Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики
Подождите немного. Документ загружается.
3 7
Фокусировка
лазерных
мод
высокого
порядка
73
Рис
3
11
Картина
возбуждения
одиночной
молекулы.
Образец,
содержащий
изолированную
О.1иночную
молекулу,
поточечно
просканирован
в
фокальной
плоскости
сильно
сфокусиро
ванного
лазерного
пучка.
Для
каждой
точки
интенсивность
флуоресценции
записывается
в
шаблон
и
кодируется
цветом.
Скорость
возбуждения
в
каждой
точке
определяется
от
носительной
ориентацией
собственных
молекулярных
дипольных
моментов
и
направлением
вектора
элеl\трического
поля
в
этой
точке
Использование
известного
распределения
поля
в
фокусе
лазерного
излучения
позволит
нам
восстановить
картину
дипольных
моментов
из
записанных
шаблонов Сравните
изображения,
обозначенные
как
х,
у
и
Z,
с
изображениями
на
предыдущем
рисунке
Можем
ли
мы
экспериментально
проверить
правильность
вычисленных
нами
ФОl<альных
полей?
Довольно
изящный
метод
состоит
в
использовании
одиночного
дипольного
излучателя,
такого
как
одиночная
молекула,
в
качестве
зонда
для
поля.
МО.lекула
может
быть
помещена
в
окружающую
среду
с
коэффициентом
отраже
ния
/1
и
при
помощи
точных
приборов
перемещаться
в
любую
точку
вблизи
фокаль
ной
плоскости
r =
(:1',
п,;;)
=
(р,
Ч"
z).
Скорость
возбуждения
молекулы
зависит
от
произведения
векторов
Е·
р.,
где
р.
-
дипольный
момент
молекулы.
Возбужденная
:\lO.lекула
с
определенной
скоростью
и
вероятностью
испытывает
релаксацию
и излу
чает
при
этом
флуоресцентный
фотон.
Для
того
чтобы
все
излученные
таким
образом
фотоны
IIОllаJlИ
непосредственно
на
фотодетектор,
мы
можем
использовать
все
ту
же
безаберрационную
линзу.
Интенсивность
флуоресценции
(количество
фотонов
в
секунду)
будет
пропорционально
IE·
p.1
2
•
Таким
образом,
если
мы
знаем,
как
именно
ориентирована
зондовая
молекула,
мы
можем
определить
напряженность
возбуждаю
щеr'О
поля
в
точке,
где
находится
молекула.
Например,
молекула,
вытянутая
вдоль
ос!!
.1',
даст
информацию
о
х-компоненте
фокального
поля.
Перемещая
молекулу
в
новую
точку,
мы
определим
поле
в
этой
точке.
И
вот
таким
образом,
точка
за
точ
кой,
построим
картину
распределения
напряженности
той
компоненты
поля,
которая
направлена
вдоль
дипольной
оси
проб
ной молекулы.
Если
мы
сканируем
в
плоскости
: =
О,
то
с
помощью
молекулы,
ориентированной
вдоль
оси
х,
мы
сможем
получить
изображения,
показанные
на
рис.
3.10,
в.
Подобная
возможность
была
реализована
в
различных
экспериментах.
Подробнее
мы
будем
говорить
об
этом
в
гл.
9.
3.7.
Фокусировка
лазерных мод
высокого
порядка
Выше
мы
обсуждали
фокусировку
основной
моды
лазера,
гауссова
пучка.
Как
бу
дут
фокусироваться
(10)-
и
(Оl)-моды?
Мы
вычислили
их,
с
тем
чтобы
из
них
можно
было
построить
тороидальные
моды
с
произвольной
поляризацией.
В
зависимости
от
того,
как
именно
мы
будем
накладывать
их
друг
на
друга,
мы
получим
_lинейно-поляризованную
тороидальную
моду:
LP
= HG\On
x
+
~HGOlnx,
(3.69)
74
Гл
З.
Распространение
и
фокусировка
оптических
nолеи
радиально-поляризованную
тороидальную
моду:
LP
=
HG1on,x
+ HGlOny,
азимутально-поляризованную
тороидальную
моду:
АР
=
-НGо1nх
+ HGo1ny.
(370)
(371 )
Здесь
HGiJnl
обозначает
эрмитову
моду
(ij)-ro
порядка,
поляризованную
ВДО.1Ь
единичного
вектора
nl.
