Никифорова И.А. Математика в экономике: сборник задач. Часть ?
Подождите немного. Документ загружается.
41
(
)
==
+
+→
0
0
2
31ln
lim
0
x
x
x
2
1
(
)
=+
+→
x
x
x
1
0
31lnlim
( )
+
+→
x
x
x
1
0
31limln
2
1
.
Мы поменяли местами знаки предела и логарифма, воспользовав-
шись непрерывностью логарифмической функции. Заметим, что
(
)
=+
+→
x
x
x
1
0
31lim
∞
1
, продолжим вычисление предела:
( )
=
+
+→
x
x
x
1
0
31limln
2
1
( )
( )
2
3
31limln
2
1
3
31
0
=
+
+→
x
x
x .
2.26. Используя первый замечательный предел, вычислить:
1)
x
x
x
3sin
lim
0→
; 2)
x
x
x
3
sin
2sin
lim
0→
;
3)
x
x
x
cos1
lim
2
0
−
→
;
4)
11
4sin
lim
0
−+
→
x
x
x
;
5)
x
tgx
x
2sin
lim
π→
;
6)
( )
2
4
lim
2
2
+
−
−→
xarctg
x
x
;
7)
x
x
x
−
→
1
2
cos
lim
1
π
;
8)
x
x
xtgx
x
sin
2cos1
lim
2
0
+−
→
.
2.27. Доказать следующие равенства:
1)
(
)
=
+
→
x
x
a
x
1log
lim
0
e
a
log ;
2) a
x
a
x
x
ln
1
lim
0
=
−
→
.
2.28. Используя второй замечательный предел, вычислить:
1)
x
x
x
7
1
1lim
+
∞→
;
2)
x
x
x21lim
0
−
→
;
3)
12
2
3
lim
+
∞→
−
+
x
x
x
x
;
4)
2
5
lim
2
2
x
x
x
x
−
∞→
;
5)
x
x
x
x
+
−
∞→
13
32
lim ; 6)
( )
x
x
xtg
3
2
0
1lim +
+→
;
7)
(
)
tgx
x
xsinlim
2
π
→
;
8)
(
)
x
x
x
41ln
lim
0
+
→
;
9)
x
x
x
x
−
+
→
1
1
ln
1
lim
0
; 10)
1
lim
1
−
−
→
x
aa
x
x
.
42
4. Разные примеры на вычисление пределов.
Вычислить пределы:
2.29.
1
2
1
lim
2
2
−
−
−
∞→
x
x
x
x
. 2.30.
1
2
1
lim
2
2
0
−
−
−
→
x
x
x
x
.
2.31.
1
2
1
lim
2
2
1
−
−
−
→
x
x
x
x
.
2.32.
+
−
+−
→
1
4
13
lim
3
0
x
xx
x
.
2.33.
x
x
x
−
→
1
lim
1
.
2.34.
1
3
lim
24
2
3
+
+
−
→
x
x
x
x
2.35.
( )
3
3
lim
03
03
−
−
−→
+→
x
x
x
x
. 2.36.
( )
2
05
05
25
5
lim
x
x
x
x
−
+
−→
+→
.
2.37.
2
2
2
4
23
lim
x
xx
x
−
+−
→
. 2.38.
3
2
1
45
lim
x
xx
x
+
+−
∞→
.
2.39.
2
2
1
3
4
2
lim
x
x
xx
x
−
−
−+
→
. 2.40.
3
2
1
1
752
lim
x
xx
x
+
−−
−→
.
2.41.
∞→x
lim
( ) ( )
33
3
22
32
−−+
−−
xx
xx
.
2.42.
( )
−
−
−
−→
+→
3
02
02
8
3
2
1
lim
x
x
x
x
.
2.43.
+
−
∞→
x
x
x
x
1
2
2
2
1
5
lim .
2.44.
( )
55
523
lim
1
+
−⋅
+
−∞→
∞+→
x
xx
x
x
.
2.45.
( )
xx
xx
x
x
56
78
lim
−
−
−∞→
∞+→
.
2.46.
2
2
3lim
+
∞→
x
x
x
.
2.47.
( )
5
2
05
05
3lim
−
−→
+→
x
x
x
x
.
2.48.
( )
−∞→
∞+→
x
x
x
1
lim .
