Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики

86

Дunоль-дunольное

взаимодействие

и

перенос

энергии

273

При

комнатной

температуре

спектр

излучения

и

поглощения

донора

и

акцептора

~lOжно

хорошо

аппроксимировать

суперпозицией

распределений

Гаусса

N

L

Аllе-(.~-л,,)2

/

t.л;,.

(8.170)

11=1

для

двух

молекул

красителей

получаем

хорошее

соотвествие

уже

при

N =

2.

Параl\lетры

спектра

излучения

донора

fD

даются

равенствами:

А

1

= 2,52

фс,

Лl

= 512.3

нм.

~Лl

= 16,5

нм;

А

2

= 1.15

фс,

Л2

= 541,7

нм,

~Л2

= 35,6

нм.

Парамет

ры

спектра

поглощения

акцептора

аА:

А

1

= 0,021

нм

2

,

Л1

= 535,8

нм,

~Л1

= 15,4

нм;

.-\.2

= 0.013

нм

2

•

Л:г

= 514,9

нм,

~Л2

= 36,9

нм.

Аппроксимированные

спектры

излу

чения

и

поглощения

показаны

на

рис.

8.12.

На

третьем

рисунке

показано

перекрытие

:i.!i

.

l1t1ot('~(

('jl1

3.5

:i

/1

.

3

Р

"

2.!)

,

2.5

,

-,

:2

,

2

u

....-:

,

-&

~I.!i

,

1.5 ::::

,

1

,

1

ип,

иА'

О.!)

,

0.5

, ,

,

о

100

700

100

700 400

700

л

[НМ]

Л

[НМ]

Л

[НМ]

Рис

8

12

Спектры

поглощения

и

излучения

донора

(флуоресuеин)

и

акuептора

(Alexa

Fluoг

532).

аппроксимированные

суперпозиuией

двух

распределений

Гаусса

На

правом

рисун

ке

показано

перекрытие

fD

и

иА,

которое

определяется

радиусом

Ферстера

спектра

излучения

донора

со

спектром

поглощения

акцептора.

Чтобы

рассчитать

скорость

переноса.

следует

провести

усреднение

по

ориентациям

:к

2

в

равенстве

(8

166).

Положим

показатель

преломления

равным

n = 1,33

(вода)

и

пренебрежем

.1исперсиеЙ.

Тогда

радиус

Ферстера

рассчитывается

следующим

образом:

П{)

=

[~

Х

!

f

D

(Л)(JА(Л)Л

2

dЛ]

1/6

= 6,3

нм,

321Г

n

о

Г.1е

произведена

замена

w

на

21ГС/

Л.

1)

(8.171)

Чтобы

экспериментально

измерить

перенос

энергии,

молекулу

донора

следует

привести

в

возбужденное

состояние.

Пусть

длина

волны

возбуждающего

излучения

л,.,.<

= 488

нм,

что

довольно

близко

к

значению

длины

волны,

соответствующей

~!аКСИI\lУМУ

поглощения

флуоресцеина,

Л

= 490

нм.

На

Л

ехс

поглощение

акцептора

в

4

раза

ниже,

чем

поглощение

донора.

Ненулевое

сечение

поглощения

акцептора

приводит

к

фоновому

сигналу

флуоресценции

акцептора.

С

помощью

спектральной

фи.'!ьтрации

оказывается

возможным

разделить

в

эксперименте

флуоресцентное

из

.1)'чение

донора

и

акцептора.

Перенос

энергии

от

донора

к

акцептору

наблюдается

затеl\!

как

спад

интенсивности

флуоресценции

донора

и

рост

интенсивности

флуо-

')

Заметим.

что

л-представление

спектра

излучения

требует

нормировки

вида

2;т('f;'

[J1){>.)/Л

1

]

(lЛ

= 1

18

Л

НовотныЙ.

Б

ХСХТ

274

Гл.

8

Излучение

света

ресценции

акцептора.

Эффективность

переноса

энергии

относительное

изменение

флуоресценции

донора:

обычно

определяется как

Е=

Р

О

1

РО

+

?О-А

1 + ('Y/'YD-A)

(8.172)

Рисунок

8.13

иллюстрирует

изменение

флуоресценции

донора

и

акцептора

в

зави

симости

от

расстояния

R

между

ними.

Предполагается,

что

сечение

поглощения

акцептора

достаточно

мало

на

длине

волны

возбуждения

Лехс..

На

расстоянии

R =

Ro

излучение

донора

спадает

в

два

раза.

Интенсивность

флуоресценции

акцептора

возрастает

как

R-6

и

насыщается

на уровне,

определенном

временем

жизни

возбуж

денного

состояния

акцептора.

g

1г-----т-~--------~~

:.:

0.8

ь

§

0.61-

___

....;..-+

______

-1

=

g 0.4

tJ

11)

g.

