Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики
Подождите немного. Документ загружается.
8 3
Излучение
электрического
диполя
253
что
позволяет
нам
написать
выражение
для
нормированных
потерь
энергии:
Р
= 1 +
67Геое
~Im
Г
..
* .
Е
(r
)]. (8.80)
Р
О
11112
k
3
"'"
s
О
Таким
образом,
изменение
рассеяния
энергии
зависит
от
вторичного
поля
ди
поля.
Это
поле
соответствует
собственному
излучению
диполя,
испущенному
ранее.
Вторичное
поле
возвращается
к
диполю
после
расеяния
на
окружении.
8.3.4.
Реакция
излучения.
Как
известно,
колеблющийся
заряд
порождает
электромагнитное
излучение.
Это
излучение
не
только
отбирает
энергию
у
осцилля
тора,
но
также
и
влияет
на
движение
заряда.
Это
явление
называют
излучатель
ной
релаксацией
или
реакцией
излучения.
С
учетом
силы
реакции
излучения
F
r
уравне
ние
движения
гармонически
колеблющегося
диполя
можно
представить
в
виде
..
2 F
mr+womr
=
r'
(8.81)
где
u.J5m
-
линейный
коэффициент
упругости.
Согласно
равенству
(8.70)
средняя
мощность
потерь
равна
P(t) =
_1_.2..
[d
2111
(t)l]
2 _ q2(r.
г)
.
47Гео
3с
3
dt
2
67Геос
3
(8.82)
Будучи
проинтегрированной
по
конкретному
промежутку
времени
Т
=
[t!
...
t2],
эта
величина
окажется
равной
работе,
совершенной
над
диполем
силой
реакции
излуче
ния.
Таким
образом,
(8.83)
После
интегрирования
по
частям
второго
слагаемого
получаем
t2
[
2..
]
2··
.
It2
J
F
1
•
Г
- q
(r·
~)
dt + q
(r·
~)
=
о.
67Г
е
ос
67Г
е
ос
tl
tl
(8.84)
Для
малых
временных
интервалов
(при
Т
-
о)
проинтегрированное
слагаемое
стремится
к
нулю
и.
следовательно,
оставшийся
интеграл
тоже
исчезает.
В
итоге
получаем
формулу
Абрагама-Лоренца
для
силы
реакции
излучения:
2···
F=~
r
67Геос
3
·
(8.85)
Уравнение
движения
(8.81)
теперь
принимает
вид
2
r - q
·г·
+
W5r
=
о.
67Геос
3
т
(8.86)
Предполагая,
что
затухание,
обусловленное
силой
реакции
излучения,
пренебрежимо
мало.
получаем
решение:
r(t) =
ro
ехр(
-iwot),
и
поэтому
·г·
= -w5r.
Итак,
в
случае
малого
затухания
получаем
2 1 2
q
2
w
3
r +
'Уог
+
wor
=
о,
'Уо
= -
--.
(8.87)
47Гео
3с
3
т
Это
уравнение
соответствует
лоренцевой
модели
свободного
атома
с
частотой
перехо
да
....
·0
и
шириной
линии
'Уо.
Более
строгий
вывод
показывает,
что
реакция
излучения
254
Гл.
8.
Излучение
света
влияет
не
только
на
релаксацию
осциллятора,
но
также
и
на
эффективную
массу
осциллятора.
Этот
дополнительный
вклад
в
массу
называется
электромагнитной
массой
и
является
предметом
множества
дискуссий
[7].
Благодаря
излучательной
релаксации
свободный
осциллятор
в
конце
концов
придет
в
состояние
покоя.
Однако
осциллятор
взаимодействует
с
вакуумным
по
лем,
которое
поддерживает
в
нем
жизнь.
Следовательно,
вынуждающее
слагаемое
с
учетом
флуктуаций
вакуумного
поля
Е
о
должно
быть
добавлено
в
правую
часть
уравнения
(8.87).
Флуктуирующее
поле
вакуума
компенсирует
потери
энергии
ос
циллятора,
а
соответствующие
флуктуационно-диссипационные
соотношения
будут
обсуждаться
в
гл.
14.
Вкратце,
чтобы
соблюдать
равновесие
между
осциллятором
и
вакуумом,
вакуум
должен
породить
флуктуации,
коль
скоро
он
получил
энергию
от
осциллятора
(релаксация
излучения).
