Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики
Подождите немного. Документ загружается.
2.11
Эван.есцен.тн.ые
поля
43
\'
.
[Со
1]
=
\1С
о
.
диадная
функция
Грина
G
может
быть
найдена
из
функции
СО
с
помощью
соотношения
(2.75)
в
виде
....
[+-+
1 ]
G(r,
г')
= 1 +
k!
\1
®
\1
Со(г,
г').
(2.85)
2.10.3.
Нестационарная
функция
Грина.
Можно
выделить
временную
зави
симость
в
волновых
уравнениях,
и
тогда
получающееся
гармоническое
уравнение
решается
очень
просто.
Монохроматическое
поле
может
быть
представлено
в
фор
ме
(2.24),
а
любое
произвольное
поле,
зависящее
от
времени,
может
быть
получено
при
преобразовании
Фурье
(как
сумма
монохроматических
полей).
Тем
не
менее
Д.1Я
изучения
сверхбыстрых
явлений
необходимо
сохранить
явный
вид
временной
зависимости.
В
этом
случае
мы
должны
обобщить
определения
А
и
Ф
следующим
образом
1):
8
Е(г,
t) = - 8t
А(г,
t) -
\1
ф(г,
t),
1
Н(г,
t) =
-\1
х
А(г,
t),
11-011-
(2.86)
(2.87)
что
позволяет
нам
найти
нестационарное
уравнение
Гельмгольца
в
лоренцевской
калибровке
(см.
(2.70»:
[
\12
-
n:
822]
А(г,
t)
=
-/-Lo/-Lj(r,
t). (2.88)
с
8t
Аналогичное
уравнение
справедливо
для
скалярного
потенциала
ф.
Определение
ска.lЯРНОЙ
функции
Грина
в
данном
случае
необходимо
обобщать:
[
\12
-
rl:
822]
Со(г,
г';
t,
t')
=
-б(г
-
г')б(t
- t'). (2.89)
с
8t
Точечный
источник
теперь
определен
во
времени
и
пространстве.
Решение
дЛЯ
СО
(СМ.
[1])
имеет
вид
8
(t'
-
[t
=f
~Ir
-
r'I])
C(rr'.tt')=
с
О
, "
47Гlг
- r'l '
(2.90)
Г.1.е
знак
«-.
связан
с
откликом,
возникающим
в
момент
t,
более
поздний,
чем
t'.
!::!спользуя
со,
мы
можем
построить
нестационарную
диадную
функцию
Грина
G(r.
г';
t.
(')
аналогично
тому,
как
мы
делали
это
ранее.
Так
как
в
большинстве
С.lучаев
мы
будем
работать
со
стационарными
функциями
Грина,
то не
станем
здесь
вдаваться
в
детали,
а
заинтересованного
читателя
отсылаем
к
специальной
литера
туре
по
электродинамике.
Работа
с
нестационарными
функциями
Грина
позволяет
вводить
произвольную
временную
зависимость,
однако
это
сильно
усложняет
учет
эффектов
дисперсии.
Нестационарные
процессы
в
диспергирующей
среде
удобнее
описывать
при
помощи
фурье-преобразования
монохроматического
поля.
2.11.
Эванесцентные
поля
Эванесцентные
поля
играют
главенствующую
роль
в
нанооптике.
Термин
«еvапеs
сепt»
происходит
от
латинского
evanescere
и
означает
исчезающий
из
вида
или
1)
Мы
предполагаем,
что
среда
является
недиспергирующей,
т.
е.
c(UJ)
=
с,
а
I1-(UJ)
=
11-.
-
Прu
.
..,еч
авт
44
Гл.
2.
Теоретическое
введение
незначumельный
).
Эванесцентные
поля
могут
быть
описаны
плоской
волной
вида
Eet{kr-wt).
Они
характеризуются
тем,
что
как
минимум
одна
из
компонент
волнового
вектора
k,
указывающая
на
направление
распространения
волны,
является
мнимой
величиной.
В
пространственном
направлении,
определяемом
мнимой
компонентой
k.
волна
не
распространяется
свободно,
а
затухает
экспоненциально.
Эванесцентные
по
ля
играют
огромную
роль
в
пони
мании
эффекта
удержания
оптических
полей
в
суб
волновом
диапазоне.
В
этом
разделе
мы
обсудим
основные
свойства
эванесцентных
полей
и
познакомим
читателя
с
простейшими
экспериментальными
устройствами.
позволяющими
их
создавать
и
измерять.
Эванесцентные
поля
никогда
не
возникают
в
однородной
среде.
а
всегда
связаны
со
взаимодействием
света
с
неоднородностями
[7].
Простейший
при
мер
неоднородно
сти
-
плоская
поверхность.