0.2 ,

>.

...........

-

~

02~~~--~~~~----~------7·

6 8

10

12

R[HM]

Рис

8

13.

Интенсивность

флуоресценции

донора

и

акцептора

в

зависимости

от

расстояния

R

между

ними

Излучение

донора

спадает

в

два

раза

на

расстоянии

R =

Ro

Флуоресценция

ак

цептора

возрастает

как

R-

6

и

насыщается

при

достижении

значения.

определяемого

временеы

жизни

возбужденного

состояния

акцептора

u

300

::Е

ос

..

200

=

'"

~

100

..

6

о

10

...

0.5

"'

L,J.

0.0

о

1 2 3 4 5

б

i

Х

Время

(с)

Рис.

8.14.

Зависимость

флуоресценции

донора

и

акцептора

от

времени

и

соответствующая

эффективность

РПЭФ

дЛЯ

донорно-акцепторной

пары,

прикрепленной

к

структуре

Холлидея

(ДНК)

Данные

показывают,

что

структура

ДНК

переключается

из

одной

конформации

в

другую,

а

затем

возращается

в

первую

Заимствовано

из

[33]

в

одномолекулярных

экспериментах

важно

знать

ориентацию

донора

и

акцеп

тора.

В

зависимости

от

относительной

ориентации

значение

х

2

может

варьировать

в

диапазоне

х2

=

[О,

... ,4].

Обычно

в

качестве

х

2

используется

усредненное

значение

х2

= 2/3,

однако

это

может

повлиять

на

выводы,

основанные

на

экспериментальных

87

Делокализованные

возбуждения

(сильная

связь)

275

.1анных.

В

добавление

к

измерениям

эффективности

переноса энергии

Е

необходимо

определить

ориентацию

диполей

донора

и

акцептора

в

трех

измерениях,

а

также

вектор

г

А

-

ГО

8.7.

Делокализованные

возбуждения

(сильная

связь)

Теория

переноса

энергии

СРерстера

предполагает,

что

скорость

переноса

от

до

нора

к

акцептору

меньше,

чем

скорость

колебательной

реласации.

Это

предпо

.1Ожение

гарантирует,

что

после

передачи

энергии

от

донора

к

акцептору

обрат

ный

пере

нос

энергии

к

донору

от

акцептора

маловероятен.

Однако

если

энергия

.1иполь-дипольного

взаимодействия

больше

энергии,

связанной

с

колебательным

уширением

электронного

возбужденного

состояния,

то

становится

более

вероятным

.1елокализованное

возбуждение

донора

и

акцептора.

В

этом

режиме

силыtoй

связи

оказывается

невозможным

разделить

донор

и

акцептор

и

приходится

рассматривать

эту

пару

как

единую

систему,

т.

е.

возбуждение

становится

делокализованным.

Если

задать

несвязанные

собственные

состояния

донора

и

акцептора

как

IФD)

и

IФА),

то

связанные

собственные

состояния

будут

иметь

вид:

(IФD)±IФА))/V2.

в

этом

разделе

мы

обсудим

сильную

связь

между

парой

частиц

А

и

В,

но

этот

анализ

может

быть

обобщен

на

большие

системы,

такие

как

J-aepeeambl,

представляющие

собой

цепочки

сильно

связанных

молекул.

Для

такой

задачи

не

существует

адекватной

классической

теории,

поэтому

нам

придется

прибегнуть

к

квантовой

механике.

Рассмотрим

две

частицы,

А

и

В,

которые

представлены

двухуровневыми

система

ми.

В

отсутствие

каКИХ-JIибо

взаимодействий

между

частицами

основное

состояние

и

собственное

значение

А

обозначим

как

IA)

и

ЕА

соответственно,

а

для

возбужден

ного

состояния

-

как

IA*)

и

Е

А

(см.

рис.

8.15).

Аналогичным

образом

обозначим

собственное

состояние

и

собственное значение

частицы

В.

Чтобы

получить

точное

решение,

можно

определить

четыре

состояния:

IAB),

IA*

В),

IAB*)

и

IA*

В*),

которые

удовлетворяют

уравнению

Шредингера

для

несвязанных

систем

(8.173)

Здесь

1<>,,)

-

любое

из

этих

четырех

состояний,

а

через

Е

n

обозначены

собствен

ные

значения,

соответствующие

этим

состояниям,

т.

е.

е

n

Е

[(ЕА

+

Ев),

(Е

А

+

Ев),

(Е._\

+

ЕIз),

(Е;\

+

Еiз)].

