
в
плоскости
z =
О.
Единственная
разница
заключена
в
факторе
ljk:
Но
в
приближении
k
~
k
z
они
являются
точными
фурье-образами.
Это
приближение
называется
фурье-оптикой.
В
качестве
при
мера
рассмотрим
дифракцию
на
прямоугольном
отверстии
со
сторонами
2L
x
и
2L
y
в
бесконечно
тонком
проводящем
экране,
который
мы
выберем
в
качестве
объекта
(z =
о).
Плоская
волна
падает
на
экран
под
прямым
углом
Для
простоты
предположим,
что
поле
в
плоскости
объекта
имеет
постоянную
ам
плитуду
Е
о
,
а
экран
закрывает
все
поле,
которое
не
попадает
в
отверстие
Тогда
фурье-спектр
в
точке
z =
О
будет
иметь
вид
+Ly +L,
E
-(k
k
'O)=~
J J
-.[k
..
x'+k
y
y'1d'd
'=Е
L,LlIsiп(k,L,}нill(kl,/JII)
sз:,
Ву,
2
е
х
у
О
2 k L
1.
1 .
41Г
1г
1,
"·11
'!/
(3.34)
-L
y
-L.
С
учетом
(3.30)
найдем
и
поле
в
дальней
зоне:
Е
( )
-
-'k
Е
2L
x
Ly sin
(ks
r
L
з
)
sill
(ksIJL
,
,)
~
ос
8
х
,
8
у
,
·~z
-
~
8
z
О
k L
k·
L
.'
1г
S.
х
.8!/
У
,
(335)
что
в
параксиальном
пределе
k
z
~
k
совпадает
в
результатом
дифракции
<Рраун
гофера.
Соотношение
(3.30)
представляет
собой
важный
результат.
Оно
связывает
3 5
Фокусировка
полей
65
ПО.lе
в
ближней
зоне
оптической
задачи
с
полем
в
дальней
зоне.
И
если
в
случае
б.lИ)hнеЙ
зоны
необходимо
строгое
описание
полей,
то
поля
в
дальней
зоне
хорошо
аппроксимируются
по
законам
геометрической
оптики.
3.5.
Фокусировка
полей
При
помощи
сильносфокусированных
лазерных
импульсов
можно
достичь
эф
срепа
классического
удержания
(или
локализации)
света.
Такие
пучки
использу
ются
во
флуоресцентной
спектроскопии
для
исследования
молекулярных
взаимо
действий
в
растворах,
а
также
кинетики
одиночных
молекул
на
поверхностях
[6].
Си.lьносфокусированные
лазерные
пучки играют
ключевую
роль
и
в
конфокальной
\IИКРОСКОПИИ.
и
в
хранении
оптической
информации,
где
достигается
разрешение
Л
4.
В
оптических
пинцетах
сфокусированные
лазерные
пучки
используются
для
У.lавливания
частиц,
их
передвижения
и
позиционирования
с
высокой
точностью
[8].
Все
перечисленные
сферы
использования
света
требуют
теоретического
описания
си.lьносфокусированных
полей.
Поля
в
сфокусированном
лазерном
пучке
определяются
граничными
условия
\lИ
фокусирующего
оптического
элемента
и
падающим
оптическим
полем.
В
этом
разде.lе
мы
будем
изучать
фокусировку
паракси-
ального
оптического
поля
посредством
безабер-
n.
раuионной
оптической
линзы,
как
пока
за
но
на
рис.
3.5.
В
теоретическом
рассмотрении
мы
бу
дe~1
придерживаться
теории
Ричардса
и
Вольфа
[9.
10]
Поля
вблизи
оптических
линз
могут
рас
С\lатриваться
в
рамках
законов
геометрической
оптики
В
этом
приближении
конечностью
оп
тической
длины
волны
пренебрегают
(k:
---+
(0),
а
энергия
переносится
вдоль
оптических
лучей.
