Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики

Подождите немного. Документ загружается.

1.3

Структура

книги

ка

фотонов

не

единственный

ограничивающий

фактор,

связанный

разрешением.

д.1Я

того

чтобы

было

возможно

провести

измерение,

этот

поток

фотонов

должен

быть

детектируемым,

е.

обладать

не

которой

минимальной

интенсивностью.

Эти

два

требования

не

котором

смысле

противоречат

друг

другу,

поэтому

мы

вынуждены

отыскивать

компромисс

между

удержанием,

или

локализацией,

света

его

выходом.

1.3.

Структура

книги

Сфера

исследований

оптики

всегда

включала

себя

как

фундаментальные

во

просы

(например,

квантовую

оптику),

так

прикладные

(например,

проблемы

пе

редачи

информации

вычислительных

устройств).

Нанооптика также

может

быть

представлена

виде

широкого

спектра

исследований

от

приложений

области

нанотехнологий

до

фундаментальной

нанонауки.

точки

зрения

нанотехнологий,

мы

имеем

дело

такими

темами,

как

нанолито

графия.

прецизионная

оптическая

микроскопия

(микроскопия

высокого

разрешения)

проблемы

сверхплотного

хранения

информации.

точки

зрения

фундаменталь

ных

аспектов,

мы

должны

отметить

атомно-фотонные

взаимодействия

оптическом

б.1Ижнем

поле,

их

возможные

приложения

проблеме

захвата

атомов

эксперименты

по

управлению

ими.

По

сравнению

со

свободно

распространяющимся

светом

картина

оптического

ближнего

поля

представляется

более

сложной,

т.

к.

требует

введения

так

называемых

виртуальных

фотонов,

отвечающих

упомянутым

выше

экспоненциально

затухаюшим

полям.

Введение

формализма

виртуальных

фотонов

может

быть

исполь

зовано

для

описания

локальных

нераспространяющихся

полей

целом.

Подобные

виртуальные

фотоны

являются

частицами

того

же

типа,

что

те,

которые

отвечают

за

связи

молекуле

(силы

Ван-дер-Ваальса

Казимира),

и,

таким

образом,

они

могут

быть

использованы

для

селективного

зондирования

внутримолекулярной

структуры.

Введение

квантовую

оптику

формализма

виртуальных

фотонов

расширит

область

фундаментальных

экспериментов

создаст

новые

приложения.

Настоящая

книга

представляет

собой

введение

нанооптику,

охватывающее

все

области

ее

исследова

ний,

от

прикладных

до

фундаментальных.

Схематично

они

представлены

на

рис.

1.2.

начале

книги

мы

описываем

теоретические

основы

нанооптики.

Уравнения

Максвелла,

инвариантные

относительно

преобразований

пространства,

составляют

надежную

основу

для

развития

теоретического

подхода

нанооптике.

Так

как

опти

ческие

ближние

поля

всегда

связаны

веществом,

мы

приводим

обзор

соответству

юших

материальных

уравнений,

также

комплексных

диэлектрических

постоянных.

Исследуемые

контексте

нанооптики

системы, как

будет

видно

из

дальнейшего

из

.10жения,

состоят

из

нескольких

пространственных

доменов,

разделенных

границами.

ПОЭТОМУ

выводим

уравнения

Максвелла

виде,

справедливом

лишь

однород

ной

среде,

соответствующие

граничные

условия.

Дальнейшее

рассмотрение

связано

такими

фундаментальными

аспектами

теории,

как

функция

Грина

угловое

спек

тральное

представление,

особенно

удобное,

когда

речь

заходит

нанооптических

ЯВ.1ениях.

Подход,

использующий

угловое

спектральное

представление,

ведет нас

дальнейшему

изложению

вопроса

эванесцентных

волн,

связанных

только

что

УПОI\IЯНУТЫМИ

виртуальными

фотонами.

Локализация

света

является

ключевой

темой

нанооптики.

Для

того

чтобы

зало

жить

основу

дальнейшего

обсуждения

гл.

мы

анализируем

вопрос

том,

какова

наИ~lеньшая

предельная

область

удержания

света,

которая

может

быть

достигнута

К.1ассическим

способом,

т.

