Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики
Подождите немного. Документ загружается.
2 8
Граничные
условия
зз
Как
правило,
производят
следующую
замену,
вводя
комплексную
диэлектриче-
скую
проницаемость:
[Е
+ ia/(wEo)]
--->
Е.
(2.30)
В
таких
обозначениях
необходимо
различать
ток
проводимости
и
ток
поляриза
ции
Энергетические
потери
связаны
с
мнимой
частью
диэлектрической
постоянной.
С
учеТО~1
нового
обозначения
для
Е
волновые
уравнения
для
комплексных
полей
Е(г)
и
Н(г)
в
линейной,
изотропной,
но
неоднородной
среде
будут
иметь
вид
\7
х
/1,-'\7
х
Е
-
k6EE
=
iW/LOj6'
\7
Х
Е-'\7
х
Н
-
k6/LH
= \7
Х
E-'js,
(2.31)
(2.32)
где
/'0
=
..
,,;/
('
представляет
собой
величину
волнового
вектора
в
вакууме
(волновое
ЧИС,10)
ЭТИ
уравнения
верны
также
и
в
анизотропной
среде,
если
сделать
следующую
подстановку.
Е
--->
Е,
а
/1
--->
'ii.
Комплексная
диэлектрическая
проницаемость
будет
ИСПО.lьзоваться
нами
на
протяжении
всей
книги.
2.7.
Случай
кусочно-однородной
среды
Во
многих
физических
ситуациях
среда
является
кусочно-однородноЙ.
В
этом
с.lучае
все
пространство
может
быть
разбито
на
домены,
внутри
которых
физические
свойства
среды
могут
считаться
постоянными
в
пространстве
и
не
зависящими
от
г.
В
це.l0М
кусочно-однородная
среда
является
неоднородной,
и
ее
решение
может
быть
ПО.lучено
с
помощью
уравнений
(2.31)
и
(2.32).
Однако
неоднородность
сосредо
точена
вблизи
границ
раздела,
и
удобно
было
бы
находить
решение
для
каждого
доыена
в
отдельности.
Эти
решения
должны
быть
связаны
друг
с
другом
на
границах
раздела.
и
тогда
может
быть
получено
решение
во
всем
пространстве.
Пусть
граница
раздела
между
двумя
однородными
доменами
D
i
и
D
j
будет
обозначена
как
дD,].
ЕС.1И
под
",
И
1',
понимать
материальные
параметры
домена
D;,
волновые
уравнения
д.1Я
этого
домена
запишутся
так:
(
'172
k2)E _ . v
р,
v
+,
,-
-ZW/L,/LоJ,
+
-,
сос,
2 2 •
(\7 +
k;
)Н;
=
-\7
Х
J"
(2.33)
(2.34)
где
k,
= (.JJ/(')J/I,E, -
волновое
число,
а
j;
и
Pi
-
источники,
которые
имеются
в
домене
D"
ДЛЯ
получения
этих
уравнений
было
использовано
тождество
\7
Х
х
\'
Х
=
-\72
+ \7\7
и
применены
уравнения
Максвелла.
Уравнения
(2.33)
и
(2,34)
известны
также
как
неоднородные
векторные
уравнения
Гельмгольца.
В
большинстве
практических
приложений,
таких
как
задача
рассеяния,
отсутствуют
источники
тока
и
заряда,
и
тогда
уравнения
Гельмгольца
становятся
однородными.
2.8.
Граничные
условия
Так
как
свойства
среды
претерпевают
на
ее
границах
разрыв,
уравнения
(2.33),
(234)
верны
только
внутри
доменов.
Однако
уравнения
Максвелла
должны
выпол
няться
и
на
границах
среды.
Из-за
отсутствия
непрерывности
на
границах
применить
уравнения
Максвелла
в
дифференциальной
форме
оказывается
затруднительно.
При
это~'
рассматривать
их
соответствующую
интегральную
форму,
напротив,
становится
:з
.1
НОВГJтныи,
Б
Хехт
34
Гл.
2.
Теоретическое
введение
очень
удобно.
Эта
форма может
быть
получена
из
дифференциальной,
если
мы
воспользуемся
теоремами
Гаусса
и
Стокса,
что
приводит
к
следующим
выражениям:
J
E(r,
t) . ds = - J
~B(r,
t) .
Dsda,
as
S
J
H(r,
t) . ds = - J [j(r, t) +
~
D(r,
t)] .