После

введения

слагаемых

взаимодействия

между

четырьмя

состояниями

уравнение

Шредингера

примет

вид

(8.174)

Г.1е

filll

гамильтониан

взаимодействия,

IФn)

-

новое

собственное

состояние,

а

Е"

-

новое

собственнное

значение.

Чтобы

определить

собственное

значение

Е

"

=

(Ф"IН.\

+

НН

+

V;lltI

Ф

II)'

нужно

выразить

новое

собственное

состояние

в

тер

минах

прежних

собственных

состояний:

IФ,,)

= anlAB) +

bnlA*

В)

+ cnIAB*) + dnlA*

В*),

(8.175)

и

диагонализовать

гамильтониан

НА

+

Н

в

+

V;llt,

используя

стандартные

про

цедуры.

Основная

проблема

такого

строгого

подхода

состоит

в

недостатке

информации

о

слагаемых

взаимодействия

частиц,

приводящих

к

оператору

V;llt.

Эти

слагаемые

определяются

комбинированной

системой

частиц

А

и

В.

Они

лишь

приблизительно

соответствуют

потенциалу

межчастичного

взаимодействия

VAB

в

равенстве

(8.147).

276

Гл

8.

Излучение

света

Е

2

12)

Et

11+)

Ев

1

В*)-

- - -

,.

Е*

IA*)

.4.

Е.

-----------

.....

11-)

IA)

ЕА

Ев

1

В)

Е

о

1

О)

Частица

А

Частица

В

Частица

А+В

Рис.

8

15.

Когерентное

взаимодействие

между

частицами

А

и

В.

В

резонансном

преде.1е

возбуждение

делокализуется,

распространяясь

на

обе

частицы

Гамильтониан

взаимодействия

Vlnt

можно

определить,

решив

строго

уравнение

Шре

дингера

для

комбинированной

системы

частиц,

и

затем

извлечь

невозмущенный

гамильтониан

из

полученного

решения.

Но

это

сложная

задача.

Чтобы

лучше

понять

этот

тонкий

момент,

рассмотрим

систему.

состоящую

из

двух

электронов,

двух

нейтронов

и

двух

протонов.

Такая

система

хорошо

известна,

это

гелий

(Не

4

).

Если

те

же

частицы

разделить

на

две

равные

системы,

получатся

два

атома

дейтерия

(D)

Несомненно,

взгляд на

Не

4

как

на

два

взаимодействующих

атома

дейтерия

является

весьма

многообещающим.

Коль

скоро

точные

пара

метры

объединенной

системы

не

известны

априори,

предпо

чтительно

описывать

взаимодействие

частиц

в

терминах

их

невозмущенных

пара

мет

ров.

В

этом

случае

взаимодействие

между

двумя

частицами

может

рассматриваться

как

возмущение

двух

изолированных

частиц.

В

частности,

если

предположить.

что

дипольные

моменты

этих

частиц

известны,

то

взаимодействие

между

двумя

частицами

можно

описать

в

терминах

потенциалов

межчастичного

взаимодействия

в

(8.147).

В

предположении,

что обе

частицы

в

целом

электрически

нейтральны.

главным

слагаемым

взаимодействия

будет

диполь-дипольное

взаимодействие

Используя

первое

приближение

невырожденного

случая

теории

возмущения

[341.

запишем

основное

и

дважды

возбужденное

СОСТОяНИя

объединенной

системы:

10)

= IAB) = IA)IB),

12)

=

IA*

В*)

= IA*)IB*),

и

получим

следующие

собственные

значения

энергии:

Е

о

=

ЕА

+

Ев

+

(OIVABIO),

Е

2

=

ЕА-

+

Ев-

+

(2IVABI2).

(8 176)

(8.177)

(8

178)

(8.179)

Таким

образом,

объединение

А

и

В

приводит

К

смещению

основного

и

дважды

возмущенного

уровней

энергии.

Для

однократно

возбужденных

состояний

11

+)

и

11-)

мы

не

можем

прибегнуть

к

такому

же

приему.

Если

частицы

А

и

В

идентич

ны,

невозмущенные

однократно

возбужденные

состояния

IA*

В)

и

IAB*)

будут

вырожденными.

Но

даже

если две

частицы

неидентичны,

невырожденная

теория

возмущений

применима

лишь

тогда,

когда

разность

энергий

невозбужденных

со

стояний

!:lE =

I(E.'4

+

Ев)

-

(ЕА

+ EB)I

много

больше,

чем

величина

возмущения

(А*

BIVABIAB*)

и

(AB*IVABIA*

В).

В

противном

случае

даже

к

невырожденной

системе

следует

применять

вырожденную

теорию

возмущений.

