Никифорова И.А. Математика в экономике: сборник задач. Часть ?
Подождите немного. Документ загружается.
91
основным гипотезам: 1)
(
)
QU (строго) возрастают и 2) являются строго
вогнутыми. В прикладных задачах допускается использование функций
полезности, удовлетворяющих ослабленным аналогам гипотез:
неубывающих и вогнутых (не обязательно строго!).
3.154. 1) Пояснить содержательный смысл основных гипотез и их
ослабленных аналогов для функций полезности.
2) Какими свойствами обладает функция предельной полезности,
если функция полезности удовлетворяет а) основным гипотезам; б) их
ослабленным аналогам?
3.155. Оценить возможность использования следующих функций в
качестве функций полезности, т.е. проверить выполнение для этих
функций: а) основных неоклассических гипотез, б) их ослабленных
аналогов:
1)
b
Q
a
U
+
⋅
=
; 2)
(
)
bQaU
+
⋅
=
ln ;
3)
2
QaU ⋅= ;
4)
Qk
e
a
U
⋅
⋅
=
,
здесь
0
≠
k
,
0
>
a
,
−
>
0
b
параметры.
2. Экономическая область и закон убывающей предельной
производительности труда производственной функции. Пусть
(
)
−
=
xfQ производственная функция, где
−
x
количество затраченного
(единственного переменного) ресурса
0
≥
x
,
−
Q
количество
произведённой при этом продукции. Множество значений затрат ресурса
x
, на котором функция
(
)
xf является возрастающей, называют
экономической областью.
Закон убывающей предельной производительности труда гласит: с
ростом объёма затрат единственного переменного ресурса предельный
продукт данного ресурса снижается. Обычно данный закон начинает
действовать после достижения объёма затрат данного ресурса некоторого
уровня.
3.156. Определить: а) экономические области и б) множества, на
которых действует закон убывающей предельной производительности
труда для следующих производственных функций:
1)
(
)
xaxf ⋅= ,
−
>
0
a
параметр;
2)
(
)
(
)
xxxf −⋅= 300
2
.
3.157. Пусть,
(
)
−
=
CfQ производственная функция, изображённая на рис.
3.6 (здесь переменный ресурс
−
=
C
x
переменные затраты производства).
1) Определить: а) экономическую область производственной
функции;
б) промежуток, на котором действует закон убывающей предельной
производительности труда.
2) Найти, при каких значениях С определена обратная к
производственной функция затрат
(
)
QСС
=
и изобразить её график.
92
3) Выделить на графике функции
затрат промежутки, на которых
происходит: а) одновременное снижение
предельных и средних затрат; б) снижение
средних при повышении предельных
затрат; в) одновременное повышение
средних и предельных затрат.
4) Считая, что
(
)
−
=
QСС дважды
дифференцируемая функция,
определить знак второй производной
(
)
QС
′
′
.
3.14. Поведение предприятий в условиях совершенной конкуренции
и чистой монополии
1. Формальное решение задача максимизация прибыли фирмы..
Напомним, что прибыль фирмы определяют как разность между выручкой
от реализации продукции в объёме Q и издержками (затратами) её
производства:
(
)
(
)
(
)
QСQRQ
−
=
Π
. Необходимым условием максимизации
прибыли является выполнение равенства:
⇒=
Π
0
dQ
d
(
)
(
)
QMСQMR
=
.
(3.11)
а достаточным для локального максимума дважды дифференцируемой
функции
(
)
Q
Π
− отрицательное значение второй производной функции
прибыли в критической точке *Q , удовлетворяющей равенству (3.11):
(
)
⇒<
Π
0
*
2
2
dQ
Qd
(
)
2
2
*
dQ
QRd
(
)
0
*
2
2
<−
dQ
QCd
.
(3.12)
Можно, естественно, вместо проверки условия (3.12) исследовать
смену знака первой производной функции прибыли при переходе через
критическую точку
*
Q
.
2. Максимизация прибыли совершенно конкурентной фирмы.