е.

при

помощи

объектива

микроскопа

другой

апертурной

фокусирующей

оптики

высокого

порядка.

Начиная

рассмотрения

сфокусированных

полей

параксиальном

приближении,

приводящем

хорошо

известным

гауссовым

пучкам.

мы

переходим

затем

рассмотрению

сфокусированных

полей,

находящихся

Гл

Введение

Взаимодействие

света

наиоразмерными

системами:

поглощение/испускание

света

искусственные

квантовые

структуры

(точки,

нити,

ямы)

Оптическое

взаимодействие

между

иаиосистемами:

перенос

энергии

Фёрстсра

связанные

возбуждения

(1КСИlоны)

оптические

ловушки

силы

Bah-дер-ВаальсаjКазимира

фотонно-кристаллические

структуры

молекулы/белки

Резонансные

явления

НАНООПТИКА

Теоретические

методы:

представление

поля

через

угловой

спектр

метод

взаимодействуюших

мультиполей

метод

функции

Грина

Дифракционный

предел

света:

запирание

(локализация)

света

апертуры,

головки,

волокна

-----

- плазмоны

поверхностные

ФОТОII-ПОJlЯРИТОНЫ

микрорезонаl0РЫ

Сильно

сфокусированный

свет:

конфокальная

микроскопия

многофотонная

микроскопия

оптическая

микроскопия

ближнего

поля

Рис.

1.2.

Вопросы,

составляющие

сферу

исследований

нанооптики

за

пределами

параксиального

приближения,

которые

возникают

современных

кон

фокальных

микроскопах.

Говоря

микроскопии,

мы

приходи

тому,

что

ключевым

вопросом

этой

области

является

проблема

пространственного

разрешения.

Существует

несколь

ко

определений

пространственного

разрешения

оптического

микроскопа,

связанных

дифракционным

пределом.

Их

анализ

(см.

гл.

ведет

обсуждению

методов

повышения

пространственного

разрешения

оптического микроскопа.

Обсуждаются

эффекты

насыщения,

также

разница

между

точностью

пространственного

позицио

нирования

разрешением.

Следующие

три

главы

посвящены

более

практически

аспектам

нанооптики.

связанным

приложениями

области

оптической

микроскопии

ближнего

поля

гл.

мы

обсуждаем

основные

технические

реализации

микроскопов

высокого

разрешения,

начиная

конфокального

микроскопа

переходя

затем

различным

вариантам

методик

ближнего

поля,

разработанным

за

прошедшее

время.

И,

таким

образом,

гл.

посвящена

центральному

техническому

вопросу:

как

свет

может

быть

сжат

до

субволновой

области?

Это

сфера

так

называемых

оптических

зондов.

таких

материальных

объектов,

которые,

как

правило,

имеют форму

узконаправленной

головки

и на

своем

острие

создают

локализованное

усиленное

оптическое

поле

завершение

рассмотрения

технических

вопросов

мы

рассказываем

том,

как

эти

Мы

будем

использовать

преимущественно

термин

*головка..

хотя

используют

также

слово

«игла.

«тип.

Примеч

пер.

1 3

Структура

книги

тонкие

устройства

могут

быть

приближены

исследуемой

поверхности

переме

щаемы

вдоль

нее.

Мы

представляем

обсуждаем

метод,

основанный

на

измерении

СИ.l

взаимодействия

(сил

скольжения)

между

зондом

объектом.

совокупности

эти

три

главы

обеспечивают

технический

базис

понимания

современных

методов,

используемых

сканирующей

микроскопии

ближнего

поля.

Затем

мы

вновь

возвращаемся

обсуждению

фундаментальных

аспектов

нано

оптики,

таким

как

испускание

света

оптическое

взаимодействие

на

нанометровом

диапазоне.

Для

начала

мы

показываем,

что

испускание

света

нанометровым

объ

ектом

(атомом,

молекулой),

возникающее

при

электронных

переходах,

может

быть

рассмотрено

рамках

дипольного

приближения.

Мы

детально

рассматриваем

ре

ЗУ.lьтирующее

поле

излучающего

диполя

его

взаимодействие

электромагнитным

ПО,lем.

