Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики

Подождите немного. Документ загружается.

Топографические

артефакты

233

Режим

постоянного

зазора

режиме

постоянного

зазора

обратная

связь

заставляет

зонд

двигаться

таким

образом, что

расстояние

между

зондом

образцом

поддерживается

(почти)

постоян

ным

Следовательно,

RSF(x,

У)

= 8

(x,

У;

zscan)

set

Zscan = Z +

бz(х,

У),

RNFO(:r,

у)

SNFO(Z)

б8

NFO

(х,

У,

д~70

бz.

(7.25)

(7.26)

(7.27)

выражении

(7.25)

знак

указывает

на

возможные

отклонения,

связанные

техническими

ограничениями

электромеханического

контура

обратной

связи.

Эти

ОТК.l0нения

могут

стать

существенными,

если

топография

будет

претерпевать

быст

рые

изменения

и/или

скорость

сканирования

будет

слишком

высока.

Далее,

Z -

усредненное

положение

зонда

по

оси

бz(х,

У)

описывает изменение

положения

зонда

по

оси

:.;

относительно

Е,

вызываемое

обратной

связью.

Следует

подчеркнуть,

что

приводимые

ниже

рассуждения

верны

для

любого

пути,

который

может

проде

.1aTb

зонд,

вне

зависимости

от

того,

строго

ли

он

следует

топографии.

Сигнал

RN[.'O(:/:,y)

(7.27)

разложен

ряд

по

бz(х,

У),

котором

оставлено

ТО,lЬКО

слагаемое

первой

степени.

Первые

два

слагаемых

отражают

тот

же

сигнал,

что

получается

режиме

постоянной

высоты.

третье

слагаемое

содержит

себе

связь

между

вертикальным

движением

(по

оси

оптическим

сигналом.

Именно

из-за

этого

слагаемого

обычно

возникают

артефакты.

Для

того

чтобы

отклике

превалировали

оптические

свойства,

изменения

интенсивности

света

изображения

J.О.1ЖНЫ

удовлетворять

условию

5:8 ( .

NFO

(}

NFO

Х,

У,

Z »

--az-

(}Z.

(7.28)

Этому

условию

тем труднее

удовлетворить,

чем

сильнее

локализация

света

оп

тическом

зонде.

Причина

состоит

том,

что

поперечно-локализованные

поля

очень

быстро

затухают

при

удалении

от

зонда.

Таким

образом,

изменения

расстояния

~Iежду

зондом

образцом

обладают

значительно

большим

эффектом

могут

легко

перекрыть

любой

контраст,

связанный

изменением

оптических

свойств

образца.

На

рис.

7.14,

в,

показаны

сигналы

для

двух

различных

зондов,

записанные

режимах

постоянного

зазора

постоянной

высоты.

Только

зонд

маленькой

апертурой

позволяет

получить

оптическое

изображение,

репрезентативное

по

отно

шению

образцу.

Большая

апертура

не

позволяет

сгенерировать

оптическое

изобра

жение

высоким

разрешением,

а в

режиме

постоянного

зазора

поперечно-силовой

отклик,

связанный

прохождением

над

выпуклостью,

доминирует

над

кривыми

сканирования.

На

рис.

7.14,

истинный

сигнал

ближнего

поля

все

еще

распознается,

на

рис.

14,

РПЗ-след

оказывается

совсем

никак

не

связанным

оптическими

свойствами

образца.

7.3.2.

При

меры

артефактов

ближнем

поле.

Простой

эксперимент

может

ПОС.1УЖИТЬ

иллюстрацией

артефактов,

возникающих

различных

режимах

работы

системы.

На

рис.

7.15

показаны

топографические

оптические

ближнепольные

изображения,

полученные

режиме

на

прохождение

помощью

так

называемого

проекционного

шаблона

Фишера

(Fischer) [24].

Такие

шаблоны

создаются

путем

выпаривания

тонкого

слоя

металла

на

плотно

упакованный

монослой

латексных

сфер

Треугольные

пустоты

между

сферами

заполняются

металлом.

После

испарения

~Iеталла

латексные

сферы

смываются

ультразвуковой

ванне.

результате

полу

чается

образец,

представляющий

собой

периодически

расположенные

треугольные

234

Гл.