Рассмотрим
плоскую
волну,
падающую
на
плоскую
гра
ницу
раздела
двух
сред,
характеризуемых
оптическими
константами
E:)./I)
и
=;1./12
Как было
показано
в
разд.
2.8.1,
присутствие
границы
раздела
приводит
к
появлению
прошедшей
и
отраженной
волн,
амплитуды
и
направления
распространения
которых
определяются
коэффициентами
Френеля
и
законом
Снеллиуса
соответственно.
Для
вывода
эванесцентных
волн,
возникающих
в
эффекте
полного
внутреннего
отражения
от
поверхности
диэлектрической
среды,
воспользуемся
конфигурацией
волн,
показанной
на
рис.
2.2.
Пусть
ось
х
расположена
в
плоскости
падения.
Ис
пользуя
переменные,
введенные
в
разд.
2.8.1,
комплексный
вектор
прошедшей
волны
запишем
в
виде
[
-ЕiР)tР(kХ)kZ2Ik2]
Е,
~
E~:!:;~~~)/k,
с",
,м,,',
(2.91)
что
может
быть
выражено
исключительно
через
угол
падения
О)
с
использование1\)
соотношения
k
x
=
k)
sin(O)).
Подставляя
его
в
основное
уравнение,
получим
выраже
ние
для
продольных волновых
векторов
(см.
(2.46»:
(2.92)
где
мы
ввели
нормированный
показатель
преломления
-
ftIiil
n=
---о
JE:2J
L
2
(293)
Для
n>
1
с
увеличением
О)
подкоренное
выражение
в
формуле
для
k:"2
становится
все
меньше
и
меньше
и
в
конечном
итоге
обращается
в
отрицательную
величину
Критический
угол
ОС
может
быть
определен
при
помощи
соотношения
(294)
которое
описывает
отраженную
плоскую
волну
с
нулевым
волновым
вектором
в
на
правлении
z (k
z2
=
О).
Следовательно,
отраженная
плоская
волна
распространяется
параллельно
поверхности.
Рассматривая
это
соотношение
как
уравнение
для
Н.
по
лучим
ОС
= arcsill[lln].
(295)
1)
По
смыслу
этот
термин
близок
к
русскому
«затухаюшиЙь.
однако
мы
будем
ИСПОJlьзовать
слово
«эванесцентныЙь.
т
К
В
сфере
нанооптики
оно
указывает
на
особую
геометрию
задачи
и
по этой
причине
используется
русскоговорящим
научным
сообществом
-
Прuмеll
пер
2.11
Эван.есцен.mн.ые
поля
45
для
границы
раздела
стекло-воздух
на
оптических
частотах
мы
имеем
следую
щие
пара
метры
сред:
С2
=
1,
С\
= 2,25,
М\
=
М2
=
1,
откуда
для
критического
угла
ПО.lучаем
величину
ОС
=
41
,ВО.
для
углов
0\
>
ОС
величина
k
z2
становится
мнимой.
Записывая
прощедшее
поле
как
функцию
угла
падения
0\,
получим
Е
-
(эу~
( )
е~8шо,k'Хе-/'Z
[
-iЕ~р)tР(0\))Сii2sin20\
-1)]
..
2 -
Е\
t
P
01
'
E~p)tP(O\)n
sin
01
где
показатель
затухания
волны
'у
определяется
соотношением
'у
=
k2Vn2
sin
2
01
-
1.
а
б
--~----~
..
~--~--~X
(2.96)
(2.97)
Рис
2 4
Возбуждение
эванесцентного
поля
при
помощи
полного
внутреннего
отражения.
а
-
званесцентная
волна
создается
в
среде,
если
на
нее
падает
плоская
волна
с
углом
падения
fI, >
В,
.
б
-
реальная
схема
эксперимента
с
использованием
призмы
и
слабосфокусированного
гауссова
пучка
Это
соотношение
описывает
поле,
распространяющееся
вдоль
поверхности, но
затухающее
экспоненциально
при
распространении
вглубь
среды.
Таким
образом,
П.lОская
волна,
падающая
под
углом
()\
>
ОС,
создает
эванесцентное
поле.
Возбуж
дение
эванесцентной
волны
при
сверхкритическом
угле
(0\
>
ос)
называется
nол
ньи"
внутренним
отражением
(ПВО).
Для
рассмотренного
выше
случая
границы
стекло-воздух
при
угле
падения
0\
=
450
показатель
затухания
'у
=
2,22/
л.
Это
означает,
что
уже
на
глубине
Л/2
от
поверхности
усредненное
по
времени
поле
в
f
раз
меньше,
чем
на
поверхности.