Совершенная конкуренция - идеализированное состояние товарного рынка,
характеризующееся следующими условиями:
• имеется много покупателей и продавцов данного товара, причём
каждый из них производит и, соответственно, покупает малую часть
общего рыночного объёма;
• товар совершенно однороден с точки зрения покупателей, и все
покупатели одинаковы с точки зрения продавцов;
• отсутствуют входные барьеры для вступления в отрасль нового
производителя и возможности свободного выхода из отрасли;
• полная информированность всех участников рынка;
A
0 C
BA
CC
Q=f(C)
Рис.3.6.
Q
93
• рациональность поведения всех участников рынка, невозможность
сговора.
Для фирмы,
работающей в условиях
совершен
ной конкуренции,
кривая спроса d задается
равенством p=p
0
, где p
0
–
цена то
вара на
рассматриваемом рынке.
Заметим, что экзогенная
постоянная для фирм цена
товара есть равновесная
цена отраслевых
(совокупных рыночных)
объёмов спроса и
предложения Кривая спроса
фирмы представляет собой
горизонтальную прямую,
изображенную на рис. 3.7
Составим функцию прибыли фирмы
П = П(Q) = p·Q– TC(Q),
здесь p – цена товара (постоянная), Q – объем производства, TC(Q) –
общие издержки фирмы при производстве Q единиц товара. Функцию
TC(Q) будем считать дифференцируемой любое количество раз.
Необходимое условие экстремума:
П ′ (Q) = 0 → p – MC(Q) = 0 → p = MC(Q),
здесь MC(Q)= C′ (Q) - предельные издержки.
Q
P
d
P=MC(Q)
Q
1
Q
2
0
Рис.3.8. Кривые предельных
издержек и спроса
Q
P
P
0
d
Рис. 3.7. Кривая спроса совершенно
конкурентной фирмы
Q
1
Q
2
0
П
′
(Q)
− + −
П(Q) ↓ ↑ ↓
Рис. 3.9. Проверка смены знака
производной функции прибыли
94
Достаточные условия экстремума функции прибыли выполнены в
точке пересечения кривой спроса участка возрастания кривой предельных
издержек (см. рис. 3.8, 3.9).
2.1. Поведение фирмы в коротком периоде. Совокупные (общие)
издержки фирмы TC(Q) в коротком периоде делятся на постоянные FC и
переменные VC(Q):
TC(Q) = FC + VC(Q).
Средние издержки:
ATC(Q) = AFC + AVC(Q).
Предельные издержки:
MC(Q)=MTC(Q) = MVC(Q).
Вид и взаимное расположение кривых предельных и средних
издержек определены экономическим содержанием соответствующих
функций (см. рис. 3.10).
Критические точки функций
AVC(Q) и ATC(Q) являются точками
их глобального минимума,
удовлетворяют необходимому
условию экстремума. Найдем
производные
()( )
()
() ()
() ()
;
2
Q
QAVCQMC
Q
QCVQQMC
Q
QVC
QAVC
−
=
−⋅
=
′
=
′
()( )
()
() ()
() ()
Q
QATCQMC
Q
QCVQQMC
Q
FC
Q
QVC
Q
FC
QATC
−
=
−⋅
+−
=
′
+=
′
22
приравняем производные к нулю:
()( ) () ()
QAVCQMCQAVC =⇒=
′
0 ,
()( ) () ()
QATCQMCQATC =⇒=
′
0 .
Т.о., минимумы функций средних переменных и средних
совокупных издержек достигаются в точках пресечения их графиков с
кривой предельных издержек.
Ставя задачу максимизации функции прибыли, при цене p
0
фирма
производит Q
0
единиц продукции. При этом фирма может иметь
положительную прибыль (рис.3.11), нести убытки, но при этом покрывать
переменные и часть постоянных издержек (рис. 3.12), нести убытки,
превышающие переменные издержки (рис.3.13)
ATC(Q)
Q
P MC(Q)
AVC(Q)
Рис.3.10. Взаимное расположение
кривых предельных и средних издержек
95
В случае, изображенном на рис. 3. 13 выполняется неравенство:
AVC(Q
0
) > p
0
фирма вынуждена уйти с рынка товара в коротком периоде.