Дальнейшее

рассмотрение

связано

со

спонтанным

распадом

сложных

систем

конечном

итоге

сводится

рассмотрению

диполь-дипольного

взаимодействия,

переноса

энергии

образования

экситонных

пар.

Завершив

обсуждение

дипольных

излучателей,

том

числе

их

физической

реали

зации

материальном

мире,

мы

переходим

гл.

некоторым

экспериментальным

аспектам

детектирования

излучения

квантовых

объектов,

таких

как

одиночные

флуо

ресцентные

молекулы

полупроводниковые

квантовые

точки.

Наряду

вопросами

насыщении

скорости

счета

решением

скоростных

уравнений,

мы

обсуждаем

такие

интереснейшие

вопросы,

как

не

классическая

статистика

фотонов,

излученных

кван

товым

излучателем,

когерентный

контроль

над

волновой

функцией.

заключение

:\IbI

показываем,

как

квантовые

излучатели могут

быть

использованы

для

детального

топографирования

локализованных

полей.

гл.

мы

возвращаемся

вопросу

дипольном

излучении

нанометровом

окру

жении

Здесь

детально

рассматривается

очень

важный

для

иллюстрации

основных

законов

случай

дипольного

излучения

вблизи

плоской

поверхности;

рассчитывается

диаграмма

направленности

излучения

скорость

релаксации

дипольных

излучате

,1еЙ.

также

обсуждается

приближение

диполь-изображение,

которое

может

быть

использовано

для

получения

приближенных

результатов.

Если

вместо

одной

рассмотреть

множество

поверхностей,

образующих

регуляр

ную

структуру,

мы

получим

так

называемый

фотонный

кристалл.

Свойства

такого

объекта

могут

быть

описаны

по

аналогии

формализмом

физики

твердого

тела

путем

введения

оптической

зонной

структуры,

которая

может

содержать

себе

запрещен

ные

зоны.

вследствие

того

что

определенных

направлениях

распространение

света

невозможно.

Дефекты

фотонных

кристаллов

при

водят

возникновению

локальных

уровней.

очень

похожих

на

их

твердотельные

аналоги.

нанооптике

они

играют

особую

роль,

к.

могут

рассматриваться

как

микроскопические

резонаторы

очень

высокой

добротности

гл.

мы

затрагиваем

тему

поверхностных

плазмонов.

Оптические

поля

могут

приходить

во

взаимодействие

коллективными

резонансными

возбуждениями

заря

довой

плотности

металлических

структур

различной

геометрии

благодаря

свойству

резонансности

могут

создавать

локализованные

усиленные

оптические

ближние

ПО,lЯ.

Мы

предлагаем

введение

эту

тему,

затрагивающее

оптические

свойства

б.lагородных

металлов,

плазмонов

на

тонких

пленках

плазмонов

на

частицах.

следующей

главе

мы

обсуждаем

оптические

силы,

возникающие

локализо

ванных

полях.

Формулируется

теория,

основанная

на

использовании

тензора

напря

жений

Максвелла,

который

позволяет

при

известном

распределении

поля

вычислить

СИ,lЫ.

действующие

на

частицу

произвольной

формы.

Затем

рассматриваем

частный

С,lучаЙ.

вводя

дипольное

приближение,

справедливое для

частиц

небольщой

вели

чины

Из

практических

приложений

рассмотрена

модель,

основанная

на

принципе

Гл.

Введение

оптического

пинцета.

заключение

обсуждается

передача

углового

момента

при

помощи

оптического

поля,

также

силы,

действующие

оптических

ближних

полях

следующей

главе

обсуждаются силы

иного

характера,

именно

такие.

которые

возникают

во

флуктуирующих

электромагнитных

полях,

включая

СИ.1Ы

Казимира-Полдера

электромагнитное

трение.

По

ходу

изложения

также

затраги

вается

проблема

испускания

излучения

флуктуирующими

источниками.

заключение

мы

подводим

итоги

теоретических

методов,

использующихся

на

нооптике.

Едва

ли

можно

получить

какой-либо

новый

результат

без

использования

правильно

выбранных

численных

методов.