Сре.1НЯЯ
плотность
энергии
распространяется
со
СI\ОРОСТЬЮ
l'
=
("/11
В
направлении,
перпенди
к~.lЯРНО~1
геометрическому
волновому
фронту.
Д.1Я
описания
безаберрационной
линзы
необхо
дюю
учитывать
два
правила:
(1)
правило
сину
сов.
(2)
закон
для
интенсивности.
Эти
правила
ПРОИ:Jлюстрированы
на
рис.
3.6.
Правило
сину-
Рис.
3.5.
Фокусировка
лазерного
пуч
ка
при
помощи
безаберраuионной
линзы
сов
утверждает,
что
каждый
оптический
луч,
исходящий
из
фокуса
F
или
входящий
в
фокус
F
безаберрационной
оптической
системы,
пересекает
сопряженный
ему
луч
на
сфере
радиуса
I
(гауссова
вспомогательная
сфера),
где
f -
фокусное
расстоя
ние
.1ИНЗЫ.
ПОД
сопряженным
лучом
понимается
отраженный
или
падающий
луч,
распространяющийся
параллельно
оптической
оси.
Расстояние
h
между
оптической
осью
и
сопряженным
лучом
дается
соотношением
h =
f~in(()),
(3.36)
где
f)
-
угол
отклонения
сопряженного
луча,
или
угол
расходимости.
Таким
образом,
правило синусов
диктуется
законом
отражения
оптических лучей
от
безаберраци
онного
оптического
элемента.
Закон
для
интенсивности
является
не
чем
иным,
как
утверждением
закона
сохранения
энергии:
поток
энергии
вдоль
луча
должен
оставаться
постоянным.
Как
следствие,
напряженность
электрического
поля
в
сфе
рической
волне
падает
по
закону
l/r,
где
r -
расстояние
от
источника.
Закон
для
интенсивности
говорит
о
том,
что
количество
энергии,
падающей
на
безаберраци-
:)
.1
НОВОТIIЫЙ.
Б
Хехт
66
Гл.
3
Распространение
и
фокусировка
оптических
полей
а
Вспомогательная
б
Падающий
луч
/ /
сфера
/
Orpаженный
\
I
луч
I
dAI
h =
fsinO
I
----------~----~~~~
\
dAI =
dA
2
cos(}
Рис.
3
6.
а
-
правило
синусов
в
геометрической
оптике.
Отражение
световых
лучей
от
безаберрационной
линзы
задается
сферической
поверхностью
радиуса
f.
б
-
закон
Д.1Я
интенсивности
в
геометрической
оптике.
Энергия.
переносимая
вдоль
луча.
должна
оставаться
постоянной
онный
оптический
элемент,
равно
количеству
энергии,
покидающей
его.
Мы
знаем.
что
мощность,
переносимая
лучом,
равна
Р
=
(1/2)Z;~-E:1/2IEI2(lA,
где
Z/It'
-
волно
вой
импеданс,
а
dA -
площадь
бесконечно
малой
поверхности,
перпендикулярной
направлению
распространения.
Таким
образом,
как
пока
за
но
на
рисунке.
поля
до
и
после
отражения
должны
удовлетворять
соотношению
IE
2
1 =
IEII
rт;;,
гiii.
cosl/
2
О.
V
n2
V j-tl
(337)
Так
как
для
большинства
сред
магнитная
проницаемость
на
оптических
частотах
равна
единице
(М
=
1),
множитель
!iii.
для
удобства
опустим.
V j-tl
С
учетом
правила
синусов
наша
оптическая
система
может
быть
представлена как
показано
на
рис.
3.7.
Падающие
световые
лучи
отражаются
вспомогательной
сферой
радиуса
f.
Обозначим
произвольную
точку
на
вспомогательной
сфере
(.l;oc,Yx.Zx).
а
произвольную
точку
поля
В
фокусе
-
(х,
у,
z).
Эти
две
точки
в
сферических
координатах
обозначим
соответственно
(f,
О,
ф)
и
(Т,
1'J,
<р).