Поэтому

определим

8 7

Делокализованные

возбуждения

(сильная

связь)

277

состояния

1I

+)

и

11-)

объединенной

системы

как

линейную

комбинацию

невозму

щенных

состоянии:

1I

+) =

eOHoIA*

В)

+

sinaIAB*)

= cosaIA*)IB) + sinaIA)IB*),

11-) =

HillltlA*

В)

- cosaIAB*) = sinaIA*)IB) - cosaIA)IB*),

(8.180)

(8.181)

где

(\

-

произвольный

коэффициент,

который

предстоит

определить.

Состояния

1I

+)

и

11-)

должны

удовлетворять

уравнению

Шредингера:

(НА

+

Н

В

+ VAB) 11+) =

Etll+),

(8182)

(HA+HB+VAB)II-)=Etll-).

(8.183)

д.1Я

облегчения

записи введем

следующие

обозначения:

(8.184)

Подставляя

1I

+)

из

равенства

(8.180)

в

уравнение

(8 182)

и

действуя

слева

операто

ром

(1

+

1,

получаем

Е;

=

Hi1l

2

(\

(Е

I +

Ен,

+

П'"АВ')

+

СОБ

2

а

(ЕА'

+

Ев

+

~YA*

в)

+

+ 2 sin

а

СОБ

aRe

((А*

BIVABIAB*)). (8.185)

Мь.!..

использовали

тот факт,

что

НА

действует

только

на

состояние

частицы

А,

а

НВ

-

только

на

состояние

частицы

В.

Также

были

использованы

соотношения

ортогональности

(AIA) =

1,

(A*IA) =

О,

(BIB)

= 1

и

(B*IB)

=

О.

Далее,

поскольку

'~.ш

-

эрмитов

оператор,

получаем:

((AB*IVABIA*B))* = (A*BIVABIAB*),

где

( ... )*

означает

комплексное

сопряжение.

Выражение

для

энергии

Е-

получается

анало

гичным

образом:

Е

1

=

("он

2

(~(E4

+

Ев,

- WAB*) +

+

Hin

2

а

(ЕА*

+

Ев

+

~YA*B)-

- 2 sin

а

СОБ

aRe

((А*

BIVABIAB*)).

(8.186)

Энергетические

уровни

Е+

и

Е-

зависят

от

коэффициента

а,

который

можно

опреде

.1ИТЬ,

потребовав

ортогональности

состояний

11+)

и

11-).

Действуя

оператором

(1-1

на

уравнение

(8.182)

и

используя

свойство

ортогональности

(1-11

+)

=

О,

получим

(I-IН.4

+

НВ

+ VABll

+)

=

О,

(8.187)

откуда

следует

равенство

t 2

2Re

«А*

BIVABIAB*)

~

(\

=

(ЕА'

+

Ев

+ WA'B) -

(ЕА

+

Ев·

+ WAB*)'

(8.188)

Коэффициент

(\

может

принимать

любое

значение

из

диапазона

[О,

7г

/2]

в

зависи

:о.lOсти

от

величины

взаимодействия

между

частицами

А

и

В

Чтобы'

лучше

понять

результат,

рассмотрим

два

предельных

случая:

а

=

О

(а

=

7Г/2)

и

а

=

7Г/4.

В

случае

(\

=

О

однократно

возбужденные

состояния

редуцируются

к

1I

+) = IA*

В)

и

11-) =

-IAB*).

Таким

образом,

в

состоянии

11

+)

возбуждение

полностью

локали

зовано

на

частице

А,

в

то

время

как

в

состоянии

11-)

возбуждение

локализовано

на

частице

В.

Собственные

значения

энергии

в

этом

случае

даются

равенствами

Et

=

[ЕА*

+

Ев

+ WA'B]

(а

=

О),

(8.189)

Е

1

=

[ЕА

+

Ев-

+ WA'B]

(а

=

О).

(8.190)

278

Гл.

8.

Излучение

света

и

если

А

и

В -

идентичные

частицы,

расщепления

энергетических

уровней

не

происходит.

Взаимодействие

приводит

лишь

к

сдвигу

уровня

на

величину

П·.\*/J.

Сходная

ситуация

наблюдается

при

а

=

1г

/2,

при

этом

частицы

А

и

В

меняются

ролями:

однократно

возбужденное

состояние

записывается

теперь

как

1I

+) =

IAB·)

и

11-)

= IA*

В).

а

собственные

значения

энергии

записываются

в

следующем

виде:

Et

=

[ЕА

+Е

в

*

+ WAB*]

(а

=

1Г/2),

(8.191)

Ei

=

[ЕА*

+

Ев

+ WAB-]

(а

=

1Г/2).

(8.192)

Если

в

равенстве

(8.188)

числитель

стремится

к

бесконечности

или

знаменатель

стремится

к

нулю,

получаем

другой

предельный

случай:

(У

=

1г

/

4.