Dsda,
as
S
J
D(r,
t) .
Dsda
= J p(r, t)dV,
av
V
J
B(r,
t) .
Dsda
=
о.
av
(2.35)
(2.36)
(2.37)
(238)
В
этих
уравнениях
da
обозначает
элемент
поверхности,
П
Я
--
нормаль
к
ней:
ds
--
элемент
кривой,
av
--
поверхность
элементарного
объема
V,
а
aS
--
границу
поверхности
S.
Интегральная
форма
уравнений
Максвелла
позволяет
нам
найти
необходимые
граничные
условия
в
том
случае,
если
мы
применим
их
к
бесконечно
малой
части
рассматриваемой
границы.
В
этом
случае
границу
можно
рассматривать
как
плоскую,
а
поля
как
однородные
с
обеих
сторон
(см.
рис.
2.1).
Рассмотрим
малый
прямоугольный
контур
aS
на
границе,
расположенный
так,
как
показано
Рис.
2.1.
Контуры
интегрирования
для
вывода
граничных
условии
на
поверхности
i:JD'J.
разделяющей
домены
D
i
и
D
j
на
рис.
2.l,
а.
Так
как
площадка
S
(ограниченная
контуром
aS)
может
быть
произ
вольно
уменьшена,
электрический
и
магнитный
потоки
через
нее
становятся
равными
нулю.
Однако
это не
относится
к
току,
т.
к.
может
существовать
поверхностная
плотность
тока
К.
Первые
два уравнения
Максвелла
позволяют
получить
граничные
условия
для
тангенциальных
компонент
поля
1)
D
Х
(Ei - E
j
)
=
О
D
Х
(H
i
-
H
j
)
=
К
на
поверхности
aD'J'
на
поверхности
aD
tJ
,
(2.39)
(2.40)
1)
Заметим,
что
n
и
П
з
являются
разными
векторами.
п
в
перпендикулярен
поверхностям
S
и
aV,
в
то
время
как
n
перпендикулярен
границе
aD
ij
-
Примеч.
авm
2.8
Граничные
условия
35
rJ.e
n -
единичный
вектор
нормали
к
поверхности.
Соотношения
для
нормальных
компонент
поля
могут
быть
получены
с
помощью
рассмотрения
бесконечно
малого
параллелепипеда
объема
V
и
поверхности
av,
как
показано
на
рис.
2.1,6.
Считая
по.1Я
однородными
с
обеих
сторон
поверхности
и
вводя
поверхностную
плотность
заряда
(1,
из
третьего
и
четвертого
уравнений
Максвелла
получим
граничные
условия
J..1Я
нормальных
компонент
поля:
n·
(D, - D
j
)
=
(1
п·(В,-Вj)=О
на
поверхности
aD~J'
на
поверхности
aD~J'
(2.41)
(2.42)
в
большинстве
реальных
ситуаций
источников
на
поверхности
отдельных
доме
нов
нет
и
величины
J(
и
(1
обращаются
в
нуль.
Четыре
соотношения
для
граничных
УС.l0ВИЙ
(2.39)-(2.42)
не
являются
независимыми,
т.
к.
поля
С
обеих
сторон
границы
ПОJ.чиняются
уравнениям
Максвелла.
Можно
легко
показать,
что,
например,
условия
J..1Я
нормальных
компонент
автоматически
выполняются,
если
выполняются
условия
J..1Я
тангенциальных
компонент
на
всей
поверхности,
а
поле
внутри
обоих
гранича
ШИХ
доменов
подчиняется
уравнениям
Максвелла.
2.8.1.
Коэффициенты
отражения
и пропускания
ФренеJlЯ.
Применяя
гра
ничные
условия
к
случаю
плоской
волны,
падающей
на
плоскую
границу
раздела
J.BYX
сред,
мы
получим
известные
коэффициенты
отражения
и
пропускания
Френеля.
Подробный
вывод
этих
коэффициентов
можно
найти
во
многих
учебниках
(напри
:\Iep.
[31).
Здесь
мы
лишь
кратко
изложим
основные
результаты.
Произвольно
поляризованная
плоская
волна
ЕI
exp(k
l
.
r -
iuЛ)
всегда
может
быть
записана
как
суперпозиция
двух
линейно-поляризованных
плоских
волн.
