Никифорова И.А. Математика в экономике: сборник задач. Часть ?
Подождите немного. Документ загружается.
101
3.174. Фермер выращивает капусту. Производственная функция
имеет вид: xQ
K
⋅=10 , где x (ед.) − количество используемых удобрений.
Удобрения стоят 1 д. ед. за единицу. Определить, сколько капусты
вырастит фермер и какова будет его прибыль, если рыночная цена капусты
равна 2 д. ед.
3.175. Предположим, мы имеем следующую информацию о
деятельности фирмы: её предельный доход описывается функцией
Q
MR
⋅
−
=
20
1000
, предельные издержки
Q
MC
⋅
+
=
10
100
. Сколько
продукции продаст фирма, стремящаяся максимизировать прибыль, и по
какой цене, если:
1)
*
она будет функционировать как монополия, а функция спроса на
продукцию фирмы линейна;
2) она будет функционировать в условиях совершенной
конкуренции?
4. Монополия с несколькими заводами. Рассмотрим фирму-
монополиста, производящую одну и ту же продукцию на n заводах.
Прибыль монополиста равна разности между общей выручкой от продажи
всей произведенной продукции
n
QQQ
+
+
=
...
1
, где
−
i
Q объём выпуска
−
i
го завода, 0
≥
i
Q ,
n
i
,...,
2
,
1
=
, и суммарными затратами всех заводов:
(
)
=
Π
Q
(
)
(
)
(
)
nn
QCQCQR
−
−
−
...
11
,
здесь
−
i
C затраты
−
i
го завода.
Необходимым условием максимизации прибыли фирмы по выпуску
некоторого объёма продукции Q в коротком периоде является
распределение выпуска между заводами так, чтобы выполнились
равенства:
(
)
(
)
(
)
(
)
QMRQMCQMCQMC
nn
=
=
=
=
...
11
,
(3.16)
где
−
i
MC предельные затраты
−
i
го завода,
n
QQQ
+
+
=
...
1
,
−
MR
предельный доход фирмы от продажи произведённой продукции. В
случае, когда функция
(
)
QR является вогнутой, а все функции
(
)
−
ii
QC
выпуклыми, условия (3.16) будут достаточными для глобального
максимума прибыли фирмы.
3.176. В состав фирмы-монополиста, стремящейся максимизировать
свою прибыль, входят несколько заводов. Зная функцию общих затрат
каждого из них, найти функцию общих затрат для следующих вариантов её
состава.
1) Фирма состоит из n одинаковых заводов с функциями затрат
(
)
2
10100
iiii
QQQC ++= .
2) Фирма имеет два завода с функциями затрат
(
)
2
1111
10100 QQQC ++= ;
(
)
2
2222
25,010200 QQQC ++= .
3)* Фирма имеет два завода с функциями затрат
(
)
2
1111
10100 QQQC ++= ;
(
)
2
2222
25,05200 QQQC ++= .
102
3.177. Монополия, максимизирующая прибыль, владеет двумя
предприятиями, на которых может производиться один и тот же вид
продукции с разными затратами:
(
)
11
QC и
(
)
22
QC . Спрос на продукцию
характеризуется функцией PQ
D
2200−= . Определить, сколько и на каком
предприятии монополия будет производить продукции.
Решить задачу для следующих вариантов функций затрат:
1)
(
)
111
10 QQC
⋅
=
,
(
)
2
222
25,0 QQC ⋅= ; 2)
(
)
2
111
QQC = ,
(
)
2
222
5,0 QQC ⋅= .
5. Ценовая дискриминация монополиста на сегментированных
рынках означает установление различных цен для разных категорий
покупателей (сегментов рынка). При дискриминации на сегментированном
рынке монополия максимизирует прибыль, выбирая на каждом из
сегментов наилучшее сочетание цен и объёмов продаж.
Предположим, что монополист может разделить рынок своей
продукции на т сегментах, причём переток товара с одного сегмента на
другой невозможен. Прибыль монополиста равна разности между общей
выручкой от продажи всей произведенной продукции
n
QQQ
+
+
=
...