А
на
глубине
~
2л
оно
становится
уже
пренебрежимо
малым.
Чем
больше
угол
падения
О"
тем
быстрее
будет
происходить
затухание.
Отметим,
что
коэффициенты
Френеля
зависят
от
0\.
Для
0\
>
ОС
они
становятся
мнимыми
величинами,
и,
следовательно,
фазы
отраженной
и
прошедшей
волн
сдвинуты
относительно
угла
падения.
Этот
фазовый
сдвиг
является
причи
ной
так
называемого
сдвига
Гуза-Хэнша
(Goos-Hanschen shift).
Кроме
того,
для
р-поляризованного
излучения
фазовый
сдвиг
при
водит
к
возникновению
эллипти
чески
поляризованного
эванесцентного
поля
с
волновым
вектором,
вращающимся
в
плоскости
падения
(см.,
например,
[В]
и
задачу
2.5).
Эванесцентные
поля,
описываемые
соотношением
(2.96),
могут
быть
получены
при
пропускании
светового
пучка
через
стеклянную
призму,
как
показано
на
схеме
(рис
2.4,6).
Экспериментальное
подтверждение существования
таких
быстрозатухаю
щих
полей
опирается
на
использование
прозрачных
тел,
толщина
которых
прибли
жается
к
величине,
меньшей
Л/2,
в
пределах
которой
существуют
затухающие
поля.
Как
показано
на
рис
2.5,
это
может
быть
достигнуто
использованием,
например,
46
Гл.
2.
Теоретическое
введение
тонкого
прозрачного
волокна,
которое
преобразует
эванесцентное
поле
в
основании
в
волноводную
моду,
распространяющуюся
вдоль
волокна
[9].
Такая
техника
измере-
3.0
2,5
2,0
"i'
~
1,5
Q.,
1,0
0,5
0,0
100
200
4<$0;
300
~...,.
400
о
Рис
2.5
Пространственная
модуляция
стоячей
званесцентной
волны
вдоль
направления
рас
пространения
двух
интерферируюuцих
волн
(ось
х)
и
спадение
интенсивности
вдоль
оси
:
По
оси
ординат
отложена
измеренная
MOUЦHOCTb
оптического
поля
[9]
ния
называется
фотонной
сканирующей
туннельной
микроскопей,
ее
рассмотрение
будет
предпринято
в
гл.
5.
4
6'3
11
:
"1
:
~2
:
.,
I--_~=
I
....
,;,
1
-----+-~
I
-_
:
.................
I
00~~~2~0~~4~0~~6~0~~~~
Угол
падения
81
[О]
Для
р-поляризованного
эванесцентного
поля интенсивность
может
достигать
вели
чин,
больших,
чем
входные
значения.
Для
то
го
чтобы
убедиться
в
этом,
положим
в
(2.96)
z =
О
и
запишем
отдельно
для
.'i-
и
р-поляризованных
волн
отношение
интен
сивностей
E2(Z
=
О)/Е.
(z
=
О).
Это
отно
шение
равно
модулю
квадрата
коэффициен
та
пропускания
Френеля
t
ll
·
H
•
Графики
этих
коэффициентов
представлены
на
рис
2.6
для
случая
границы
раздела
стекло-воздух
Рис.
2.6.
Усиление
интенсивности,
на-
Если
для
в-поляризации
мы
не
наблюдаем
блюдаемое
на
верхней
границе
стеклян-
эванесцентного
поля,
то
для
р-поляризации
ной
поверхности,
облучаемой
плоской
его
величина
в
4
раза
больше,
чем
вход-
волной,
при
изменении
угла
падения
81.
ная
интенсивность.
Максимальное
усиление
Для
р-поляризованной
волны
пик
усиле-
возникает
при
критическом
угле
ПВО.
Фи-
ния
находится
в
точке
критического
угла
зическая
причина
подобного
усиления
за-
8
е
= 41,8°,
что
отмечено
вертикальной
ключается
в
возникновении
поверхностной
прямой
поляризации,
возбуждаемой
падаюuцей
вол-
ной
и
подчиняющейся
граничными
условиям
(2.41).
Схожий
эффект
усиления,
TO.JJbKO
гораздо
более
сильный,
может
быть
получен,
если
на
границу
раздела
стекло-воздух
нанести
тонкую
пленку
благородного
металла.
В
таком
случае
могут
возбуждаться
поверхностные
плазмон-поляритоны.
В
гл.
12
мы
обсудим
это и
подобные
явления
более
подробно.
2.//.
Эванесценmные
поля
47
2.11.1.
Перенос
энергии
эванесцентным
ПОJlем.
Для
прозрачной
среды
при
угле
падения,
большем
критического,
вся
мощность
падающего
излучения
отра
жается.