Как
правило,
удобно
выбрать
направление
этих
двух поляризаций
параллельным
и
перпендикулярным
плоскости
падения,
определяемой
волновым
вектором
k
плоской
ВО.1НЫ
И
нормалью
n
к
плоской
поверхности
границы
раздела:
Е
-
Е(в)
+
Е(Р)
1-
1
l'
(2.43)
Вектор
E~")
параллелен
поверхности
границы
раздела,
а
вектор
Е}Р)
перпенди
КУ.lярен
вектору
k
и
вектору
Е}в).
Индексы
(8)
и
(р)
происходят
от
немецких
слов
senkrecht
(перпендикулярный)
и
parallel
(параллельный)
соответственно
и
относятся
к
ПJlОСКОСТИ
падения.
А
для
отраженной
и
прошедшей
волн
под
индексами
(8)
и
(р)
понимают
их
поляризацию.
Как
показано
на
рис.
2.2,
мы
обозначили
диэлектрические
постоянные
области
паJ.ения
1)
и
области
пропускания
2)
через
е1
и
е2
соответственно.
Такие
же
индексы
введем
для
магнитной
проницаемости
J.L.
Мы
также
будем
различать
волновые
век
торы
k
1
и
k
2
.
Используя
систему
координат,
показанную
на
рис.
2.2,
из
граничных
условий
получим,
что
k
1
=
(k,.,
k
y
,
k
z
1),
k2
= (k
l
:,
k
y
,
k
z
2),
(2.44)
(2.45)
1)
Области.
в
которой
свет
распространяется
до
того,
как
испытывает
отражение
и
прелом
.1ение
-
Прим.еч
пер
2)
Области,
в
которой
свет
распространяется
ПОСJIе
того,
как
испытывает
отражение
и
пре
.1О\IJ1ение
-
Прим.еч
пер
36
Гл
2.
Теоретическое
введение
z
б
z
а
----""""J~----~1·11
Рис.
2 2
Отражение
и
прело
мление
плоской
волны
от
плоской
поверхности
а
s-поляризации,
б
-
случай
р-поляризации
Таким
образом,
поперечные
компоненты
волновых
векторов
(k."
k,,)
остаются
неизменными,
а
величины
их
продольных
компонент
имеют
вид
k
z
\ =
Jkr
-
(k~
+
k~),
k
z2
=
Jk~
-
(k~
+
k~).
(246)
Поперечный
волновой
вектор
kll
=
~
удобно
выразить
через
угол
падения
Н\
kll
=
Jk~
+
k~
= k\ sinO\,
(2.47)
что,
учитывая
(2.46),
позволяет
и
компоненты
векторов
k
z
\
и
k
z2
также
выразить
через
угол
падения
0\.
Из
граничных
условий
следует,
что
амплитуды
отраженной
и
прошедшей
ВО.1Н
могут
быть
представлены
в
виде
E
(s) -
Е(В)
S(k
k)
Е(Р)
-
Е(Р)
P(k
1.}
\Т
- \ r
х,
у
,
\Т
- \ r
з·,
"'11
'
Е(В)
= E(S)t
8
(k
k)
Е(Р)
= E(p)tP(k
k}
2 1
х,
У
'2
1
'З;,
У'
(2.48)
где
введены
коэффициенты
отражения
и
пропускания
Френеля,
имеющие
вид
1)
8(k
k)
-
J.L2
k
ZI
-
J.L
1
k
z2
P(k
k)
-
E:
2
k
z
l
- E:lk
o2
(249)
r
х,
у
-
,т
",
у
- k '
J.L2kzl + J.Llk
z
2 E:2kzl +
Е:I
:2
tS(kx,ky} =
2J.L2
k
zl
,tP(kx,k
y
)
=
2E:2
k
zl
J.L2kzl + J.Llk
z
2 E:2kzl +
E:
1k
z2
(2.50)
Как
видно
из
верхних
индексов,
эти
коэффициенты
зависят
от
поляризации
падающей
плоской
волны.
Они
также
зависят
от
k
z1
и
k
z2
,
которые
могут
быть
выражены
через
k
x
и
k
y
и,
следовательно,
в
терминах
угла
падения
01.
Знак
коэффи
циентов
Френеля
зависит
от
векторов
электрического
поля,
показанных
на
рис.
22.
для
плоской
волны
при
нормальном
падении
(01
=
О)
знаки
т
н
и
1·
Р
противоположны
Отметим,
что
прошедшая
волна
может
быть
как
плоской,
так
и
эванесцентноЙ.
Этот
вопрос
обсудим
в
разд.