1
, где
−
i
Q объём продаж на
−
i
ом сегменте рынка,
m
i
,...,
2
,
1
=
, затратами на
производство всей продукции
(
)
=
Π
Q
(
)
(
)
(
)
QCQRQR
nn
−
+
+
...
11
,
здесь
−
i
R доход на i-ом сегменте рынка,
(
)
−
QC суммарные затраты
фирмы.
Необходимым для максимизации прибыли от рационального
размещения товара в объёме Q на сегментах рынка является условие:
(
)
(
)
(
)
(
)
QMCQMRQMRQMR
nn
=
=
=
=
...
11
,
(3.17)
где
−
i
MR предельный доход на i-ом сегменте рынка,
m
i
,...,
1
=
,
−
MC
MR
,
предельный доход и предельные издержки фирмы
соответственно. Если функции
(
)
ii
QR ,
m
i
,...,
2
,
1
=
являются вогнутыми, а
все функция
(
)
−
QC выпуклой, условия (3.17) будут достаточными для
глобального максимума прибыли фирмы.
Предельный доход представим в виде
( )
−=
η
1
1PQMR , где
(
)
QE
p
=η
,
(
)
−
QE
p
эластичность спроса по цене товара (см. пр. 3.102).
Тогда для двух сегментов рынка i и j верно равенство, связывающее
цены и эластичности спроса по цене сегментов рынка:
=
−
i
i
P
η
1
1 ⇒
−
j
j
P
η
1
1
−
−
=
i
j
j
i
P
P
η
η
1
1
1
1
.
103
3.178. Фирма-монополист, располагая общим объёмом предложения
товара в Q млн. единиц, торгует на рынках 1 и 2, которые характеризуются
кривыми спроса, заданными уравнениями
11
412 QP
−
=
и
22
12QbP
−
=
соответственно, где b>0 − параметр. Фирма стремится максимизировать
прибыль. Найти оптимальное для фирмы распределение товара между
рынками 1, 2 и цены продаж
*
1
P ,
*
2
P для следующих вариантов значений
параметров b и Q:
1) b = 6, Q =1,8; 2) b = 4, Q =1; 3) b = 12, Q =1,8. 4) b = 60, Q =8.
3.179. Фирма-монополист реализует продукцию на рынке, где
покупатели подразделяются на две группы с различной эластичностью
спроса:
11
160 PQ
D
−= ;
22
2160 PQ
D
−= . Её функция общих затрат имеет
вид:
(
)
2
25,055 QQQC ++= .
1) При каких ценах на каждом из сегментов монополия получит
максимум прибыли?
2) Как изменились бы объёмы продаж на каждом из сегментов и
прибыль монополии, если бы ценовая дискриминация была бы запрещена?
3.180. Фирма-монополист реализует продукцию на рынке, где
покупатели подразделяются на две группы с различной эластичностью
спроса:
11
2,060 PQ
D
⋅−= ,
22
025,05 PQ
D
⋅−= . Найти предельную выручку
фирмы как функцию объёма производства для двух вариантов: 1) продукт
продаётся на рынке по единой цене; 2)
*
продукт продаётся группам
покупателей по разным ценам.
3.181. Компания является монополистом на рынке готовой
продукции и, проводя политику ценовой дискриминации, разделяет
потребителей своей продукции на два рынка: А и В. Эластичность спроса
по цене на рынке А равна (-2), на рынке В – (- 4). Предельные издержки
компании постоянны. Если цена товара на рынке А составляет 15 д. ед. за
единицу, то какую цену компания может назначить на рынке В с целью
максимизации своей прибыли?
3.182. Торговая компания ″Сатурн″ продаёт футболки на Сенном и
Кузнечном рынках. Эластичности спроса по цене соответственно равны
5
−
=
c
e , 8
−
=
к
e . Торговой компании удаётся успешно разделить эти рынки
и препятствовать перепродаже купленных на другом рынке футболок.