2.49.
( )
( )
x
x
x
−
−→
+→
2
1
02
02
3
2
lim .
2.50.
( )
(
)
x
x
x
x
1
0
0
2lim +
−→
+→
.
2.51.
+
−
−
∞→
12
12
lim
2
2
3
x
x
x
x
x
.
2.52.
(
)
(
)
(
)
55
555
...21
lim
n
x
nxxx
x
+
++++++
∞→
,
N
n
∈
.
2.53.
( )
+−⋅
−
+
+−
+
→
233
4
45
2
lim
22
1
xx
x
xx
x
x
2.54.
3
5
43
lim
xx
x
x
+
+
∞→
.
43
2.55.
1
3
35
lim
2
3
−
+
++
+∞→
x
x
xx
x
.
2.56.
(
)
xxx
x
2474lim
2
−+−
∞+→
.
2.57.
9
36
lim
2
3
−
−+
→
x
x
x
. 2.58.
2
321
lim
4
−
−+
→
x
x
x
.
2.59.
2
lim
−→x
149
62
−+
+−
x
x
. 2.60.
0
lim
→x
x
x
xx
3
44
2
+
−−+
.
2.61.
1
2
38
lim
2
1
+
−
−+
→
x
x
x
x
. 2.62.
9
1213
lim
2
3
−
+−+
→
x
xx
x
2.63.
8
26
lim
3
3
2
+
+−
−→
x
x
x
. 2.64.
1
1
lim
3
1
−
−
→
x
x
x
.
2.65.
−−+
+∞→
xxxx
x
22
1
lim .
2.66.
0
lim
→x
33
22
22
xx
xx
−−+
−−+
.
2.67.
22
lim
ax
aaxx
ax
−
−−+
→
.
2.68.
x
x
x
3
2sin
lim
0→
.
2.69.
xarctg
x
x
5
lim
2
2
0→
.
2.70.
x
x
x
3
sin
2arcsin
lim
0→
.
2.71.
x
x
x
x
sin
4cos1
lim
0
−
→
.
2.72.
x
x
x
4
5sin
lim
π→
.
2.73.
x
x
x
sin
lim
0+→
.
2.74.
x
x
x
2
cos
lim
2
−
→
π
π
.
2.75.
( )
xtgx
x
2
1lim
1
π
⋅−
→
. 2.76.
x
xx
x
5
1
sin
lim
−
−
∞→
.
2.77.
(
)
1
1sin
lim
1
−
−
→
x
x
x
.
2.78.
−
→
ctgx
x
x
sin
1
lim
0
.
2.79.
2
0
1sin1
lim
x
xx
x
−+
→
.
2.80.
(
)
xx
x
sin1sinlim −+
+∞→
.
2.81.
3
0
sin
lim
x
xtgx
x
−
→
.
2.82.
( )
x
x
x
+
+
−→
1sin
1
lim
3
1
.
2.83.
(
)
x
xx
x
cos
1
24
lim
0
−
⋅−+
→
.
2.84.
x
x
x
3
cos
1
5cos1
lim
0
−
−
→
.
2.85.
2
sin
2
lim
α
α
π
α
−
⋅
→
xx
tg
x
.
2.86.
x
x
x
4
cos22
lim
4
−
−
→
π
π
.
2.87.
x
x
xx
x
sin
sin
lim
0
−
+
→
. 2.88.
( )
x
x
x
x
sin
lim
0
0
−→
+→
.
44
2.89.
(
)
2
2
4
lim
0
4
0
4
π
π
π
π
−
−
−→
+→
x
xtg
x
x
. 2.90.
1
cos
lim
2
02
−
±→
x
x
x π
.
2.91.
−
→
2
sin4
1
sin
1
lim
2
2
0
x
x
x
.
2.92.
( )
( )
+
−
−
−
−
→
2
2
1
2
2
2
4
2sin
lim
x
x
x
x
.
2.93.
xxx
x
x
cossin1
sin
lim
2
0
−+
→
.
2.94.
(
)
1
1
coslim
3
1
+
+
−→
x
x
x
π
.
2.95.
2
1
lim
2
2
x
x
x
x
+
∞→
.
2.96.
x
x
x
x
2
13
23
lim
+
−
∞→
.
2.97.