Управление

расстоянием

между

образцом

зондом

Хорошая

головка

Постоянный

.... :.L..i-

WTjll

зазор

:j~~~~~

Постоянная

высота

...

Плохая

головка

Поперечных

сил

Оптический

Поперечных

сил

Оптический

Рис.

7.15.

Визуализация

проекционного

шаблона

на

основе

латексных

сфер

режиме

ПОСlО

янного

зазора

(верхний

ряд)

постоянной

высоты

(нижний

ряд)

двумя

различными

зондаыи

ближнего

поля,

«хорошим~,

отверстием

диаметром

нм

(слева),

«плохим»,

отверстие~1

порядка

200

нм

(справа)

Топографические

оптические

изображения,

полученные

реЖИ~lе

постоянного

зазора,

обладают

заметной

структурой

случае

обоих

зондов,

но

только

.:l.lЯ

«хорошего~

зонда

режиме

постоянной

высоты

получен

оптический

контраст

фрагменты.

Если

эти

фрагменты

визуализировать

непосредственной

близости

от

поверхности,

можно

увидеть

хороший

контраст

на

поглощении.

Процесс

создания

наноструктурированных

поверхностей

использованием

микросфер

также

называет

ся

наносферной

литографией.

Этот

же

образец

был

исследован

использованием

двух

различных

апертурных

зондов:

зонда

диаметром

отверстия

порядка

нм

(хороший

зонд)

зонда

диа

метром

отверстия около

200

нм

(плохой

зонд).

Так

как

металлические

фрагменты

создаются

при

помощи

сфер

диаметром

200

нм,

получающиеся

треугольные

фрагмен

ты

имеют

характерный

размер

порядка

нм,

который

может

быть

разрешен

только

хорошим

зондом.

Для

обоих

зондов

было

получено

по

два

набора

изображений.

один

режиме

постоянного

зазора

использованием

поперечно-силовой

обратной

связи

один

режиме

постоянной

высоты.

Слева

показаны

результаты

для

хорошего

зонда

режиме

постоянного

зазора

топография

образца

хорошо

воспроизводится,

возможно

благодаря

миниголовкам

на

отверстии.

Оптическое

изображение

обладает

БОЛЬШИ~1

сходством

топографическим.

Трудно

сказать,

насколько

сильно

влияние

обратной

связи

на

оптический

сигнал.

Когда

та

же

самая

поверхность

визуализируется

режиме

постоянной

высоты

(слева

снизу),

топографический

сигнал

является

посто

янным

всюду,

кроме

отдельных

пятен,

на

которых

обратная

связь

активизируется

для

предотвращения

касания

зондом

поверхности

образца

(белые

пятна)

Однако

оптический

сигнал

при

этом

совершенно

меняет

свой

вид.

Контраст

становится

от

четливее

металлические

фрагменты

хорошо

разрешаются.

случае

использования

плохого

зонда

мы

видим

хорошее

разрешение

деталей

только

режиме

постоян

ного

зазора.

то

же

время

при

переходе

режим

постоянной

высоты

оптические

разрешение

становится

гораздо

хуже.

Это

ясно

указывает

на

то,

что

наблюдаемое

режиме

постоянного

зазора

оптическое

разрешение

является

чисто

артефаКТНЫ~I.

обусловленным

работой

контура

обратной

связи.

7.3.3.

Обсуждение.

Мы

выяснили,

что

если

для

управления

расстоянием

меж

ду зондом

образцом

используется

силовая

обратная

связь,

получение

изображений

структурированных

поверхностей

ближнем

поле

чисто

оптическим

разрешением

7.3

Задачи

235

становится

невозможным.

Изображения,

полученные

режиме

постоянной

высоты,

большей

вероятностью

несут

себе

истинное

оптическое

разрешение

контраст.

Режим

постоянной

высоты

не

требует

использования

управления

обратной

связью

процессе

сканирования.

Зонд

поточечно

сканируется

плоскости,

параллельной

усредненной

поверхности

образца.

Измеряемый

оптический

сигнал,

таким

образом,

не

испытывает

влияния

тех

движений

головки

зонда,

которые

происходят

под

дей

ствием

обратной

связи.