Какую цену должна назначить компания на футболки, продающиеся на
Сенном рынке, если цена футболок на Кузнечном рынке равна 1000 д. ед.
3.183. Автомобильный концерн может продавать автомобили на
внутреннем рынке, защищённом протекционистской политикой
правительства, где спрос на автомобили описывается функцией
10100
BВ
QP
−
=
. Кроме того, концерн может поставлять автомобили на
мировой рынок, где цена в пересчёте на рубли составляет 80 тыс. руб. и не
зависит от объёма экспорта. Предельные издержки концерна равны
1050 QMC
+
=
, где
−
Q
общий объём производства концерна. Каким
104
образом концерн распределит продукцию между внутренним и внешним
рынком для того, чтобы максимизировать прибыль?
3.15. Асимптоты
Прямую называют асимптотой графика функции
(
)
xfy
=
, если
расстояние от точек
(
)
(
)
xfxM , графика функции до данной прямой
стремится к нулю при бесконечном удалении точек М от начала
координат.
1. Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке
0
xx
=
является бесконечным, то прямую
0
xx
=
называют вертикальной
асимптотой.
2. Если существуют (конечные) пределы
( )
(
)
x
xf
k
x
x
∞−→
∞+→
= lim и
( )
(
)
(
)
kxxfb
x
x
−
=
∞−→
∞+→
lim
(при одинаковом поведении
x
: т.е. в обеих формулах
+∞
→
x
или
−∞
→
x
!), тогда прямую
b
kx
y
+
=
(
)
0
≠
k называют наклонной
асимптотой при
+∞
→
x
(
−∞
→
x
), если k =0, то прямую
b
y
=
называют
горизонтальной асимптотой при
+∞
→
x
(
−∞
→
x
).
Пример 3.17. Найти асимптоты кривой
3
36
2
−
+−
=
x
xx
y .
Решение. 1. Область определения рассматриваемой функции состоит
из множества всех действительных чисел, за исключением одной точки
3
0
=
x . Таким образом, в точке 3
0
=
x функция имеет разрыв.
Вычислим ⇒+∞=
−
+−
−→
3
36
lim
2
03
x
xx
x
разрыв бесконечный, следовательно,
прямая 3
0
=
x является вертикальной асимптотой.
2. Найдём:
(
)
==
∞+→
x
xf
k
x
lim
∞+→x
lim
( )
1
3
36
2
=
⋅−
+−
xx
xx
;
(
)
(
)
=
−
=
∞+→
kxxfb
x
lim
∞+→x
lim
( )
=−
−
+−
x
x
xx
3
36
2
∞+→x
lim
( )
3
3
33
−=
−
+
−
x
x
.
Нетрудно убедиться, что при
−∞
→
x
также k =1 и b = - 3. Таким
образом, прямая
3
−
=
x
y
является единственной наклонной асимптотой:
к ней приближается график рассматриваемой функции при
+∞
→
x
и
−∞
→
x
.
3.184. Найти асимптоты следующих кривых:
1)
2
92
2
+
−
=
x
x
y ;
2)
1
2
4
4
−
+
=
x
x
y
; 3)
2
92
2
4
+
−
=
x
x
y
;
105
4)
x
x
y
1
2
−
= ;
5)
5
2
−
=
x
x
y
;
6)
3
23
xxy −= ;
7)
x
x
y
2
3−
= ;
8)
x
exy ⋅= ;
9)
2
2
x
y
−
= ;
10)
2
2
x
y
−
= ;
11)
x
x
xy
sin
+=
;
12)
(
)
x
x
x
y 2
1ln
2
+
+
= .
3.16. Исследование функций. Построение графиков
Рекомендуется следующая схема исследования функций:
1) найти область определения функции;
2) найти точки разрыва и односторонние пределы в этих точках;
3) выяснить чётность, нечётность и периодичность функции;
4) найти нули функции и точки пересечения с осью ординат;
5) найти интервалы возрастания, убывания и точки экстремума;
6) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;
7) найти асимптоты;
8) построить график, используя результаты исследования.