Линейно-поляризованные
тороидальные
моды
совпадают
с
(OI)-моДой
Лагерра,
определяемой
соотношением
(3.18),
и
могут
быть
легко
вычис
лены
путем
добавления
к
уравнениям
(3.67)
и
(3.68)
сигнала
с
задержкой
по
фазе
на
900.
Для
того
чтобы
определить
фокальные
поля
двух
других
мод,
необходимо
найти
фокальные
поля
для
у-поляризации.
Это
легко
сделать
путем
добавления
полей
из
уравнений
(3.67)
и
(3.68)
с
задержкой
по
фазе
900
вокруг
оси
:
В
результате
фокальные
поля
будут
иметь
вид
у-поляризованных
мод.
Радиально-поляризованная
тороидальная
мода:
kf2~
[i(11I -
112)COH<p]
Е(р.
<р,
z) =
Г
!!:!..
Eoe-
tkf
Z(III
-
112)
Hill
<р
•
ШО
n2 -4110
Н(р,
<р,
z) = 2 z f
z
n. Eoe-
tk
!
i(I1I
+
3112)
еон
<р
.
k 2
~
[
-1(I11
+
112)
Hill
'1'
]
ШО
ер
n2
О
Азимутально-поляризованная
тороидальная
мода:
kf2
~
[ i(I1I +
3112)
Hill'l' ]
E(p,<p,z) =
~2
!!.!Eoe-'k
j
-i(I1I
+31
12
)eoHip ,
шо
n2
О
ki
~
[i(111 -
112)COH<p]
Н(р,
<р,
z) =
-2
Z
Z
n.
Eoe-·
k
! i(I1I -
112)
Hill
<р
•
ШО
ц'
n2 -4110
Здесь
были
введены
следующие
обозначения
для
интегралов:
8
шах
I
гad
=
111
-
112
= f
!ш
(())
(cos
())3/2
sin
2
(МI
(kpsin
())c,J.:;
(ОН
(}(/().
о
Вшах
lazm =
111
+
3112
= f
!ш(())(СОБ
()) 1/2 SiIl
2
()JI(kрнiп())с,J.:;(ОН(J(/(),
О
(372)
(3.73)
(374)
(375)
откуда
видно,
что
для
вычисления
фокусировки
радиально-
и
азимутально
поляризованных
тороидальных
мод
нам
необходимо
вычислить
в
общей
сложности
два
интеграла.
Круговая
и
азимутальная
симметрии
легко
могут
быть
поняты.
ес.1И
выполнить
преобразование
полей
из
декартовых
координат
в
цилиндрические:
Ер
=
СОБ<рЕ
х
+sinrpE
y
,
Е
ф
=
-siпrpЕ,
+СОБ<рЕ",
(376)
и
аналогично
для
магнитных
полей.
Если
сфокусированные
радиально-поляризован
ные
моды
обладают
симметричной
относительно
вращения
продольной
компонентой
электрического
поля
E
z
,
то
азимутально-поляризованные
-
продольной
компонен
той
магнитного
поля
H
z
.
Как
показано
на
рис.
3.12.
напряженность
поля
про
дольной
компоненты
IE
z
12
возрастает
с
ростом
числовой
апертуры
При
числовой
3 7
Фокусировка
лазерных
м.од
высокого
порядка
6г-----------------------~
5
4
1
Е
•
12
1
Ер
12
3
2
1
00
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Числовая
апертура
75
Рис
3
12
Отношение
интенсивностей
продольной
и
поперечной
компонент
электрического
ПО.1Я
IE:
12
/IE,,1
2
радиально-поляризованной
тороидальной
моды
как
функция
числовой
апер
туры
ио
=
1,11
=
1,518)
Максимум
IE
p
l
2
образует
кольцо
в
плоскости
z =
О,
а
максимум
ф~
нкции
IE.1
2
находится
в
начале
координат
(х,
у,
z)
=
(О,
О,
О).
Из
графика
видно,
что
\lаКСИМУ~1
плотности
энергии
продольной
электрической
компоненты
может
более
чем
в
пять
раз
превышать
плотность
энергии
для
поперечной
компоненты
апертуре
N
А
~
1
величина
'Е
•
12
становится
больше
величины
радиального
по
.1Я
IEpl:?
Это
оказывается
очень
важным
в
тех
приложениях,
в
которых
требуются
сильные
продольные
поля
На
рис.
3.13
показаны
графики
для
сфокусированного
радиально-поляризованного
лазерного
пучка
с
теми
же
параметрами
и
при
тех
же
УС.10ВИЯХ,
что
и
на
рис.