Можно
показать,
что
спонтанное
излучение
является
результатом
и
реакции
излучения,
и
флуктуаций
вакуума
[7].
В
заключение
заметим,
что
реакция
излучения
имеет
большое
значение
в
до
стижении
корректной
формулировки
оптической
теоремы
в
дипольном
приближе
нии
[8],
т.
е.
для
частицы,
описываемой
поляризуемостью
а.
В
этом
приближении
вынуждающее
поле
поляризует
частицу
и
индуцирует
дипольный
момент
J1,
который.
в
свою
очередь,
излучает
поле,
называемое
нами
рассеянным.
Согласно
оптической
теореме
мощность
релаксации
(сумма
рассеянной
и
поглощенной
мощностей)
может
быть
выражена
через
рассеянное
назад
поле.
Однако
оказывается,
что
в
дипольном
приближении
мощность
релаксации
идентична
поглощенной
мощности
и,
таКИI\I
образом,
рассеянный
свет
не
принимается
во
внимание!
Решение
этой
дилеМI\IЫ
проведено
в
терминах
реакции
излучения
в
уравнении
(8.85)
и
детально
проанали
зировано
в
задаче
8.5.
В
двух
словах:
частица
взаимодействует
не
только
с
внеШНИI\I
вынуждающим
полем,
но
и
с
собственным
излучением,
благодаря
отставанию
по
фазе
между
наведенными
дипольными
колебаниями
и
колебаниями
вынуждающего
электрического
поля.
Этот
сдвиг
фаз
восстанавливает
справедливость
оптической
теоремы
и
является
ответственным
за
рассеяние
света
в
д!шольном
приближеllИИ
8.4.
Спонтанная
релаксация
До
проведенного
Парселлом
(Ригсеll
Edward MiIIs)
в
1946
г.
анализа
спонтанное
излучение
рассматривалось
как
собственное
свойство
атомов
или
молекул
[9].
В
ра
боте
Парселла
устанавливалось,
что
скорость
спонтанной
релаксации
магнитного
диполя,
расположенного
в
резонансном
электронном
устройстве,
может
увеличиться
по
сравнению
со
скоростью
релаксации
в
свободном
пространстве.
Таким
образом
подразумевалось,
что
окружение
атома
существенно
изменяет
его
излучательные
свойства.
Чтобы
экспериментально
исследовать
этот
эффект,
необходим
при
бор
с
ха
рактерым
размером
порядка
длины
волны
излучения
л.
Поскольку
большинство
атомных
переходов
наблюдается
в
оптическом
диапазоне
и
его
окрестности,
модифи
кация
спонтанной
релаксации
не
наблюдалась
в
эксперименте.
В
1966
г.
Дрексхаге
(Drexhage)
исследовал
влияние
границы
раздела
сред
на
спонтанную
релаксацию
молекул
[1
О]
и на
увеличение
атомной
скорости
релаксации
в
резонаторе,
позднее
его
результаты
были
проверены
Гоем
(Goy)
и
др.
[11].
Однако
было
также
обнаружено,
что
релаксация
атомов
может
быть заторможена
с
помощью
резонатора
[12]
С
тех
пор
изменение
скорости
спонтанной
релаксации
атомов
или
молекул
исследовалось
в
разных
средах,
включая
фотонные
кристаллы
[13-16].
Недавно
было
также
пока
зано,
что
безызлучательный
перенос
энергии
между
смежными
молекулами
(перенос
Ферстера)
может
быть
модифицирован
неоднородным
окружением
[17].
8 4
Спонтанная
релаксация
255
В
теории
взаимодействия
атома
и
поля
есть
два
отчетливо
выраженных
режима,
а
именно
режимы
сильной
и
слабой
связи.
Эти
два
режима
различаются
на основа
нии
константы
атом
но-полевой
связи,
которая
оценивается
как
J.Lгr;:;;
x=hV~'
(8.88)
где
"";0
-
частота
атомного
перехода,
J.l
-
дипольный
матричный
элемент
и
V -
объем
резонатора.
Сильная
связь
удовлетворяет
условию
х»
'Усау,
где
'Усау
-
скорость
релаксации
фотона
в
резонаторе.
В
режиме
сильной
связи
только
квантовая
электродинамика
(КЭД)
может
дать
правильное
описание
атом
но-полевого
взаимо
действия.