конце

учебника

дан

обзор

достоинств

недостатков

некоторых

наиболее

мощных

теоретических

инструментов.

Список

литературы

Haes

А.1

and

Van

Duyne R

nanoscale optical biosensor: sensitivity and selectivity oi

ап

approach based

оп

the localized

suгface

plasmon resonance spectroscopy

triangular

sil\er

nanoparticles / / J

Аm

Chem. Soc. 2002.

124.

Р.

10596.

Armani

К.,

Kippenberg

1.,

Spillane S.

М.,

and Vahala

К.1

Ultra-high-Q toroid micro-

cavity

оп

chip / / Nature. 2003. V.421

925.

Mock 1.1.,

ВагЫе

М.,

Smith D R., Schultz D

А.,

and Schultz S Shape effects

plasmon

resonance

individual colloidal silver nanoparticles / / J. Chem Phys 2002 V 116

6755

4 Vlasov

У.А.,

Во

X.Z.,

Sturm

С.,

and Norris D.1 On-chip natural assembIy

silicon

photonic bandgap crystals

Nature. 2001 V 414.

289

Painter

0.1.,

Husain

А.,

Scherer

, et al. Two-dimensional photonic crystal defect laser / /

J. Lightwave Techn. 1999.

17.

Р.2082.

б.

Gerard

М.,

Sermage

В.,

Оауга!

, et al. Enhanced spontaneous emission

Ьу

quantum boxes

monolithic optical

micгocavity

/ / Phys.

Rev.

Lett 1998 V

1110

Barnes W. L., Dereux

А.,

and Ebbesen

Suгface

plasmon subwavelength optics / /

Nature.

2003 V.424.

Р.824

Воrn

М.

and Wolf

Е.

Principles

Optics - Oxford Pergamon, 6th edn - 1970

[Русек

пер'

Борн

М.,

Вольф

Э.

Основы

оптики.

М.:

Наука,

1973 -

721

с]

АЬЬе

Е.

Beitrage

zur

Theorie des Mikroskops und der mikroskopischen Wahrnehmung / /

Archivf Miroskop. Anat. 1873. V.9.

413.

Rayleigh L. Investigations in optics, with special reference to the spectroscope / / Phil.

Mag

1879. V.8.

Р.2бl-274/403-411/477-486.

11.

Minsky

М.

Memoir

оп

inventing the confocal scanning microscope / / Scanning 1988 V

Р.128-138.

12.

Pawley

В.,

editor. Handbook of Biological Confocal Microscopy. - New

York

Plenum

Press

- 1995.

13.

Denk W., Strickler 1

Н.,

and

Webb

W. W. 2-photon laser scanning fluorescence microscopy / /

Science.

1990. V.248.

Р.73-76

Zumbusch

А.,

Holtom

О.

R , and Xie

Х.

S. Three-dimensional vibrational imaging

Ьу

coherent

anti-Stokes Raman scattering / /

Phys.

Rev.

Lett. 1999.

V.82

4142-1145

15.

Кlaг

Т.

А.,

1akobs S., Dyba

, Egner

А.,

and

Неи

S. W Fluorescence microscopy \\'ith

diffraction resolution

baггier

bгoken Ьу

stimulated emission / /

Ргос.

Nat Acad Sci 2000

8206-8210

16.

Synge

Н.

suggested model for extending microscopic resolution into the ultra-microscopic

region / /

Phil

Mag.

1928. V 6.

Р.356-362.

17.

O'Keefe 1

А.

Resolving power

visibIe light

J. Opt. Soc.

Аm

1956. V 46

359

18.

Ash

Е.А.

and Nicholls G Super-resolution

apertuгe

scanning microscope

Natuгe

1972

V 237.

Р.510-513.

19.

Binnig

О.,

Rohrer

Н.,

ОегЬег

, and Weibel

Е.

Tunneling through

controllabIe

уасииm

gap

Appl. Phys. Lett. 1982. V.40.

Р.178-180

1 3

Список

литературы

Massey G

Microscopy and pattern generation with scanned evanescent waves / / Appl.

Opt 1984

V 23

658-660.

РоЫ

Denk

and

Lanz

М.