3.10.
Более
подробное
рассмотрение
фокусировки
радиально
и
азимутально-поляризованных
пучков
приведено
в
работах
[11-13].
Измерение
распределения поля
в
фокальной
плоскости
пучка
было
проведено
с
использованием
[.
I
00
1::
I
Lx
х3
-1,8),-
Рис
3
13
а
-
Линии
уровней
величины
IEI
2
в
области
фокусировки
радиально
по.lЯРИЗ0ванноЙ
тороидальной
моды
(N
А
= 1,4,
10
=
1,
n = 1,518)
в
плоскости
(р,
z).
Интен
сивность обладает
симметрией
относительно
вращения
вокруг
оси
z.
Использовано
логариф
~Iическое
масштабирование,
значения
между
соседними
линиями
уровня
отличаются
в
2
раза;
б. в,
г
-
отдельные
компоненты
поля
IE
z
I
2
,
IE
p
l
2
И
IE
II
1
2
В
фокальной
плоскости
z =
О
соответственно.
Использовано
линейное
масштабирование
76
Гл
3
Распространение
и
фокусировка
оптических
nолеи
в
качестве
зонда
одиночной
молекулы
[7],
а
также
методом,
основанным
на
ИСПО.1Ь
зовании опорной
призмы
[13].
Перевести
лазер
в
режим
генерации
высоких мод
можно
с
помощью
перенастрой
ки
его
резонатора,
но
гораздо
удобнее
было бы
преобразовывать
основную
гауссову
гармонику
пучка
в
более
высокую
моду
вне
лазера,
не
вторгаясь
в
характеристики
работы
лазера.
Такое
преобразование
может
быть
осуществлено,
если
в
различные
участки
поперечного
сечения
пучка
вставить
фазовые
пластинки
[14].
Как
показано
на
рис.
3.14,
преобразование
в
эрмитову
(lO)-моду
можно
осуществить
с
помощью
деления
пучка
пополам
и
пропускания
одной
его
половины
через
тонкую
фазовую
пластинку,
сдвигающую
фазу
на
180°.
Падающий
пучок
должен
быть
поляризован
перпендикулярно
к
границе
раздела
фазовой
пластинки,
а
для
устранения
из
системы
более
высоких
мод
после
фазовой
пластинки
необходимо
установить
пространствен
ные
фильтры.
Схожий
метод
основан
на
использовании
наполовину
напыленных
зеркал
для
задержки
одной
половины
лазерного
пучка.
В
этом
случае
пучок
дваж;rы
проходит
через
разделенную
пополам
область
и,
следовательно,
толщина
напылен
ной
области
должна
быть
),/4.
Остальные
схемы
преобразования
мод
основаны
на
использовании
внешних
четырехзеркальных
кольцевых
резонаторов
или
интерферо
метров
[15, 16].
Рис
3.14.
Генерация
эрмитового
(lO)-пучка
Основная
мода
гауссова
пучка
на
границе
фаЗОВOIi
пластинки.
Поляризация
падающего
пучка
перпендикулярна
границе
раздела
фазовой
n.1а
стинки
Схема
позволяет
задерживать
половину
пучка
на
1800
и,
таким
образом.
осущеСТВ.1ЯТЬ
преобразование
в
эрмитову
(10)-моду.
Следующие
далее
пространственные
фильтры
уда.1ЯЮТ
из
системы
моды,
более
высокие,
чем
(lO)-мода
Схема,
показанная
на
рис.
3.15,
а,
была
разработана
Юнгвортом
(Уоuпg\\'огth)
и
Брауном
(Вгоwп)
для
генерации
азимутально-
и
радиально-поляризованных
пучков
[11,
12].
Этот
метод
основан
на
интерферометре
Твимана-Грина
(Тwуmап-Gгееп)
с
наполовину
напыленными
зеркалами.
Поляризация
входящего
гауссова
пучка
под
бирается
равной
45°.
Поляризующая
светоделительная
пластинка
разделяет
пучок
на
два
ортогонально
поляризованных
пучка.
Каждый
из
пучков
проходит
через
фазовую
пластинку
),/4,
которая
превращает
пучки
в
циркулярно-поляризованные
Затем
каждый
из
пучков
отражается
от
концевого
зеркала,
Одна
половина
каж;rого
из
зеркал
имеет
покрытие
)'/4,
которое
после
отражения
задерживает
по
фазе
одну
половину
пучка
относительно
другой
на
180°.