Но

хотя

изображения,

полученные

режиме

постоянной

высоты,

описывают

оптические

свойства

образца

более

точно,

они

могут

давать

основания

ложным

интерпретациям

по

причине

меняющегося

процессе

сканиро

вания

над

структурированной

поверхностью

расстояния

между

зондом

образцом.

Мы

можем

ожидать

получения

реального

оптического

контраста

только

случае,

когда

диаметр

апертуры

зонда

достаточно

мал

по

сравнению

характерным

размером

неоднородности

образца,

локальная

оптическая

связь

между

зондом

образцом

велика

хотя

контраст,

обусловленный

меняющимся

расстоянием

между

зондом

образцом,

является

чисто

топографическим эффектом,

он

не

должен

считаться

артефактом,

таково

неизменное

внутреннее

свойство

ближнепольной

оптической

визуализации.

Так

как

минимальное

расстояние

между

зондом

образцом

опре

.1еляется

наиболее

высокими

топографическими

неоднородностями,

имеющимися

.1иапазоне

сканирования,

высокое

разрешение

может

быть

получено

только

образ

цах

низкой топографией.

Неоднородности,

находящиеся

низинах

поверхности,

бу.1УТ

разрешаться

очень

плохо.

Коротко

говоря,

только

неоднородности,

взаимодей

ствующие

сильнолокализованным

ближним

полем

оптического

зонда,

могут

быть

визуализированы

большим

разрешением.

Интерпретацию

изображений

можно

сильно

облегчить,

подключая

рассмот

рению

спектроскопическую

информацию.

Скажем,

спектр

флуоресценции

(напри

~Iep.

хлорофилла

фотосинтетической

мембране)

спектр

рамановского

рассеяния

позволяют

получить

предельно

конкретный

отпечаток

химического

состава

образца

(например,

структуру

углеродной

нанотрубки).

Таким

образом,

ближнепольная

опти

ческая

визуализация

вкупе

со

спектроскопией

позволяют

однозначно

локализовать

интересующие

нас

молекулы.

Следовательно,

получаемые

результате

изображения

представляют

собой

свободные

от

артефактов

пространственные

распределения

ин

тересующих

нас

объектов.

Несмотря

на

это

очевидное

преимущество,

изменяющееся

расстояние

между

образцом

объектом

не

позволяет

все-таки

решить

до

конца

проБJ1ему

численной

оценки

локальной

концентрации

исследуемых

элементов.

Задачи

микроскопии

усиленной

головки

остроконечный

золотой

проводник

прикреп

ляется

одной

из

ветвей

камертона.

Предположите,

что

золотой

проводник

является

цилиндрическим

сечении

диаметром

100

мкм

что

резонансная

частота

камертона

составляет

32,7

кГц.

Для

того,

чтобы

прикрепленный

золо

той

проводник

отслеживал

колебания камертона

более

или

менее

мгновенно,

резонансная

частота

выступающего

над

поверхностью

проводника

должна

быть

как

минимум

два

раза

больше

частоты

камертона.

Определите

максимальную

допустимую длину

этого

выступающего

проводника.

помощью

теоремы

равнораспределении

энергии

по

степеням

свободы

мы

определили

колебания камертона

ттэ

возникающие

за

счет

температуры.

Здесь

мы

приводим

спектральную

плотность

силы

8F(f)

единицах

jГц.

Функция

S/c

представляет

собой

спектр

шумовой

силы,

возбуждающей

конец

ветви

камертона,

заставляя

ее

колебаться

амплитудой

ттэ

Она

обладает

236

Гл.

Управление

расстоянием

между

образцом

зондом

постоянной

зависимостью

от

частоты

(белый

шум)

может

быть

определена

следующим

образом:

- f S

Л/k

dlf

rms - F

Uб

_ f2) +

zfof

(7.29)

Здесь

лоренцевский

множитель,

за

SF,

представляет

собой

переда

точную

функцию

камертона.

Выразите

через

постоянную

упругости

добротность

температуру

резонансную

частоту

10.

Указание:

Вычислите

интеграл

пределе

Q « 1

примените

теорему

равнораспределении

энергии

по

степеням

свободы

Для

значений

пара

метров

k =

кН/м,

300

К,

= 32,7

кГц,

Q =

1000

найдите

термическую

силу

спектральном

диапазоне

100

Гц.