(
)
(
)
xx
x
x
−
→
−
1
0
41lim .
2.98.
2
3
12
lim
2
2
x
x
x
xx
+
+−
∞→
.
2.99.
( )
xctg
xtg
x
2
2
0
31lim +
→
.
2.100.
(
)
x
x
x
sin1
0
coslim
→
.
2.101.
(
)
(
)
(
)
xxx
x
3ln43ln72lim
−
+
−
∞+→
.
2.102.
(
)
x
x
x
31ln
lim
0
−
→
.
2.103.
x
x
x
15
lim
0
−
→
.
2.104.
( )
x
x
x
+
→
1ln
2sin
lim
0
.
2.105.
(
)
21
2
2
lim
−
→
x
x
x
.
2.106.
( )
1ln
sin3sin
lim
0
+
−
→
x
xx
x
.
5. Темп роста и мгновенный темп роста функции. Темп роста
функции
(
)
xfy
=
, соответствующий изменению аргумента от значения x
до
x
x
∆
+
, определяют отношением
(
)
()
xf
xxf
y
yy
∆
+
=
∆
+
.
Мгновенным темпом роста функции
(
)
xfy
=
в точке x назы-
вают величину
()
=
∆+
=
∆
+→∆
x
x
y
yy
xR
1
0
lim
( )
()
x
x
xf
xxf
∆
+→∆
∆+
1
0
lim .
2.107. Доказать, что только постоянная функция имеет единичный
темп роста в любой момент времени.
2.108. Вычислить мгновенные темпы роста указанных функций и
указать их значения при t=10 и t=30:
45
1)
1
2
+
=
t
y
; 2)
10
4
+
−
=
t
y
; 3)
b
at
y
+
=
; 4)
kt
ay =
(
)
0
>
a ; 5)
b
tay ⋅= ,
здесь a, b, k− постоянные.
2.3. Сравнение бесконечно малых
Пусть
(
)
x
α
и
(
)
−
x
β
бесконечно малые в точке
a
функции. Тогда,
если:
1)
(
)
()
0lim =
→
x
x
ax
β
α
, то
(
)
x
α
называют бесконечно малой более высокого
порядка, чем
(
)
x
β
, и пишут
(
)
=
x
α
(
)
(
)
xo
β
;
2)
(
)
()
A
x
x
ax
=
→
β
α
lim
,
−
A
число,
0
≠
A
, то
(
)
x
α
и
(
)
x
β
называют бесконеч-
но малыми одного порядка. В частности, при
1
=
A
бесконечно малые
(
)
xα
и
(
)
xβ называют эквивалентными и пишут
(
)
~x
α
(
)
xβ ;
3)
(
)
()( )
A
x
x
ax
=
→
γ
β
α
lim ,
−
A
число,
0
≠
A
, то
(
)
x
α
называют бесконечно
малой порядка
γ
относительно
(
)
x
β
.
При нахождении предела отношения двух бесконечно малых можно
каждую (или только одну) из них заменить другой бесконечно малой, экви-
валентной ей, т.е. если в точке
a
бесконечно малые
(
)
~x
α
(
)
x
1
α
и
(
)
~x
β
(
)
x
1
β
, то
(
)
()
=
→
x
x
ax
β
α
lim
(
)
()
=
→
x
x
ax
β
α
1
lim
(
)
()
=
→
x
x
ax
1
lim
β
α
(
)
()
x
x
ax
1
1
lim
β
α
→
.
Пример 2.4. Доказать, что tgxx ~sin при
0
→
x
.
Решение. Вычислим предел отношения
=
→
tgx
x
x
sin
lim
0
=
→
xx
x
x
cossin
sin
lim
0
1coslim
0
=
→
x
x
.
Данные бесконечно малые эквивалентны при 0
→
x
2.109. Доказать, что при
0
→
x
:
1)
x
x
~
sin
;
2)
x
tgx
~
; 3)
x
x
~
arcsin
; 4)
x
arctgx
~
;
5)
2
~cos1
2
x
x− ;
5)
(
)
xx ~1ln
+
;
6)
( )
a
x
x
a
ln
~1log + ;
7)
x
e
x
~
1
−
;
8)
a
x
a
x
ln
~
1
⋅
−
;
9)
(
)
xax
a
⋅−+ ~11 ,
+
∈
Qa .