В

зтом

-

так

называемом

резонансном

-

случае

возбуждение

распределено

равномерно

на

обеих

частицах

и

собственные

значения

энергии

даются

равенствами

Et

=

~[EA

+

ЕА-

+

Ев

+

Ев·

+ WA*B + WAB'] +

+

Re((IA*BIVABIAB*)

(Н

=

1Г/4),

(8193)

Ei

=

~[EA

+

ЕА*

+

Ев

+

Ев-

+ WA*B +

И'АВ-]-

-Rе((IА*ВIVАвIАВ*))

(Н=1Г/4).

(8.194)

Это

делокализованное

возбуждение

также

называется

эксиmоном,

а

режим,

характе

ризующий

значение

о:

~

1г

/4,

называется

режимом

сильной

связи.

Делокализованное

возбуждение

всегда

достигается,

если

частицы

А

и

В

идентичны.

В

общем

случае

потребуем

выполнения

неравенства

Re

((IA*

BIVABIAB*)»~

([EA-+ЕВ+WА-в]-[ЕА+ЕВ*+WAlJ*]).

(8.195)

Наш

анализ

показывает,

что

взаимодействие

между

двумя

идентичными

частица~IИ

приводит

к

расщеплению

уровней

однократно

возбужденных

состояний.

В

случае

многих

взаимодействующих

частиц многократное

расщепление

однократно

возбуж

денных

состояний

приведет

к

возникновению

энегетической

зоны

(экситонной

по

лосы).

Делокализованное

возбуждение

основано

на

когерентной

суперпозиции

со

стояний.

Время,

требующееся

для

установления

этой

когерентности,

по

порядку

величины

равно

Те

= h/VAB.

Колебательная

релаксация

может

легко

разрушить

когерентность

за

несколько

пикосекунд.

В

результате

возбуждение

становится

лока

лизованным,

инекогерентный

перенос

энергии

между

частицами

(перенос

энергии

Ферстера)

становится более

вероятным.

В

общем

случае

в

системе

может

быть

уста

новлена

сильная

связь,

если

время

колебательной

релаксации

Т"н,

больше,

чем

т,

В

качестве

иллюстрации

сильной

связи

приведем

рис.

8.16,

на

котором

показано

расщепление

уровня

двух квантовых

точек

IпАs,

разделенных

барьером

GaAs

из

меняемой

толщины.

Пики

соответствуют

излучению

основного

состояния

экситона

(в-оболочка)

и

первого

возбужденного

состояния

экситона

(р-оболочка).

При

боль

шой

величине

барьера

наблюдается

лишь

одна

линия

излучения

основного

состояния,

но по

мере

уменьшения

толщины

барьера

линия

излучения

расщепляется.

То

же

справедливо

и

для

первого

возбужденного

состояния

экситона,

но

на

рисунке

показан

только

нижний

из

двух

уровней,

возникающих

при

расщеплении.

В

этих

экспе

риментах

мощность

возбуждения

была

выбрана

малой

во

избежание

возбуждения

множества

экситонов.

8.7.1.

Перепутанные

состояния.

Понятие

перепутанности

состояний

становит

ся

исключительно

важным

в

контексте

квантовой

теории

информации.

Оно

восходит

к

немецкому

verschriinkter Zustand

и

впервые

предложено

Шредингером

[36]

Это

87

Делокалuзованные

возбужденuя

(сuльная

связь)

279

..

136

....

,/~8HM

б

u

•

Q

=

..

•

1.34

'"

10

.•......

u

=

....

~

,/=7I1М

1(/'

..

§

••

1.32

~

..

са

..

О:

..

"

':0

.....

0.

!.~:.o

..

=

~

= d=6HM

О

•

..

.,

..

•

1.30

'"

~

..

,

I

i5..

•.....•

.,

::<

=

с-

..

'

ст\

Q

d=5им

....

la'

1.28

::с

"

ОДIIНОЧЩUI

1.26

d=4им

•

КВdнтовая

ТОЧl\1I

1.2()

1.28

1.30

1.32

1.34

4

5 6 7 8 9

1.2-!

Энергия

(эВ)

Ширина

барьера

(ИМ)

Рис

8

16

Расщепление

уровня

двух

квантовых

точек

InAs,

разделенных

барьером

GaAs.

а

-

Спеlйр

излучения

при

Т ~

60

К

для

различных

значений

расстояния

d

между

точками

б

диаграмма

соответствующих

уровней

энергии

Заимствовано

нз

[35]

понятие

соответствует

комбинированному

состоянию

двух

систем

(т.

е.

однократно

возбужденных

состояний,

рассмотренных

в

предыдущем

разделе),

которое

не

может

быть

представлено

как

произведение

индивидуальных

состояний.