7.3.

По

причине

высокой

добротности,

которой

обычно

обладает

камертон,

ему

тре

буется

большое

время

отклика

амплитуды

колебаний

на

внезапное

изменение

сигнала

обратной

связи.

Получите

решение

(7.16)

для

камертона,

частота

KOToporo

внезапно

изменя

ется

от

одной

величины

другой

момент

времени

t =

О.

Найдите

значения

Xt,

'Pt

(J.)t·

Проведите

те

же

вычисления

для

случая,

когда

вынуждающая

сила

внезапно

изменяется

от

одной

величины

другой

момент

времени

t =

Рассмотрите

основные

отличия

решениях

для

случаев

(1)

(2)

Список

литературы

Binnig

and Rohrer

Н.

Scanning tunneling microscopy / / Helv Phys Acta 1982 V 55

Р.726.

2 Binnig

О.,

Quate

Р.,

and

ОегЬег

С.

Atomic force microscope / / Phys Rev Lett 1986

56.

930-933.

НесЫ

В,

Bielefeldt

Н.,

Novotny L ,

/nоиуе

У.,

and

РоЫ

D W Facts and artifacts

near-field optical microscopy / / J

Аррl

Phys. 1997 V.81

2492-2498

4 Carminati

Я,

Madrazo

, Nieto-Vesperinas

М,

and Oreffet J

-J

Optical content and

resolution of near-field optical images Influence of the operation mode / /

Аррl

Phys

1997

V.82

P.501.

5 Karrai

К.

and

Тieтann

/ Interfacial shear force microscopy / / Phys Rev

2000 V 62

13, 174-13,

181

Stipe

С.,

Mamin

В.

С.,

Stowe

Т.

D.,

Кеnnу

W , and Rugar

Noncontact friction and

force fluctuations between close!y spaced bodies

Phys Rev Lett 2001 V 87

96801

7 Zurita-Sdnchez

R , Oreffet J -J., and Novotny L. Friction forces arising from fluctuating

thermal fields / /

Phys. Rev

2004 V 69

022902

Landau L D and Lifshitz

Theory of Elasticity. - Oxford Pergamon. 1986

Albrecht

R , OrEutter

Ноте

D , and Rugar

Frequency modulation detection using

high-q cantilevers for enhanced force microscope sensitivity / /

Аррl

Phys

1991

V 69

Р.668.

Betzig

, Finn

L , and Weiner S J Combined shear force and near-field scanning optlcal

microscopy / /

Аррl

Phys. Lett. 1992. V 60

Р.2484

Toledo-Crow

Я.,

Yang

С.

Chen

У.,

and Vaez-Iravani

Near-field differential scanning

optical microscope with atomic force regulation / /

Аррl

Phys. Lett 1992 V 60

2957

12.

Rugar D , Mamin Н

J.,

and Ouethner

Improved fiber-optic interferometer

for

atomic

[огсе

microscopy / /

Арр!

Phys. Lett 1989.

V.55

2588

7.3

Список

литературы

237

Tarrach

О.

Ворр

Zeisel

and

Meixner

А.!

Design and eonstruetion of

versatile

seanning near-field optieal mieroseope for fluoreseenee imaging of single moleeules / / Rev.

Sei Instrum 1995.

У.66.

Р.3569-3575

Вагеnг

J , Hollricher

О.,

and Marti

Ап

easy-to-use non-optical shear-foree distanee

eontrol

Уог

near-field optieal mieroseopes / /

Rev.

Sei. Instrum. 1996.

У.67.

Р.

1912-1916

Hsu

J W

Р,

Lee

. and Deaver

nonoptieal tip-sample distanee eontrol method

Уог

near-field seanning optieal mieroseopy using impedanee ehanges in

ап

eleetromeehanical

system / / Rev

Sei Instrum. 1995

У.66.

Р.3177

Каггаl

and

ОгоЬег

Piezoeleetrie tip-sample distanee eontrol for

пеаг

field optieal

mieroseopes / /

Аррl

Phys. Lett. 1995 V 66.

Р.