ATC(Q)
ATC(Q
0
)
ATC(Q)
Q
P
MC(Q)
AVC(Q)
P
0
Q
0
Рис. 3.11. Фирма имеет положительную
прибыль, равную площади
заштрих
о
ванного прямоугольника
Q
P MC(Q)
AVC(Q)
p
0
Q
0
ATC(Q
0
)
Рис. 3.12. Фирма несет убытки, равные
площади заштрихованного прямоугольника. В
коротком периоде фирма остается на рынке
товара, поскольку за счет производства фирма
покрывает переменные и часть постоянных
издержек: p
0
>AVC(Q
0
).
ATC(Q)
Q
P
MC(Q)
AVC(Q)
P
0
Q
0
ATC(Q
0
)
AV
C(
Q
0
)
Рис.3.13. Фирма несет убытки, равные площади заштрихованного
прямоугольника, превышающие переменные издержки.
96
Краткосрочная кривая предложения совершенно конкурентной
фирмы определяется условиями
p = MC(Q) при MC(Q) ≥ AVC(Q)
и представляет собой часть кривой предельных издержек,
расположенной выше кривой средних переменных издержек. Таким
образом, кривая предложения фирмы совпадает с ее кривой предельных
издержек для цен, превышающих минимальный уровень средних
переменных издержек (AVC(Q)).
Кривая предложения совершенно конкурентной фирмы в коротком
периоде изображена на рис. 3.14. жирной линией.
Если цена товара будет меньше минимального уровня средних
переменных издержек (AVC), который называют цена прекращения
производства (краткосрочная цена ликвидации), то фирма закроется и
объем ее производства будет нулевым.
Цена безубыточности равна минимальному уровню средних
совокупных издержек. Если рыночная цена равна цене безубыточности, то
фирма безубыточна: не имеет ни прибыли, ни убытков в экономическом
смысле.
2.2. Поведение фирмы в долгосрочном периоде. В долгосрочном
периоде все издержки фирмы являются переменными: LTC(Q)= LVC(Q),
здесь и далее буква «L» означает, что переменная рассматривается в
долгосрочном периоде.
Долгосрочная кривая предложения совершенно конкурентной
фирмы представляет собой часть ее кривой LMC(Q), расположенную выше
точки минимального уровня LAC(Q).
Кривая предложения совершенно конкурентной фирмы в
долгосрочном периоде изображена на рис. 3.15. жирной линией.
ATC(Q)
Q
P MC(Q)
AVC(Q)
Рис. 3.14 Кривая предложения совершенно конкурентной
фирмы в коротком периоде
Цена безубыточности
Цена прекращения
производства
(краткосрочная цена
ликвидации)
97
3. Максимизация прибыли монополии. Монополией (чистой
монополией) называют рыночную структуру, характеризующуюся тем, что
в отрасли, производящей данный товар, имеется только один
производитель, который полностью контролирует объём предложения
товара и очень сильно влияет на его цену.
Для максимизации своей прибыли монополист, как и совершенный
конкурент, придерживается двухшаговой процедуры. На первом этапе
фирмы обоих типов решают задачу максимизации прибыли и
рассчитывают соответствующие объемы положительного оптимального
выпуска, если таковой существует. На втором шаге фирмы решают
продолжать продолжить или прекратить производство товара в
зависимости от того обеспечивает ли оптимальный выпуск
положительную прибыль или фирма будет нести убыток . Действия
монополиста на втором шаге сходны аналогичным действиям
совершенного конкурента.
Монополист устанавливает не только объём производимой
продукции, но и цену на товар, определяя её как цену спроса
(
)
QPP
=
.