Иначе

говоря,

пере

путанность

соотвествует

степени

квантовой

памяти

в

системе.

Существуют

различ

ные

определения

степени

перепутанности,

но

мы

ограничимся

обсуждением

приме

НИI\lОСТИ

к

чистым

состояниям

так

называемого

разложения

Шмидта

(Schmidt) [37].

Вопрос

перепутанности

состояний

отсылает

нас к

общим

свойствам

двух

систем,

А.

и

В,

и

так

называемым

двухчастичным

системам.

Каждая

система

характеризуется

ее

собственными

состояниями,

т.

е.

IA

n

)

и

IB

m

),

где

n =

1'2'

...

' N

и

т

=

1'2'

...

..

\/

Системы

А

и

В

называются

кубитами,

если

N =

}.[

= 2.

Составная

система

.-1.

+

В

имеет

собственные

состояния

Iw),

которые

можно

произвольно

складывать

друг

с

другом

и

которые

определяют

матрицу

плотности

Р=

Iw)(wl·

(8.196)

Поскольку

Ф

можно

выразить

в

терминах

IA

n

)

и

IB

m

),

определим

приведенные

~Iатрицы

плотности

Р.\

и

PJJ

как

РА

=

ТrB[p)

=

L(BmIPlB

IlI

),

m

РА

=

тr

А[Р]

=

L(АnIPlА

п

),

(8.197)

п

r;t.e

Tl'

-

след

матрицы.

Данное

(нормированное)

состояние

Iw)

называется

сепара

бельным,

если

все

кроме

одного

собственные

значения

),1

приведенной

матрицы РА

равны

нулю

Можно

показать,

что

РВ

имеет

те

же

собственные

значения,

и,

таким

образом,

достаточно

рассмотреть только

одну

из

приведенных

матриц.

Заметим,

что

сумма

всех

)"

равна

единице.

Если

состояние

Iw)

несепарабельно,

состояние

называется

перепутанным

и

степень

перепутанности

определяется

числом

Гроуба-

280

Гл

8.

Излучение

света

Рзазевского-Эберли

(Grobe-

Rzazewski - Eberly) [38]

K~(~>1Г

(8

198)

которое

всегда

больше

или

равно

единице

и

меньше

либо

равно

полному

чис.,!"

ненулевых

собственных

значений.

В

качестве

при

мера

рассмотрим

состояние

11+)

= cosaIA*B)

+siпаIАВ*),

(8 199)

обсуждавшееся

в

предыдущем

разделе.

Это

состояние

комбинированной

системы

.-l

(IA)

и

IA*)

и

В

(IB)

и

IB*).

Таким

образом,

N =

М

=

2.

Матрица

плотности

ji

при

этом

дается

равенством

Р=

[cosaIA*

В)

+

siпаIАВ*)]

[(сона)*(А*

BI + (silla)*(AB*I] =

=

еон

2

o:IA*

B)(AB*I +

siп

2

o:IAB*)(AB*1 +

+

siп

о:

СОБ

alA*

В)

(АВ*

1 +

Sill

n

сон

(tIАП*)(А'

ПI

(8.200)

и

приведенная

матрица

плотности

принимает

вид

РА

=

сон

2

aIA*)(A*1 + sill

2

o:IA)(AI

=

[co~

n

Hil~

(1]'

(8201)

где

использовано

свойство

ортонормированности

IB)

и

IB*).

Поскольку

недиагональ

ные

элементы

равны

нулю,

собственные

значения

даются

равенствами

л\

=

Hi1l

2

О.

Л2

= cos

2

а,

и

число

Гроуба-Рзазевского-Эберли

принимает

вид

К

1 (8.202)

- sin

4

Q +

СОБ

4

Q •

Таким

образом,

состояние

11

+)

является

сепарабельным,

если

(}

=

о

или

(1

=

ii

/2.

При

промежуточных

значениях

угла

состояние

является

перепутанным.

При

(1

=

1/4

состояние

максимально

перепутано

(К

= 2)

и

называется

беЛЛО8ским

состояние.И

Полученный

результат

находится

в

согласии

с

предыдущим

разделом.

где

было

показано,

что

при

о:

=

1/4

возбуждение

равномерно

распределено

по

двум

частица~\

(резонансный

случай)

и

что

при

этом

достигается

наиболее

сильная

связь

Подводя

итог,

заметим,

что

разложение

Шмидта

работает

только

для

чистых

состояний.

а

для

смешанных

приходится

применять

иные

процедуры.

Задачи

8.1.

Выведите

выражение

для

потенциальной

энергии

V

системы

двух

зарядов

fJ

и

-q

во

внешних

полях

Е,

Н.

Заряды

разделены

вектором

8,

величина

которого

s =

181

«

л.