1842

Rychen J , lhn

, Studerus

Т.,

al. Operation eharaeteristies

piezoeleetric quartz

tuning

forks

high magnetie fields at liquid

Ьеliиm

temperatures / / Rev. Sei. Instrum. 2000.

У.71.

1695-1697

ОгоЬег

R D

Acimovic

Schuck

J.,

al. Fundamental limits to foree deteetion using

quartz tuning forks / / Rev Sei. Instrum

2000. V 71.

Р.2776-2780.

Naber

. Maas

Razavi

and

Fischer

С.

Dynamic foree distanee eontrol suited to

various probes

Уог

seanning near-field optieal mieroseopy / / Rev Sei. Instrum. 1999. V 70.

3955-3961

Glessibl F J , Hembacher S . Bielefeldt

Н.,

and Mannhart

Subatomic features

оп

the

silieon

(111

)-(7

surfaee observed

Ьу

atomic foree microseopy / / Seienee. 2000.

У.289.

422-425

A1uramatsu

СЫЬа

N.,

Нотта

al. Near-field optieal mieroseopy in liquids / / Appl.

Phys Lett 1995 V 66

3245.

Talley

Е,

Cooksey

О.

А.,

and

Dunn R.

High resolution fluoreseenee imaging with

eantilevered near-field

НЬег

optie probes

Appl. Phys Lett. 1996.

У.69.

3809-3811

Keller D Reeonstruetion of STM and

AFM

images distorted

Ьу

finite-size tips / / Surf Sei.

1991

V 253

353

Flscher

and Zingsheim

Submicroseopie pattern replieation with visibIe light / /

Уае

Sei

ТееЬпоl

1981

19.

Р.881-885.

Глава

ИЗЛУЧЕНИЕ

СВЕТА

ОПТИЧЕСКИЕ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

НАНОРАЗМЕРНОМ

ОКРУЖЕНИИ

Настоящая

глава

посвящена

обсуждению

оптических

взаимодействий

между

на

норазмерными

системами,

также

свойств

связанного

этим

излучения,

что

отличает

ее

от

гл.

которой

рассматривались

фокусировка

пленение

свобод

но

распространяющегося

излучения.

Чтобы

связать

указанные

темы,

рассмотрим.

как

сфокусированный

пучок

света

взаимодействует

наноструктурированным

ве

ществом,

что

само

по

себе

непростая

задача,

для

решения

которой

нужно

знать

свойства

конкретного

вещества,

форму

исследуемых

объектов

величину

взаимодей

ствия.

Тем

не

менее

ряде

случаев

оказывается

возможным

провести

рассмотрение

проблемы

более

или

менее

общей

точки

зрения.

Взаимодействие

света

наноструктурированным

веществом

составляет

основ

ное

содержание

нанооптики.

Оптические

взаимодействия

этого

рода

встречаются

различных

областях

исследований:

активность

протеинов

других

макромолеКУ.l

исследуется

оптическими

методами,

одиночные

оптически

возбужденные

молекулы

используются

для

диагностики

их

ближайшего

окружения,

активно

исследуются

оптические

взаимодействия

металлическими

наноструктурами,

поскольку

возни

кающие

при

этом

резонансные

эффекты

важны

для

задач

зондирования.

Наконец.

множество

наноструктур

находит

применение

оптике

ближнего

поля

качестве

источников

света.

Для

строгого

описания

взаимодействия

света

веществом

необходимо

привлечь

квантовую

электродинамику

(КЭД).

Есть

множество

учебников,

которых

хорошо

описано

взаимодействие

излучения

атомом

или

молекулой,

мы

особенно

рекомен

дуем

книги

[1-3].

Поскольку

структуры

нанометрового

масштаба

зачастую

СЛИШКО~I

сложны

для

строгого

решения

квантовоэлектродинамической

задачи,

воспользуем

ся

классическим

подходом

учтем

результаты

КЭД

феноменологическим

образом

Разумеется,

полученные

таким

способом

результаты

требуют

проверки,

но

СИ.1У

отсутствия

противоречащих

экспериментов

мы

можем

благополучно

при

менять

это

приближение.

Классическое

описание

зачастую

нагляднее

благодаря

более

ПРОСТОМУ

формализму,

также

потому,

что

оно

ближе

нашему

восприятию.