Optical stethoscopy: image recording with resolution

Л/20

/ /

Appl

Phys Lett 1984 V 44.

651-653.

Le~'IS

А.

/saacson

М,

Harootunian

А,

and

Мигау

А.

Development

500

spatial

resolution light microscope / / Ultramicroscopy 1984.

У.

13.

Р.

227-231.

Betzlg

Е.

/saacson

М.,

and Lewis

СоllесНоп

mode nearfield scanning optical mi-

croscopy / / Appl. Phys. Lett. 1987

У.

61.

Р.2088-2090.

Betz/g

and Trautman J

Near-field optics Microscopy, spectroscopy, and surface

modification beyond the diffraction limit / /

Science. 1992.

У.257.

Р.

189-195.

Betzig

and Chichester R

Single molecules observed

Ьу

near-field scanning optical

microscopy / /

Science. 1993 V 262.

Р.

1422-1425.

Глава

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ

ВВЕДЕНИЕ

Свет

находится

самом

интересном

для

исследования

диапазоне

электромаг

нитного

излучения,

поскольку

энергии

световых

квантов

(фотонов)

соответствуют

электронным

переходам

веществе.

Именно

по

этой

причине

наши

глаза

настроены

на

восприятие оптической

части

спектра

мы

можем

воспринимать

красоту

цвета.

Свет

привлекает

наше

внимание

еще

тем,

что

его

можно

представить

как

волну,

как

частицу.

Ни

одном

другом

диапазоне

электромагнитного

спектра

мы

не

можем

так

ясно

наблюдать

корпускулярно-волновой

дуализм,

как

оптическом

если

длинноволновое

излучение

(радиочастотное

микроволновое)

хорошо

описы

вается

волновой

теорией,

коротковолновое

(рентгеновское)

больше

демонстрирует

свойства

частиц,

то

можно

сказать,

что

эти

два

мира

волны

частицы

«встречаются»

оптическом

диапазоне.

Для

описания

оптического

излучения

нанооптике,

как

правило,

достаточно

волновой

картины,

что

позволяет

использовать

классические

уравнения

Максвелла

Но

при

этом,

конечно,

системы,

которыми

взаимодействует

свет

нанооптике.

очень

малы

(молекулы,

квантовые

точки),

что

требует

квантового

описания

свойств

вещества.

Поэтому

большинстве

случаев

нам

достаточно

оставаться

рамках

полу

классической

теории,

которая

объединяет

классический

подход

описанию

поля

квантовый

описанию

вещества.

Однако

отдельных

случаях

нам

придется

выйти

за

пределы

полуклассического

описания.

Например,

фотоны,

испускаемые

квантовой

системой,

могут

подчиняться

неклассической

статистике

при

возникновении

эффекта

антигруппировки

фотонов

(никакие

два

фотона

не

регистрируются

одновременно)

этой

главе

мы

суммируем

важнейшие

сведения

из

электромагнитной

теории.

которые

сформируют

необходимую

основу

для

дальнейшего

изложения

Мы

буде~1

обсуждать

только

основные

свойства

явлений,

для

более

детального

изучения

отсылаем

читателя

стандартным

учебникам

по

электромагнетизму,

таким

как

книги

Джэксона

[1],

Стрэттона

[2]

др.

Начнем

уравнений,

сформулированных

Джеймсом

Кларком

Максвеллом

1873

г.

2.1.

Макроскопическая

электродинамика

макроскопической

электродинамике

сингулярности,

возникающие

при

описании

зарядов

связанных

ними

токов,

устраняются

за

счет

рассмотрения

зарядовых

плотностей

тока

дифференциальной форме

системе

еди

ниц

СИ

макроскопические

уравнения

Максвелла

имеют

вид

E(r,t)

= _

aB~:,t),

Н(г,

t) =

aD~;,

t) +

j(r,

t),

V .

D(r,

t) =

р(г,

t),

V .

В(г,

О,

(2.1

)

(22)

(23)

(24)

2 2

Волновые

уравнения

где

означает

напряженность

электрического

поля,

D -

электрическую

индукцию,

магнитную

индукцию,

В -

магнитное

поле,

j -

плотность

тока,

П.l0ТНОСТЬ

заряда.

