Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики
Подождите немного. Документ загружается.
212
Задачи
53
С
точностью
до
постоянного
множителя
выражение
в
правой
части
совпадает
со
ска.1ЯРНОЙ
функцией
Грина
(2.75).
В
соответствии
с
(2.67)
и
(2.82)
электрическое
и
!\Iагнитное
поля
могут
быть
получены
из
А
согласно
формулам
Е(:Б,
у,
z)
=
iw
[1
+
~2
\7\7.]
А(х,
у,
Z),
1
H(J:,;tj,
z)
=
р,Р,о
\7
х А(х,
у,
z).
(2.116)
(2.117)
Таким
образом,
электромагнитное
поле
диполя
может
быть
вычислено
исходя
из
функции
Pxp(thT/t·),
где
r =
Jx
2
+
у2
+
z2
-
радиус-вектор
диполя.
Для
того
чтобы
найти
угловое
распределение
электрического
и
магнитного
полей
диполя,
мы
J.О.1ЖНЫ
сначала
найти
спектр
функции
ехр
ikr
/Т.
ЭТО
не
такая
простая
задача,
поскольку
функция
cxp(ikt')/T'
имеет
сингулярность
в
точке
r =
О
и,
следовательно,
расходится
в
точке
расположения
диполя.
Следовательно,
однородное
уравнение
Ге.lьмгольца
в
данном
случае
неприменимо.
Однако
используя
комплексный
контур
интегрирования,
угловой
спектр
функции
exp(ikr)/r
все-таки
можно
получить.
Так
как
вывод
этой
формулы
легко
найти
в
других
учебниках
(например,
[11]),
мы
ограничимся
тем,
что
при
ведем
результат:
tJ..V,1+
11
2+.:::?
х
('
~
J J
.J;I:~
+
:ч
2
+ z2 =
271"
(2.118)
-х
Мы
должны
потребовать,
чтобы
действительная
и
мнимая
части
k
z
оставались
в
процессе
интегрирования
положительными
для
любых
значений
kr;
и
k
y
.
Соотно
шение
(2
118)
известно
как
тождество
Вейля
[12].
В
гл.
10
мы
будем
использовать
это
тождество
для
вычисления
излучения
диполя
вблизи
плоской
поверхности.
Задачи
2 1
Выведите
диадную
функцию
Грина
G
путем
подстановки
скалярной
функции
Грина
(;0
в
уравнение
(2.85).
Рассмотрите
характер
ее
зависимости
от
расстоя
ния
Ir
- r'l
2 2
Рассмотрите
границу
раздела
между
двумя
средами,
1
и
2,
с
диэлектрическими
постоянными
=1
= 2,25
и
С!
= 1
соответственно.
Магнитные
восприимчивости
равны
единице.
Пусть
р-поляризованная
плоская
волна
с
л
= 532
нм
падает
на
эту
границу
из
среды
1
под
углом
(}I.
Запишите
коэффициенты
Френеля
в
тер
~Iинах
амплитуды
А
и
фазы
ф.
Постройте
графики
зависимости
амплитуды
А
и
фазы
Ф
от
угла
(}I.
Как
будет
вести себя
отраженная
волна?
2
3.
Рассмотрите
отражение
плоской
волны
от
плоской
поверхности
и
выведите
законы
Снеллиуса,
используя
тот
факт,
что
поперечный
волновой
вектор
kll
остается
неизменным.
:2
4
Покажите,
что
;:-компонента
усредненного
по
времени
вектора
Пойнтинга
(S)z
равна
нулю
для
эванесцентного
поля,
распространяющегося
в
направлении
оси
.1'.
2 5
Проанализируйте
состояние
поляризации
эванесцентного
поля,
распространяю
щегося
в
направлении
оси
х,
которое
возникает
при
полном
внутреннем
отра
жении
р-поляризованной
волны.
Найдите
зависящее
от
времени
электрическое
поле
Е
2
(.I·,
t)
=
(Е
2
.
1
(:г,
t),
о,
Е
2
,Ах,
t»
только
на
поверхности
границы
(z =
О).
ДЛЯ
определенного
;/:
вектор
электрического
поля
Е2
описывает
кривую
в
плос
кости
(.1',:)
за
период
времени
от
момента
t =
О до
момента
л/с.
Найдите
54
Гл.
2.