Например,
спектр
излучения
атома
в
резонаторе
с
большой
добротностью
(Q
--+
х)
имеет
два
различных
пика
[18,
19].
С
другой
стороны,
было
показано,
что
в
режиме
слабой
связи
(х«
'Усау)
КЭД
и
классическая
теория
при
водят
к
од
ному
и
тому
же
результату
для
модификации
скорости
спонтанной
излучательной
релаксации.
При
этом
в
терминах
классической
теории
модификация
спонтанной
релаксации
обусловлена
рассеянием
атомных
полей
на
окружении,
а в
рамках
КЭД
релаксация
частично
обусловлена
флуктуацией
вакуумного
поля,
которое
в
свою
очередь
является
функцией
окружения.
8.4.1.
кэд
спонтанной
релаксации.
В
этом
разделе
мы
получим
коэффициент
спонтанной
релаксации
'У
для
двухуровневой
квантовой
системы,
раСПОJIOженной
в
точке
r =
го.
Спонтанная
релаксация
-
чисто
квантовый
эффект,
и
его
опи
сание
требует
при
влечения
КЭД.
Данный
раздел
призван
поместить
классический
подход
в
подходящий
контекст.
Мы
рассмотрим
комбинированные
состояния
«по
ле
+
система&
и
рассчитаем
переходы
из
возбужденного
состояния
li)
с
энергией
Е;
в
набор
конечных
состояний
IЛ
с
идентичной
энергией
Е!
(см.
рис.
8.5).
Конечные
состояния
различаются
лишь
модой
k
поля
излучения
').
Представленный
ниже
вывод
основывается
на
формализме
Гейзенберга;
эквивалентный
вывод
представлен
в
Приложении
В.
Согласно
золотому
правилу
Ферми
постоянная
'У
дается
равенством
где
Н,
=
-ii·
Е
-
гамильтониан
взаимодействия
в
дипольном
~,етим,
что
все
Wf
идентичны.
Используя
выражение
дЛЯ
H
I
,
С,lедующую
подстановку:
(8.89)
приближении.
За
можно
совершить
(8.90)
Представим
оператор
напряженности
электрического
поля
Е
в
точке
r =
го
со
rJlaCHO
[2]:
Е
= L
[Etak(t)
+
EkaL(t)]
,
k
(8.91)
где
(8.92)
1)
Не
следует
путать
k
с
волновым
вектором
В
данном
случае
это
метка
соответствующей
~1O.1ы.
которая
в
свою
очередь
характеризуется
вектором
поляризаци
и
волновым
вектором
256
Гл.
8.
Излучение
света
Е
Е;
1
е,
{О})
r
Рис.
8.5.
Переход
из
начального
состояния
I~)
=
le,
{О})
в
набор
конечных
состояний
11)
=
Ig,
{l"'k})'
Энергия
всех
конечных
состояний
одинакова
Разница
между
начальной
и
конечной
энергией
дается
равенством
(E
i
-
Ej)
=
nЫo.
Рассматриваемые
состояния
суть
произведение
атомных
состояний
(Ie)
или
Ig)
и
однофотонных
состояний
(I{O})
или
l1
.....
k)
Число
отдельных
однофотонных
состояний
определяется
частичной
локальной
плотностью
состояний
pp.(ro,
wo),
где
ro
определяет
положение
двухуровневой
системы
Здесь
aL(O)
и
ak(O)
-
операторы
рождения
и
уничтожения
соответственно.
Сумма
по
k
означает
суммирование
по
всем
модам,
'"'-'k
означает
частоту
моды
k.
Зави
сящие
от
координат
комплексные
величины
Et
=
(Ek")*
являются
положительно
и
отрицательно-частотной
частями
комплексного
поля
Ek.
Для
двухуровневой
атом
ной
системы
с
основным
состоянием
Ig)
и
возбужденным
уровнем
le)
оператор
дипольного
момента
может
быть
записан
как
(8.93)
где
r+
=
le)(gl
и
-т=
Ig)(el.
В
этой
записи
JI.
-
дипольный
момент
перехода.
который
предполагается
вещественным,
т.
е.
(gli1le)
=
(elj!lg).
Используя
выражения
для
Е
и
j1.
запишем
гамильтониан
взаимодействия
в
виде
-j!.