Прибыль монополиста определяется формулой
(
)
(
)
(
)
QСQQPQ
−
⋅
=
Π
,
необходимое условие (3.11) её максимума принимает вид
()
QMСQ
dQ
dP
P =⋅+
.
(3.15)
Поскольку 0<
dQ
dP
, то
()
PQ
dQ
dP
PQMD <⋅+=
, кривая предельного
дохода расположена ниже кривой спроса при Q > 0 . Кривая предельного
Q
P LMC(Q)
LAVC(Q)
Рис. 3.15. Кривая предложения совершенно
конк
у
рентной фирмы в долгосрочном периоде
98
дохода может пересекать кривую предельных издержек в одной или двух
точках (см. рис. 3. 16 и 3.17). Нетрудно убедиться, что максимум функции
прибыли достигается в точках Q
*
.
Для найденного оптимального значения объема выпуска Q
*
находится на кривой спроса соответствующая точка (Q
*
, P
*
) и
определяется значение цены P
*
=D
-1
(Q
*
),
(
)
QMСP >
*
, т.е. монополист
устанавливает цену, превышающую предельные затраты (см. рис. 3.16).
3.158. Фирма, находится в условиях совершенной конкуренции.
Функция затрат фирмы имеет вид
(
)
QCС
=
. Определить: 1) функцию
предложения фирмы; 2) объём производства, если цена продукции на
рынке равна
P
д. ед., и фирма стремится максимизировать прибыль.
Решить задачу при условии, что:
1)
(
)
2
1,01510 QQQC ⋅++= ,
P
=25; 2)
(
)
3
2 QQQC +⋅= ,
P
=14.
3.159. Технология производства фирмы, работающей в условиях
совершенной конкуренции, представлена производственной функцией
3
3 LQ ⋅= . Ставка заработной платы равна 1 д.ед., постоянные издержки
составляют 12 д. ед. Определить: 1) функцию предложения фирмы;
2) объём производства, если цена продукции на рынке равна 64 д. ед., и
фирма стремится максимизировать прибыль.
3.160. Средние издержки конкурентной фирмы описываются
формулой
40
2
+
⋅
=
Q
AC
. Как изменится объём выпуска фирмы,
максимизирующей прибыль, если цена на продукцию с 200 руб. за штуку
упадёт до 100 руб. за штуку?
Q
*
Q
P
Кривая
спроса
0
MR(Q)
MC(Q)
(Q
*
,P
*
)
P
*
Кривая
спроса
0
Q
P
Q
*
MR(Q)
MC(Q)
(Q
*
, P
*
)
P
*
3.16. Ценообразование на монополизированном рынке
99
3.161. Спрос на продукцию конкурентной отрасли PQ
D
−
=
55 , а
предложение 52
−
⋅
=
PQ
S
. На рынке отрасли установилось рыночное
равновесие. Определить, при каком объёме производства фирма отрасли
максимизирует прибыль, если кривая ее предельных издержек
5
3
+
⋅
=
Q
MC
.
3.162. В конкурентной отрасли действуют 200 одинаковых фирм.
Общие затраты каждой из них в коротком периоде выражаются функцией
(
)
2
216 QQQC ++= . Известна функция рыночного спроса:
()
P
PD
2400
=
.
1) Найти функцию предложения каждой из фирм и функцию
рыночного предложения.
2) Определить равновесную цену .
3) Определить объём выпуска каждой из фирм и получаемую ею
прибыль, если каждая из фирм стремится масимизировать свою прибыль.
3.163. Общие затраты конкурентной фирмы в краткосрочном
периоде описываются функцией
(
)
bQaQС
+
=
,
*
0
Q
Q
≤
≤
,
где a>0, b>0 − параметры, величина
*
Q
характеризует производственные
возможности фирмы.
1) Построить функцию предложения фирмы.
2) Определить, при каких значениях цены фирма прибыльна, а при
каких − убыточна.