Теоретическое
введение
и
постройте
эту
кривую
как
функцию
х.
Для
численных
расчетов
примите
(},
=600,
n=
1,5.
2.6.
Найдите
зависимость
интенсивности
прошедшего
света
для
системы
двух
стеклянных
полупространств
(n = 1,5),
разделенных
воздушной
прослойкой
(d)
от угла
падения
(},.
Вычислите
функцию
передачи
для
.о;-поляризованного
излучения.
Отнормируйте
функцию
передачи,
поделив
на результат
при
О,
=
О
Проделайте
то
же
для
р-поляризованного
излучения.
2.7.
Выведите
соотношение
(2.110),
подставляя
обратное
фурье-преобразование
от
(2.106)
в
уравнение
Гельмгольца
(2.107).
Исходите
из
того,
что
фурье-образ
в
плоскости
z =
О
известен.
2.8.
Используя
тождество
Вейля
(2.118),
получите
пространственный
спектр
E(k
x
,
k
y
; z)
электрического
диполя
в
точке
го
=
(О,
О,
zo)
с
дипольным
моментом
JI.
=
(/-L,
О,
О).
Рассмотрите
предел
z
---+
00
и
найдите
электрическое
поле
Е
Список
литературы
Jackson J
D.
Classical Electrodynamics -
New
York.
Wiley,
2nd
edn
.
1975
[Русск
пер
Джек
сон
Дж
Классическая
электродинамика
-
М
.
Мир.
1965
-
703
с
]
2.5tratton
J
А
Electromagnetic Theory -
New
York'
МсGгаw-НiII
1st
edn.
1941
[Русск
пер'
Стреттон
Дж
А.
Теория
электромагнетизма
-
М
ГИТТЛ.
1948
]
3
Воrn
М
and Wolf
Е
Principles
of
Optics -
New
York'
Cambridge University Press.
7th
edn
-
1999.
[Русск.
пер.:
Борн
М
..
Вольф
Э
Основы
оптики
-
М
Наука.
1970
-
720
с.]
4.
Yaghjian
A.D.
Electric
dyadic
Green's functions
in
the source
region
11
Ргос
IEEE
1980
V
68.
Р
248-263.
5.
Bladel
J.
V
Some
remarks
оп
Green's
dyadic
for
infinite space
11
IRE
Tгans
Antennas
Propag.
1961.
У.9
Р
563-566
6
Tai
С.
Т.
Dyadic
Green's Functions
in
Electгomagnetic
Theory -
New
Yoгk
1ЕЕЕ
Pгess.
2nd
edn
..
1993
7 Wolf
Е
and Nieto- Vesperinas
М
Analyticity
of
the angular spectrum amplitude
of
scatteгed
fields
and
some
of
its consequences
11
Opt. Soc.
Ат
А
1985.
V 2
Р.886-889
8.
5und
5., 5wanson J
..
and Axelrod
D.
Сеll
тетЬгапе
orientation visualized
Ьу
polaгized
total internal reflection fluorescence
/1
Biophys.
J.
1999
V
11
Р.2266-2283
9.
Meixner
А.,
Ворр
М.,
and Tarrach
а.
Direct measurement
of
standing
еvапеsсепt
\\'а\б
with
а
photon scanning tunneling
micгoscope
/1
Appl.
Opt
1994
V
33
Р
7995
10.
Axelrod
D,
Thompson N., and Burghardt
Т.
Total
internal reflection
fluoгescent
mi-
croscopy
1/
J Microsc.
1983.
У.129.
Р
19-28.
11.
Mandel
L.
and Wolf
Е.
Optica1
Coherence
and
Quantum Optics -
New
Yoгk
Cambгidge
Univeгsity
Press,
1995
[Русск
пер'
Мандель
л.,
Вольф
Э
Оптическая
когерентность
и
квантовая
оптика
-
М.:
Физматлит,
2000. -
896
с
]
12.
Weyl
Н.
АusЬгеimпg
еlеktгоmаgпеtisсhег
Wellen
tiber
einem
еЬепеп
Leiter
11
Апп
der
Physik
1919
V 60
Р
481-500.
Глава
3
РАСПРОСТРАНЕНИЕ
И
ФОКУСИРОВКА
ОПТИЧЕСКИХ
ПОЛЕЙ
в
этой
главе
мы
будем
использовать
угловое
спектральное
представление,
вы
веденное
в
разд.