Е
= -
LJI.·
[Etr+ak(t) + Ek"raL(t) +
Etrak(t)
+ Ek"r+a:L(t)].
k
(894)
Теперь
мы
определим
начальное
и
конечное
состояния
составной
системы
«по
ле
+
атом.
как
li) =
le,
{О})
= le)I{O}),
IЛ
=
Ig,{l<Uk,})
=
Ig)l{l<Uk'})
(8.95)
(8.96)
соответственно.
Здесь
I{O})
означает
состояние
с
нулевым
числом
фотонов.
l{l<Uk,})
-
однофотонное
состояние,
соответствующее
моде
k'
на
частоте
'"'-'о
=
(Ее
- Eg)/h,
Ее
и
E
g
-
энергии
возбужденного
и
основного
состояний
соот
ветственно.
Таким
образом,
конечные
состояния
в
ур~внении
(8.89)
ассоциируются
с
различными
модами
k'.
Действие
оператора
j!.
Е
на
состояние
Iz)
приводит
к
равенству
j!.
Eli) =
JI.
L
Ek"
e~<Uktlg,
{l<Uk})'
(897)
k
8 4
Спонтанная
релаксация
257
r.J.e
использовано
выражение
at(O)I{O}) =
1{I"'k})'
Домножая
полученное
равенство
на
UI.
получаем
Ulii·
Elz)
=
J1
LEke~wkt(g,
{1"'k,}lg, {1"'k})' (8.98)
k
Мы
использовали
здесь
соотношение
ak(O)I{I"'k}) =
{О}.
Сходная
процедура
при
во
.J.ит
к
равенству
(1Iii'
ЕIЛ
=
J1
L Ete-&"'kt(g, {l"'k}lg, {l"'k' }).
(8.99)
k
Теперь
можно
подставить
матричные
элементы
в
уравнения
(890)
и
(8.89).
Выражая
сумму
по
конечным
состояниям
как
сумму
по
модам
k',
получим
скорость
перехода:
- =
2:
L L
[J1'
Et"
й
E
k
.
J1]
et("'k-"'k,,)t
х
1"1
k
k"
Х
L
('ч,
{1"'k"
}Ig,
{l"'k'
})
(у,
{l"'k'
}Ig,
{1"'k}
)б(Uk'
-
(UO).
(8.100)
k'
ВС.lедствие
ортогональности
единственным
неисчезающим
слагаемым
будет
то,
в
ко
TOPO~I
k' = k" = k,
поэтому
') =
2:
L
[J1'
(Et
@ E
k
) .
J1]
б(Uk
-
(UO).
(8.101)
1"1
k
Здесь
Et
E
k
означает
тензорное
произведение,
т.
е.
результатом
является
матрица
размером
3
х
3
Для
дальнейших
целей
полезно
пере
писать
это
равенство
в
терминах
нормальных
мод
Uk,
определенных
следующим
образом:
Е+
J
1'u.Jk
Е
- J
1'u.Jk
*
k =
2с:о
Uk
k =
2с:о
Uk'
(8.102)
Поскольку
дельта-функция
не
равна
нулю
только
при
условии
(Uk
=
(UO,
скорость
ре.lаксации
можно
записать
в
виде
"у
=
3~~o
1J11
2
р,.,,(го,
(UO),
p/I(ro,
(Uo)
= 3 L
[п,."
.
(Uk
@
ukJ
.
п;]
б(Uk
-
(Uo),
(8.103)
k
где
введена
частичная
локальная
плотность
состояний
РII
(го,
(UO)'
которая
будет
рассмотрена
в
следующем
разделе.
Дипольный
момент
представлен
произведением
J1
=
JШ/
1
•
где
п/
,
-
единичный
вектор
в
направлении
J1.
Приведенное
выше
равенство
для
"':
и
есть
наш
основной
результат.
В
этом
выражении
дельта-функция
выражает
то
соображение,
что
интегрирование
следует
проводить
по
ограниченному
распре
.J.е.lению
конечных
частот.
Однако
даже
для
единственной
конечной
частоты
явная
расходимость.
введенная
посредством
б(Uk
-
(UO),
компенсируется
нормальной
модой,
величина
которой
стремится
к
нулю
для
достаточно
большого
количества
связанных
~IOд.
В
любом
случае
удобно
избавиться
от
этих
сингулярностей,
выразив
p/l(ro,(Uo)
именно
в
терминах
функции
Грина,
а
не
нормальных
мод.