Этот
эффект
также
называется
полным
внутренним
отражением.
И
это
естественно,
т.
к.
при
таком
отражении
от
поверхности
не
возникает
потерь
и
никакая
энергия
не
доставляется
в
среду,
от
которой
происходит
отражение.
Для
того
чтобы
убедиться
в
этом,
нам
необходимо
рассмотреть
усредненный
по
времени
поток
энергии
через
плоскость,
параллельную
границе
раздела.
Это
можно
сделать,
рассматривая
проекцию
на ось
z
вектора
Пойнтинга
(см.
(2.57»:
(S)z =
~Re
[БхН;
-
БуН;],
(2.98)
где
все
поля
берутся
из
верхней
среды,
т.
е.
среды
пропускания.
Применяя
уравнение
Максвелла
(2.25)
к
частному
случаю
плоской
волны,
мы
сможем
выразить
магнитное
поле
через
электрическое:
(2.99)
Подставляя
выражения
для
прошедших
волн
Е
и
Н
в
(2.98),
мы
показываем,
что
величина
(8):
пренебрежимо
мала
(задача
2.4)
и
что
макроскопическая
передача
энергии
в
направлении,
нормальном
к
поверхности,
отсутствует.
С
другой
стороны,
если
мы
рассмотрим
передачу
энергии
в
направлении
вдоль
поверхности,
то
получим
ненулевой
результат:
(8)./
=
!JC:IC:
2
sin01
(ltSI2IE(S)12
+
It
P
I
2
IE(p)
12)
e-
2
-yz.
2
J-L1J-L2
1 1
(2.100)
Таким
образом,
эванесцентные
поля
переносят
энергию
вдоль
поверхности
в
на
правлении
поперечного
волнового
вектора.
Отсутствие
макроскопического
потока
энергии по
нормали
к
поверхности
не
означает,
что
эванесцентное
поле
не
содержит
в
себе
энергии.
Например,
исполь
зуя
флуоресценцию
единичной
молекулы
в
качестве
зондирующего
устройства,
мы
можем
построить
распределение
локального
поля
1).
Скорость,
С
которой
флуорофор
испускает
фотон
под
действием
оптического электрического
поля,
может
быть
задана
выражением
(2.101)
где
11
-
дипольный
момент
молекулы.
Например,
для
в-поляризованного
излучения
скорость
флуоресценции
молекулы
сненулевым
дипольным
моментом,
направленным
вдоль
оси
у,
на
расстоянии
z
от
поверхности
будет
иметь
вид
(2.102)
затухая
в
два
раза
быстрее,
чем
само
электрическое
поле.
Отметим,
что
возбуждение
молекулы
возможно,
даже
если
усредненный
вектор
Пойнтинга
исчезающе
мал.
2.11.2.
Нарушенное
ПОJlное
внутреннее
отражение.
Если
эванесцентные
по
.1Я
взаимодействуют
с
веществом,
то
они
могут
быть
преобразованы
в
распростра
няющееся
излучение
[7].
Этот
эффект
является
одним
из
важнейших
в
оптической
микроскопии
ближнего
поля,
т.
к.
объясняет,
каким
образом
информация
о
субвол-
1)
Возбуждение
флуоресценции
единичной
молекулы
с
помощью
эванесцентных
волн
часто
используется
для
визуализации
биологических
объектов
Так
как
облучается
лишь
малая
часть
всего
образца.
фоновое
излучение
чрезвычайно
мало.
Эта
техника
известна
как
флуо
ресцентная
микроскопия
полного
внутреннего
отражения
(ФМПВО)
[10]
-
Примеч.
авm
48
Гл.
2.
Теоретическое
введение
новых
структурах
передается
в
дальнее
поле.
Обсудим
стоящую
за
этим
физику
на
при
мере
очень
простой
модели.
Плоская
поверхность
будет
использоваться,
как
и
ранее,
для
создания
эванесцентного
поля
посредством
ПВО.
Вторую,
параллельную
ей
плоскость
приблизим
к
первой
на
расстояние
d,
находящееся
в
пределах
харак
терной
длины
затухания
поля.
Возможный
способ
экспериментально
осуществить
такую ситуацию
-
использовать две
призмы
с
достаточно
плоскими
или
лишь
слегка
неплоскими
поверхностями,
как
показано
на
рис.
2.7,
б.
Эванесцентное
поле
в
ЭТО~I
случае
взаимодействует
со
второй
поверхностью
и
может
быть
частично
преобразо
вано
в
распространяющееся
поле.
Эта
ситуация
аналогична
квантовомеханическому
туннелированию
через
потенциальный
барьер.