--44++r-
__
----~------~~-L--~~~
Ф
Рис
3 7
Геометрическая
схема
безаберрационной
системы
и
определение
введенных
координат
Для
описания
отражения
падающих
лучей
от
вспомогательной
сферы
введем
единичные
векторы
Пр,
ПВ
и
Пф,
как
показано
на
рис.
3.7.
Векторы
п',
и
ПО
-
единичные
векторы
цилиндрической
системы
координат,
в
то
же
время
ПО
и
п"
пред
ставляют
собой
единичные
векторы
сферической
системы
координат.
Напомним.
что
вспомогательная
сфера
превращает
цилиндрическую
систему
координат
(входящий
пучок)
в
сферическую
(сфокусированный
пучок).
Отражение
от
вспомогательной
сферы
удобнее
всего
рассчитывать,
раскладывая
вектор
падающего
излучения
E
inc
на
две
компоненты,
которые
обозначим
E~~
и
Ef:~.
Индексы
(.'i)
И
(р)
обозначают
3 5
Фокусировка
полей
67
s-
и
р-поляризацию
соответственно.
В
терминах
единичных
векторов
можно
записать
эти
поля
следующим
образом:
(3.38)
Как
показано
на
рис.
3.7,
эти
два
поля
отражаются
от
вспомогательной
сферы
по
отдельности
И
если
вектор
пф
остается
незадействованным,
то
вектор
пр
пере
ходит
в
вектор
n(J.
Таким
образом,
полное
отраженное
электрическое
поле,
которое
обозначим
Е-х.,
может
быть
записано
в
виде
(3.39)
Для
каждого
луча
мы
учли
соответствующий
ему
коэффициент
пропускания
t
8
и
и/,
как
определено
в
соотношении
(2.50).
Множитель
за
скобками
является
след
ствием
закона
сохранения
энергии.
Нижний
индекс
00
добавлен
с
целью
подчерк
нуть,
что
поле
вычисляется
на
большом
расстоянии
от
фокуса
(х,
у,
z)
=
(О,
О,
О).
Единичные
векторы
пр,
nB,
пф
могут
быть
выражены
через
единичные
векторы
декартовой
системы
координат
n
x
,
n
y
, n
z
с
использованием
сферических
углов
()
и
ф,
обозначенных
на
рис.
3.7:
пр
=
со:;фП
х
+
siпфп
у
,
пф
= - :;in
фп
х
+
сов
фП
у
,
nB
=
со:;
()
сов
фП
х
+
сов
()
sin
фП
у
- sin
()n
z
.
Подставляя
эти
векторы
в
(3.39),
получим
[ (
- sin()
)]
( -
SiП
Ф
)
г!!i
E-х.(О,
Q)
=
t·'(O)
Еiпс(О,
ф)
.
СО~ф СО~ф
V
~~
(cos()1/2 +
[
(
соsф
)]
(
соsфсоs()
)
~
+
tl'(O)
Е
iпс
((),
ф)
. sin
Ф
sin
Ф.соs
()
nl
(со:;
()
1/2.
О
-юп()
n2
(3.40)
(3.41)
(3.42)
(3.43)
Это
вектор
декартовых
координат непосредственно
справа
от
вспомогательной
сферы
фокусирующей
линзы.
Мы
можем
также
выразить
Е
ос
в
терминах
пространственных
частот
k,
и
k
lJ
,
используя
подстановки
k
J
=
k:;iп()соsф,
k
y
=
ksiп()siпф,
k
z
= kcos().
(3.44)
Результирующее
поле
в
дальней
зоне
на
вспомогательной
сфере
предстает
тогда
в
виде
Е-х.
(k, ,
klJ)'
и
его
можно
подставить
в
соотношение
(3.33)
для
строгого
расчета
ПОJlей
в
фокусе.
Таким
образом,
поле
Е
вблизи
фокуса
нашей
линзы
полностью
определяется
полем
Е'Х
на
вспомогательной
сфере.