8.4.2.
Спонтанная
реJlаксация
и
диадная
функция
Грина.
Мы
хотим
полу
чит~
важную
зависимость
между
нормальными
модами
Uk
и
диадной
функцей
Гри-
на
G.
Впоследствии
это
соотношение
будет
использовано
для
того,
чтобы
выразить
17
Л
НОВОТIIЫЙ.
Б
Хех,
258
Гл.
8.
Излученuе
света
скорость
спонтанного
затухания
'у
и
получить
элегантное
выражение
для
локальной
плотности
состояний.
До
сих
пор
из
соображений
удобства
мы
не
выписывали
явно
зависимость
Uk
от
координат,
но
теперь
необходимо
указать
все
аргументы
в
явном
виде
Определенные
в
предыдущем
разделе
нормальные
моды
удовлетворяют
волновому
уравнению
(8.104)
а
также
условию
ортогональности
J Uk(r,"-Ik)' Uk,(r,"-Ik,)d
3
r = 8
kk
"
(8 105)
где
интегрирование
проводится
по
полному
объему
моды,
8
kk
, -
символ
Кронекера.
- -
1 -
единичная
диада.
Теперь
мы
разложим
функцию
Грина
G
по
нормальным
модаlll
G(r,
r';
"-1)
= L Ak(r',
"-1)
@ Uk(r,
"-Ik),
k
где
векторные
коэффициенты
разложения
Ak
еще
следует
определить.
Вспомним
определение
функции
Грина
(см.
уравнение
(2.78)):
~
W2~
~
'\1
х
'\1
х
G(r,
r';
"-1)
-
~G(г,
r';
"-1)
=
Iб(г
- r').
с
(8.106)
(8.107)
Чтобы
определить
коэффициенты
A
k
,
подставим
разложение
G
в
(8.107)
и
ПОЛУЧИIll
~Ak(r',"-I)
@
[У'
х
V'
Х
Uk(r,"-Ik)
-
::
Uk(r,
"-I
k
)]
=
I8(r
- r'}.
(8.108)
Используя
уравнение
(8.104),
можно
переписать
последнее
в
виде
(8.109)
Домножая
обе
части
выражения
на
uk,(r,"-Ik),
интегрируя
по
объему
моды
и
поль
зуясь
условием
ортогональности,
получаем
равенство
Ak,(r',"-I)
[:~'
-
::]
= uk,(r,"-Ik).
(8.110)
Подставляя
это
выражение
в
(8.106),
приходим
к
желаемому
результату.
к
функции
Грина,
выраженной
в
терминах
нормальных
мод:
G
-(
,.)
=
",,2
u
k(г',"-Ik)i8)
u
k(Г,Wk)
r, r
,"-1
~
с-
2 2 •
k Wk-
W
(8.111 )
Для
дальнейшего
изложения
полезно
упомянуть
следующее
тождество,
которое
легко
получается
путем
контурного
интегрирования
по
комплексной
плоскости:
Нlll
1т
[2
1
2]
=
-2
1Г
[8("-1
-
"-Ik)
-
б("-I
+
"-Ik)]
.
1/-+0
Wk
-
(W
+
щ)
Wk
(8.112)
8.4
Спонтанная
релаксация
259
У~lножая
обе
части
равенства
на
Uk(r,
"-'k)
® Uk(r,
"-'k)
и
суммируя
по
всему
диапазо
ну
k.
получаем
1т
[Нlll
L
Uk(r
..
~k)
Q9
U
k(r/)k)]
= i L J..-uk(r'''-'k)
®Uk(г,"-'k)О(,,-,
-"-'k), (8.113)
1/-0
k
"-'k
-
(u.I+
17
7)
k u.lk
Г.1.е
опущен
множитель
б(,,-,
+ "-'k),
поскольку
мы
рассматриваем
только
положитель
ные
частоты.
Сравнив
полученный
результат
с
равенством
(8.111),
заметим,
что
выражение
в
скобках
в
левой
части
можно
связать
с
функцией
Грина,
вычисленной
в
точке
г
=
г/.
Далее,
дельта-функция
в
правой
части
равенства
ограничивает
значения
"-'k
значением
"-',
что
позволяет
вынести
первый
множитель
из-под
знака
суммы
Поэтому
выражение
приобретает
вид
1т
[G(r.r;,,-,)] =
;~
LUk(г,"-'k)
®
Uk(г,"-'k)О(,,-,
-
"-'k).