8.1.

Мультипольное

разложение

этом

разделе

мы

рассмотрим

произвольный

«кусочек

вещества»,

размеры

которого

меньше

длины

световой

волны

который

мы

назовем

частицей.

Хотя

размеры

этой

частицы

малы,

сама

она

состоит

из

множества

атомов

или

МО.lе

кул.

На

макроскопическом

уровне

можно

ввести

непрерывные

плотности

заряда

тока

как

функции

координат.

Однако

атомы

молекулы

включают

себя

пространственно

разделенные

дискретные

заряды.

Таким

образом,

микроскопическая

структура

вещества

не

описывается

макроскопическими

уравнениями

Максвел.lа.

Макроскопическое

поле

получается

локальным

усреднением

микроскопического

поля

по

физически

малому

объему.

Чтобы

получить

выражение

для

потенциальной

энергии

микроскопической

си

стемы,

нам

придется

отказаться

от

введенных

ранее

определений

векторов

электри-

8.1

Мульmиnольное

разложение

239

ческого

смещения

напряженности

магнитного поля

рассматривать

только

векторные

поля

пустом

пространстве

между

точечными

зарядами

qn.

Таким

образом.

мы

применяем

равенства

D =

соЕ

В =

J.toH

уравнениях

Максвелла

(см.

(2.1)-(2.4»

полагаем

р(г)

= L q

t5(r

(8.1)

j(r) = L q

i'n

(8.2)

где

г"

радиус-вектор

n-го

заряда.

ГN

его

скорость.

Полные

заряд

ток

частицы

ПОJlучаются

интегрированием

по

ее

объему.

(е

I~v

Рис

8 I

На

микроскопическом

уровне

оптическое

излучение

взаимодействует

дискретными

зарядами

q".

входящими

состав

частицы.

Коллективный

отклик

зарядов

координатами

может

быть

описан

мультипольным

разложением

источника

радиусом-вектором

Чтобы

получить

выражения

для

векторов

поляризации

намагниченности.

рас

смотрим

полную

ПJlОТНОСТЬ

тока.

определяемую

согласно

(2.10)

как

j =

+\/

М.

(8.3)

При

этом

мы

пренебрегаем

распределением

источников

тока

js.

которое

создается

возбуждающим

полем

Einc.

поскольку оно

не

является

частью

рассматриваемой

частицы.

Кроме

того.

мы

включили

ток

проводимости

ток

поляризации.

Чтобы

разрешить

уравнение относительно

Р.

применим

оператор

\/.

обеим

частям

урав

нения

(8.3).

результате

последнее слагаемое

правой

части

исчезает.

поскольку

\" .

О.

левая

часть

может

быть

выражена

через

производную

плотности

заряда

по

времени

согласно

уравнению

непрерывности

(2.5).

Следовательно.

имеет

место

равенство

р=-\/·Р.

(8.4)

ЕСJlИ

частица

не

является

электронеЙтральноЙ.

правую

часть

равенства

следует

добавить

плотность

нескомпенсированного

заряда.

Используя

определение

плотности

заряда

(8.1).

можно

найти

[1]:

Р(г)

= L qnrn J

д(Г

- srn)ds.

(8.5)

240

Гл.

Излучение

света

Вместе

плотностью

тока,

которая

дается

равенством

(8.2),

это

выражение

мож

но

подставить

уравнение

(8.3),

что

позволит

найти

вектор

намагниченности

(см.

[1]):

M(r)

= L qnrn

sб(г

- srn)ds.

(8.6)

Для

расчета

потенциальной

энергии

частицы

во

внешнем

поле

сначала

рассмотрим

случай

неподвижных

зарядов,

т.

е.

ситуацию,

при

которой

внешнее

поле

не

меняет

пространственного

распределения

зарядов.

этом

случае

распределение

зарядов

определяется

атомным

межатомным

потенциалами.

При

этом

эффекты,

связанные

поляризацией

частицы,

не

исключаются,

но

данном

приближении

они

имеют

более

высокий

порядок

малости.