Все
лучи
распространяются
от
вспомогательной
сферы
в
сторону
фокуса
(х,
у,
z)
=
(О,
О,
О),
а
эванесцентные
поля
в
этой
системе
отсутствуют.
Учитывая
симметрию
нашей
задачи,
удобно
выразить
угловой спектр
(3.33)
в
тер
минах
углов
()
и
Ф
вместо
k
x
и
k
y
.
Это
легко
сделать,
используя
подстановки
(3.44)
и
выражая
координаты
поля
(х,
у)
через
углы
согласно
формулам
х
=
рсоВср,
y=psincp.
(3.45)
68
Гл.
3.
Распространение
и
фокусировка
оптических
nолеи
Для
того
чтобы
заменить
интегрирование
по
плоским
координатам
k"
k"
1
на
интегрирование
по
сферическим
координатам
О,
ф,
необходимо
преобразовать
диффе
ренциалы
:.
dk"dk
z
= k
f:!in
ОdОdф,
(346)
как
это
проиллюстрировано
на
рис.
3.8.
Теперь
мы
можем
выразить
угловой
спектр
поля
в
фокусе
следующим
образом
(3.33):
zkJre
-'kf
8
шах
2...
.
".
•
Е(р,
'Р,
z) = 2 f f
Еоо(О,Ф)еtkZСОS8еtkРЬШ8СОН(ф-СР)
Нlll(J(/ф(Ш.
(347)
I
f
,
....
1г
о
О
dkxdk
y
----
Рис
3.8.
Иллюстрация
к
подстановке
l/k.dk:rdk
y
=
ksiп8d8dф
Множитель
l/k.
= 1/(kcos8)
необходим
для
того,
чтобы
дифференциально малые
пло
щадки
на
плоскости
и на
сфере
оста-
вались
равными
Мы
заменили
расстояние
"х
на
фокусное
расстояние
линзы
f
Кроме
того,
мы
ввели
ограничение
области
интегрирования
по
(J
диа
пазоном
[О,
...
,
Ошах]
,
т.
к.
любая
линза
имеет
конечный
радиус.
Кроме
того,
т.
к.
все
поля
в
нашем
случае
распространяются
в
положи
тельном
направлении
по
оси
Z,
мы
оставили
только
знак
«+.
в
экспоненте
в
(3.33)
Со
отношение
(3.47)
является
главным
результа
том
данного
раздела.
Вместе
с
соотношением
(3.43)
оно
позволяет
рассчитать
фокусировку
произвольного
оптического
поля
E
ill
,
безабер
рационной
линзой
с
фокусным
расстояние~I
J
и
числовой
апертурой
N
А
= n sin
Ошах
(О
<
Ош,,;..
<
1г
/2),
(3
48)
где
n = n2
коэффициент
отражения
окружающей
среды.
Распределение
поля
в
фо
кальной
области
полностью
определяется
полем
в
дальней
зоне
Е
х
Как
мы
увидим
в
следующем
разделе,
параметрами
лазерной
фокусировки
можно
управлять,
пере
страивая
амплитудный
и
фазовый профиль
дальнего
поля
Е""
3.6.
Фокальные
поля
Как
правило,
выходная
диафрагма
объектива
микроскопа
имеет
в
диаметре
пару
миллиметров.
Для
того
чтобы
использовать
всю
числовую
апертуру
объектива,
па
дающий
свет
E
inc
должен
полностью
ее
покрывать
или
перекрывать.
Таким
образом.
в
силу
большого
диаметра
падающего
пучка
рассмотрение
его
в
параксиаЛЬНО~I
приближении
вполне
оправданно.
Предположим,
что
E
inc
полностью
поляризовано
вдоль
оси
Х,
Т.е
(349)
Далее,
предположим,
что
перетяжка
входящего
пучка
соотносится
с
линзой
таким
образом,
что
на
линзу
падает
плоский
волновой
фронт.