2.11.
2.9.
Закон
сохранения
энергии
Введенные
нами
ранее
уравнения
описывают
поведение
электрического
и
маг
нитного
полей.
Они
являются
прямым
следствием
уравнений
Максвелла
и
свойств
1)
Из
соображений
симметрии
некоторые
авторы
опускают
квадратный
корень
в
выражении
для
коэффициента
t
p
•
в
этом
случае
коэффициент
t
P
имеет
смысл
коэффициента
пропускания
магнитного
поля
Мы
пользуемся
определением,
принятым
в
книге
М
Борна
и
Э
ВО.1Ь
фа
[3].
-
Примеч.
авт.
2 9
Закон
сохранения
энергии
37
среды.
И
хотя
электрическое
и
магнитное
поля
изначально
были
введены
для
описа
ния
сил
в
законах
Кулона
и
Ампера,
уравнения
Максвелла
ничего
не
говорят
о
силах
и
энергиях,
действующих
в
системе.
Такое
базовое
понятие,
как
сила
Лоренца,
описывает
силы,
действующие
исключительно
на
движущиеся
заряды.
Но
парадокс
Абрагама-Минковского
говорит,
что
силы,
действующие
на
произвольный
объект,
не
могут
быть
согласованным
образом
получены
из
заданного
электромагнитного
ПОJ1Я
Интересно,
что
законов
Кулона
и
Ампера
оказалось
достаточно,
для
того
чтобы
вывести
силу
Лоренца.
Хотя
при
выводе
уравнений
Максвелла
их
пришлось
дополнить
током
смещения,
сила
Лоренца
от
этого
не
изменилась.
Меньше
про
тиворечий
возникает
в
вопросе
энергии.
Но
и
в
этом
случае
теорема
Пойнтинга,
дающая
правдоподобное
соотношение
между
электромагнитным
полем
и
энергией,
не
является
прямым
следствием
уравнений
Максвелла.
Для
дальнейшего
изложения
це.1есообразно
записать
теорему
Пойнтинга
').
Скалярно
домножая
уравнение
(2.2)
на
поле
Е
и
вычитая
из
этого
соотношения
уравнение
(2
1).
скаляр
но
умноженное
на
вектор
Н,
получим
Н·
(У'
х Е)
-
Е·
(У'
х
Н)
=
-Н·
~~
-
Е·
~~
-
j.
Е.
(251)
Учитывая.
что
выражение
в
левой
части
уравнения
равно
V'
.
(Е
х
Н),
и
интегри
руя
обе
части
по
пространству
с
учетом
теоремы
Гаусса,
перепишем
это
выражение
С.lедующим
образом:
f
(Н
х
Е)
. nda = - f
[Н.
~~
+
Е
.
~~
+ j .
Е]
dV.
(2.52)
i1\.
V
И
хотя
данное
соотношение
уже
представляет
собой
формулировку
теоремы
ПоИнтинга.
для
более
глубокого
понимания
подставим
В
и
D,
выразив
их
из
наибо
.1ее
общих
соотношений
(2.6), (2.7).
Тогда
соотношение
(2.52)
можно
будет
перепи
сать
в
виде
f
1
iJ
f
(Н
х
Е)
.
шlа
+
"2
т
[D·
Е
+
В
.
н]
dV
=
,)\.
\.
= -
fj·
Е(Н'
- ! f
[Е.
дР
-
р.
дЕ]
dV
-
J.Lo
f
[Н.
дМ
-
М·
дН]
dV.
2
ot
дt
2
ot ot
(2.53)
\.
\ V
Это соотношение
является
прямым
следствием
уравнений
Максвелла
и,
таким
образом.
справедливо
в
той
же
мере.
Теорема
Пойнтинга
предлагает
интерпретацию
слагаемых.
входящих
в
это
соотношение.
Она
утверждает,
что
первое
слагаемое
соответствует
полному
потоку
энергии,
входящему
в
объем
V
или
исходящему
из
него.
второе
слагаемое
соответствует
скорости
изменения
энергии
внутри
объема
V,
а
оставшиеся
в
правой
части
слагаемые
описывают
скорость
диссипации
энергии
из
объема
~
..
В
соответствии
с
этой
интерпретацией
вектор
s =
(Е
х
Н)
представляет
собой
плотность
потока
энергии,
а
вектор
И
Т
=
![D.E+B.H]
2
(2.54)
(2.55)
1)
В
отечествеНllОЙ
литературе
эту
теорему
принято
называть
теоремой
Умова-Пойнтинга
Мы
здесь
и
в
дальнейшем
придерживаемся
названий.
