Никифорова И.А. Математика в экономике: сборник задач. Часть ?
Подождите немного. Документ загружается.
71
– мгновенный или точечный темп прироста зависимой переменной
y
(функции
(
)
xf ) в точке
x
; совпадает с логарифмической производной за-
висимой переменной
y
(функции
(
)
xf ) в точке
x
.
7. Теоретическая или точечная эластичность зависимой перемен-
ной
y
(функции
(
)
xf ) в точке
x
:
(
)
=
yE
x
y
x
dx
dy
xx
yy
x
⋅=
∆
∆
→∆ 0
lim
или
(
)
(
)
=
xfE
x
(
)
(
)
(
)
()
xf
x
dx
xdf
xx
xfxf
x
⋅=
∆
∆
→∆ 0
lim .
Эластичность - это безразмерная величина, равная пределу при
0
→
∆
x
отношения относительного приращения функции к относительно-
му приращению аргумента или, что то же самое, пределу при
0
→
∆
x
от-
ношения процентного изменения функции к процентному изменению ар-
гумента. Приближённо эластичность функции показывает, на сколько
процентов изменится значение функции в данной точке
x
при изменении
аргумента на один процент.
Если
(
)
(
)
1>xfE
x
, то функцию
(
)
xf называют эластичной; если
(
)
(
)
1<xfE
x
, то неэластичной; если
(
)
(
)
1=xfE
x
, то нейтральной в точке
x
.
Пусть, например,
(
)
−
=
PDQ функция спроса от цены товара. Тогда:
а) спрос
(
)
PDQ
=
эластичен по цене
⇔
(
)
(
)
1>QE
P
;
б) спрос
(
)
PDQ
=
неэластичен по цене
⇔
(
)
(
)
1<QE
P
;
в) спрос нейтрален при условии
(
)
1=QE
P
.
3.80. Функция
(
)
y fx= задана таблично:
x
10 20 30 40 50
y
35 150 210 250 270
Найти : 1) средний прирост, 2) относительный прирост функции, 3)
темп прироста в следующих диапазонах изменения аргумента: а) от 10 до
20 ; б) от 20 до 30; в) от 30 до 40; г) от 40 до 50.
3.81. Для заданных функций найти: а) мгновенный прирост, б) мгно-
венный темп прироста, в) точечную эластичность и вычислить значения
этих характеристик в указанных точках:
1)
y
x
=
−
5
2
,
;2,1
21
=
=
xx
2) y x x= + +
2
3 1,
;3,1
21
=
=
xx
3) ,
4 x
exy
−
= ;4,1
21
== xx
4) y
x
x
=
−
−
1
3
,
;5;5,3
21
== xx
72
5)
( )
,11ln ++= xy
;1,0
21
−== exx 6) ,5,0sin2 xy =
;,
2
21
π
π
== xx
7) ,3
1
1
+
=
−x
e
y
;4,1
21
== xx
8)
,
ln
x
x
y =
.,
2
21
exex ==
3.82. Показать, что между мгновенным темпом роста
(
)
xR
(см.п.2.2.4) и мгновенным темпом прироста
(
)
xr дифференцируемой
функции
(
)
xfy
=
имеется следующая зависимость:
(
)
(
)
xr
exR = .
3.83. Доказать, что при всех
0
>
x
средняя величина степенной
функции прямо пропорциональна предельной.
3.84. * Для линейной функции
bx
a
y
+
=
доказать следующие ут-
верждения:
а) если
a
b
>
>
0
0
,
,
то при изменении
x
от 0 до
+
∞
эластичность
возрастает от 0 до +1;
б) если
,
0
,
0
>
<
b
a
то при изменении
x
от
−
ab до
+
∞
(
−
<
<
+∞
ab x ) эластичность убывает от
+
∞
до +1;
в) если
a
b
>
<
0
0
,
,
то при изменении
x
от 0 до
−
ab
(
)
0 < <−x ab
эластичность убывает от 0 до
−
∞
.
Дать графическую иллюстрацию всех трёх рассмотренных случаев.
3.85. Показать, что:
1) эластичность степенной функции
α
xay ⋅= (здесь
−
α
,
a
постоян-
ные) совпадает с показателем степени;
2) все функции одной переменной с постоянной эластичность явля-
ются степенными;
3) эластичность показательной функции
x
bay ⋅= (здесь
−
b
a
,
по-
стоянные) пропорциональна аргументу.