Для
простоты
предпо
ложим
также,
что
линза
покрыта
хорошим
антибликовым
покрытием,
следовательно.
мы
можем
пренебречь
отличием
коэффициентов
пропускания
Френеля
от
единицы
te=t~=l.
(350)
3
б
Фокальные
поля
69
Сделав
такие
предположения,
можем
теперь
записать поле
в
дальней
зоне
Е,:х;
из
(343)
в
виде
Е,-
(Н.
())
=
Е-х.
(Н,
Ф)[еон
Фпо
-
Hill
фпф]
Б.
(cos
0)1/2
=
V
n2
1 [
(1
+
co~
О)
-
(1
-
co~
О)
co~
2ф
]
=
Е-х.
((),
Ф)"2
-(
1 - cos
О)
sin
2ф
-2сонОsinф
(3.51 )
Г.1е
последнее
выражение
записано
в
декартовых
координатах.
Для
дальнейшего
ИЗ.l0жения
необходимо
задать
определенный
профиль
амплитуды
падающего
пуч
ка
E
il1
<
Ограничимся
тремя
простейшими
эрмитовыми
модами,
показанными
на
рис
3.2
Первая
из
них
соответствует
основной
моде
-
гауссову
пучку,
а
остальные
.1ве
могут
быть
получены
при
помощи
(3.17)
из
разд.
3.2.2.
Выражая
координаты
("·x.!J,-.::-х.)
(см.
рис.
3.7)
через
сферические
координаты
(j,О,ф),
получим
(ОО)-мода
(352)
(
10)-1\I0да
(3.53)
(OI)-1\I0да
(3.54)
Множитель
/II'(Н)
=
ехр(
-
/2
~i1l2
О
/wб)
является
общим
для
всех
мод.
Фокальное
поле
Е
будет
зависеть
от
того,
насколько
входящий
пучок
превышает
по
размерам
.1Инзу.
Так
как
диафрагмальный
радиус
нашей
линзы
равен
1 sin
Ошах,
введем
фактор
nерекрытия
10
в
виде
10
= f
.W~
,
Slll
шах
(3.55)
что
позволит
нам
переписать
экспоненту
в
(3.52)-(3.54)
следующим
образом:
(3.56)
Эта
функция
называется
функцией
аnодизации
и
может
рассматриваться
как
фИ.1ЬТР
фотоприемника
(или
функция
зрачка).
Теперь
у
нас
есть
все
необходимое
.1.1Я
вычисления
поля
Е
вблизи
фокуса.
Используя
математические
тождества
211"
J
('онnФе'I:СОh(Ф-<Р)dф
=
27Г(zn)J
n
(х)
co~n<p,
о
:Ъr
J
нillllфе."
(ОН(Ф-<Р)dф
=
27Г(z")J.,(х)
sillllф,
о
(3.57)
70
Гл
3
Распространение
и
фокусировка
оптических
полей
мы
можем
осуществить
аналитическое
интегрирование
по
ф.
Здесь
.l" -
функция
Бесселя
n-го
порядка.
Окончательное
выражение
для
фокального
поля
теперь
будет
содержать
только
интегрирование
по
().
Удобно
ввести
обозначения
для
следующих
интегралов:
Вшах
100
= J !u,(())(cos())1/2
s
in()(1
+cos())Jo(kpHin())e'~::(OH(J(lfJ,
о
В
П1аХ
101
= J !w(())(cos())1/2 sin
2
()JI (kp sin
())e
tkz
сон
8d(),
о
8
rщ
t.х
102
= J
!UI
(())
(сов
())1/2
sin()(1 -
сов
())J2(kpsill
())е'А
НОН
11
d()
,
о
(Jшах
1)0
= J !u,(())(cos())1/2 sin
3
()J
o
(kpsin())e'kzcOHfI(l(),
о
ВПlа.х
111
= J
!u.,(())(cos())1/2
sin
2
()(1
+
3COS())JI(kpHill())e'~::(Oh(J(l(),
О
8
шах
112
= J !,.,(())(cos())1/2Hin
2
()(I-
COH())JI(kpHill())C/~:'«)h(}(J(),
О
вшах
113
= J
!ш(())(сов
())
1/2
SiIl
3
()J
2
(kpsin
())e
fkz
CUH8d(),
о
8
Щ
i:1Х
114
= J
!ш(())(со:';
())
1/2
sin
2
()(1
-
соs())Jз(kрsiп())е/~:;«)Н(J(J(),
о
(3.58)
(3.59)
(360)
(361 )
(362)
(363)
(3.64)
(3.65)
где
функция
!w(())
задается
соотнощением
(3.56).