Компоненты

этих

векторных

скалярных

полей

образуют

набор

из

неизвестных

зависимости

от

свойств

рассматриваемой

среды

количество

этих

неизвестных

может

быть

существенно

сокращено.

Например,

линейной

изотропной

однородной

среде

без

источников

электромагнитное

поле

полностью

описывается

двумя

скалярными

уравнениями.

Уравнения

Максвелла

являются

обобщением

завершающим

описанием

законов,

изначально

сформулированных

Фарадеем,

Ам

пером,

Гауссом,

Пуассоном

другими.

Так

как

уравнения

Максвелла

являются

дифференциальными

уравнениями,

они

определены

точностью

до

любых

полей,

постоянных

пространстве

времени.

Таким

образом,

подобные

поля

могут

быть

добавлены

полям

(вычтены

из

них),

подчиняющимся

этим

уравнениям.

Необхо

димо

подчеркнуть, что

понятие

поля

было

введено

для

объяснения

передачи

сил

от

источника

объекту.

Таким

образом,

физически

наблюдаемыми

величинами

являются

силы,

то

время

как поля

это

величины,

введенные

для

разрешения

проблемы

объяснения

такого

явления,

как

«действие

на расстоянии».

Отметим,

что

макроскопические

уравнения

Максвелла

описывают

поля,

которые

являются

резуль

татом

усреднения

пространстве

микроскопических

полей,

связанных

дискретными

зарядами.

Таким

образом,

микроскопическая

природа

материи

не

учтена

макро

скопических

полях.

Плотности

заряда

тока

рассматриваются

как

непрерывные

функции

пространстве.

Для

того

чтобы

описать

поля

пространстве

масштаба

атомов,

необходимо

использовать

микроскопические

уравнения

Максвелла,

кото

рых

все

вещество

рассматривается

как

состоящее

из

заряженных

инезаряженных

частиц.

Закон

сохранения

заряда

неявно

содержится

уравнениях

Максвелла.

Вычисляя

дивергенцию

от

уравнения

(2.2),

принимая

во

внимание,

что

тождественно

равно

нулю,

подставляя

полученное

соотношение

уравнение

(2.3),

исключа

ем

\:' . D

получаем

уравнение

непрерывности

j(r,

t) +

дp~,

t) =

о.

(2.5)

Электромагнитные

свойства

среды,

как

правило,

рассматриваются

терминах

!\Iакроскопической

поляризации

намагниченности

М,

соответствии

соотно

шениями

D(r,

t) =

€oE(г,

t) +

Р(г,

t),

Н(г,

t) =

JLo1B(r,

t) -

М(г,

t),

(2.6)

(2.7)

где

/10

проницаемость

восприимчивость вакуума

соответственно.

Эти

соот

ношения

не

накладывают

никаких

условий

на

среду

поэтому

всегда

справедливы.

2.2.

Волновые

уравнения

После

подстановки

полей

роторные

уравнения

Максвелла

учетом

соотношений

(2.6)

(2.7),

комбинируя

два

получившихея

уравнения,

мы

получаем

неоднородные

волновые

уравнения

дР

)

-JLо

J +

дt

хМ,

дР

дМ

2"-2

J +

дt

JL0Тt·

(2.8)

(2.9)

Гл

Теоретическое

введение

Константа

введена

для

обозначение

величины

(eo~o)-1/2

известна

как

ско

рость

света

вакууме.

Выражение

скобках

(2.8)

может

быть

связано

полной

плотностью

тока:

...

дР

t"7

+ Jc +

дt

+ V

(2.10)

где

плотность

тока

была

разделена

на

плотность

тока

источников

инду-

дР

цированную

плотность

тока

проводимости

jc.

Слагаемые

дt

отвечают

плотности

поляризационного

тока

намагниченности

соответственно.

Волновые

уравнения

(2.8-2.9)

не

накладывают

никаких

условий

на

среду

и,

значит.

являются

наиболее

общими.

2.3.

Материальные

уравнения

Уравнения

Максвелла

определяют

поля,

порождаемые

электрическими

токами

зарядами

веществе.