Пример.3.18. Исследовать функцию и построить ее график:
2
3
1
x
x
y
−
=
.
Решение. 1) Функция определена всюду, кроме точки x = 0.
2) Функция имеет одну точку разрыва x = 0. Подсчитаем в ней
пределы слева и справа:
=
−
−→
2
3
0
1
lim
x
x
x
+∞=
−
+→
2
3
0
1
lim
x
x
x
, поскольку предел
числителя равен 1, а знаменатель является бесконечно малым при
0
±
→
x
.
3) Функция не является ни чётной:
( )
≠
+
=−
2
3
1
x
x
xf
()
2
3
1
x
x
xf
−
=
, ни
нечётной
( )
≠
+
=−
2
3
1
x
x
xf
()
2
3
1
x
x
xf
−
=−
, ни периодической.
4) Имеем:
⇒
=
0
y
⇒=
−
0
1
2
3
x
x
1
=
x
. Следовательно, график функции
пересекает ось 0x в точке (1; 0) и не пересекает ось 0y
(
)
0
≠
x . Нетрудно
убедиться, что при
0
<
x
значение функции
0
>
y
, при
1
0
<
<
x
значение
функции
0
>
y
, при
1
>
x
имеем
0
<
y
.
5) Найдём производную: 1
2
3
−−=
′
x
y , приравнивая её нулю, найдём
критическую точку
3
2
−=
x
. Производная не существует при x = 0, но эта
106
точка не принадлежит области определения, поэтому критической не
является.
Нанесём критическую точку и точку x = 0 на числовую прямую,
расставив
знаки производной на получившихся интервалах, видим, что: функция
убывает при
3
2
−<
x
0
>
x
, а возрастает при
0
2
3
<<−
x
, в точке
3
2
−=
x
функция имеет локальный минимум,
(
)
3
3
min
4
3
2 =−= yy
.
6) Найдём вторую производную:
2
6
x
y =
′′
, 0
≠
′
′
y и не определена в
точке x = 0, не принадлежащей области определения. Следовательно,
точек перегиба функция не имеет (не выполнено необходимое условие их
существования). Во всей области определения вторая производная
положительна, функция является всюду выпуклой.
7) В рассматриваемом примере существует вертикальная асимптота x
= 0 (см. п. 2 исследования)).
Проверим условия существования наклонной асимптоты:
(
)
==
∞+→
x
xf
k
x
lim 1
1
lim
3
3
−=
−
∞+→
x
x
x
,
=
−
−
=
∞+→
x
x
x
b
x
2
3
1
lim
0
1
lim
2
=
∞+→
x
x
,
аналогично находятся
1
=
k
и
0
=
b
и при
+∞
→
x
. Следовательно,
функция имеет наклонную асимптоту
x
y
−
=
при
±∞
→
x
.
9) Учитывая результаты исследования, строим график (см. рис.3.17).
−
3
2−
0
-
+
(
)
()
xf
xf
′
107
3.185. Исследовать функции и построить их графики:
1)
(
)
125
5
3
2
−
=
x
y ;
2)
( )
5
6
1
23
−= xxy
;
3)
( )
2
3
12 −
=
x
x
y ;
4)
1
3
2
3
−
−
=
x
xx
y ;
5)
4
2
−
=
x
x
y
;
6)
1
1
2
2
+
−
=
x
x
y ;
7)
3
2
2xxy −= ;
8)
(
)
xxy 3−= ;
9)
( ) ( )
3
2
1312 +−+= xxy ;
10)
2
2 xx
ey
−
= ;
11)
2
1
2
1
x
e
x
y
−
=
;
12)
(
)
1ln
2
++= xxy ;
13)
1ln
2
−= xy
;
14)
x
x
y
cos
sin
+
=
;
15) *
x
xy = .