2.12,
для
анализа
распределения
поля
в
сильносфокусированных
.1азерных
пучках.
Аналогичный
формализм
мы
применим
для
того,
чтобы
понять,
как
распределение
поля
в
заданной
интересующей
нас
плоскости
может
быть
передано
в
.1альнюю
зону.
Этот
анализ
важен
как
для
понимания
конфокальной
и
многофотон
ной
микроскопии
И
экспериментов
с
одним
источником,
так
и
для оценки
пределов
разрешения.
Кроме
того,
этот
формализм
задает
рамки
рассмотрения
различных
вопросов,
которые
будут
обсуждаться
в
дальнейших
главах.
3.1.
Пропагаторы
поля
В
разд.
2.12
было
показано,
что
в
однородном
пространстве
пространственный
спектр
Е
оптического
поля
Е
в
плоскости
z =
const
(плоскость
изображения)
од
нозначным
образом
задается
пространственным
распределением
в
другой
плоскости,
.:
=
О
(плоскость
объекта),
посредством
следующего
соотношения:
E(k,,, k
y
;
z)
=
H(k
x
,
k
y
; z)E(k
x
,
k
y
;
О),
(3.1)
где
Н
-
так
называемый
nроnагатор
поля
в
обратном
пространстве,
1 H(k
x
,
k
y
; z) =
e±tk.z
,1
(3.2)
также
называемый
оптической
функцией
переноса
в
свободном
пространстве.
На
ПОI\IНИМ,
что
продольный
волновой
BeKTof
является
функцией
поперечного
волнового
вектора,
а
именно:
k
z
=
[k
2
-
(k;
+ k
y
)Jl
/
2,
где
k =
nko
= nu;/c =
n21Г/Л.
Знак
<'±')
указывает
на
то,
что
поле
может
распространяться
как
в
положительном,
так
и
в
отрицательном
направлении
по
оси
z.
Уравнение
(3.1)
можно
рассмотреть
в
по-
нятиях
линейной
теории
отклика:
E(k
x
,
k
y
;
О)
-
сигнал
на
входе,
Н
-
аппаратная
функция
(фильтр),
E(k" k
y
;
z)
-
выходной
сигнал.
Аппаратная
функция
о~исывает
прохождение
произвольного
спектра
через
систему.
Кроме
того,
функцию
Н
можно
интерпретировать как
функцию
отклика,
т.
к.
она
описывает
поле
в
точке
z
исходя
из
его
значения
в
точке::;
=
о.
и
в
этом
смысле
она
напрямую
связана
с
функцией
Грина
G
Фильтр
Н
является
осциллирующей
функцией
для
(k;' +
k~)
< k
2
И
затухающей
экспоненциально для
(k; +
k~)
> k
2
.
Таким
образом,
если
плоскость
изображения
до
статочно
удалена
от
плоскости
объекта,
вклад
спадающих
слагаемых
(эванесцентных
по.lеЙ)
является
нулевым
и
пространство
интегрирования
может
быть
ограничено
кругом
(k; +
Ч) ~
k
2
.
Другими
словами,
изображение
в
точке
z
является
результа
том
обработки
фильтром
нижних
частот
исходного
объекта,
находящегося
в
точке
.:
=
о.
Пространственные
частоты
(k;' +
k~)
> k
2
исходного
поля
отфильтровываются
в
процессе
распространения,
и
информация
о
пространственных вариациях
поля
высокого
порядка
оказывается
утерянной.
Таким
образом,
всегда
имеет
место
потеря
56
Гл
3
Распространение
и
фокусировка
onmU'leCKUx
nолеи
информации
при
распространении
из
области
ближнего
поля
в
область
дальнего
поля,
и
только
структуры
с
продольной
размерностью
более
1
л
Ах
= - = -
(33)
k
27Гn
могут
быть
отображены
с
достаточной
точностью.
Здесь
11
-
коэффициент
преЛОI\I
ления.
Это
соотношение
является
качественным,
более
подробно
остановимся
на
нем
в
гл.
4.
В
целом
более
высокое
разрешение
может
быть
получено
при
помощи
больших
коэффициентов
преломления
входящих
в
систему
тел
(подложки,
линзы
и
т.д.)
или
при
помощи
более
коротких
волн.