Геометрия
задачи
показана
на
cxe~le
рис.
2.7,
а.
а
б
.~
(1
gз,lJt;J
С2,
/1-2
В
Х
рФ
.~
Рис.
2.7.
Прохождение
плоской
волны
через
систему
двух
параллельных
поверхностей
При
возникновении
нарушенного
полного
внутреннего
отражения
(НПВО)
эванесцентное
nO.le.
создаваемое
на
поверхности
В,
частично
преобразуется
в
распространяющуюся
волну
на.1
поверхностью
А
второй
среды
а
-
конфигурация
задачи
и
определение
ее
пара
метров.
А.
В
-
поверхности
между
средами
2, 3
и
1,
2
соответственно,
отраженные
волны
опущены
Д.1Я
ясности
рисунка,
б
-
схема
эксперимента
по
наблюдению
нарушенного
полного
внутреннего
отражения.
Поля
наиболее
удобно
записать
в
парциальных
терминах,
относящихся
к
каждои
среде.
Парциальные
поля,
относящиеся
к
средам
1
и
2,
представлены
в
виде
супер
позиции
падающей
и
отраженной
волн,
в
среде
3
мы
наблюдаем
только
прошедшую
волну.
Характер
распространения
этих
волн,
т. е.
являются
они
эванесцентными
или
распространяющимися,
в
каждой
из
трех сред
может
задаваться
посредством
продольного
волнового
вектора,
задаваемого
в
каждой
среде
по
аналогии
с
соотно
шением
(2.92).
Продольный
волновой
вектор
в
среде
с
номером
J
имеет
вид
k
z
)
=
Jk]
-
kfl
= k
j
Jl
- (k
l
/kj)2 sin
2
01
,
jE[I,2,3],
(2.103)
где
k
j
=
njk
O
= nj(c.v/c),
а
nj
= Jej/l-j.
В
дальнейшем
мы
рассмотрим
слоистую
систему
с
показателями
преломления
n2
<
nз
<
nl,
являющуюся
частным
случаем
схемы,
представленной
на
рис.
2.7.
Такая
слоистость
приводит
к
возникновению
трех
режимов
по
углу
падения,
в
которых
прошедшее
излучение
в
зависимости
от
величины
зазора
d
демонстрирует
различное
поведение:
1.
Для
01
< arcsin(
n2/nl)
или
kll
<
n2kO
поле
полностью
описывается
в
виде
распространяющихся
плоских
волн.
Интенсивность,
переданная
к
детектору,
2.11
Эванесценmные
поля
49
расположенному
вдали
от
второй
плоскости
(дальнее
поле),
не
будет
суще
ственно
изменяться
с
изменением
величины
зазора,
а
будет
лишь
демонстриро
вать
довольно
слабые
интерференционные
колебания.
2.
Для
случая
Itl"cHill(n2/'n\)
<
0\
<
аl"сsiп(nз/n\)
или
n2kO
<
kll
<
nзkо
парци
альное
поле,
относящееся
к
среде
2,
будет
затухающим,
но
в
среде
3 -
распространяющимся.
На
второй
поверхности
эванесцентое
поле
преобразуется
в
распространяющееся.
Интенсивность
излучения,
доходящего
до
удаленного
детектора,
резко
падает
с
увеличением
зазора.
Такая
ситуация
и
называется
нарушенным
полным
внутренним
отражением
(НПВО).
3.
Если
01
>
aI"Снill(nЗ/n\)
или
kl
l
>
nзkо,
волны
в
слоях
2
и
3
являются
эванес
центными
и
удаленный
детектор
не
получит
из
среды
3
никакого
сигнала.
Если
мы
выбрали
величину
0\,
как
в
пункте
(2),
чтобы
реализовал
ось
НПВО,
прошедшая
волна
с
интенсивностью
I(d)
будет
иметь
выраженную
спадающую
зави
СИI\lОСТЬ
от
расстояния
для
эванесцентных(ой)
волн(ы)
в
среде
2.
Тем
не
менее,
как
показано
на
рис.
2.8, I(d)
будет
отклоняться
от
чисто
экспоненциального
режима,
поскольку
поле
в
среде
2
представляет
собой
суперпозицию
двух
эванесцентных
волн
вида
(2.104)
Второе
слагаемое
возникает
в
силу
того,
что
первичная
эванесцентная
волна
(первое
слагаемое)
претерпевает
отражение
от
второй
поверхности,
а
его
амплитуда
«('~)
определяется
материальными
свойствами
среды.
Этот
простой
опыт
показывает,
что
в
оптических
экспериментах
по
ближнему
полю
зондирование
распределения
ПО.1Я
должно
быть
обязательным.
На
рис.