3.86. Вычислить эластичность
(
)
(
)
xfE
x
функции
(
)
3
xaxf ⋅= ,
0
>
a
,
−
a
параметр. Используя эластичность, ответить на вопрос, на сколько про-
центов изменится значение функции в произвольной точке
x
, если аргу-
мент увеличится на 1%. Определить абсолютную погрешность, которая
при этом допускается: 1) в общем случае; 2) при
2
=
a
.
3.87. Доказать:
1)
()( )
(
)
()
xAf
xMf
xfE
x
= ; 2)
(
)
(
)
=
xfE
x
(
)
(
)
( )
xd
xfd
ln
ln
;
3)
(
)
(
)
=
⋅
xfbE
ax
(
)
(
)
xfE
x
(
−
>
>
0
,
0
b
a
параметры);
4) если
(
)
−=
−
yfx
1
функция, обратная
(
)
xfy
=
, тогда
(
)
=
xE
y
()
yE
x
1
;
5)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
xgxfE
x
(
)
(
)
+
xfE
x
(
)
(
)
xgE
x
;
6)
(
)
()
=
xg
xf
E
x
(
)
(
)
−
xfE
x
(
)
(
)
xgE
x
.
7)
(
)
(
)
=
xAfE
x
(
)
(
)
1
−
xfE
x
.
73
3.88. Пусть задана функция
(
)
0,0,
>
>
=
yxxfy . Вычислить эла-
стичности
(
)
(
)
xfE
x
, если: 1)
(
)
52
−
⋅
=
xxf , 2 )
(
)
53
2
+
=
x
xf , и определить,
при каких значениях переменной
x
функции являются эластичными, а при
каких − неэластичными.
3.89. По известной величине среднего продукта
(
)
xAP ресурса x
найти совокупный
(
)
xTP и предельный
(
)
xMP продукты:
1)
(
)
(
)
x
xxAP
1
32ln5,0 ++= ;
2)
()
(
)
x
x
x
xAP
x 5
43
2,013
−
−+= ;
3)
()
x
xarctg
x
x
xAP
4,0352
2
+−=
.
3.90. Зависимость между издержками производства
C
(д. ед.) и
объёмом выпускаемой продукции Q (ед.) выражается функцией
C Q Q= −10 004
3
, . Определить средние и предельные издержки при объёме
продукции, равном 5 ед. Сравнить полученные результаты и определить,
что произойдёт со средними издержками при увеличении выпуска продук-
ции на малую величину.
3.91. Для заданных ниже вариантов функций издержек
(
)
QfC
=
:
1)
3
10
Q
C +=
; 2)
(
)
71ln2
+
+
=
QC ; 3)
(
)
12
+
=
QarctgС
найти предельные издержки
M
С
и их значения при объёмах производства:
5 ед., 10 ед., 20 ед. Дать экономическую интерпретацию полученных ре-
зультатов.
3.92. Для заданных ниже вариантов функций издержек
(
)
QfC
=
:
1)
32
02,050 QQQC ⋅+−⋅= ; 2)
2
1,0230 QQC +⋅+=
а) найти мгновенный темп прироста, эластичность и их значения при
объёме производства
Q
=10 (ед.);
б) определить, на сколько процентов (приближённо) изменятся из-
держки, если объём производства возрастёт от 10 (ед.) до 10,2 (ед.).
Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
3.93. Как связаны предельные и средние затраты предприятия, если
эластичность полных затрат равна 1?
3.94. Найти коэффициент эластичности спроса по цене, если:
1)
2,0
5,11
−
⋅= PD ; 2)
P
D 5,0= .
3.95. Определить, при какой цене эластичность спроса по цене равна
− 0,5, если функция спроса задана уравнением
P
D
⋅
−
=
5
,
0
8
?
3.96. Для функций спроса: 1)
P
D
2
23
−
=
; 2)
1
5
+
=
P
D
найти эла-
стичность спроса по цене и определить, является ли спрос эластичным,
нейтральным или неэластичным при следующих значениях цены: а) 4
1
=
P ;
б) 7
2
=
P . Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
74
3.97. Пусть функция спроса описывается формулой
2
0
Pk
eDD
⋅−
⋅= ,
где
0
D и k
0
>
− известные величины. Найти, при каких значениях цены P
спрос будет эластичным.
3.98. Для функций предложения: 1)
24
3
−
=
P
S
; 2)
P
S
−
=
9
6
найти
эластичность предложения по цене и определить, при каких значениях це-
ны предложение будет: а) эластичным, б) нейтральным, в) неэластичным.
Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
3.99. Функции спроса и предложения от цены выражаются соответ-
ственно уравнениями: 1) D=7- P и S=P+1; 2) D
P
P
=
+
+
8
2
и
S
P
=
+
0
5
,
.
Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения
для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на
5% от равновесной. Дать экономическую интерпретацию полученных ре-
зультатов.
3.100. На рынке имеется три покупателя со следующими функциями
спроса:
6
1
+
−
=
PD ; 153
2
+
−
=
PD ; 8
3
+
−
=
PD . Определить эластичность
рыночного спроса по цене, когда цена на рынке будет равна 4,5 д. ед.
3.101. При цене моркови 8 д. ед. за 1 кг на рынке было три продавца,
имеющих прямолинейные функции предложения. Первый из них с эла-
стичностью
(
)
(
)
8
1
SE
P
= 1,6 предлагал 10 кг, второй с
(
)
(
)
8
2
SE
P
= 2 предла-
гал 12 кг, а третий с
(
)
(
)
8
3
SE
P
= 1 предлагал 40 кг моркови. Какова будет
отраслевая эластичность предложения по цене при
12
=
P
д. ед.
3.102. Доход фирмы-монополиста от реализации товара в количестве
Q вычисляется по формуле
(
)
(
)
QQPQR
⋅
=
, где
(
)
−
=
QPP
D
функция цены
от спроса на данный товар. Доказать, что верно равенство:
( )
−=
η
1
1PQMR ,
где
(
)
−
=
Dp
QE
η
эластичность спроса по цене товара. Проанализируйте из-
менение дохода с увеличением цены на товар при различных вариантах
эластичности спроса.
3.103. Известно, что спрос на рынке рассматриваемого товара полно-
стью удовлетворяется. Общий доход от продажи товара
(
)
3
2,0375 QQQR ⋅−⋅= , где
−
Q
количество реализованного товара. Найти
функцию спроса от цены товара. Определить, в каких пределах спрос эла-
75
стичен. Что надо делать, чтобы доход возрастал, если начальная цена равна
а) 300 д. ед., б) 200 д. ед.?
3.104. Функция потребления
(
)
IfC
=
описывает зависимость рас-
ходов индивидуального потребителя в зависимости от величины дохода I.
(Заметим, что речь идёт о непроизводственных или текущих "бытовых"
расходах за определённый период времени, которые не связаны со сбере-
жением, инвестированием и производством.) Для функции потребления
IIC 5,05,05 +⋅+= найти предельную склонность к потреблению
(
)
(
)
IfMPC
′
=
и эластичность потребления по доходу
(
)
(
)
CE
I
, а также вы-
числить их значения, соответствующие доходу в 16 д. ед. Дать экономиче-
скую интерпретацию полученных результатов.
3.105. Для функции потребления IIC +⋅+= 75,08 :
1) определить равновесный уровень дохода
*
I
, который обеспечива-
ет совпадение доходов и расходов (потребления);
2) вычислить предельную склонность к потреблению и эластичность
потребления по доходам при найденном равновесном уровне дохода
I
*
.
Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
3.106. Спрос населения на продовольствие характеризуется постоян-
ной эластичностью по доходу
(
)
EDE
I
=
. Известно, что в истекшем году
расходы населения на продовольствие составляли r% от дохода. В теку-
щем году ожидается рост доходов населения на
%
δ
. Определить, какую
часть своего дохода население будет тратить на продовольствие в текущем
году, если цена на него, а также общий уровень цен останутся неизменны-
ми.
Решить задачу: 1) в общем виде; 2) при
(
)
8,0
=
DE
I
; r =50%;
%
10
=
δ
.
3.107. Л. Торнквистом были предложены следующие варианты
функций спроса потребителей
D
, зависящих от дохода I на: а) малоцен-
ные товары
(
)
γ
β
α
+
+
⋅
⋅
=
2
I
II
D ; б) товары первой необходимости
β
α
+
⋅
=
I
I
D ;
в) товары второй необходимости (относительной роскоши)
(
)
β
γ
α
+
−
⋅
=
I
I
D ;
г) предметы роскоши
(
)
β
γ
α
+
−
⋅
⋅
=
I
II
D . В них
α
,
β
,
−
γ
параметры,
α
,
β
,
0
>
γ
.