Заметим,
что эти
интегралы
являются
функциями
координат
(р,
z),
т.
е.
l
i
)
= l
iJ
(р,
z).
Таким
образом,
для
каждой
точки
поля
мы
должны
вычислить
эти
интегралы.
И
теперь,
используя
эти
сокраще
ния для
интегралов,
мы
можем
окончательно
записать
результирующие
выражения
для
фокальных
полей
в
различных
модах:
(ОО)-мода:
k
~
[
100
+
102
СО:,;
2<р
]
Е(р,
<р,
z)
= z /
~.l
Eoe-'~:!
102
Hi1l2<p
,
2
-27101
('ОН
IP
k
~
[1
02
Sin2<P]
Н(р,
<р,
z)
=
;z!
nl
Eoe-
1kf
100
-
102
Hin
2<р
,
ц<
n2
-
2t1
ol
Hill
'Р
(3.66)
3
б
Фокальные
поля
71
(lO)-мода:
(3.67)
(ОI)-мода:
.,
~
[
i(1
11
:-
2112)
sin
<р.
+
iI
14
~·;in
3у
]
Е(
"-)
-
/hI
~
Е
,-,kj
1 1 3
р.
'/"',
,"
- 2
оС
-l
12
cosip - 1
14
cos
ip
,
11'0
n2
2113
Si1l2ip
. h'f2
~
[
-iJ
12
cos
ip
- i1
14
cos
3у
]
Н(р,
'Р,
::;)
=
i---z-
~
Eoe-,k
j
il
11
SiIl
ip
- i1
14
sin
3у
.
Il'о
'1'
n2
-2110 -
113
cos 2«'
(3.68)
для
полноты
картины
мы
привели
также
магнитные
поля,
соответствующие
всем
Tpe~1
модам.
Они
могут
быть
получены
тем
же
образом
с
использованием
соответ
ствующего
параксиального
предела
Н
оо
,
в
котором
магнитное
поле
направлено
вдоль
оси.l/
Отметим,
что
только
функции
Бесселя
нулевого
порядка
обладают
ненулевым
значением
в
точке
нулевого
аргумента.
Вследствие
этого
только
(lO)-мода
обладает
продольной
компонентой
электрического
поля
(E
z
)
в
фокусе.
В
пределе
./'".
= 1
поля
(ОО)-моды
совпадают
с
решениями
Ричардса
и
Воль
фа
[1
О]
В
соответствии
с
соотношением
(3.56)
этот
предел
достигается
при
./'0
--->
::xJ,
что
означает
полное
перекрытие
выходной
диафрагмы
фокусирующей
линзы.
Эта
ситуация
подобна
той,
в
которой
на
линзу
падала
бы
плоская
волна.
На
рис.
3.9
пока
за
но
влияние фактора
перекрытия
на
степень
локализации
(удержания)
фокаль
ного
поля.
В
этих
при
мерах
мы
использовали
объектив
с
числовой
апертурой
1,4
и
коэффи
циентом
отражения
1,518,
что
соответствует
максимальному
рабочему
углу
68,960.
Очевидно,
что
фактор
перекрытия
важен
для
качества
фокального
пятна,
а
зна
чит.