Каждый
из
двух
отраженных
пучков
проходит
через
четвертьволновую
пластинку
вновь,
преобразуясь
в
равномощные
ор
тогонально
поляризованные
эрмитовы
(10)-
и
(ОI)-моды.
Далее
одна
из
мод
удаляется
из
системы
при
помощи
поляризационного
светоделителя,
а
вторая
накладывается
на
соответствующую
моду
из
другого
плеча
интерферометра.
Какая
мода.
радиально
или
азимутально-поляризованная,
будет
генерироваться,
зависит
от
расположения
3 7
Фокусировка лазерных
мод
высокого
порядка
77
наполовину
напыленных
концевых
зеркал.
Для
того
чтобы
получить
другую
моду,
нужно
просто
повернуть
зеркало
на
900.
Две
моды
из
разных
плеч
интерферометра
должны
находиться
в
фазе,
что,
в
свою
очередь,
требует
перестройки
длины
пути.
Правильность
поляризации
всегда
может
быть
проверена
пропусканием
пучка
через
поляризатор
при
перекрытии
того
или
иного
плеча
интерферометра.
Так
как
эффек
тивность
преобразования
меньше
100
%,
необходимо
производить
пространственную
фильтрацию
нежелательных
мод.
Это
достигается
путем
фокусировки
выходящего
пучка
на
маленькое
отверстие
с
изменяемым
диаметром.
И
хотя
это
отверстие
все-таки
пропустит
основную
моду,
моды
более
высокого
порядка,
имеющие
значи
те.1ЬНО
больший
размер
в
поперечном
сечении,
будут
этим
отверстием
отсечены.
II
0:-
= 1:1
б
Линейная
I
Линейная
поляризация
поляр-я
t
поляризация
Е
1
-
~
-,
~OI.
S _
Проетранетвенный
t
Е
_
t~~
КРУlOвая
_
е---
фильтр
Е
\
~'E
+
k.'·
/ t
По.lупрозрачное
)../4
Г
+
Линсйная~"
зеркало
0
поляризация
···"t
-
),,/41:::1
=:::::1
I t
Круговая
rtОЛУllрозрачное
'зсркало
+
поляризация
Е
Е
Рис
3
15
Две
различные
схемы
преобразования
для
генерации
радиально-
и
азимутально
ПО.lяризованных
мод'
а
-
с
помощью
интерферометра Твимана-Грина.
Падающий
пучок.
по.lяризованныЙ
под
углом
450,
делится
поляризационной
светоделительной
пластиной
на
два
равномощных
пучка
Затем
каждый
из
пучков
превращается
в
циркулярно-поляризованный
и
отражается
от
наполовину
напыленного
зеркала.
б
-
с
помощью
~композитной
волновой
П.lастины~.
состоящей
из
четырех
квадратов,
имеющих
различные
оптические
оси
Каждый
из
сеПlентов
ориентирован
таким
образом,
чтобы
повернуть
поле
так,
чтобы
оно
было
направлено
по
радиусу
В
обеих
схемах
выходящий
пучок
необходимо
пропустить
через
пространственный
фи.1Ыр
для
отсечения
нежелательных
более
высоких
мод.
Смотрите
подробное
обсуждение
в
тексте
Во
избежание
шумов
и
смещения
чувствительных
интерферометров
группа
Дора
и
др.
(Оога
et al.)
реализовала
схему
одиночного
обхода
для
преобразования
мод
в
радиально-
и
азимутально-поляризованные
пучки
[13].
Как
показано
на
рис.
3.15,
б,
лазерный
пучок
пропускается
через
волновую
пластинку
),,/2.
состоящую
из
четырех
сегментов.
Оптическая
ось
каждого
из
сегментов
ориентирована
таким
образом,
что
бы
повернуть
вектор
поля до
положения,
когда
он
будет
направлен
по
радиусу.
Сле
дующие
далее
пространственные
фильтры
отсекают
более
высокие
моды
с
большой
точностью.
Фазовая
пластинка,
показанная
на
рис.
3.15,
б,
изготавливается
путем
разрезания
двух
полуволновых
пластин
на
четыре
квадрата
и
последующей
сборки
этих
кусков
в
две
новые
фазовые
пластины.
Этот
принцип
модового
преобразования
может
быть
обобщен
на
фазовые
пластины
с
большим
числом
элементов,
такие
как
жидкокристаллические
пространственные
модуляторы
света.
Можно
ожидать,
что
будут
созданы
программируемые
пространственные
модуляторы
света,
которые
смогут
преобразовывать
входящий
пучок
в
любую
необходимую
нам
лазерную
моду.