Однако

они

не

описывают,

как

возникают

сами

эти

токи

поля.

Таким

образом,

для

того

чтобы

найти

самосогласованное

решение

для

электромагнитного

поля,

уравнения

Максвелла

должны

быть

дополнены

соотноше

ниями,

описывающими

поведение

вещества

присутствии

поля.

Эти

соотношения.

характеризующие

отклик

вещества,

известны

как

материальные

уравнения.

недис

пергирующей

линейной

изотропной

среде

они

имеют

вид

D =

ееоЕ

=~~oH

(Р

еОХеЕ),

(М

ХтН),

(2.11 )

(2.12)

(2.13)

где

символами

Хе

Хт

обозначены

электрическая

магнитная

восприимчивости

соответственно.

Для

нелинейной

среды

правые стороны

этих

соотношений

могут

быть

дополнены

слагаемыми

более

высокого

порядка.

Для

описания

анизотропной

среды

необходимо

представить

тензорной

форме.

Для

описания

восприим

чивости

бианизотроnных

сред

необходимо

введение

дополнительных

параметров.

связывающих

векторы

векторами

Н.

ДЛЯ

таких

сложных

сред

решения

волнового

уравнения

могут

быть

найдены

лишь

отдельных

случаях.

Когда

речь

идет

неоднородных

средах,

представленных

выше

материальных

уравнениях

величины

е,

являются

функциями

пространства.

Говорят,

что

среда

обладает

временн6й

дисперсией,

если

ее

параметры

являются

функциями

частоты,

nространственной

(гиротроnной)

дисперсией,

если

материальные

уравнения

искривляются

простран

стве.

Электромагнитное

поле

линейной

среде

может

быть

представлено

виде

суперпозиции

монохроматических

волн вида

E(r,

t) = E(k,

c.v)

cos(k . r -

c.vt),

(2.14)

где

c.v

волновой

вектор

угловая

частота

соответственно.

наиболее

общем

виде

амплитуда

наведенного

электрического

смещения

D(r,

может

быть

записана

виде

D(k,c.v)

=eoe(k,c.v)E(k,c.v). (2.15)

анизотропной

среде

диэлектрическая постоянная

е:

= f

является

тензором

второго

порядка.

Прим.еч.

авт.

2 4

Пространственное

nредставленuе

полей,

завuсящих

от

времени

Так

как

функция

E(k,

u;)

является

фурье-образом

произвольной

функции

вре

мени

Е(г,

t),

мы

можем

применить

обратное

фурье-преобразование

соотношению

15)

получить

D(r,

t) =

со

f f

е(г

г',

t -

t')E(r',

t')dr'dt'.

(2.16)

Здесь

€

означает

функцию

пространственного

временного

отклика.

Вектор

индукции

момент

времени

зависит

от

значения

напряженности

электрического

поля

во

все

предыдущие

моменты

времени

(временная

дисперсия).

Кроме

того,

индукция

точке

зависит

от

значений

напряженности

поля

соседних

точках

г'

(пространственная

дисперсия).

Среда,

обладающая

пространственной

дисперсией,

также

может

быть

названа

средой

н,елокальн,ым

откликом.

Эффекты

нелокаль

ности

наблюдаются

вблизи

поверхности

раздела

двух

различных

сред,

также

металлических

объектах,

размеры которых

сравнимы

длиной

свободного

пробе

га

электрона.

целом

учет

пространственной

дисперсии

очень

сильно

осложняет

задачу

нахождения

поля.

Но

большинстве

интересующих

нас

случаев

эти

эффекты

весьма

малы

мы

можем

не

учитывать

их

без

потери

общности

рассмотрения.

то

же

время,

временная

дисперсия

широко

распространенное

явление,

очень

важно

учитывать

его

максимально

точно.

2.4.

Пространственное

представление

полей,

зависящих

от

времени

Спектр

Е(г,

u;)

произвольного

поля

Е(г,

t),

зависящего

от

времени,

определяется

при

помощи

фурье-преобразования:

1 f

E(r,u;) =

27r

Е(г,

t)e~IUtdt.