принятых
в
мировом
научном
сообще
стве
-
Прuмеч
пер
38
Гл.
2.
Теоретическое
введение
плотность
электромагнитной
энергии.
Если
среда
внутри
объема
V
является
линейной,
последние
два
слагаемых
становятся
равными
нулю
и
остается
только
слагаемое,
отвечающее
за
диссипацию
энергии
j .
Е.
Однако
последние
два
слагае
мых
могут
быть
связаны
с
нелинейными
потерями.
Вектор
8
называется
вектором
ПоЙнтинга.
В
общем
случае
ротор
любого
произвольного
вектора,
будучи
добав
ленным
к
вектору
8,
не
меняет
закона
сохранения
энергии
(2.53),
но
наиболее
удобным
оказывается
именно
вид,
представленный
в
(2.54).
Заметим,
что ток
j
в
соотношении
(2.53) -
это
ток,
связанный
с
диссипацией
энергии,
и
он
не
включает
в
себя
поляризационные
токи
и
токи
намагничивания.
Особый
интерес
представляет
усредненная
по
времени
величина
вектора
8.
Она
описывает
полную
плотность
потока
мощности
и
необходима
для
расчета
распре
деления
излучения
(диаграммы
направленности).
Предполагая,
что
поля
являются
гармоническими
во
времени
и
среда
является
линейной,
и
усредняя
по
времени
соотношение
(2.53),
получим
J (8) . nda =
-~
J
Re[J*
. E]dV, (256)
av
V
где
слагаемое
в
правой
части
описывает
средние
потери
энергии
в
объеме
\.
Величина
(8)
представляет
собой
средний
вектор
Пойнтинга:
1
(8) =
'2Re[E
х
Н*].
(2.57)
В
дальней
зоне
электромагнитное
поле является
полностью
поперечным.
Более
того,
электрическая
и
магнитная
компоненты
находятся
в
фазе,
и
отношение
их
амплитуд
постоянно.
В
этом
случае
вектор
(8)
может
быть
выражен
только
через
электрическое
поле:
(8) =
-21
J
сос
IE1
2
n
r
,
J.toJ.t
(2.58)
где
n
r
представляет
собой
единичный
вектор
в
радиальном
направлении,
а
величина.
обратная
величине,
содержащей
квадратный
корень,
-
импеданс
волны
2.10.
Диадная
функция
Грина
Важным
понятием
теории
поля
является
функция
Грина:
поле,
произ~димое
точечным
источником.
В
электромагнитной
теории
диадная
функция
Грина
G
непо
средственно
связана
с
электрическим
полем
Е
в
точке
г,
возникающим
при
излуче
нии
электрического
диполя
~,
расположенного
в
точке
г'.
В
математической
форме
это
утверждение
записывается
таким
образом:
(259)
Для
усвоения
концепции
функции
Грина
рассмотрим
ее
с
точки
зрения
матема
тического
формализма.
2.10.1.
Математический
формаJlИЗМ
функции
Грина.
Рассмотрим
следующее
неоднородное
уравнение,
записанное
в
общем
виде:
.сА(г)
=
В(г).
(2.60)
Здесь
.с
-
линейный
дифференциальный
оператор,
действующий
на
векторное
по
ле
А, представляющее
собой
неизвестный
отклик
системы.
Векторное
поле
В
-
это
известная
функция
источника,
превращающая
уравнение
в
неоднородное.
Хорошо
2./0
Диадная
функция
Грина
39
известная
теорема
из
теории
линейных
дифференциальных
уравнений
утверждает,
что
общее
решение
неоднородного
уравнения
может
быть
представлено
в
виде
суммы
полного
решения
однородного
уравнения
(В
=
О)
и
частного
решения
неоднородного
уравнения.
Будем
считать,
что
решение
однородного
уравнения
нам
известно
(Ао).
Таким
образом,
нам
необходимо
найти
произвольное
частное
решение.
Обычно
решение
уравнения
(2.60)
найти
довольно
сложно
и
проще
бывает
рас
смотреть
неоднородность
специального
вида,
а
именно
б(г
-
r'),
которая
равна
нулю
всюду,
кроме
точки
r = r'.