Теоретически
разрешение
вплоть
до
нескольких нанометров
может
быть
получено
с
помощью
ультрафиолетового
или
рентгеновского
излучения.
Однако
рентгеновское
излучение
может
привести
к
разру
шению
некоторых
образцов.
И,
кроме
того,
в
этом
случае
мы
ограничены
неВЫСОКШI
качеством
линз,
поэтому
то
качество
изображения,
которое
мы
имеем
на
оптических
частотах,
здесь
недостижимо.
Основной
идеей
оптики
ближнего
поля
является
расширение
спектра
пространственных
частот
за
счет
удержания
информации
об
эванесцентных
компонентах
поля
источника.
Определим
теперь,
как
сами
поля
изменяются
в
процессе
распространения
д.1Я
этого
обозначим
поперечные координаты
в
плоскости
объекта
для::
=
О
как
(.1.1,
.1/),
а в
плоскости
изображения
z = const
как
(х,
у).
Поля
в
плоскости
изображения
опи
сываются
угловым
спектром
(2.111).
Нам
необходимо
лишь
выразить
фурье-спектр
E(k
x
,
k
y
;
О) в
терминах
поля
в
плоскости
объекта.
По
аналогии
с
соотношение~1
(2.105)
запишем
этот
фурье-спектр
в
виде
ос
E(k"ky;O)
=
4:2
f f
E(x',y',O)e-
'
(k,х'+А"у')(!.I"'(!у'.
(34)
-00
После
подстановки
в
(2.111)
найдем
выражение
для
поля
Е
в
плоскости
изображения
z = const:
х
ос
E(x,y,z)
=
4:2
f f
Е(х',у',О)
f f
el(kc(.l-х')+kу(У-У')±k,z)d:l.l(lу'(lk,(lkl/
=
-х
-х
=
Е(х,
у;
О)
*
Н
(.г,
.11;
::).
(35)
Это
соотношение
описывает
инвариантный фильтр
со
следующей
импульсной
функ
цией
отклика
(nроnагатор
в
nрям,ом,
пространстве):
00
H(x,y;z)
= f f
e-l(kсх+kу1J±kzz)dk,dА'I/'
(36)
-ос
Функция
l[
является
просто
обратным
фурье-образом
пропагатора
в
обратном
про
странстве
Н
(3.2).
Поле
в
плоскости
z = const
представляет
собой
свертку
Н
с
полеl\l
в
плоскости
z =
О.
3.2.
Параксиальное
приближение
для
оптических
полей
Во
многих
оптических
задачах
распространение
поля
происходит
вдоль
выделен
ного
направления
z,
а в
поперечном
направлении
оно
распространяется
лишь
незна
чительно.
Примерами
могут
служить
распространение
лазерных
пучков
и
оптоволо-
3 2
Параксиальное
приближение
для
оптических
полей
57
конные
приложения
В
этих
случаях
волновые
векторы
k =
(k.
1
,
k
y
,
k
z
)
в
представ
.1ении
углового
спектра
практически
параллельны
оси
Z,
а
поперечные
компоненты
ВО.1НОВОГО
вектора
(k,.,
k!J)
малы
по
сравнению
с
k.
В
силу
этого
квадратный
корень
в
соотношении
(2.109)
можно
разложить
в
ряд:
k:
=
kJl
-
(K~
+
k~)/k2
~
k _
(k~
~
k~).
(3.7)
Такое
приближение
называется
параксиальным,
оно
существенно
упрощает
ана
.1итическиЙ
расчет
интегралов
Фурье.
В
последующем
мы
будем
использовать
пара
к
сиальное
приближение
для
описания
слабосфокусированных
лазерных
пучков.
3.2.1.
Гауссовы
лазерные
пучки.
Рассмотрим
поле
в
перетяжке
гауссова пуч
ка.
обладающего
линейной
поляризацией,
_:z/'J.~yl?
Е(х',
у',
О)
=
Еое
ш
о
,
(3.8)
Г.1е
Ео
-
постоянный
вектор
поля,
перпендикулярный
плоскости
(х, у).
Выберем
начало
оси:;
(.::.
=
О) в
плоскости
перетяжки.
Пара
метр
Wo
означает
радиус
области
перетяжки
пучка.
Мы
можем
вычислить
пространственный
фурье-спектр
в
плоскости
: =
О
')
"х.