78
Гл
3
Распространение
и
фокусировка
оптических
полей
3.8.
Предел
слабой
фокусировки
Прежде
чем
переходить
к
следующим
вопросам,
нам
необходимо
удостовериться
в
том,
что
наши
формулы
для
сфокусированных
полей
воспроизводят
известные
выражения
для
параксиального
приближения
в
пределе
малых
Ошах.
В
этом
пределе
можно
сделать
следующие
замены:
cos
О
i':::j
1,
а
sin
()
i':::j
().
Однако
для
того
чтобы
учесть
фазу,
необходимо
в
интегралах
100,
...
,114
оставить
слагаемое
второго
порядка
cos
()
i':::j 1 - ()2/2,
т.
к.
если
мы
оставим
только
первое
слагаемое,
то
зависимость
от
()
совсем
исчезнет.
Для
малых
Х
функции
Бесселя
ведут
себя
как
.1,,(.1:)
i':::j
.1'''.
Применяя
эти
приближения,
мы
увидим,
что
сравнение
интегралов
100,
...
,114
по
казывает,
что
самым
низким
порядком
по
()
обладает
интеграл
100,
а
затем
идут
интегралы
111
и
112.
И
если интеграл
100
задает
основную
гауссову
моду,
то
два
дру
гих
интеграла
определяют
параксиальную
эрмитову
(10)-
и
(ОI)-моды.
В
принципе.
теперь
вычисление
интегралов
100,
1\0
и
111
может
быть
произведено
аналитически.
Однако
в
результате
мы
получим
неудобные
в
использовании
функции
Лом
меля.
поэтому
ограничим
наше
рассмотрение
только
фокальной
плоскостью
z =
О.
Далее.
предположим,
что
мы
имеем
полное
перекрытие
выходной
апертуры
ио»
1).
так
что
функция
аподизации
Iw(()
может
считаться
постоянной.
Используя
подстанов
ку
Х
= kp(),
получим
2
100
i':::j kp
kp(Jn,&x
f
7()d
=2()2 JI(kp(}lI\!lx)
XJO
Х
Х
шах
k
()
.
р
ши,х
О
(377)
Параксиальное
поле
сфокусированного
гауссова
пучка
в
фокальной
плоскости
примет
вид
Е
~
'kl()2
Е
-ikf
Jl
(kP(}max)
~
z
шах
Ое
k~(j
n
x
·
pvtnax
(378)
Это
знакомое
нам
выражение
для
функции
точечного
источника
в
параксиаЛЬНОI\I
приближении.
В
разд.
4.1
мы
увидим,
что
оно
тесно
связано
с
введенными
Аббе
и
Рэлеем
определениями
предела
разрешения.
Аналогичным
образом
получим
фо
кальные
поля
для
(10)-
и
(OI)-моД
в
параксиальном
приближении
поля
(10)-мода:
(379)
(Оl)-мода:
(380)
Во
всех
случаях
зависимость
фокального
поля
от
радиуса
описывается
функцией
Бесселя,
а
не
исходным
гауссовым
профилем.
После
прохождения
через
линзу
форма
пучка
в
фокальной
плоскости
становится
осциллирующеЙ.
Происхождение
этих
про
странственных
осцилляций
связано
с
дифракционными
максимумами,
т.
е.
является
следствием
граничных
условий,
которые
мы
наложили
на
безаберрационную
линзу.
Мы
предположили,
что
10
-+
00,
уменьшая
10,
мы
уменьшим
и
эти
осцилляции
Однако
это
можно
сделать
только
за
счет
размера
светового
пятна.
Очень
важно.
что
форма
этого
пятна
описывается
функцией
Эйри,
а
не
Гаусса
На
самом
деле.
свободно
распространяющихся
гауссовых
пучков
не бывает!
Причина
этого,
как
показано
в
разд.
3.2.1,
заключается
в
том,
что
гауссов
профиль
имеет
фурье-спектр.
который
нигде
не
обращается
в
нуль
и
только
асимптотически
приближается
к
нулю
при
k
x
,
k
y
-+
00.
Таким
образом,
для
получения
гауссова
профиля
необходимо
учи
тывать
затухающие,
эванесцентные,
компоненты
поля,
даже
если
их
вклад
невелик.
Осцилляции
в
профиле
Эйри
возникают
по
причине
резкого
обрезания
высоких
3
9.
Фокусировка
вблизи
плоских
поверхностей
79
пространственных
частот.