2.8
представлены
характерные
кривые
прохождения
излучения
для
двух
различных
углов
падения.
На
рисунке
также
показано.
что
затухание,
измеряемое
в
эффекте
НПВО,
отличается
от
простейшего
экспоненциального
вида.
В
следующем
разделе
мы
обсудим,
какую
роль
играют
эванесцентные
поля
в
строгом
теоретическом
описании
произвольных
оптических
полей
вблизи
источников
или границ
раздела
сред.
~атематическое
описание
их
значительно
сложнее,
чем
в
случае
плоских
волн,
Т.
к.
они
не
образуют
систему
ортогональных
функций.
1
...
-
.....
'"
".
"
"
.
..Q
t-
\
:-'.,,'
".."
.
t-
aJ
0.8
\
ос
u
u
,
........
_.
а
........
,...,.
о
:J:
е
0.6
,
ос
:s:
aJ
,
u
3
\
:J:
~
0.4
~
\
:J:
\
::s::
о
,
§'
О.2
в'
....
..........
О
О
0,2
0.4
0,6 0,8
1
d/).,
Рис
2 8
Прохождение
излучения
через
систему
из
трех сред
с
параллельными
границами
раздела
как
функция
величины
зазора
d
между
двумя
границами
В
системе
возбуждаются
P-ПО.1яризованные
плоские
волны
Коэффициенты
отражения
nl =
2,
n2
=
1,
nз
=
1,51
Такие
пара
метры
означают,
что
критические
углы
ее
составляют
300
и
49,250
Для
углов
падения
~lеж..1У
00
и
300
(а)
-
зависимость
интенсивности
от
величины
зазора
имеет
вид,
характерный
.1.1Я
интерференционной
кривой
(здесь
еl
=
00,
кривая
штрих-пунктир),
300
и
49,250
(6) -
прохождение
излучения
монотонно
спадает
с
увеличением
ширины
зазора
(здесь
еl
=
350,
сплошная
кривая),
в
-
интенсивность
эванесцентного
поля
в
отсутствие
третьей
среды
-!
Л
НОБОТНЫЙ.
Б
Хехг
50
Гл.
2.
Теоретическое
введение
2.12.
Угловое
спектральное
представление
оптических
полей
Угловое
спектральное
представление
--
это
математический
метод
описания
оп
тических
полей
в
однородных
средах.
Оптические
поля
ОПИСblваются
суперпозици
ей
плоских
и
эванесцеНТНblХ
волн,
являющихся
решениями
уравнений
Максвелла.
имеющими
физический
СМblСЛ.
Разложение
в
угловой
спектр
является
МОЩНbIМ
методом описания
распространения
и
фокусировки
света.
Кроме
того,
в
паракси
альном
приближении
описание
через
УГЛОВblе
распределения
окаЗbIвается
в
рамках
фурье-оптики,
имеющей
широкие
следствия.
Мы
будем
активно
использовать
уг
ЛОВbIе
распределения
в
гл.
3,
4
для
обсуждения
сильносфокусироваННbIХ
лазеРНbIХ
пучков
и
пределов
пространственного
разрешения.
При
помощи
УГЛОВbIХ
спектров
Мь!
поймем,
как
производится
разложение
в
ряд
произвольного
поля
С
меняющейся
амплитудой
и
направлением
распространения
по
плоским
(и
эванесцеНТНbIМ)
вол
нам.
Предположим,
что
Мь!
знаем
электрическое
поле
E(r)
в
произвольной
точке
пространства
r =
(х,
у,
z).
Например,
E(r)
может
бbIТЬ
решением
оптической
задачи
о
рассеянии,
как
показано
на
рис.
2.9,
таким
что
E(r) = E
inc
+
Е,саН.
В
картине
-+---z
Рис
2.9.
Угловое
распределение
полей,
ВbIчисленное
в
плоскости
Z =
COllst,
перпендикулярной
произвольно
выбранной
оси
Z
углового
спектра
нарисуем
произвольную
ось
z
И
рассмотрим
поле
Е
в
плоскости
z = const,
перпендикулярной
Вblбранной
оси.
В
этой
плоскости
произведем
двумерное
преобразование
Фурье
поля
Е:
00
E(k,r,ky;Z) =
4:2
J J
E(x,y,z)e-z(k,,rНIIУ)dхdу,
(2.105)
-00
где
х,
у
--
декартовЬ!
координаТbI,
а
k
x
,
k
y
--
соответствующие
пространствеННbIе
чаСТОТbI
или
координаТbI
в
обратном
пространстве.
Аналогично.
обратное
преобразо
вание
Фурье
дает
00
Е(х,
у,
z) = J J
E(k
x
,
k
y
;
z)et(k",:cHuY)
dk
з
dk
y
.