(2.17)

-00

Для

того

чтобы

поле

Е(г,

было

реальной

функцией,

мы

должны

потребовать,

чтобы

(2.18)

Применяя

фурье-преобразование

уравнениям

Максвелла

(2.1)-(2.4),

рассматри

вая

их

как

функции

времени,

получим

E(r,u;) = iu;B(r,u;),

H(r,u;) =

-iu;D(г,u;)

+J(r,u;),

V .

б(г,

u;)

р(г,

u;),

V·

B(r,u;) =

О.

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

Когда

решение

E(r,u;)

найдено,

зависящее

от

времени

поле

можно

найти

при

помощи

обратного

фурье-преобразования:

Е(г,

t) = f

Е(г,

u;)e-i<иtlЙ.cJ.

(2.23)

-00

Гл.

Теоретическое

введение

Таким

образом,

временная

зависимость

немонохроматического

электромагнитного

поля

может

быть

преобразована

по

Фурье,

каждая

из

спектральных

компонент

может

быть

отдельности

рассмотрена

как

монохроматическая.

Общая

временная

зависимость

может

быть

получена

при

обратном

фурье-преобразовании.

2.5.

Монохроматические

поля

Временную

зависимость

волновых

уравнениях

можно

исключить

получить

дифференциальные

уравнения

для

монохроматической

волны.

Монохроматическая

волна

может

быть

записана

виде

E(r,

t) = Re {E(r)e-'«It} = 4 [E(r)e-f«lt + E*(r)e''''f] ,

(2.24)

такие

же

зависимости

могут

быть

получены

для

остальных

полей.

Отметим.

что

функция

E(r,

является

вещественной,

ее

пространственная

часть

E(r)

ком

плексной.

Обозначение

будет

использоваться

обоих

случаях,

для

вещественной

части,

зависящей

от

времени,

для

комплексной

пространственной

части

Для

простоты

изложения

мы

решили

избегать

введения

дополнительных

обозначений

Удобно

представить

поля

монохроматической

волны

через

их

комплексные

амплиту

ды.

Тогда

уравнения

Максвелла

перепишутся

следующим

образом:

E(r)

= iLLlB(r),

H(r)

-iLLlD(г)

j(r),

D(r)

= p(r),

УО.

B(r)

О,

(2.25)

(2.26)

(227)

(2.28)

что

эквивалентно

уравнениям

Максвелла

(2.19)-(2.22)

для

спектров

произвольных

полей,

зависящих

от

времени.

Таким

образом,

решение

для

E(r)

эквивалентно

спек

тру

E(r,

LLI)

произвольного

зависящего

от

времени

поля.

Очевидно,

что

комплексные

амплитуды

поля

зависят

от

угловой

частоты

LLI,

Т.е.

E(r)

E(r,LLI).

Однако

обыч

но

LLI

не

включают

аргумент.

Функциями

частоты

пространственной

переменной

являются

также

вещественные

постоянные

е,

j..L

(1,

Т.е.

.:(г,ш),

l' =

p(r

...

,:).

(1(r,LLI).

Но

для

простоты

мы,

как

правило,

будем

опускать

этот

аргумент.

Из

кон

текста

задачи

будет

видно,

какое

из

полей,

E(r,

t),

E(r)

или

E(r,

ш),

рассматривается

данном

случае.

2.6.

Комплексная

диэлектрическая

проницаемость

При помощи

линейных

материальных

уравнений

мы

можем

выразить

вихревые

уравнения

Максвелла

(2.25)

(2.26)

терминах

E(r)

H(r).

Для

этого

УМНОЖЮI

обе

части

первого

уравнения

на

j..L-I,

затем

применим

ним

оператор

ротора

Подставляя

выражение

во

второе

уравнение,

получаем

j..L-1V'

"-'2

[е

i(1/(LLleo)]E

1ЩLoj.,.

(229)

Это

выражение может

также

быть

записано

виде

E(r,

t) =

ПР

{E(r)}

"0:-;(

,:1

I -

1т

{E(r)}

sin(,,-,t)

IE(r)1

cos[,,-,t

<p(r)],

где

фаза

определяется

соотношение~1

y(r)

Ю'сtg[lш{Е(г)}jRf'{Е(г)}]

Примеч

авт