Для

начала

рассчитайте

силу

F =

(m\

+

II/2)Г,

действующую

на

два

заряда,

и

разложите

F

в

ряд

Тейлора

в

окрестности

начала

координат.

по

местив

его

посередине

между

зарядами.

Удержите

первые

по

порядку

малости

члены

разложения.

Затем

выведите

V

для

двух

случаев:

1)

постоянный

дипольный

момент

jL;

2)

наведенный

дипольный

момент

jL

=

аЕ.

8.2.

Выведите

выражение

для

функции

Грина

дальнего

поля

GFF

в

сферической

системе

координат

и

в

декартовых

проекциях.

Рассчитайте

диаграмму

излуче

ния

Р(

-а.

<р)

/

Р

для

диполя

jL,

который

составляет

угол

()

с

осью

::

87

Задачи

281

8.3

Докажите,

что

слагаемые

ближнего

и

дальнего

полей

диполя

в

свободном

пространстве

не

вносят

вклада

в

излучение.

8 4

Рассчитайте

энергию

взаимодействия

между

двумя

диполями,

исходя

из

равен

ства

\.

=

-111

.

E2(rl)

-112 .

Е

1

(Г2)'

где

Е

1

(Г2)

-

поле

диполя

111'

рассчитанное

в

точке

расположения

второго

диполя

Г2.

Аналогично,

E2(rl)

-

поле

диполя

112'

рассчитанное

в

точке

расположения

первого

диполя

rl.

Разделите

вклады

ближнего

поля,

среднего

поля

и

дальнего

поля.

8

5.

В

разд.

8.3.4

было

указано,

что

в

дипольном

пределе

для

описания

рассеяния

на

частицах

необходимо

принимать

во

внимание

реакцию

излучения.

В

этом

упражнении

мы

выведем

поправки

для

поляризуем

ости

частицы

а

для

согла

сования

с

оптической

теоремой.

1)

Сила

реакции

излучения

F r

определяется как

собственное

поле

E

se1f

со

гласно

равенству

F,

=

qEself.

Выразите

равенство

(8.85)

через

дипольный

момент

11

=

ЧГ

и

представьте

связанное

собственное

поле

в

частотной

области,

т.

е

найдите

Е~еlf(Ш).

2)

Диполь

11

индуцируется

локальным

полем,

состоящим

из

внешнего

поля

Ео

и

собственного поля

E

se1f

согласно

равенству

11

=

а(ш)

(Е

о

+ Eself).

Подставьте

E

Sl

'

11

из

(1)

и

приведите

подобные,

чтобы

получить

11

=

аеrr(ш

)Ео.

Покажите,

что

эффективная

поляризуемость

дается

равенством

( )

a(w)

аен

ш

=

k

З

1-

t-a(w)

6п.оо

(8.203)

После

применения

оптической

теоремы

первое

слагаемое

в

разложении

аеП

при

водит

К

поглощению,

тогда

как

второе

слагаемое

определяет

рассеяние.

Несостоятельность

оптической

теоремы

в

дипольном

приближении

обсуждает

ся

также

в

задаче

15.4.

86

Парциальная

локальная

плотность

состояний

p~

зависит

от

ориентации

еди

ничного

вектора

D/

1

•

Покажите,

что

в

результате

усреднения

D/L

по

всем

ориентациям,

р/,

становится равно

полной

плотности

состояний

р.

Достаточно

показать,

что

(п/

,

. Im(G) .

D/L)

=

~Im

[Tr

(ё)].

8 7

В

свободном

пространстве

парциальная

локальная

плотность

состояний

равна

полной

плотности

состояний

р.

Чтобы

показать

это,

докажите,

что

где

G()

-

диада

свободного

пространства.

8

8.

Молекула,

дипольный

момент

излучения

которой

направлен

вдоль

оси

х,

рассматривается

в

плоскости

(х,

у).

Сферическая

частица

из

золота

(е

=

-7,6

+

1,71)

радиуса

Т'о

=

10

нм

расположена

над

плоскостью

(х, у).

Длина

волны

излучения

л

= 575

нм

(молекула

DiI).

Центр

частицы

закреплен

в

точке

(,",!},:)

=

(О,О,20нм).

1)

Рассчитайте

нормированную

скорость

релаксации

'у

/'уО

как

функцию

х

и

,1/.

Пренебрегая

эффектами

запаздывания,

постройте

контурный

график.

Чему

равно

минимальное

значение

'у

/'уО?

Как

скорость

тушения

соотносится

с

радиусом

сферы

Т'о?

2)

Повторите

расчет

для

диполя,

ориентированного

в

направлении

оси

z.