Для каждой из предложенных функций найти коэффициент эластич-
ности спроса по доходу. При заданных значениях параметров
5
=
α
,
10
=
β
,
15
=
γ
:
1) найти коэффициент эластичности спроса по доходам при
100
*
=
I
(д. ед.) и определить, на сколько процентов (приблизительно) из-
76
менится спрос на соответствующие товары, если доход увеличится на 2%
от
*
I
.
2) найти коэффициент эластичности спроса по доходам при
10
*
=
I
(д. ед.) и определить, на сколько процентов (приблизительно) изме-
нится спрос на соответствующие товары, если доход уменьшится на 0,3 д.
ед. от
*
I
.
Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.
3.108. Потребитель весь свой доход расходует только на три товара:
хлеб, колбасу и молоко. В настоящее время 20% своего дохода он расходу-
ет на хлеб, 50% − на колбасу и 30% − на молоко. Определите эластичность
спроса на молоко по доходу, если эластичность спроса на хлеб по доходу
равна – 1, а эластичность спроса на колбасу по доходу равна 2.
3.109. На рынке некоторого товара в равновесии потребляется 20
единиц блага по цене 4 д. ед., при этом коэффициент эластичности спроса
по цене равен (– 0,3), а коэффициент эластичности предложения по цене
равен (+0,4).
1) Вывести функции спроса и предложения при условии, что они ли-
нейны.
2) Определить равновесный объём и рыночную цену при введении
потоварного налога, уплачиваемого производителями в размере 2 д. ед.
3.8. Теоремы Ролля и Лагранжа
Теорема Ролля. Если: 1) функция
(
)
xf определена и непрерывна на
отрезке
[
]
ba, ; 2) дифференцируема на интервале
(
)
ba, ; 3)
(
)
(
)
bfaf
=
, то
существует точка
(
)
bac ,
∈
такая, что
(
)
.0
=
′
сf
Точки, в которых производная функции
(
)
xf равна нулю, называют-
ся стационарными.
Теорема Лагранжа. Если: 1) функция
(
)
xf определена и непрерыв-
на на отрезке
[
]
ba, ; 2) дифференцируема на интервале
(
)
ba, , тогда суще-
ствует точка
(
)
bac ,
∈
такая, что справедлива формула
(
)
(
)
()
cf
a
b
afbf
′
=
−
−
.
(3.6)
3.110. Определить, удовлетворяют ли условиям Ролля функции:
1)
(
)
1
2
−= xxf ,
[
]
1,1
−
∈
x ;
2)
()
[
)
=
∈
=
;1,0
,1,0,
x
xx
xf
77
3)
(
)
[
]
1,1, −∈= xxxf ;
4)
()
4
2
5
x
x
xf
−
= ,
[
]
1,1
−
∈
x ;
5)
()
[
]
1,1,1
3
2
−∈−= xxxf ;
6)
()
∈=
6
5
,
6
,sinln
ππ
xxxf ;
Если да, то найти все стационарные точки соответствующей функции на
заданном отрезке.
3.111. Пусть
(
)
(
)
(
)
(
)
321
−
⋅
−
⋅
−
=
xxxxxf . Доказать, что все три корня
уравнения
(
)
0
=
′
xf действительны.
3.112. Доказать, что если функция
(
)
xf определена и непрерывна на от-
резке
[
]
ba, , дифференцируема на интервале
(
)
ba, , то функция
(
)
=
xF
(
)
(
)
(
)
(
)
−
−
⋅
−
abafxf
(
)
(
)
(
)
(
)
axafbf
−
⋅
−
имеет по крайней мере
одну стационарную точку на интервале
(
)
ba, .
3.113. Проверить, применима ли формула Лагранжа к функциям:
1)
(
)
25
2
−+= xxxf на отрезке
[
]
2,0 ;
2)
(
)
xxf ln
=
на отрезке
[
]
e,1 ;
3)
() ( )
5
4
1−= xxxf на отрезке
−
2
1
,
2
1
.
Если да, то найти фигурирующую в формуле Лагранжа (3.6) точку
c
.
3.114. На кривой
(
)
xfy
=
найти точку, в которой касательная парал-
лельна хорде, соединяющей точки
A
и
B
, пояснить полученный результат
графически:
1)
3
xy = ,
(
)
1,1
−
−
A ,
(
)
8,2B ; 2)
2
4 xy −= ,
(
)
0,2
−
A ,
(
)
3,1B .