Тогда
линейное
уравнение
записывается
в
виде
.сG,(г,г')=Пiб(г-г')
(i=x,y,z),
(2.61)
где
n,
представляет
собой
произвольный
постоянный
единичный
вектор.
В
общем
случае
векторное
поле
G,
зависит
от
положения
r'
неоднородности
б(г
-
r'),
поэтому
вектор
r'
был
также
внесен
в
аргумент
функции
Грина
G
i
.
Три
уравнения,
отвечаю
щие
записи
(2.61),
в
сокращенной
форме
могут
быть записаны
таким
образом:
+-+ +-+
.cG(r,
r')
=
Iб(г
- r'), (2.62)
+-+
где
оператор
.с
действует
~a
каждую
колонку
диады
G
независимо,
а
1 -
единичная
диада.
Диадная
функция
G,
удовлетворяющая
уравнению
(2.62),
называется
диадной
функцией
Грина.
В
качестве
сле3,ующего
шага предположим,
что
уравнение
(2.62)
было
решено
и
функция
Грина
G
известна.
Домножая
далее
обе
части
этого
уравнения
на
B(r')
и
интегрируя
по
всему
пространству,
где
В
i=
О,
получим
f .cG(r,
r')B(r')dV'
= f
В(г')б(г
- r')dV'.
(2.63)
\'
V
Так
как
правая
часть
уравнения
переходит
в
B(r),
с
учетом
уравнения
(2.61)
ПО.1УЧИМ
.cA(r) = f .cG(r, r')B(r')dV'.
(2.64)
V
Если
в
правой
части
уравнения
оператор
.с
может
быть
вынесен
за
знак
интеграла,
решение
уравнения
(2.60)
запишется
в
виде
A(r) = f G(r, r')B(r')dV'.
(2.65)
V
Таким
образом,
решение
исходного
уравнения
может
быть
найдено
интегриро
ванием
произведения
диадной
функции
Грина
и
неоднородности
источника
В
по
объему
V.
Предположение,
что
операторы
.с
и
f dV'
могут
быть
переставлены,
не всегда
верно;
поэтому
необходимо
проявлять
особое
внимание,
учитывая
поведение
подын-
+-+
тегрального
выражения.
Как
правило,
G
обладает
сингулярностью
в
точке
r =
r'
и
необходимо
исключать
из
интегрирования
бесконечно
малую
область
вокруг
точки
r =
r'
(см.
[4,
5]).
Деполяризация
основного
объема
также
должна
рассматри-
+-+
ваться
отдельно,
в
зависимости
от
слагаемого
L,
обусловленного геометрической
формой
рассматриваемого
объема.
Кроме
того,
в
численных
схемах
основной
объем
ограничен,
~o
приводит
к
необходимости
введения
еще
одного
корректирующего
С.1агаемого
М.
Но
т.
к.
мы
имеем
дело
с
ситуацией,
когда
точечные источники
поля
находятся
вне
объема
V, r
i.
V,
мы
можем
не
рассматривать
подобные
сложные
40
Гл.
2.
Теоретическое
введение
моменты.
Тем
не
менее
мы
все
же
вернемся
к
вопросу
об
объеме
интегрирования
в
дальнейшем.
2.10.2.
Функция
Грина
электрического
поля.
Вывод
функции
Грина
Д,1Я
электрического
поля
наиболее
удобно
осуществлять,
рассматривая
векторный
потен
циал
А,
изменяющийся
во
времени
по
гармоническому
закону,
а
также
скалярный
потенциал
ф,
в
бесконечном
однородном
пространстве
задающийся
константами
=
и
J1.
В
этом
случае
для
А
и
Ф
имеют
место
следующие
соотношения:
E(r)
=
iwA(r)
-
\/ф(г),
1
H(r)
=
-\/
х
A(r).
fJ,fJ,o
(266)
(2.67)
Подставляя
эти
соотношения
во
второе
уравнение
Максвелла
(2.26),
получае~I
\/
х
\/
х
A(r)
=
JLJLo,j(r)
-
iWJLoJLeof
[zwA(r) - \/d>(r)],
(2.68)
где
мы
использовали
соотношение
D =
ееоЕ.
Потенциалы
А
и
ф
задаются
соотноше
ниями
(2.66), (2.67)
неоднозначно.
Величина
\/
.
А
может
быть
выбрана
произвольно.
в
нашем
подходе
\/.
A(r)
=
iWJLОJLfоfф(Г).