(8.114)
k
Положив
теперь
г
=
ГО
И
"-' =
"-'о,
перепишем
скорость
релаксации
и
локальную
плотность
состояний
в
выражении
(8.103):
'у
=
:;:011112
P/L(rO,
"-'о),
P/L(rO,
"-'о)
=
~
{n
JL
.
1т
[G(ro,
Го;
"-'О)]
.
nJL
}.
(8.115)
Полученная
формула
представляет
собой
главный
результат
этого
раздела.
Она
поз
воляет рассчитать
скорость
спонтанной релаксации
двухуровневой
квантовой
системы
в
произвольном
окружении.
Все,
что
нужно
для
расчета,
-
это
знать
диадную
функ
цию
Грина
для
окружающей
среды.
Диадная
функция
Грина
рассчитывается
в
точке
ее
источника,
который
соответствует
положению
атомной
системы.
С
классической
точки
зрения
это
эквивалентно
электрическому
полю,
первоначально
испущенному
квантовой
системой
и
теперь
возвращающемуся
обратно
к
своему
источнику.
Мате
\Iатическая
аналогия
между
квантовым
и
классическим
подходами
становится
теперь
очевидной.
если
сравнить
равенства
(8.115)
и
(8.75).
Последнее
представляет
собой
К.1ассическое
уравнение
изменения
энергии,
основанное
на
теореме
ПоЙнтинга.
Мы
выразили
'у
в
терминах
частичной
локальной
плотности
состояний
PJL'
ко
торая
соответствует
числу
мод
в
расчете
на
единицу
объема
и
частоты,
в
точечной
квантовой
системе
с
координатой
Г,
в
которой
может
быть
испущен
фотон
с
энерги
ей
'l
....
·0
в
течение
процесса
спонтанной
релаксации.
В
следующем
разделе
мы
обсудим
некоторые
важные
аспекты,
связанные
с
PJL'
8.4.3.
ЛокаJIьная
ПJIОТНОСТЬ
СОСТОЯНИЙ.
В
ситуации,
когда
переходы
кванто
вой
системы
лишены
фиксированной
дипольной
оси
nJL
и
окружающая
среда
однород
на
и
изотропна,
скорость
релаксации
усредняется
по
всем
возможным
ориентациям,
что
приводит
к
следующему
результату
(см.
задачу
8.6):
(n/
I
•
1т
[G(r
o
,
Го;
"-'о)]
. n
JL
) =
~Im
{
Тг
[G(r
o
,
Го;
"-'о)]}
. (8.116)
Подставляя
результат
в
уравнение
(8.115),
находим,
что
в
этом
случае
частичная
~окальная
плотность
состояний
PJL
становится
идентичной
полной
локальной
плот
ности
состояний
р.
определенной
в
виде
(8.117)
260
Гл.
8.
Излучение
света
'1~'.
to
t
1/'У
..
о
20
40
60
80
100
to
[не]
Рис.
8.6.
Скорость
релаксации
'У
возбужденного
уровня
2Р
1
/
2
атома
Li
Измерен
и
указан
на
гистограмме
промежуток
времени
между
возбуждающим
импульсом
и
последующим
счеТШI
фотонов
to
Ширина
экспоненциального
распределения
на
уровне
l/е
соответствует
вре~lени
жизни
т
= 1/
'У
=
27,1
нс
При
to
---+
О
распределение
стремится
к
нулю
из-за
конечности
времени
отклика
фотодетектора
где
Тr(
...
)
означает
след
тензора
в
скобках,
Р
соответствует
полному
числу
электро
магнитных
мод
в
расчете
на
единицу
объема
и
единицу
частот
в
данной
точке
го
На
практике
значение
Р
невелико,
поскольку
любой
детектор
и
любое
измерение
ос
новываются
на
переносе
носителей
заряда
из
одной точки
в
другую.
Если
определить
ось
между
этими
точками
как
П
ll
,
то
станет
очевидным,
что
PIl
имеет
значительно
большую
практическую
значимость,
как
это
следует
из
хорошо
известной
формулы
для
спонтанной
релаксации
.
....
Мнимая
часть
G,
вычисленная
в
источнике,
не
является
сингулярной
(см.
разд.
8.3.3).