1'2+
12
.)
~
I f f
-!....:..I,jL
'[k
' k
']
w
2
(
..
2
k2)~
E(k
k'
О)
= -
Е
о
(>
"'0
e-
z
"
х
+
уУ
dx' dy' =
Е
о
-2.
е
-
~'.
+
у
4
",
11'
47Г
2
'
47Г'
(3.9)
-?(;
который
также
представляет
собой
гауссову
функцию.
Теперь
подставим
этот
спектр
в
угловое
спектральное
представление
(2.111)
и
заменим
k
z
на
его
параксиальное
представление
в
(3.7):
х
E(.I',Jj,.::.) =
Eo~~e'kZ
f f
e-(k~+k~){4+*)е'[k.Х+kУУ]dk.гdkу.
(3.10)
-х
Это
соотношение
можно
проинтегрировать,
в
результате
чего
получим
хорошо
3HaKOl\IOe
параксиальное
приближение
гауссова
пучка:
(
2
2)
Е
ikz
-
'"
+у
I
Е(.l:,
у,
:;) =
ое
е
u,~
(I+2iz/kwg)
•
(1
+
2iz/kw~)
(3.11)
Д.~я
того
чтобы
лучше
почувствовать
параксиальное
приближение
гауссова
пучка,
ПО.l0ЖИI\1
р2
=
.1:2
+ ;1/,
введем
новый
параметр
и
перепишем
соотношение
(3.11)
'-
kw~
zO=T
1)
f
('хр
(_(/,1·1
+ I
(М')
(1./' =
V7Г
/а
ехр (_Ь
2
/4а)
и
-'Х,
>(
(Охр
(-f/
/4(1)/(2(/:I/J) -
Примеч
авт
(3.12)
(3.13)
""
f
xexp(-ax
2
+zbx)dx
zb.fiГ
х
-ос
58
Гл.
3.
Распространение
и
фокусировка
оптических
полей
где
введены
следующие
обозначения:
w(z) =
wo(1
+ z2/
z6
)1/2
R(z) =
z(1
+ z2/
z6
)
ТJ(z)
= arctgz/zo
-
радиус
пучка,
-
радиус
волнового
фронта,
-
фазовый
сдвиг.
(3.14)
Поперечный
размер
пучка,
как
правило,
определяется
величиной
{!
=
//.2
+
.1/'.
.
на
которой
поле
падает
в
е
раз
по
сравнению
со
значением
в
центре
пучка:
IE(x,
у,
z)I/IE(O,
О,
z)1
=
l/е.
(3.15)
Можно
показать,
что
поверхность,
задаваемая
этим
соотношением,
является
гипер
болоидом,
асимптоты
которого
образуют
угол
()
= _2_
kWQ
(3
16)
с
осью
z.
Из
этого
соотношения
мы
можем
напрямую
получить
связь
между
числовой
апертурой
(NA
=
nsill())
и
углом
раскрытия
пучка
в
виде
NA
~
2n/kI/!0,
Здесь
мы
воспользовались
тем,
что
в
параксиальном
приближении
угол
(}
ограничен
неБОJ1Ь
шими
углами
пучка.
Еще
одно
свойство
параксиальных
гауссовых
пучков
заключается
в
том,
что
вбли
зи
фокуса
пучок
является
почти
коллимированным
в
пределах
области
размера
2':0
Расстояние
Zo
называется
областью
перетяжки
1)
и
представляет
собой расстояние
от
перетяжки,
на
котором
радиус
пучка
увеличивается
на
величину
v2
Важно
отметить,
что
вдоль
оси
z
(р
=
О)
фазы
пучка
изменяются
не
по
закону
плоской
волны.
Если
при
z
.......
-00
пучок
находился
в
фазе
с
реперной
плоской
волной,
то
он
достоверно
не
будет
совпадать
с
ней
по
фазе
при
z
.......
00.
Этот
фазовый
сдвиг
называется
фазовым
сдвигом
Гюи
и
имеет
практические
приложения
внелинейной
конфокальной
микроскопии
[1].
Сдвиг
на
1800
происходит
при
прохождении
пучка
через
фокус.
Вариация
фазы
описывается
в
соотношении
(3.14)
фактором
/}(.:)
Че~1
уже
фокусное
расстояние,
тем
быстрее
набирается
изменение
фазы.