(269)
Условие,
придающее
однозначность
уравнениям
(2.66), (2.67),
называется
услови
ем
калибровки.
Калибровка,
которую
мы
приняли
в
соотношении
(2.69).
называется
калибровкой
Лоренца.
Используя
математическое
тождество
\/
х
\/х
=
-\/~
+
У\
и
калибровку
Лоренца.
перепишем
(2.68)
в
виде
[\/2 + k
2
]
A(r)
=
-JLоJLj(г),
(2.70)
т.
е.
получим
неоднородное
уравнение
Гельмгольца.
Оно
выполняется
независимо
Д.1Я
каждой
компоненты
А,
вектора
А.
Аналогичное
уравнение
может
быть
получено
дJ1Я
скалярного
потенциала
ф:
[\/2 + k
2
]
ф(г)
=
-p(r)jeoe.
(2
71)
Таким
образом,
мы
получили
скалярное
уравнение
Гельмгольца
вида
[\/2 + k
2
]
f(r)
=
-g(r).
(2.72)
При
выводе
скалярной
функции
Грина
Go(r,
r')
для
оператора
Гельмгольца
заме
няем
источник
в
этом
уравнении
на
точечный
б(г
-
r')
и
получаем
уравнение
[\/2 + k
2
]
Go(r,
r')
=
-б(г
-
r').
(2.73)
Координата
r
обозначает
точку
в
пространстве,
поле
в
которой
нам
необходимо
найти,
а
r'
обозначает
положение
точечного
источника.
Если
мы
найдем
СО.
то
сможем
определить
частное
решение
для
векторного
потенциала
А
уравнения
(2
70)
в
виде
A(r)
=
JLJLo
J
j(r')Co(r,
r')dV'.
v
(2.74)
Аналогичное
соотношение
получаем
для
скалярного
потенциала.
Оба
эти
соот
ношения
требуют
знания
функции
Грина,
заданной
уравнением
(2.73).
В
свободном
пространстве
единственным
решением
этого
уравнения
(см.[1])
является
функция
±lklr-r'l
Go(r,
r')
=
~
1
'1'
7rr-r
(275)
2
10
Диадная
функция
Грина
41
Решение
со
знаком
«плюс»
соответствует
расходящейся
из
центра
волне,
а
со
знаком
«минус.)
-
волне,
сходящейся
к
своему
центру.
В
дальнейшем
мы
будем
прибегать
исключительно
к
расходящимся
волнам.
Скалярная
функция
Грина
может
быть
подставлена
в
(2.74),
и
тогда
векторный
потенциал
может
быть
найден
путем
интегрирования
функции
источника
по
объему
V.
Таким
образом,
у
нас
есть
все
необходимое
для
вычисления
векторного
и
скалярного
потенциалов
для
любого
заданного
распределения
тока
j
и
заряда
р.
Отметим,
что
функция
Грина,
как
она
представлена
в
(2.75),
верна
только
для
однородного
трехмерного
пространства.
<Dункция
Грина,
например,
в
двумерном
пространстве
или
полупространстве
будет
И~lеть
другой
вид.
Итак,
мы
свели
формализм
функции
Грина
к
потенциалам
А
и
ф,
что
позволяет
Ha~1
работать
со
скалярными
уравнениями.
Но
ситуация
становится
более
сложной,
ес.,и
рассматривать электрическое
и
магнитное
поля.
Необходимость
такого
рассмот
рения
обусловлена
тем,
что
источники
тока,
ориентированного
вдоль
оси
;1:,
приводят
К
возникновению
магнитного
поля,
имеющего
компоненты
вдоль
осей
х,
у
и
z.
Одна
ко
для
векторного
потенциала
это не
так:
наличие
источника
тока,
ориентированного
вдоль
оси
./',
приводит
к
возникновению
векторного
потенциала,
имеющего
только
./·-КОl>lПоненту.
Поэтому
в
случае
электрического
и
магнитного
полей
нам
необходимо
фОР~lировать
функцию
Грина,
которая
связывает
все
компоненты
функции
источ
ника
со
всеми
компонентами
полей,
или,
иными
словами,
функция
Грина
должна
представлять
собой
тензор.
Такой
вид
функций
Грина
носит
название
дuадных
функции
Грина.
Мы
упоминали
о
них
в
предыдущем
разделе.
Для
определения
диадной
функции
Грина
мы
рассматриваем
волновое
уравнение
для
электрического
ПО.1Я
(2.31).