К
примеру,
в
свободном
пространстве
(G
= Go)
получим
(C1l1
задачу
8.7)
{
П
ll
.
1т
[ао(г
о
,
го;
"-'о)]
.
П/L}
=
~Im
{Тг
[ао(го,
го;
"-'о)]
} =
6U::C'
(8.118)
где
вообще
не
делается
усреднения
по
пространственным
ориентациям
К
столь
про-
.....
стому
решению
при
водит
симметричная
форма
G
o
.
Таким
образом,
Р
и
Р/,
принимают
хорошо
известное
значение
_
(.<J~
РО
-
23'
1ГС
(8.119)
которое
является
плотностью
электромагнитных
мод,
встречающейся
в
модели
из
лучения
черного
тела.
При
этом
скорость
спонтанной релаксации
в
свободном
про
странстве
оказывается
равной
(8.120)
где
JL
=
(gliile)
-
матричный
элемент
дипольного
перехода.
Подводя
итог,
отметим,
что
скорость
спонтанной релаксации
пропорциональна
ча
стичной
локальной
плотности
состояний,
которая зависит
от
диполя
энергетического
перехода
между
двумя
атомными
состояниями,
участвующими
в
переходе.
Только
в
однородном
окружении
или
после
усреднения
по
ориентациям
р/,
можно
заменить
8 5
Классическое
время
жизни
и
скорость
релаксации
261
полной
локальной
плотностью
состояний.
Последнее
как
раз
и
объясняет,
почему
изменение
окружающих
условий
может
изменить
скорость
спонтанной
релаксации.
8.5.
Классическое
время
жизни
и
скорость
релаксации
Теперь
мы
установим
классическую
картину
спонтанной
релаксации,
рассматри
вая
свободный
гармонически
осциллирующий
диполь.
Коль
скоро
диполь
осциллиру
ет.
он
излучает
согласно
уравнению
(8.70).
Следовательно,
энергия
диполя
переходит
в
энергию
излучения
и
его
дипольный
момент
уменьшается.
Нас
интересует
расчет
времени
т.
в
течение
которого
энергия
диполя
уменьшается
в
е
раз
по
сравнению
с
первоначальным
значением.
8.5.1.
Однородное
окружение.
Уравнение
движения
свободного
гармонически
осциллирующего
диполя
имеет
вид
d
2
d
del1(t) +
'Уо
dtl1(t)
+
W311(t)
=
О,
(8.121)
Г.1е
.....
·0
-
собственная
частота
осциллятора,
а
'Уо
-
коэффициент
релаксации.
Реше
ние
этого
уравнения
можно
представить
в
виде
l1(t)
=
Re
[l1oе-''''ОV
1
-<1'б/4'''б)
t
e
-l'
o
t/2] . (8.122)
Из-за
введеных
в
уравнение
посредством
'Уо
потерь
диполь
становится
неконсерватив
ной
системой.
Коэффициент
релаксации
не
только
ослабляет
величину
дипольного
~1O~leHTa.
но
и
при
водит
К
сдвигу
резонансной
частоты.
Чтобы
определить
среднюю
энергию
диполя
И
Т
в
любой
момент
времени,
нам
придется
убедиться
в
том,
что
аМПJ1итуда
колебаний
остается
неизменной
на
протяжении
одного
периода.
Иными
С.l0вами.
потребуем,
чтобы
(8.123)
Средняя
энергия
гармонического
осциллятора
представляет
собой
сумму
средних
кинетической
и
потенциальной
энергий.
В
момент
времени
t
эта
средняя
энергия
.1ается
равенством
1)
2
W(t)
=
7112
[w3J.L
2
(t)
+
jt2(t)]
=
т~o
11101
2
e-l'
o
t,
(8.124)
2q
2q
где
111
-
масса,
а
Ч
-
заряд
частицы.
Время
жизни
То
определено
как
время,
за
которое
энергия спадает
до
уровня
lje
от
начального
значения
при
t =
О.
Легко
~~~.~
1
То
=
-.
(8.125)
'Уо
Обратимся
теперь
к
скорости
потерь
на
излучение.
Средняя
мощность
излуче
ния
РО
в
свободном
пространстве
в
момент
времени
t
дается
равенством
(см.
(8.71»
Po(t)
=
II1(t)1
2
wri
. (8.126)
47rco
3с
3
Закон
сохранения
энергии
требует,
чтобы
уменьшение
энергии
осциллятора
было
равно
энергетическим
потерям,
т.