89

Две

молекулы,

флуоресцеин

(донор)

и

alexa green 532

(акцептор),

распо

Jl0жены

в

плоскости,

находящейся

посередине

между

двумя

идеально

про-

282

Гл

8.

Излучение

света

водящими

поверхностями,

разделенными

расстоянием

d.

Спектр

излучения

донора

(fD)

и

спектр

поглощения

акцептора

(аА)

аппроксимированы

СУМl\IОЙ

двух

гауссовых

плотностей

распределения.

Используйте подгоночный

пара

метр

из

разд.

8.6.2.

1)

Определите

функцию

Грина

для

этой

геометрии.

2)

Рассчитайте

скорость

релаксации

донора

1'0

в

отсутствие

акцептора.

3)

Определите

скорость

переноса

1'D--+A

как

функцию

расстояния

между

доно

ром

и

акцептором

R.

Диполь

ориентирован

случайным

образом.

4)

Постройте

зависимость

радиуса

Ферстера

R{)

от

расстояния

(1

8.10.

Докажите

равенство

(8.188)

с

помощью

шагов,

описанных

в

разд

8.7

8.11.

Рассмотрите

состояние

1

ф

) =

(3.

1 1 + ) +

(321

1 - ) ,

где

1 1 + )

и

1 1 - )

определяются

равенствами

(8.180)

и

(8.181)

соответствен

но.

Предполагая,

что

1 1 + )

и

1

1-

) -

максимально

перепутанные

состояния

(а

=

1Г/4),

исследуйте

разложимость

1

Ф)

как

функции

/1.

и

,1"1

Может

ли

суперпозиция

перепутанных

состояний

быть

состоянием

неперепутаННЫI\l";)

Определите

число

Гроуба-Рзазевского-Эберли.

8.12.

Пусть

системы

А

и

В

-

трехуровневые

с

состояниями

1 - 1 ), 1

О)

и

I 1

~

Определите

комбинированное

максимально

перепутанное

состояние

(комбини

рованные

максимально

перепутанные

состояния).

Список

литературы

1 Craig

D.

Р

and

Thirunamachandran

Т

Molecular Quantum Electrodynamics - Mineola.

NY

Dover Publications, Inc , 1998

2.

Loudon R The Quantum Theory

of

Light - Oxford,

UK

Oxford University Press. 2nd

edn., 1983

[Русск пер

Лоудон

Р

Квантовая

теория

света

-

М

Мир.

1976 - 488

с

]

3.

Cohen-Tannoudji

С.,

Dupond-Roc

J.,

and Grynberg G Photons and Atoms. Ne\v

York

John

Wiley

& Sons, 1997

4.

J.A.

Stratton Electromagnetic Theory - New York.

МсGгаw-НiII,

1st edn

,1941

[Русек

пер

Стрэттон

Дж

А.

Теория

электромагнетизма.

-

М

.

ГИТТЛ,

1948 - 539

с

]

5

Ваггоn

L.

D.

and

Огау

С

G The multipole interaction Hamiltonian

for

timc dependent

fields / /

Phys.

А

1973. V 6

Р

50-61

6 Woolley R. G

А

comment

оп

The multipole interaction Hamiltonian

for

time depcndent fields

/ /

J.

Phys

В.

1973

У.6.

Р

L97-L99.

7.

Milonni

Р

W. The Quantum Vacuum. - San Diego Academic Press. 1994

8 van de Hulst

Н

С

Light Scattering

Ьу

Small Particles - Mineola.

NY

Dover PubIicatlOns.

Inc,

1981.

9 Purcell

Е

М

/ / Phys Rev. 1946 V 69.

Р.681

10.

Drexhage

К

Н.,

Fleck

М.,

Shafer F

Р.,

and

Sperling W

//

Вег

Bunsenges Phys Chem

1966. V 20.

Р

1176.

11

Ооу

Р,

Raimond

J.M,

Gross

М.,

and Haroche S.

//

Phys Rev Lett 1983 V 50

Р

1903

12

Кleppneг

D

//

Phys

Rev.

Lett.

1981

V 47

Р.233.

13.

Yablonovitch

Е.

/ / Phys. Rev Lett. 1987.

У.58

Р

2059

14.

John S. / / Phys Rev Lett. 1987 V 58.

Р

2486.

15

Joannopoulos

J.

D,

Villenueve

J.

D ,

and

Раn

S. / / Nature 1997 V 386

Р

143

16

Trautman J

К

. and Macklin J J / / Chem. Phys. 1996 V 205

Р

221

17

Andrew

Р

and

Barnes W L / / Science 2000

У.

290

Р

785

18.

Sdnchez-Mondrag6n J J , Narozhny

J.

J ,

and

Eberly

J.

J / / Phys Rev Lett 1983 V

51

Р.550

Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики

Подождите немного. Документ загружается.