и
для
разрешения
оптического
микроскопа.
Важно
отметить,
что
чем
сильнее
у:tержание
поля
в
фокусе
1),
тем
более
эллиптическим
становится
фокальное
пятно.
Если
в
параксиальном
приближении
пятно
является
идеально
круглым,
то
в
сильно
сфокусированных
полях
пятно
вытягивается
вдоль
направления
поляризации.
Это
наблюдение
имеет
важное
следствие:
если
нашей
целью
является
получение
высо
кого
разрешения
при
помощи
пространственно-локализованных
полей,
мы
должны
учитывать
их
векторную
природу.
Использование
скалярных
теорий
становится
недо
статочным.
На
рис.
3.10
показаны
схемы
линий
уровня
поля
для
электрического
поля
в
Сlучае,
когда
фактор
перекрытия
равен
10
=
1,
а
числовая
апертура
составляет
.УА
=
1.4.
На
рисунке
представлено
полное
поле
Е
2
в
плоскости
поляризации
падаю
шего
излучения
(.т,.I1)
и
в
перпендикулярной
к
ней
плоскости
(у,
z).
А
на
боковых
картинках
показаны
отдельные
компоненты
в
фокальной
плоскости
z =
О.
Отношение
~Iаксимальных
значений
таковы:
lllах[Е~]/
шах[Е~]
= 0,003,
шах[Е;]/
шах[Е~]
= 0,12.
ТаКИ~I
образом,
наибольшее
количество
энергии
электрического
поля сосредоточено
в
его
продольной
компоненте.
1)
Иногда
мы
будем
использовать
вместо
термина
<'удержание,>
термин
<,локализация».
-
Прu.иеч
пер
72
Гл
3
Распространение
и
фокусировка
оптических
nОАеil
х
17.2
fo
= 0,1
fo
=
О,
2
х
2,53
х
1,28
х
1
-1
-О.!')
О
0.5
1
-0.3
О
0.5
-О.!)
О
()
!i
.1·/Л,
у/л
х/л,
у/л
1/
л
.
.1//
л
Рис
3 9
Влияние
фактора
перекрытия
fo
выходной
диафрагмы
на
ширину
фокуса
Расс\lОТ
рена
линза
с
числовой
апертурой
NA
=
1,4
и
коэффициентом
отражения
1,518
На
РI1С~
нке
показана
величина
интенсивности
электрического
поля
[Е[2
в
фокаJlЫIOЙ
плоскости
: =
О
Пунктирные
кривые
вычислены
вдоль
оси
:r
(плоскости
поляризации),
а
сплошные
ВДО.1Ь
оси
у.
Все
кривые
отнормированы
по
амплитуде
Параметр
НОРМИРОВI{И
в
KOHKpeTHO~1
C.l~
чае
указан
на
каждом
из
рисунков
Чем
больше
фактор
перекрытия,
тем сильнее
различие
между
пунктирной
и
сплошной
кривыми,
что
указывает
на
возрастающее
при
ном
влияние
поляризационных
эффектов
г-l
l:J
••
У
••
Ll
х252
у.'
L.l
х8
Рис
3.10
а,
6 -
схема
линий
уровней
постоянного
[Е[2
в
фокальной
области
СфОl\усирован
ного
гауссова
пучка
(NA
=
1,4,
n =
1,518,
fo
=
1):
а
-
в
плоскости
поляризации
падающего
излучения
(х, У),
6 -
в
плоскости.
перпендикулярной
плоскости
поляризации
падающего
ИЗ.l~
чения
(у,
z)
Кривые
приведены
в
логарифмическом
масштабе,
соседние
кривые
соответствуют
величинам,
отличающимся
в
2
раза
На
рис
(в,
г,
д)
показана
величина
отдельных
I\ОШlOнент
поля
[Е
х
[2,
[Е
у
[2
И
[E
z
[2
соответственно
в
фокальной
плоскости
(~
=
О)
Масштаб
.пинеЙНЫI1