Качественное
изображение
параксиального
гауссова
пучка
и
некоторые
его
свой
ства
показаны
на
рис.
3.1,
а
более
подробное
описание
можно
найти
в
учебни
ках
[2,
3].
Важно
иметь
в
виду,
что
как только
мы
ввели
параксиальное
прибли
жение,
поле
Е
более
не
удовлетворяет
уравнениям
Максвелла
Различие
становится
IEI
--~---+~~--~p
Рис.
3.1.
Изображение
и
основные
свойства
параксиальных
гауссовых
пучков
Поле
в
попереч
ном
направлении
имеет
гауссово
распределение.
Поверхности
постоянной
силы
поля
образуют
гиперболоиды
вдоль
оси
2
1)
Авторы
используют
термин,
который
не
принято
использовать
в
русскоязычной
литера
туре,
-
диапазон
Рэлея
-
Примеч
пер
3.2
Параксиальное
приближение
для
оптических
полей
59
Te~1
больше, чем
меньше
величина
перетяжки
'Шо.
А
когда
'Шо
становится
сравнимой
с
ве,lИЧИНОЙ
Л/II,
мы
должны
включить
слагаемые
более
высокого
порядка
по
k
z
в
уравнение
(3.7).
Однако
для
сильно
сфокусированных
пучков
это
разложение
сходится
очень
плохо,
и
мы
вынуждены
искать
более
точные
способы
описания.
Мы
вернемся
к
этой
теме
позднее.
другой
важной
особенностью
гауссовых
пучков
является
тот
факт,
что
в
природе
их
не
существует,
вне
зависимости
от
того,
насколько
строгая
теория
их
описывает!
Причина
в
том,
что
гауссов
профиль
однозначно
предполагает
наличие
гауссова
спектра.
но
гауссов
профиль
простирается
от
минус
до
плюс
бесконечности
и,
значит,
содержит
в
себе
компоненты,
которые
недостижимы
в
реальной
ситуации.
Таким
образом,
к
гауссовым
пучкам
всегда
необходимо
относиться
как
к
приближению.
Чем уже
перетяжка,
тем
шире
гауссов
спектр
и
тем
более
проблематично
описывать
профиль
гауссовым
пучком.
Тем
не
менее
часто
не
имеет
смысла
учитывать
поправки
к
параксиальному
приближению,
имеющие
более
высокий
порядок.
3.2.2.
Лазерные
моды
более
высокого
порядка.
Лазерный
пучок
может
суще
ствовать
в
различных
поперечных
модах.
Какова
будет
поперечная
мода
излученного
света.
определяется
свойствами
резонатора.
Обычно,
когда
необходимо
учитывать
БО.lее
высокие
моды,
говорят
о
эрмитово-гауссовых
и
лагеррово-гауссовых
пучках
1).
Первые
формируются
в
резонаторах
с
прямоугольными
концевыми
зеркалами,
а
вторые
наблюдаются
в
резонаторах
в
круглыми
концевыми
зеркалами.
В
поперечной
П.l0СКОСТИ
поля этих
мод
распространяются
на
большие
расстояния,
а
фаза
стано
вится
знакопеременной.
Так
как
основная
гауссова
мода
является
решением
линейного
однородного
диф
ференциального
уравнения
в
частных
производных,
а
именно
уравнения
Гельмголь
ца.
то
Jlюбая
комбинация
пространственных
производных
основной
моды
также
явля
ется
решением
этого
уравнения.
Заудерер
[4]
отметил,
что
эрмитова мода
Е{[т
может
быть
получена
из
основной
моды
(гауссова
пучка
-
Примеч.
пер.)
Е
следующим
образом.
Е
Н
(.
~)
-
n+т
д
"
д
т
Е(
) (3 17)
'11"
з"
у,
~
-
'Ш
о
дх"
дут
х,
у,
z , .
где
11.111
означают
порядок
и
степень
пучка.
Моду
Лагерра-Гаусса
E~т
можно
ПО,lУЧИТЬ
аналогичным
образом:
~
(д
д)т
,
Е/'
(1'
'1'1
-)
=
k"ll,21+m
e
,kz_
-
+,;-
(Е(х
у
z)e-·
kz
)
11111
.',
.1'
~ О
aZ
n
дх •
ду
, , .