В
однородной
среде
оно
имеет
вид
V'
х
V'
х
Е(г)
- k
2
E(r)
=
iWJ.LoJ.Lj(r).
(2.76)
для
каждой
компоненты
вектора
j
мы
можем
определить
соответствующую
функ
цию
Грина.
Например,
для
j:I'
получим
(2.77)
Г,1е
",
-
единичный
вектор
в
направлении
оси
х.
Аналогичное
уравнение
может
быть
записано для
точечного
источника
в
направлении
у
и
Z.
ДЛЯ
того
чтобы
учесть
Б(г,г')
::!-'\--
____
,8
Е(г)
-
Рис
:2
3
Иллюстрация
к
понятию
диадной
функции
Грина
G(r,
г')
Нахождение
значения
3.1ектрического
поля
в
точке
r
от
точечного
источника
j,
находящегося
в
точке
г'
Так
как
ПО.lе
в
точке
r
зависит
от
направления
j,
функция
должна
учитывать
в
структуре
тензора
все
возможные
направления
все
возможные
направления,
запишем
общее
определение
диадной
функции
Грина
д.1Я
электрического
поля
(см.
[6]):
V'
х
V'
х
Б(г,
г')
- k
2
G(r,
г')
= i
б(г
-
г'),
(2.78)
42
Гл.
2.
Теоретическое
введение
где
1 -
унитарная
диада
(единичный
тензор).
Первый
столбец
тензора
G
соответ
ствует
полю,
порождаемому
точечным
источником,
функция
которого
зависит
только
от
координаты
х,
второй
столбец
-
от
координаты
у,
третий
-
~.
Таким
образом.
диадная
функция
Грина
-
это
просто
компактный
вид
записи
трехмерной
векторной
функции
Грина.
Как
и
раньше,
мы
можем
рассматривать
функцию
источника
в
уравнении
(2.76)
как
суперпозицию
точечных
источников.
Таким
образом,
если
мы
знаем
функцию
+-+
Грина
G,
мы
можем
выписать
частное
решение
уравнения
(2.76)
в
виде
Е(г)
=
ZVJI.L/.Lo
f
а(г,
r')j(r')dV'.
v
(2.79)
Однако
это
лишь
частное
решение,
и
мы
должны
прибавить
к
нему
решение
однородного
уравнения
Е
о
.
И,
таким
образом,
общее
решение
будет
иметь
вид
Е(г)
=
Ео(г)
+
iVJ/.L/.Lo
f
а(г,
r')j(r')dV', r
Ф.
V.
v
Соответствующее
решение
для
магнитного
поля
имеет
вид
Н(г)
=
Но(г)
+ 1
[У'
х
а(г,
г')]
j(r')dV',
r
Ф.
V.
(2.80)
(281 )
Эти
уравнения
известны
как
объемные
интегральные
уравнения.
Их
значимость
обусловлена
тем,
что
они
являются
основой
для
различных
подходов,
таких
как
«метод
моментов.,
«уравнение
Липпмана-Швингера.
и
«метод
связанных
диполей»
Мы
ограничили
точность
объемных
интегральных
уравнений
тем.:,
что
поместили
источники
вне
объема
V,
чтобы
избежать
сингулярности
функции
G
в
точке
r =
г'
Это
ограничение
будет
снято
в
последующих
главах.
Для
того
чтобы
решить
уравнения
(2.80)
и
(2~1)
для
заданных
распределений
токов,
нам
необходимо
найти
явный
вид
функции
G.
Подставляя
калибровку
Лорен
ца
(2.69)
в
(2.66),
получим
Е(г)
=
iVJ
[1
+
~2
VV.]
А(г).
(282)
+-+
Первый
столбец
вектора
G,
т.
е.
G
x
,
задаваемый
соотношением
(2.77). -
это
просто
электрическое
поле,
создаваемое
точечным
источником
TOKaj
=
(iVJI/o)-lб(г
-
r')n
x
.
Векторный
потенциал,
возникающий
от
такого
источника
тока,
в
соответ
ствии
с
(2.74),
будет
иметь
вид
(283)
Подставляя
векторный
потенциал
в
(2.82),
найдем
Gx(r,
г')
=
[1
+
~2
VV.]
Со(г,
r')n
x
(2.84)
и
аналогичные
выражения
получим
для
G
y
и
G
z
.
Остается
лишь
связать
три
решения
между
собой,
чтобы
сформировать
диаду.
Так
как
по
определению