Чем
более
гладкой
является
эта
отсечка,
тем
меньше
осцилляций
в
профиле
пучка
будет
наблюдаться.
3.9.
Фокусировка
вблизи
плоских
поверхностей
Многие
оптические
приложения
имеют
дело
с
лазерными
пучками,
которые
силь
но
сфокусированы
вблизи
плоских
поверхностей.
При
мерами
могут
служить
конфо
ка.1ьная
микроскопия,
в
которой
используются
линзы
с
числовой
апертурой
N
А>
1,
оптическая
микроскопия
или
хранение
информации,
основанные
на
использовании
иммерсионных
объективов,
и
оптические
пинцеты,
в
которых
лазерный
свет
фокуси
руется
в
жидкости,
для
того
чтобы
захватить
микрочастицы.
Угловое
спектральное
представление
очень
хорошо
подходит
для
нахождения
полей
в
этих
задачах,
т.
к.
поверхность
представляет
собой
постоянную
координатную
плоскость.
Для
простоты
предположим,
что
имеется
одна
поверхность,
разделяющая
две
диэлектрические
среды
с
коэффициентами
преломления
nl
и
n2
(см.
рис.
3.16).
Расположена
эта
поверхность
в
точке
z =
ZO,
а
сфокусированное
поле
Е!
освещает
ее
слева
(z <
zo).
и
если
пространственные
частоты
k
x
и
k
y
одинаковы
с
обеих
сторон
поверхности,
о
величине
k:
этого
сказать
нельзя.
Поэтому
введем
обозначение
для
величины
k
z
в
области
z
<':0
k:
I
,
которое
определим
следующим
образом:
k
zl
= (kr -
k;'
-
k~)1/2.
И
аналогично
введем
k
z2
=
(k~
-
k;
-
k~)1/2
для
области
z >
zo.
Волновые
векторы
k
l
и
k~
равны
соответственно
k
l
= (VJjc)nl, k
2
=
(VJjc)n2.
Рис
3
16
Фокусировка
лазерного
пучка
вблизи
плоской
поверхности,
находяшейся
в
точке
.::
=
'::0
между
двумя
диэлектрическими
средами
с
коэффициентами
преломления
nl
и
n2
Наличие
поверхности
приводит
к
эффектам
преломления
и
отражения
света.
Таким
образом,
полное
поле
можно
представить
в
виде
z <
zo,
z>
zo,
(3.81)
где
Е,
и
Е/
представляют
собой
отраженное
и
прошедшее
поля
соответственно.
Преломление
плоских
волн
на
плоской
поверхности
описывается
коэффициентами
отражения
'/"',
1'1'
И
пропускания
t
S
, t
P
Френеля,
которые
были
определены
в
гл.
2
(соотношения
(2.49)
и
(2.50».
Верхние индексы
указывают
на
то,
что
эти
коэффи
циенты
зависят
от
поляризации
поля.
То
есть
мы
должны
разбить
угловой
спектр
произвольной
плоской
волны
на
В-
и
р-поляризованную
компоненты:
(3.82)
80
Гл
3
Распространение
и
фокусировка
оптических
полей
Вектор
E(s)
параллелен
поверхности,
а
вектор
Е(Р)
перпендикулярен
ВОЛНОВОМУ
вектору
k
и
вектору
E(S).
Разложение
входящего
сфокусированного
поля
Е,
на
.<;-
и
р-поляризованные
поля
уже
было
проделано
в
разд.
35.
В
соответствии
с
со
отношением
(3.39)
получим
в-
и
р-поляризованные
поля
путем
проецирования
Е,
на
единичные
векторы
ПО
и
ПФ
соответственно.
Равенство
(3.43)
представляет
ПО.lе
в
дальней
зоне
как
сумму
в-
и
р-поляризованных
полей,
выраженных
в
переменных
Н
и
ф.
Используя
подстановку
(3.44),
можно
выразить
ПОJlе
через
пространственные
частоты
k
x
и
k
y
.
В
случае
когда
Е
J
формируется
из
параксиального
пучка,
поляризованного
в
на
правлении
оси
х,
можно
записать
выражение
для
поля
в
дальней
зоне
(см.
(3.51»)
Еж
-
Еiпс(kг.,
ky)
-k"k
y
+
kxkykzl/kl
.,
')'
_
[k~
+
k;kzl/k
l
•
]
Jk:I/~'1
о
-
(k~
+
k~)kx/kl
~:y
+
~,~
(383)
где
первое
слагаемое
в
скобках
отвечает
за
в-поляризованное
поле,
а
второе
--
за
р-поляризованное.