3.115. Построить график функции 1−= xy на отрезке
[
]
3,0 . Пояснить,
почему нельзя провести касательную, параллельную хорде, соединяющей
точки
(
)
1,0A и
(
)
2,3B . Какое условие теоремы Лагранжа здесь наруша-
ется?
3.116. Доказать, что:
1) если производная
(
)
xf
′
тождественно равна нулю на интервале
(
)
ba, ,
то функция
(
)
xf постоянна на этом интервале;
2) если
(
)
0
<
′
xf на интервале
(
)
ba, , то функция
(
)
xf убывает на этом ин-
тервале;
78
3) если
(
)
0
>
′
xf на интервале
(
)
ba, , то функция
(
)
xf возрастает на этом
интервале.
3.9. Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя
1. Неопределённости
0
0
или
∞
∞
. Правило Лопиталя. Если:
1) в некоторой окрестности точки
a
, за исключением, быть может,
самой точки
a
дифференцируемы функции
(
)
xf и
(
)
x
ϕ
,
(
)
0
≠
′
x
ϕ
,
2)
(
)
=
→
xf
ax
lim
(
)
0lim
=
→
x
ax
ϕ
или
(
)
=
→
xf
ax
lim
(
)
∞
=
→
x
ax
ϕ
lim и
3) существует
(
)
()
x
xf
ax
ϕ
′
′
→
lim
,
тогда существует
(
)
()
x
xf
ax
ϕ
→
lim
, причём
(
)
()
=
→
x
xf
ax
ϕ
lim
(
)
()
x
xf
ax
ϕ
′
′
→
lim
.
(3.7)
Если
(
)
()
0
0
lim =
′
′
→
x
xf
ax
ϕ
(или
∞
∞
), а функции
(
)
xf
′
и
(
)
x
ϕ
′
удовлетво-
ряют тем же условиям, что и функции
(
)
xf и
(
)
x
ϕ
, то равенство (3.7)
можно продолжить, перейдя к пределу отношения вторых производных и
т.д.
2. Неопределённости вида
∞
−
∞
∞
⋅
,
0
,
0
,0,1 ∞
∞
∞
. Неопределённо-
сти вида
∞
⋅
0
,
∞
−
∞
приводятся к неопределённостям вида
0
0
или
∞
∞
при помощи простейших алгебраических преобразований (см. ниже при-
меры), а затем раскрываются с помощью правила Лопиталя.
Неопределённости вида
0
,0,1 ∞
∞
∞
сводятся к неопределённости
∞
⋅
0
с помощью предварительного логарифмирования или использования
тождества
(
)
(
)
(
)
.
lnxxg
xg
exf =
Неопределённости, возникающие при вычислении односторонних
пределов, а также пределов при
∞
→
x
,
−∞
→
x
,
+∞
→
x
раскрываются
аналогично.
Пример 3.11. Найти пределы:
1)
16
6
5
16
lim
23
4
2
−
−
+
−
→
x
x
x
x
x
; 2)
3
0
sin
lim
x
xx
x
−
→
;
3)
n
kx
x
x
e
+∞→
lim , где
,
0
>
k
−
k
действительное,
−
n
натуральное числа.
79
Решение. Убедившись, что имеет место неопределённость
0
0
или
∞
∞
,
применим затем правило Лопиталя:
1)
16
6
5
16
lim
23
4
2
−
−
+
−
→
x
x
x
x
x
= =
0
0
=
′
−−+
′
−
→
)1665(
)16(
lim
23
4
2
xxx
x
x
=
−
+
→
6
10
3
4
lim
2
3
2
x
x
x
x
13
3
1
26
32
= ;
2)
=
−
→
3
0
sin
lim
x
xx
x
=
0
0
=
′
′
−
→
)(
)sin(
lim
3
0
x
xx
x
=
−
→
2
0
3
cos1
lim
x
x
x
=
0
0
=
′
′
−
→
)3(
)cos1(
lim
2
0
x
x
x
=
→
x
x
x
6
sin
lim
0
0
0
6
1sin
lim
6
1
0
=⋅=
→
x
x
x
;
3) =
+∞→
n
kx
x
x
e
lim =
∞
∞
=
⋅
⋅
−
+∞→
1
lim
n
kx
x
x
n
ek
=
∞
∞
( )
==
∞
∞
=
−⋅
⋅⋅
−
+∞→
,...,
1
lim
2n
kx
x
xnn
ekk
,
!
lim ∞=
⋅
+∞→
n
ek
kxn
x
здесь правило Лопиталя применено
n
раз.