(3.18)
Таким
образом,
любые
моды
высокого
порядка
могут
быть
получены
при
помо
щи
(3.17)
и
(3.18).
Можно
показать,
что
лагерровы
моды
могут
быть
получены
как
резу.lыат
суперпозиции
конечного
числа
эрмитовых
мод,
и наоборот.
Таким
образом,
эти
два
набора
мод
не
являются
независимыми.
Отметим,
что
пара
метр
'Шо
представ
.1яет
собой
радиус
перетяжки
только
для
гауссовых
пучков
и
что
Ео
для
мод
более
высокого
порядка
не
соответствует
величине
поля
в
фокальной
точке.
На
рис.
3.2
показаны
поля
в
фокальной
плоскости
(z =
О)
дЛЯ
первых
четырех
эрмитовых
мод.
Стрелками
показано,
что
поляризации
в
каждом
отдельном
максимуме
находятся
.1ибо
в
фазе,
либо
в
противофазе.
Часто
возникающие
тороидальные
моды
с
круговым
профилем
интенсивности
описываются
суперпозицией
эрмитовых
и
лагерровых
мод.
Линейно-поляризованные
тороидальные
моды
описываются
двумя
модами:
Еб'1
и
Erl'
Азимутально-поляри-
1)
в
дальнейшем
для
краткости
будем
называть
эти
пучки
эрмитовыми
И
лагерровыми.
-
При.чеч
пер
60
Гл.
3.
Распространение
и
фокусировка
оптических
nолеи
а
t
х
+-У
в
Рис
3.2.
Интенсивность
(!Е
2
!)
в
фокальной
плоскости
(z
=
О)
первых
четырех
эрмитовых
мод:
а
-
(ОО)-мода
(гауссова
мода),
б
-
(10)-мода,
в
-
(Оl)-мода,
г
-
(11)-мода
Длина
волны
и
угол
пучка
л
= 800
нм
И
()
= 28,650
соответственно
Стрелки
указывают
направление
поляризации
в
каждом
из
лепестков
Масштабирование
графика
линейное
зованные
тороидальные
моды
являются
суперпозицией
двух
перпендикулярно
по
ляризованных
полей
~M,
а
тороидальная
мода
с
круговой
поляризацией
является
суперпозицией
двух
перпендикулярно
поляризованных
полей
E~
3.2.3.
Продольные
поля
в
фокальной
области.
Параксиальный
гауссов
пучок
является
поперечным
электромагнитным
пучком (ТЕМ),
т.
е.
предполагается,
что
электрическое
и
магнитное
поля
всегда
перпендикулярны
направлению
распростра
нения.
Однако
в
свободном
пространстве только
точные
ТЕМ-решения
представ
ляют
собой
поля,
простирающиеся
до
бесконечности,
такие
как
плоская
волна
Следовательно,
даже
гауссов
пучок
должен
обладать
компонентами
поляризации
вдоль
направления
распространения.
Чтобы
оценить
эти
продольные
поля,
применим
соотношение
для
дивергенции
'V
.
~
=
О
к
гауссовому
пучку,
поляризованному
BДO~lЬ
оси
Х,
т.
е.
(3
19)
Поле
E
z
может
быть
найдено
с
использованием
углового
спектра
параксиального
гауссова
пучка
(3.10).
В
фокальной
плоскости
получим
Ez(X,
у,
О)
=
-i
2Х
2
Е.г(х,
у,
О),
(3.20)
kwo
где
компонента
Еж
соответствует
пучку
с
гауссовым
профилем,
определяемым
(38)
Множитель
в
правой
части,
стоящий
перед
полем,
указывает
на
то,
что
фаза
продольной
компоненты
имеет
сдвиг
900
по
отношению
к
фазе
поперечного
ПО.1Я
и
что
полное
поле
равно
нулю
на
оптической
оси.
Величина
зависит
от
степени
3 2
Параксиальное
приближение
для
оптических
полей
61
{/
б
Рис
33
Поля
гауссова
пучка,
изображенные
в
плоскости
поляризации
(х,
у)
Длина
волны
и
уго.l
пучка
Л
=
800
нм
И
()
=
28,650
соответственно
а
-
зависящая
от
времени
плотность
~lOщности.
б
-
полная
интенсивность
электрического
поля
(IE
2
1);
в
-
интенсивность
продоль-
ной
компоненты
поля
(IE~I)
Масштабирование
рисунка
линейное
...