(2.106)
-00
Обратим
внимание,
что
стоящие
в
(2.105)
и
(2.106)
поле
Е
=
(Ea.Ey.E
z
)
и
его
фурье-образ
Е
=
(Е
х
,
Е
у
,
E
z
)
представляют
собой
векторы.
Таким
образом,
интеграЛbl
Фурье
справеДЛИВbI
в
отдельности
для
каждой
из
компонент
этих
векторов.
До
настоящего
времени
мь!
не
наклаДbIвали
никаких
ограничений
на
поле
Е,
а
теперь
предположим,
что
среда
в
поперечной
плоскости
2 /2
Угловое
спектральное
представление
оптических
полей
51
является
однородной, изотропной,
линейной
и не
содержит
источников
поля.
В
таком
с.1учае
монохроматическое
оптическое
поле
с
угловой
частотой
VJ
должно
удовлетво
рять
векторному
уравнению
Гельмгольца:
(2.107)
где
k =
(ш/(~}'/1
И
'1/
=
JJtё
-
показатель
преломления.
Для
того
чтобы
получить
зависящее
от
времени
решение
для
поля,
условимся
считать,
что
E(r,
t) = Re {E(r)e-u<lt}. (2.108)
Подставляя
фурье-разложение
поля
E(r)
(см.
2.106)
в
уравнение
Гельмгольца
и
определяя
где
Im(k
z
)
~
О,
найдем,
что
фурье-образ
Е
изменяется
вдоль
оси
z
по
закону
E(k
x
,
k
y
;
z)
=
E(k
x
,
k
y
; O)e±ik,z.
(2.109)
(2.110)
Знаки
«±.
указывают,
что
мы
имеем
два
решения:
знак
«+.
означает
волну,
ко
торая
распространяется
в
полупространство
z >
О,
в
то
время
как
знак
«-.
означает
во.1НУ,
которая
распространяется
в
полупространство
z <
о.
Соотношение
(2.110)
го
ворит
о том,
что
фурье-образ
Е
в
произвольной
плоскости
изображения,
описываю
щейся
условием
z =
COIlst,
может
быть
получен
умножением
спектра
в
плоскости
объекта;:;
=
О
на
множитель
ехр
±ikzZ.
Этот
множитель
называется
nроnагатором
в
обратном
пространстве.
В
соотношении
(2.109)
мы
определили,
что
квадратный
корень
для
k:
берется
только
с
положительным
значением.
Это
позволяет
учитывать
только
решения,
остающиеся
конечными
при
z --+
±оо.
Подставляя
(2.110)
в
(2.106),
окончательно
получим
соотношение
ос
E(:z:,
у,
z)
= f f
E(k
x
,
k
y
;
O)et(k",.r+kyy±k,z)
dk.[
dk
y
,
(2.111)
-00
которое
называется
спектральным
nредставлением
поля.
Аналогичным
образом
мы
можем
представить
магнитное
поле
в
виде
углового
спектра:
х
H(:l~, у,
z) = f f
H(k
x
,
k
y
;
O)e,(k.,x+kyy±k,z)
dk
x
dk
y
.
(2.112)
-ос
Используя
уравнения
Максвелла
Н
=
(iVJJ1J.LO)-1
('\1
Х
Е),
можно
найти
соотноше-
ние
между
фурье-спектрами
Е
и
Н:
Н,
=
Z;;/!}
[(ky/k)E
z
-
(kz/k)E
y
],
Ну
=
Z;;e
1
[(kz/k)E
x
-
(kx/k)E
z
],
(2.113)
-
-1
- -
H
z
=
Z/Le
[(kx/k)Ey -
(ky/k)E
x
],
где
Z/", =
vULJLo}/(E:E:o)
-
волновой
импеданс
среды.
Хотя
угловые
спектры
Е
и
Н
удовлетворяют
уравнению
Гельмгольца,
они
не
являются
строгими
решениями
уравнений
Максвелла.
Мы,
кроме
того,
должны
удовлетворить
требованиям
нулевой
дивергенции,
'\1.
Е
=
О
и
'\1.
Н
=
о.
Это
условие
ограничивает
вектор
k
только
направлениями,
перпендикулярными
спектральным
амплитудам
(k·
Е
=
k·
Н
=
О).
52
Гл.
2.
Теоретическое
введение
в
случае
чисто
диэлектрической
среды
без
потерь
коэффициен
r
преломления
11
является
действительной
положительной
величиной.
Волновой
вектор
":
в
TaKO~1
случае
может
быть
как
действительным,
так
и
мнимым,
превращая
множитель
ехр
±kzZ
либо
в
осциллирующую,
либо
в
затухающую
функцию.