Пример 3.12. Найти: 1)
(
)
;lnlim
2
0
xx
x +→
2)
−
−
→
1
11
lim
0
x
x
e
x
;
3)
x
x
x
sin
0
lim
+→
.
Решение. 1) Здесь мы имеем неопределённость вида
∞
⋅
0
. Предста-
вим произведение функций в виде дроби, получив неопределённость
∞
∞
,
применим правило Лопиталя:
(
)
=
+→
xx
x
lnlim
2
0
=
+→
2
0
1
ln
lim
x
x
x
=
−
+→
3
0
2
1
lim
x
x
x
0lim
2
1
2
0
=−
+→
x
x
.
2) Имеем неопределённость вида
∞
−
∞
. Приведём дроби к общему
знаменателю и, получив неопределённость
0
0
, применим правило Лопита-
ля:
=
−
−
→
1
11
lim
0
x
x
e
x
( )
=
−
−−
→
1
1
lim
0
x
x
x
ex
xe
=
+
−
−
→
xx
x
x
xe
e
e
1
1
lim
0
.
2
1
2
lim
0
=
+
→
xx
x
x
xe
e
e
3) Здесь – неопределённость вида
.
0
0
Положим
x
xy
sin
= , тогда
.lnsinlnln
sin
xxxy
x
⋅== Вычислим
80
=
+→
y
x
lnlim
0
=
⋅
+→
xx
x
lnsinlim
0
=
+→
x
x
x
sin/1
ln
lim
0
=
−
+→
x
x
x
x
2
0
sin
/
cos
/1
lim
=
⋅
−
+→
xx
x
x
cos
sin
lim
2
0
⋅−
+→
x
x
x
sin
lim
0
.0lim
0
=
+→
xtg
x
Следовательно,
=
+→
y
x 0
lim
.1lim
0sin
0
==
+→
ex
x
x
3.117. Раскрыть неопределённости вида
0
0
или
∞
∞
, вычислить пре-
делы:
1)
x
e
x
x
1
lim
0
−
→
;
2)
2
0
cos1
lim
x
x
x
−
→
;
3)
3
4
23
lim
23
23
1
+
−
+−
→
x
x
xx
x
;
4)
( )
x
ee
xx
x
+
−
−
→
1ln
lim
0
;
5)
1
2
lim
/3
−
−
∞+→
x
x
e
arctgx
π
; 6)
x
x
x
sin
ln
2
1
ln
lim
0
+
+→
;
7)
e
e
xx
x
x
−
+−
→
ln1
lim
2
1
;
8)
x
x
xxtg
x
sin
lim
0
−
−
→
; 9)
n
x
x
xln
lim
∞+→
,
N
n
∈
;
3.118. Раскрыть неопределённости вида
0
⋅
∞
или
∞
−
∞
, вычислить
пределы:
1) xctgx
x
π
⋅
→0
lim ;
2)
−
∞→
1lim
1
x
x
ex ;
3)
xn
x
ex ⋅
∞−→
lim ;
4) xx
x
3
0
lnlim
+→
; 5)
(
)
ctgxee
xx
x
⋅−+
−
→
2lim
0
;
6)
(
)
1lnlnlim
01
−
⋅
+→
xx
x
;
7)
−
→
x
ctgx
x
1
lim
0
; 8)
−
−
→
x
x
x
x
ln1
1
lim
1
;
9)
−
→
xctgx
x
x
cos
2
lim
2
π
π
;
10)
−
−
−
→
1
1
1
1
lim
2
1
xx
x
.
3.119. Раскрыть неопределённости вида 1 0
0∞ ∞
∞, , , вычислить преде-
лы:
1)
x
x
x
1
lim
+∞→
;
2)
(
)
x
x
tgx
ln1
0
lim
+→
;
3)
(
)
x
x
xsinlim
0+→
;
4)
(
)
x
x
x
cos
0
2
2lim −
−→
π
π
;
5)
(
)
x
x
x
xe
1
0
lim +
→
;
6)
x
x
x
−
+→
1
1
01
lim .
3.120. Установить, существуют ли пределы, применимо ли к их вы-
числению правило Лопиталя и приводит ли к правильному ответу его фор-
мальное применение:
1)
(
)
x
xx
x
sin
1sin
lim
2
0→
;
2)
( )
x
x
exx
xx
sin
sin2
sin22
lim
⋅+
+
+
∞→
.