{/
..
..
•
х3
1
мкм
Рис
34
Поля
эрмитового
пучка,
(lO)-мода.
Масштабирование
и
прочие
пара
метры
как
на
рис
3.3
62
Гл
3.
Распространение
и
фокусировка
оптических
полей
локализованности
фокуса.
На
рис.
3.3, 3.4
показаны
расчеты
распределений
полного
и
поперечного
электрических
полей
для
гауссова
и
эрмитова
((IO)-мода)
пучков
соответственно.
Поскольку
продольная
компонента
на
оптической
оси
гауссова
пучка
всегда
равна
нулю,
она
имеет
два
лепестка
по
обе
стороны
оптической
оси.
Так
как
рисунок
показывает
поперечное
сечение,
проходящее
через
перетяжку
пучка.
лепестки
вытянуты
вдоль
направления
поляризации.
Продольное
электрическое
ПО.пе
эрмитовой
(lO)-моды,
напротив,
имеет
максимум
в
фокусе
пучка,
и
сила
поля
там
значительно
больше.
Качественно
отличное
поведение
этой
продольной
компоненты
следует
из
дефазировки
в
1800
и
поляризации
двух
соответствующих
максимумов.
показанной
на
рис.
3.2,
т.
к.
суперпозиция
двух
одинаково
поляризованных
плоских
волн,
распространяющихся
под
углами
±<р к
оси
z
и
имеющих
разность
фаз
180
С
•
всегда
приводит
к
появлению
продольной
компоненты.
Продольное
поле
эрмитовых
пучков
предлагалось
использовать
для
ускорения
заряженных
частиц
вдоль
оси
пучка
в
линейных
ускорителях
частиц
[5].
Продольное
поле
(1O)-моды
применялось
также
для
визуализации
пространственной
ориентации
диполей
на
молекулярных
переходах
[6,
7].
В
целом
(lO)-мода
необходима
во
всех
экспериментах,
требующих
наличия
продольной
компоненты
поля.
В
разд.
3.6
мы
увидим,
как
можно
при
помощи
продольной
компоненты
сильно
сфокусированного
поля
лазерного
пучка
высокой
моды
даже
усилить
напряженность
поперечного
поля.
3.3.
Поляризованные
злектрические
и
магнитные
поля
Если
мы
пропустим
оптический
пучок
через
поляризатор,
то
тем
самым
вырежем
из
него
одну
из
двух
поперечных
компонент.
Прошедшее
поле
называется
электрu
чески
поляризованным.
На
самом
деле,
любое
распространяющееся
оптическое
поле
можно
разложить
на
электрически-поляризованное
(РЕ)
и
магнитно-поляризованное
(Р
А!)
поля
Е
=
ЕРЕ
+
Е
РМ
.
(3.21)
в
РЕ-полях
электрическое
поле
является
линейно-поляризованным
в
попереч
ной
направлению
распространения
плоскости.
По
аналогии
в
Р
1\1
-полях
магнит
ное
поле
является
линейно-поляризованным
в
поперечной
направлению
распро
странения
плоскости.
Рассмотрим
сначала
РЕ-поле,
для
которого
можно
записать'
ЕРЕ
=
(Е
х
,
О,
E
z
).
Удовлетворяя
условию
нулевой
дивергенции
('\7.
ЕРЕ
=
О).
по-
лучим
~
k
~
E
z
(k
x
, k
y
;
О)
= -
k:
Ex(k
x
, k
y
;
О),
(322)
что
позволяет
выразить
поля
ЕРЕ,
иРЕ
В
виде
ос
EPE(x,y,z)
= f f
.в.,,(kх,kу;О);)kzn
х
-kхnz]е~[klх+kуУ±k:z)(lk,(lkу,
(3.23)
-00
ос
ИРЕ(х,
у,
z)
=
Z;ё
1
f f
Ex(k
x
, k
y
;
О)
k~z
[-kxkyn
x
+
(k~
+
k;)n
y
-
-00
- kykznz]e'[k,x+kIlY±A:z)(lk,flklJ'
(3.24)
где
n
x
,
n
y
, n
z
-
единичные
векторы
вдоль
осей
х,
у,
z.
Чтобы
получить
выражение
для
иРЕ,
мы
воспользовались
соотношением
(2.113).