Рассмотрим

взаимодействие

между

совокупностью

дискретных

зарядов

электро

магнитным

полем,

обозначив

поле

отсутствие

зарядов

через

Eill('

Потенциальная

энергия

электрического

поля

постоянного

микроскопического

распределения

заря

дов

определяется

как

(см.

[4])

= - J

р.

EincdV = -

LQn

J r

. Eillc(srll)d.'l.

v n

(8.7)

Теперь

разложим

напряженность

электрического

поля

illc

ряд

Тейлора

окрест

ности

центра

частицы,

для

удобства

располагая

центр

частицы

начале

координат

О)

записывая

Einc(sr

)

EillC(O)

+ (sr

V)Einc(O)

~(srrl

. V)2E

illt

(О)

(88)

Подставляя

это

разложение

равенство

(8.7)

интегрируя

по

выражаем

потенци

альную

энергию

электрического

поля

терминах

МУЛЫИПО.'Iьных

моментов:

= - L

Qnrrl

EillC(O)

- L

•

V)Einc(O)

n n

-L

•

v)2Е

iш

,(0)

- .

(8.9)

Первое

слагаемое

разложения

называют

электродиnОЛЬНblМ

взаимодействием.

v~I)

-J1'

Einc(O),

(8.10)

где

электрический

дипольный

момент

определяется

равенством

LQnrn.

11)

Следующее

слагаемое

более

высокого

порядка

(8.9) -

электрическое

квадруnо.1Ь

ное

взаимодействие,

которое

можно

представить

виде

(2)

(+-+)

= -

Einc(O),

(8.12)

где

введен

электрический

квадрупольный

момент

.....

Q =

LQnrn

~rn·

(8.13)

8 1

Мульmиnольное

разложение

241

Здесь

через

г."

г"

обозначено тензорное

произведение

вектора

на

самого

себя.

Таким

образом,

является

тензором

второго

ранга.

Поскольку

. E

inc

О,

из

равенства

(8.12)

можно

вычесть

любое

произведение,

которое

входит

сомножитель

вида

Eillc,

Поэтому

(8.12)

можно

пере

писать

следующим

образом:

(2) 1

[(+-+

.....

)]

= -'2 Q -

АI

Einc(O),

(8.14)

где

введена

произвольная

постоянная

А,

которую

обыкновенно

полагают

равной

_-l

(1/3)

Ir,,1

что

позволяет

построить

квадрупольный

момент

нулевым

следом.

Таким

образом,

квадрупольный

момент

можно

определить

как

(8.15)

Мы

не

будем

выписывать

моменты

более

высокого

порядка

мультипольности,

но

отметим,

что

ранг

каждого

следующего

мультипольного

момента

возрастает

на

единицу.

Дипольное

взаимодействие

определяется

напряженностью

электрического

поля

начале

координат,

тогда

как

квадрупольное

взаимодействие

определяется

гради

ентом

электрического

поля

начале

координат

(совпадающим

по

предположению

центром

частицы).

Таким

образом,

если электрическое

поле

достаточно

однородно

масштабе

частицы,

квадрупольное

взаимодействие

исчезает.

Вот

почему

рассматри

вая

такие

малые

системы

зарядов,

как

атомы

или

молекулы,

часто

учитывают

только

дипольное

взаимодействие.

Это

дипольное

nрибли~ение

приводит

стандартным

правилам

отбора,

имеющим

место

спектроскопии

оптического

диапазона.

Однако

такое

приближение

необязательно

будет

достаточным

для

наноразмерных

частиц,

поскольку

их

размеры

сравнительно

больше

атомных.

Далее,

взаимодействие

частиц

оптическим

полем

ближней

зоне

может

привести

возникновению

больших

градиентов

поля.

При

этом

будет

возрастать

роль

квадрупольного

взаимодействия

будут

меняться

правила

отбора.

Следовательно,

большие

градиенты,

встречающиеся

оптике

ближнего

поля,

позволяют

возбуждать

обычно

запрещенные

переходы

больших

квантовых

системах

и,

таким

образом,

расширяют

возможности

оптиче

ской

спектроскопии.

Для

потенциальной

энергии

магнитного

поля

VЛ!