2
3
1
x
x
y
−
=
0 x
y
Рис.3.17. График функции
2
3
1
x
x
y
−
=
108
Глава 4 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
4.1. Первообразная и неопределённый интеграл
Функцию
(
)
xF
,
X
x
∈
, называют первообразной функции
(
)
xf
на мно-
жестве
X
, если
(
)
(
)
xfxF
=
′
X
x
∈
∀
. Если
(
)
−
xF
первообразная функции
(
)
xf
,
X
x
∈
, то функция
(
)
x
Φ
является первообразной функции
(
)
xf
тогда и
только тогда, когда
(
)
(
)
CxFx
+
=
Φ
, где
−
C
некоторая постоянная.
Множество всех первообразных функции
(
)
xf
называют неопределён-
ным интегралом и обозначают
(
)
dxxf ⋅
∫
. По определению
(
)
(
)
CxFxxf +=⋅
∫
,
где
(
)
−
xF
одна из первообразных функции
(
)
xf
,
−
C
произвольная постоян-
ная.
Основные свойства неопределённого интеграла:
1.
()
(
)
()
xfdxxf =
′
⋅
∫
.
2.
(
)
(
)
(
)
dxxfdxxfd =⋅
∫
.
3.
(
)
(
)
CxFxdF +=
∫
. 4.
(
)
(
)
(
)
0, ≠=⋅=⋅
∫∫
αααα constdxxfdxxf .
5.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
dxxgdxxfdxxgxf ⋅±⋅=⋅±
∫∫∫
.
6. Если
(
)
(
)
CxFdxxf +=⋅
∫
и
(
)
−
xu
любая дифференцируемая функция,
то
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
CxuFxduxuf +=⋅
∫
.
Таблица основных интегралов:
1. Cdx =⋅
∫
0 . 2. Cxdx +=⋅
∫
1 .
3. )1,(
1
1
−≠=+
+
=
+
∫
αα
α
α
α
constC
x
dxx .
4. Cx
x
dx
+=
∫
ln .
5.
( )
1,0
ln
≠<+=
∫
aaC
a
a
dxa
x
x
, Cedxe
xx
+=
∫
.
6.
∫
+−= Cxxdx cossin . 7.
∫
+= Cxxdx sincos .
8.
Ctgx
x
dx
+=
∫
2
cos
. 9.
Cctgx
x
dx
+−=
∫
2
sin
.
10.
∫
+−
+
=
−
.arccos
,arcsin
1
2
Cx
Сx
x
dx
11.
∫
+−
+
=
+ .
,
1
2
Carcctgx
Сarctgx
x
dx
12.
Cxx
x
dx
+±+=
±
∫
1ln
1
2
2
.
13.
C
x
x
x
dx
+
−
+
=
−
∫
1
1
ln
2
1
1
2
.
В силу свойства 6 таблицу интегралов можно расширить, заменив в
приведённых выше формулах независимую переменную
x
на переменную
109
интегрирования
(
)
xuu
=
(тогда во всех формулах
dx
заменится на
(
)
dxxudu
′
=
).
Пример 4.1. Используя тождественные преобразования подынтеграль-
ных выражений и свойства неопределённых интегралов, свести к табличным
и вычислить следующие интегралы:
1)
dx
x
xx ⋅
+−+
∫
1
32cos5
2
;
2)
(
)
dxx
32
3
∫
−
;
3)
dx
x
x
∫
+
1
;
4) dx
x
x
∫
⋅
22
cos
sin
1
;
5) dx
x
x
∫
+
2
4
1
; 6) dx
xx
∫
⋅
2
32 ;
7)
(
)
dxx
xx
∫
−
⋅+ 2312
2
.
Решение. 1) Используя свойства 4, 5 получим:
dx
x
xx
∫
+−+
1
32cos5
2
= dx
x
dxxdxxdx
∫ ∫ ∫ ∫
+−+
1
32cos5
2
=
= Cxxxx ++−+ ln2sin5
3
.
2)
(
)
(
)
∫ ∫ ∫∫
++=−+−=− dxxdxdxxxxdxx
264232
2727927273
∫ ∫
=−+ dxxdxx
64
9
C
xx
xxC
x
xxx +−
+−=+−+−=
75
39
75
9
3
27
27
74
2
7
53
.