В
соответствии
с
рис.
3.16
мы
предполагаем,
что
слева
и
справа
от
линзы
среда
имеет
один
и
тот
же
коэффициент
преломления,
т.
е.
111
=
11
=
1/'
Вектор
Е
ос
представляет
собой
асимптотику
в
дальней
зоне
в
направлении
вектора
s =
(kx/k,
ky/k,
kzl/k)
и
отвечает
полю
на
поверхности
вспомогательной
сферы
фокусирующей
линзы.
С
помощью
вектора
Е
х
угловой
спектр
падающего
сфокуси
рованного
пучка
может
быть
получен
в
виде
выражения
(см.
(3.33»
zje-"чJ
J J 1
Ef(x,
у,
z)
=
27Г
Eoo(k
x
, k
y
)
kzl
e~[krX+kIl.'1+k'l
oJ(/k
I
(/k!l'
(384)
k.,.k
y
Для
определения
отраженного
и
прошедшего
полей
(E
r
,
Е/)
введем
следующие
угловые
спектры:
zje-
iklf
J J
1._
Е,.(х,
у,
z) =
27Г
E~(kx,
k
y
) k
zl
el[k,JHYY-~=I-J(lk,
(/k!l'
(385)
k.,.k
y
(386)
Отметим,
что
для
того
чтобы
отраженное
поле
распространялось
в
направлении
«назад»,
нам
пришлось
поменять
знак
k
z2
в
экспоненте
во
втором
выражении.
KpO~le
того,
мы
учли,
что
прошедшая
волна
распространяется
с
волновым
вектором
k
o
"2.
Далее
применим
граничные
условия
на
плоскости
z =
Zo,
что
позволит
нам
запи
сать
явные
выражения
для
пока
еще
не
определенных
полей
Е;'"
и
Е;'"
Используя
коэффициенты
отражения
и
пропускания
Френеля,
получим
Е;
=
-Еiпс(k
х
,
ky)e2lkzlZ0
rSk;rk
y
+ rPkxkykzl/kl
.,:1
.,1,
[
-rsk~
+
rPk;kzl/k
l
]
~
О
+
rP(k~
+
k~)kx/kl
k
y
+
~,~
(387)
Е
ОС
=
Е-
(k k )e,(k
Z I
-k.
2
)zQ
-tSk
~
+ tPk k k
/k
k~:2
~
[
tSk2
+tPk2kz2/k2 ]
t
IПс
",
У
Х
У
J."
У
'z2
2 k
.,
)'
.
о
-
tP(k~
+ k;)k.
r
/k2
::1
k
y
+
k~
(388)
Эти
выражения,
совместно
с
(3.83)-(3.86),
задают
условия
для
решения
задачи
Они
выполняются
для
поверхности
раздела
между
двумя
веществами,
характеризу-
3 9
Фокусировка
вблизи
плоских
поверхностей
81
е~IЫ~IИ
константами
Е,
и
It,.
В
этом
можно
убедиться
напрямую,
выводя
граничные
УС.l0ВИЯ
при
~
=
'::0
(см.
задачу
3.7).
Теперь
мы
можем
получить
распределение
поля
вб,lИЗИ
плоской
границы
раздела,
освещаемой
сильносфокусированным
лазерным
ПУЧКОI\I
Поле
зависит
от
амплитудного
профиля
Еiпс(k
х
,
k
y
)
падающего
параксиаль
ного
пучка
(см.
(3.52)-(3.54»
и от
пара
метра
удаленности
от
фокуса
ZO.
ПО
существу
пара
метр
:0
вносит
фазовый
множитель
в
выражения
дЛЯ
Et'
и
E~.
Хотя
мы
Иl\lели
в
виду
ситуацию,
когда
граница
раздела
одна,
полученные
результаты
могут
быть
обобщены
для случая
многослойной
поверхности
при
помощи
обобщенных
коэффициентов
отражения/пропускания
Френеля,
учитывающих
всю
структуру
[17].
На
следующем
шаге
можно
использовать
соотношение
(3.44)
для
преобразования
h
сферическим
координатам.
Как
и
ранее,
можно
перейти
от
двойных
интегралов
к
одинарным,
используя
функции
Бесселя.
Однако
не
будем
углубляться
в
этот
вопрос.
а
вместо
этого
обсудим
некоторые
важные
следствия
представленной
выше
теории
В
примере,
показанном
на
рис.