можно

получить

аналогичное

l\Iультипольное

разложение,

котором

первое по

порядку

малости

слагаемое

является

.иагнитным

диnольным

взаимодействием:

viP

-md

ВllIс(О),

где

магнитный

дипольный

момент

определяется

равенством

m,! = L

2;;:'"

(m,,:Г,,).

(8.16)

(8.17)

Магнитный

момент

часто

выражают

терминах

углового

момента

1" =

mnг

:г

где

111"

означает

массу

n-й

частицы.

Мы

не

будем

получать

магнитные

мультиполь

ные

моменты

более

высокого

порядка,

поскольку

процедура

их

вывода

аналогична.

Рассмотрим

теперь

поляризацию

намагничивание

частицы

отсутствие

внеш

него

электромагнитного

поля.

Ясно,

что

вынуждающее

излучение

будет

действовать

Если

обозначить

проекции

на

оси

прямоугольной

декартовой

системы

коорди

нат

как

{X"".I:"2,X"J,

то

определение

(812)

можно

переписать

следующим

образом'

\-i

)

-(1/2)

2:'1

[2:"

q,.Xn;X

] [a/ax,Ej(O)].

НОВОТНЫИ.

Хехт

242

Гл.

Излучение

света

на

заряды

смещать

их

из

положения

равновесия,

что

приведет

росту

наведенных

поляризации

намагниченности.

Взаимодействие

падающего

поля

iш

частицей

придает

вектору

поляризации

приращение

dP,

благодаря

чему

потенциальная

энергия

электрического

поля

изменяется

на

величину

dVE,

dVE

= - f E

inc

dPdV.

(8.18)

Для

вычисления

полной

индуцированной

потенциальной

энергии

VЕ.iш!

необходимо

провести

интегрирование

dVE

по

поляризации

диапазоне

от

до

+/,

где

начальное

конечное

значения

поляризации

соответственно.

Теперь

предположим,

что

взаимодействие

между

полем

частицей

носит

линейный

ха

рактер,

т.

е.

имеет

место

равенство

€oXEinc.

этом

случае

находим

полный

дифференциал

d(PEinc):

d(PE

inc

) = E

inc

ille

. dP, (8.19)

наведенная

потенциальная

энергия

равна

[

рр+.

]

VE.ind

f J

d(PE

inc

)

dV.

Рl'

(8.20)

Используя

равенство

p+~

окончательно

получаем

VE.ind

J P

EincdV.

(8.21)

Этот

результат

показывает,

что

наведенная

потенциальная

энергия

два

раза

мень

ше,

чем

постоянная

потенциальная

энергия.

Вторая

половина

соответствует

рабо

те,

которую

необходимо

совершить,

чтобы

навести

поляризацию.

случае

Р/

поляризованный

объект

испытывает

силы

притяжения

со

стороны

областей

более

сильного

электрического

поля.

Этот

эффект

используется

оптических

ловушках

(см.

разд.

13.4).

Аналогичные

рассуждения

можно

провести

для

наведенной

намагниченности

М/

связанной

нею

энергии,

откуда

последует

любопытный

вывод:

тела

М/

отталкиваются

от

областей

повышенного

магнитного

поля.

Этот

результат

лежит

основе

явления

вихревого

демпфера,

однако

оптическом

диапазоне

частот

наве-

денное

намагничивание

практически

равно нулю.

8.2.

Классический

гамильтониан

«частица+поле»

До

сих

пор

мы

интересовались

потенциальной

энергией

частицы

во

внешнем

электромагнитном

поле.

Однако

для

глубокого

понимания

природы

взаимодействия

частицы

электромагнитным

полем

нам

потребуется

записать

полную

энергию

системы

«частица

поле».

силу

замкнутости

системы

эта

энергия

сохраняется:

частица

может

лишь

получать

энергию

от

поля

(поглощение)

или

отдавать

ее

полю

(излучение).

Полная

энергия

совпадает

классическим

гамильтонианом

Н,

на

котором

основан

квантово-механический

оператор

Гамильтона

Н.

ДЛЯ

частицы,

включающей

себя

множество

зарядов,

гамильтониан

имеет

весьма

сложный

вид,

поскольку

зависит

от

взаимодействия

зарядов

друг

другом,

от

их

кинетической

энергии

от

обмена

энергией

между

зарядами

внешним

полем.