е.
t
~V(t
=
О)
-
ИТ(t)
= ql f Po(t')dt',
о
(8.127)
1)
Этот
результат
легко
получить,
задавая
J1,
= qx,
wб
=
с/т
и
используя
выражения
mх
2
/2
Ii
(./.2/2
для
кинетической
и
потенциальной
энергии
соответственно
262
Гл
8.
Излучение
света
где
нами
введен
так
называемый
внутренний
квантовый
выход
(см.
разд.
8.5.4).
Значение
этого
параметра
заключено
между
нулем
и
единицей,
а
сам
параметр
определяет
часть
энергетических
потерь,
связаную
с
излучением.
При
(],
= 1
вся
рассеянная
энергия
осциллятора
преобразуется
в
излучение.
Теперь
прямым
вы
числением
получим
скорость
релаксации.
Для
этого
подставим
(8124)
и
(8.126)
в
последнее
уравнение
и
получим
выражение
1
2
q
2
wб
1'0
=
qi
4Jr
€o
3mс
З
'
(8.128)
которое
совпадает
с
(8.87)
(за
исключением
множителя
ч,).
Выражение
для
10
-
это
классическое
выражение
для
атомной
скорости
релаксации,
а
благодаря
ра
венству
(8.125)
также
и
для
атомного
времени
жизни.
Оно
зависит
от
частоты
колебания,
массы
и
заряда
частицы.
Чем
выше
показатель
преломления
окружаюшей
среды,
тем
короче
время
жизни
осциллятора.
Коэффициент
релаксации
')0
можно
легко
обобщить
на
систему
многих
частиц
путем
суммирования
по
отдельным
заря
дам
qn
И
массам
m
n
.
На
оптической
длине
волны
скорость
релаксации
составляег
1'0
~
2 .
lO-8
wО
И
находится
в
МГц-области.
Квантовомеханический
аналог
скорости
релаксации
(см.
(8.120»
может
быть
получен
путем
замены
начальной
средней
энергии
осциллятора
mWБIJ1oI2/(2q2)
самым
нижним
уровнем
энергии
квантового
осциллятора
nwo/2.
в
то
же
время
классический
дипольный
момент
ДОJ1жен
быть
связан
с
матричным
элементом
дипольного
перехода
между
двумя
атомными
состо
яниями.
До
сих
пор
мы
предполагали,
что
атом
локально
окружен
вакуумом
(1/
=
1)
Для
случая
атома,
погруженного
в
диэлектрическую
среду,
следует
внести два
изменения:
(1)
поведение
объемного
диэлектрика
опредеJ1яется
его
диэлектрической
постоянной
и
(2)
локальное
поле
в
месте
расположения
диполя
должно
быть
скор
ректировано.
Последнее
обусловлено
деполяризацией
микроскопического
окружения
диполя,
которое
влияет
на
свойства
дипольного
излучения.
Итоговые
изменения
сходны
с
соотношением Клаузиуса-Моссотти
(Clausius-Mossotti),
но
сейчас
будет
предложена
более
сложная
модель.
Лоренцевская
форма
линии
Спонтанное
излучение
хорошо
представляется
в
модели
свободного
гармониче
ского
осциллятора.
Хотя
осциллятор
проявляет
свою
энергию
посредством
возбуж
дения
локального
поля,
фазы
возбуждения
и
излучения
нескоррелированы.
Поэтому
спонтанное
излучение
может
быть
представлено как
излучение,
испущенное
свобод
ным
гармоническим
ОСЦИJ1ЛЯТОРОМ,
дипольный
момент
которого
восстанавливается
локальным
полем
всякий
раз,
когда
осциллятор
передает
свою
энергию
полю.
Спектр
спонтанного
излучения
одноатомной
системы
хорошо
описывается
спектром
излуче
ния
свободного
гармонического
осциллятора.
В
свободном
пространстве
напряжен
ность
электрического
поля
в
дальней
зоне
можно
рассчитать
по
формуле
(см
(867»
нш1911d
2
1
/)1
E.'J(t)
= 4--
Г
2"
~(t
- r
(~
, (8129)
1Г€O
с
r dt
где
r -
расстояние
между
точкой
наблюдения
и
дипольным
источником,
спектр
Ef}(W)
-
по
формуле
(см.
(2.17»
(8.130)