3) Разделим числитель подынтегральной функции почленно на знаме-
натель, тогда
dx
x
x
∫
+
1
=
dx
x
x
∫
+
1
=
C
x
xCxxdxxdxx +
+=++=+
∫∫
−
3
122
3
2
2
1
2
3
2
1
2
1
.
4) Заменим единицу в числителе подынтегральной функции на триго-
нометрическую, получим
dx
x
x
∫
⋅
22
cos
sin
1
=
∫∫∫
+=
⋅
+
x
dx
x
dx
dx
x
x
xx
2222
22
sin
cos
cos
sin
cossin
=
22
tgxctgxCctgxC
=−+=−+
.
5) =
+
∫
dx
x
x
2
4
1
dx
x
x
∫
+
+−
2
4
1
1)1(
=
dx
x
x
∫
+
+−
2
2
1
1
1
=
∫ ∫ ∫
+
+−
2
2
1
x
dx
dxdxx =
3
3
x
xarctgxC
=−++
.
6) dx
xx
∫
⋅
2
32 = =⋅
∫
dx
xx
92 dx
x
∫
18 = C
x
+
18
ln
18
.
7)
(
)
dxx
xx
∫
−
⋅+ 2312
2
(
)
dxx
x
∫
+=
2
32 = +
∫
dx
x
2 =
∫
dxx
2
3 +
2
ln
2
x
3
x C
+
.
Найти интегралы:
4.1.
dx
x
xx
∫
++
1
2
2
.
4.2.
( )
dxxx
∫
+− 54
3
.
110
4.3.
dx
x
x
∫
++
5
1
3
cos
sin2
. 4.4.
dxx
x
∫
− cos5
2
.
4.5. dx
x
x
∫
−
−
2
2
1
3
sin
1
. 4.6.
( )
dx
xx
∫
+
+
⋅
22
1
2
cos3
1
.
4.7. dx
x
x
∫
+
2
1
3 .
4.8.
(
)
dxe
xx
∫
⋅+32
.
4.9. dx
x
a
x
a
x
a
∫
++
3
3
2
2
,
−
a
постоянная.
4.10.
dx
xx
∫
⋅
+−
32
4
11
1
.
4.11.
dxxx
∫
−
5
3
2
5
3
. 4.12.
dxxx
∫
⋅+⋅
3
4
3
3
2
.
4.13.
∫
n
x
dx
,
−
n
число,
1
,
0
≠
>
n
n
. 4.14.
∫
xx
dx
.
4.15. dxxxx
∫
.
4.16. dx
x
x
∫
+−
4
3
11
3
4.17.
(
)
(
)
dxxx
∫
++ 32 .
4.18.
(
)
dxx
2
32
∫
+
4.19. dx
x
x
∫
−
4
32
.
4.20.
dx
x
x
∫
+2
3
.
4.21.
(
)
dx
x
x
∫
−
3
2
13
.
4.22.
dx
x
x
∫
−
2
1
.
4.23.
dx
x
x
x
∫
+
−
4
3
3
2
11
.
4.24.
(
)
dx
ax
xa
∫
+
3
,
−
a
постоянная,
0
≠
a
.
4.25. dx
x
x
∫
−
−+
2
2
1
12
.
4.26. dx
x
xx
∫
++
−
3
44
2
.
4.27. dxe
xx
∫
⋅2 .
4.28. dx
x
xx
∫
+
10
52
.
4.29. dx
e
e
x
x
∫
+
−
1
1
2
.
4.30.
dx
x
e
e
x
x
∫
−
−
2
cos
1
.
4.31. dx
x
∫
2
sin
2
.
4.32.
dx
x
x
∫
−
−
+
2
2
1
3
1
2
.
4.33.
dx
x
x
∫
−
2
3
sin
sin2
.
4.34.
dx
x
x
x
∫
⋅
22
sin
cos
2cos