3.17,
а,
гауссов
пучок
фокусируется
при
по
\lОЩИ
безаберрационного
объектива
с
числовой
апертурой
N
А
=
1,4
на
границу
раздела
стекло-воздух
при
Zo
=
О.
Наиболее
характерной
особенностью
графиков
ПО.1я
является
наличие
стоячих
волн
в
более
плотной
среде.
Эти
стоячие
волны
возникают
при
углах
О.
меньших
критического
угла
полного
внутреннего
отраже
ния
8,.
Для
того
чтобы
понять
это
явление,
рассмотрим
одну
плоскую
волну
из
УГ.l0ВОГО
спектра
падающего
сфокусированного
поля
Е/.
Это
поле
характеризуется
.1вумя
волновыми
векторами
koГ
и
k
y
,
а
их
поляризация
и
комплексная
амплитуда
за.1аются
фурье-спектром
Е/.
Поперечные
волновые
векторы
одинаковы
с
обеих
сторон
границы
раздела,
чего
нельзя
сказать
о
продольном волновом
векторе:
~'zl
=
Jki
-
(k~
+
k~),
Исключая
k"
h:!I'
получим
k
z2
=
Jk;1
+
(k~
-
ki)·
Пусть
()
обозначает
угол
падения
плоской
волны,
так
что
k
z1
=klCOSO.
Тогда
(3.90)
можно
записать
в
виде
1
kf'20
-
-:;-SШ
.
k'i
(3.89)
(3.90)
(3.91)
(3.92)
Отсюда
следует,
что
k:
2
может
быть
как
мнимой,
так
и
действительной
вели
чиной.
в
зависимости
от
знака
подкоренного
выражения.
А
это,
с
свою
очередь,
оборачивается
зависимостью
от
угла
О
Видно,
что
для
углов,
больших
чем
О
. n2
с
=
аГСSlll-,
nl
(3.93)
10:2
является
мнимой
величиной.
Таким
образом,
для
О>
ОС
рассматриваемая
волна
полностью
отражается
от
поверхности,
создавая
эванесцентные
волны
на
ее
обратной
стороне.
Стоячие
волны,
показанные
на
рис.
3.17,
являются
прямым
следствием
этого
явления:
все
сверхкритические
(О
>
Ос)
плоские
волны,
входящие
в
падающее
сфокусированное
поле,
полностью
отражаются
от
поверхности.
Стоячие
волновые
распределения
обусловлены
«равновесовой»
суперпозицией
падающих
и
отраженных
плоских
полей
из
спектра
начального
поля.
Из-за
полного
внутреннего
отражения
6
.1
НОВОПIЫЙ.
Б
Хехт
82
Гл.
3.
Распространение
и
фокусировка
оптических
nолеи
-------------------------хА-------------------------
Рис.
3.17
Графики
линий
уровня
IEI
2
В
фокальной
области
гауссова
пучка
(N
А
=
1.4.
n =
1,518,
fo
= 2),
сфокусированного
на
границу
раздела
стекло-воздух
(111
=
1.518.
1/2 =
1)
Использовано
логарифмическое
масштабирование.
значения
между
соседними
линия~lи
уровня
отличаются
в
2
раза.
Критический
угол
полного
внутреннего
отражения
О,
=
41.20
Все
входящие
в
падающий
пучок
плоские
ВОЛНbI
с
углами.
большими
О,.
полностью
отражаются
и
интерферируют
с
входящими
волнами
значительная
часть
мощности
лазерного
излучения
отражается
от
поверхности.
От
ношение
отраженной
ВОЛНbI
к
прошедшей
может
бblТЬ
увеличено
за
счет
увеличения
фактора
переКРblТИЯ
или
числовой
аперТУрbl.
Например,
в
приложениях,
связаННblХ
с
использованием
иммеРСИОННblХ
линз
с
числовой
апертурой
1.8-2,
более
90
'i;
мощности
полностью
отражается
от
поверхности.
Исследование
фокального
пятна
говорит
нам
о
том,
что
наличие
поверхности
еще
больше
увеличивает
эллиптичность
его
фОРМbI.
Вдоль
направления
поляриза
ции
(х)
пятно
почти
в
два
раза
больше,
чем
в
перпендикулярном
направлении
(.1})
Кроме
того,
наличие
поверхности
усиливает
напряженность
продольной
компонеНТbI
поля
E
z
.
Около
поверхности,
сразу
за
средой,
в
которой
происходит
фокусировка