3.164. Рыночная функция спроса на картофель имеет вид
P
D
3
27
−
=
. Картофель на рынке продают три фермера, имеющих
следующие функции общих затрат: QС
=
1
; QС 2
2
=
; QС 3
3
=
. Из-за
ограниченности земельных участков каждый фермер не может предложить
больше 6 у. ед. картофеля.
1) По какой цене будет продаваться картофель, если каждый фермер
самостоятельно будет стремиться к максимуму прибыли?
2) По какой цене будет продаваться картофель, если образуется
картель?
3) Как должна распределяться прибыль между участниками картеля,
чтобы им было выгодно придерживаться единой монопольной цены?
3.165. Фирма-монополист имеет функцию предельных затрат
(
)
QQMC 210
+
=
. Найти цену, максимизирующую прибыль фирмы, и
соответствующий объём выпуска для следующих вариантов спроса:
1)
(
)
QQP
D
−
=
50 ; 2)
(
)
QQP
D
460
−
=
;
3)
(
)
QQP
D
270
−
=
; 4)
(
)
QQP
D
680
−
=
.
3.166. Определить выпуск, максимизирующий прибыль
монополиста, цену и размер прибыли, если функция спроса на продукцию
монополиста
P
Q
−
=
12
, а функция общих затрат
Q
C
⋅
+
=
6
2
.
100
3.167. Спрос на продукцию фирмы-монополиста, максимизирующей
прибыль, отображается функцией
3
13
P
D −=
. Фирма установила цену
20
=
P
. Каковы предельные затраты фирмы?
3.168. Заданы функция совокупного спроса на монополизированном
рынке
(
)
PDD
=
, функция общих затрат монополии
(
)
QCC
=
и функция,
характеризующая капиталоёмкость производства
(
)
QKK
=
. Определить,
по какой цене будет продаваться продукция при стремлении монополии к
максимуму:
а) прибыли
(
)
Q
Π
; б) выручки
(
)
QR ; в) нормы прибыли
( )
Q
K
Π
. Решить
задачу при условии, что:
1)
(
)
PPD
−
=
301 ,
(
)
2
120 QQQC ++= ,
(
)
QQK 500
=
;
2)
(
)
PPD
−
=
200 ,
(
)
2
50 QQQC ++= ,
(
)
QQK 2
=
.
3.169. Фирма выпускает товар в условиях монополии. Кривая спроса
на данный товар задаётся равенством
Q
P
⋅
−
=
3
144
, а функция средних
издержек Q
Q
AC +=
25
. При каком объёме выпуска прибыль фирмы будет
максимальной?
3.170. Производство столов в городе М монополизировано
компанией ″Харин и сыновья″. Какую цену на столы назначит компания,
если её общие издержки по производству столов
Q
C
⋅
=
10
, а эластичность
спроса по цене на столы равна (-5)?
3.171. Продавая оборудование по цене 120 д. ед. за единицу, фирма –
монополист максимизирует прибыль. Если ценовая эластичность спроса
при данной цене равна (-1,5), то какую величину при этом составляют
предельные издержки и предельная выручка?
3.172. Монополия получает максимум прибыли, реализуя 10 ед.
продукции по цене 24 д. ед. Функция общих затрат монополии
2
25,04100 QQC ++= , функция отраслевого спроса на продукцию
монополии линейна.
Как изменится цена на продукцию, если с каждой проданной её
единицы с монополии будет взиматься налог в размере 7 д. ед.? Как
изменится прибыль монополии? Какова сумма получаемого налога?
3.173. Функция общих издержек фирмы-монополиста имеет вид
Q
C
⋅
+
=
50
30000
, функция спроса на её продукцию
Q
P
⋅
−
=
01
,
0
100
.
Определить:
1) цену, при которой фирма получит максимум прибыли и размер
этой прибыли;
2) цену и прибыль, если фирма будет платить налог в размере 10
д. ед. с каждой реализованной единицы продукции;
3) цену и прибыль, если фирма должна будет платить
фиксированный налог на капитал в размере 200 д. ед.