Для
опредеJlенной
пары
(k
2
·,
k
y
)
мы
ПОJlучаем
два
характерных
решения:
ПJlоская
BOJlHa
эванесцентная
BOJlHa
e'(k,
.г+kуУ)
е±'
[k
o
[о,
e,(I.··T .T+k
y
Y)
е-'[I.·,
[[z[,
k
2 +
1.2
~
1.~
;1'
1'19
-....;:::
"',
,
2
.)
.)
1.-,
+
I.-~
> "-.
(2
114)
Таким
образом,
мы
удостовеРИJlИСЬ,
что
УГJlОВОЙ
спектр
действитеJlЬНО
ЯВJlяется
суперпозицией
ПJlОСКИХ
и
эванесцентных
BOJlH.
ПJlоские
волны
ЯВJlЯЮТСЯ
ОСЦИJlЛИ
рующими
функциями
ВДОJlЬ
оси
Z
И
ограничены
УСJlовием
k;
+
"~
::;;
"~
С
другой
стороны,
УСJlовие
k;
+
k~
> k
2
задает
режим
эванесцентных
BOJlH,
испытывающих
экспоненциаJlЬНЫЙ
спад
аМПJlИТУДЫ
ВДОJlЬ
оси
Z.
На
рис.
2.10
показано,
что
чем
БО,lЬ
ше
yroJl
между
вектором
k
и
осью
z,
тем
БОJlьшие
колебания
будут
наБJlюдаться
в
по
перечной
ПJlОСКОСТИ.
ПJlоская
BOJlHa,
распространяющаяся
в
напраВJlении
оси
:.
не
будет
давать
ОСЦИJlJlЯЦИЙ
в
поперечной
ПJlОСКОСТИ
(k;
+
k;
=
О),
а в
другом
преде.1Ь
ном
СJlучае,
BOJlHa,
распространяющаяся
под
прямым
yrJlOM
К
оси
z,
будет
совершать
самые
БОJlьшие
КОJlебания
в
поперечной
ПJlОСКОСТИ
(k;. +
k~
=
О).
Еще
БОJIeе
высокие
пространственные
частоты
возникают
в
СJlучае
эванесцентных
ПОJlеЙ.
Теоретически
может
быть
ПОJlучен
бесконечно
широкий
спектр
пространственных
частот.
Однако
чем
больше
пространственная
частота
эванесцентого
ПОJlЯ,
тем
быстрее
спадает
ПО.lе
ВДОJlЬ
оси
Z.
Поэтому
в
действитеJlЬНОСТИ
этот
спектр
все-таки
ограничен.
а
б
z
-
.Е
в
Плоские
/.:.11
ВОЛНЫ
'ЭваНССI\СНТНЫС
волны
Рис.
2
10
а
-
представление
плоской
волны,
распространяющейся
под
углом.,:;
к
оси
:.
б
-
иллюстрация
поперечных
пространственных
частот
плоских
волн,
падающих
под
раЗЛI1ЧIIЫ~111
углами.
Поперечный
волновой
вектор
(k;' +
/.:~)(1/2)
зависит
от
угла
падения
и
ограничен
диапазоном
[О,
....
/.:],
в
-
поперечные
волновые
векторы
плоских
волн
k,
и
k'l
наХО.1ЯТСЯ
внутри
круга
радиуса
/.:
Эванесцентные
волны
заполняют
всю
область
вне
круга
2.12.1.
Угловое
спектральное
представление
поля
диполя.
СИJlЬНО
лока.1И
зованные
источники, такие
как
диполи,
удобнее
всего
описывать
в
сферической
системе
координат.
Соответствующие
решения
BOJlHOBOrO
уравнения
называются
МУJlЫИПОJlЯМИ.
ДJlЯ
того
чтобы
поставить
эти
решения
в
соответствие
YfJlOBbI~1
распредеJlениям,
нам
необходимо
записать
ПОJlе
этих
источников
в
терминах
плоских
и
эванесцентных
BOJlH.
Начнем
с
векторного
потенциаJlа
А
ОСЦИJlJlирующего
ДИПО,lЯ.
ось
которого
напраВJlена
ВДОJlЬ
некоторой
ПРОИЗВОJlЬНОЙ
оси
z.
Векторный
потенциа.l
может
быть
записан
в
виде
одномерного
векторного
ПОJlЯ
(см.
(2.83)):
kZ
, •.
/'"+ч'+о"
-l'
е
е
у
.
А(х,
у,
z)
=
А(х,
у,
z)п
z
=
-4-1'-
.) .) .)
пz·
п
v:c-
+
у-
+
;::-
(2
115)