Пример 2.5. Определить порядок бесконечно малой
64
sin xx + от-
носительно бесконечно малой
(
)
xx
=
β
при
0
→
x
.
46
Решение. Учитывая определение бесконечно малой величины поряд-
ка
γ
, следует найти такое число
γ
, при котором при
0
→
x
предел отно-
шения
γ
x
xx
64
sin +
существует и отличен от нуля. Имеем:
=
+
→
γ
x
xx
x
64
0
sin
lim
0
lim
→x
=
+
γ2
64
sin
x
xx
γγ 2
6
0
2
4
0
lim
sin
lim
x
x
x
x
xx →→
+ .
Проанализируем каждый из пределов, стоящих под знаком корня от-
дельно:
>∞
=
<
=
→
,2,
,2,1
,2,0
sin
lim
2
4
0
γ
γ
γ
γ
x
x
x
>∞
=
<
=
→
.3,
,3,1
,3,0
lim
2
6
0
γ
γ
γ
γ
x
x
x
Отсюда видно, что сумма пределов, а, значит, и искомый предел су-
ществует и отличен от нуля только при
2
=
γ
: =
+
→
2
64
0
sin
lim
x
xx
x
1. Следова-
тельно, функция
64
sin xx + является бесконечно малой второго порядка
относительно бесконечно малой
x
при
0
→
x
.
Пример 2.6. Пользуясь заменой бесконечно малых функций эквива-
лентными, вычислить пределы:
1)
( )
;
41ln
5sin
lim
0
x
x
x
+
→
2) ;
2
cos1
cos1
lim
0
x
x
x
−
−
→
3) .
11
cosln
lim
4
2
0
−+
→
x
x
x
Решение. При решении данного примера будем использовать эквива-
лентные функции, перечисленные в пр. 2.109 .
1) Нетрудно убедиться, что xx 5~5sin ,
(
)
xx 4~41ln
+
, тогда
( )
=
+
→
x
x
x
41ln
5sin
lim
0
4
5
4
5
lim
0
=
→
x
x
x
.
2) Имеем:
2
~cos1
2
x
x− ,
8
~
2
cos1
2
xx
− , поэтому
=
−
−
→
2
cos1
cos1
lim
0
x
x
x
4
8
2
lim
2
2
0
=
→
x
x
x
.
3) =
−+
→
11
cosln
lim
4
2
0
x
x
x
(
)
(
)
( )
=
−+
−
+
→
11
1cos1ln
lim
41
20
x
x
x
=
−
→
2
0
1cos
lim4
x
x
x
2
2
lim4
2
2
0
−=−
→
x
x
x
.
2.110. Определить порядок бесконечно малой
(
)
x
α
относительно
бесконечно малой
(
)
xx
=
β
при
0
→
x
, если:
1)
(
)
xxx 3sin
⋅
=
α
;
2)
(
)
xxx cos
2
⋅=α ;
3)
(
)
(
)
xxx 21ln
+
⋅
=
α
;
4)
()
x
x
x
−
⋅
=
1
3
3
α ;
5)
()
3
3
2
xxx −=α ;
6)
(
)
xtgxx sin
−
=
α
;
47
7)
(
)
(
)
xxx arcsin⋅=α ; 8)
(
)
13 −=
x
xα ;
9)
()
tgx
x
x
x
7
5
1
+
=α .
2.111. Вычислить пределы:
1)
x
x
x
7sin
4sin
lim
0→
;
2)
3
sin
2
lim
2
2
0
x
xarctg
x→
;
3)
xtg
xx
x
5
2sin
lim
⋅
→π
;
4)
(
)
1
1sin
lim
2
2
1
−
−
→
x
x
x
;
5)
(
)
x
x
x
x
2
2arcsin
lim
2
2
+
+
−→
; 6)
(
)
1
4
12
lim
2
21
−
−
→
x
xtg
x
;
7)
n
n
tg
n
nn
arctg
n
tg
n 5
arcsin
12
sin
31
lim
3
3
⋅⋅
⋅
∞→
;
8)
( )
1sin
1
lim
3
1
−
−
→
x
x
x
;
9)
113
11
lim
2
3 2
0
−+
−+
→
x
x
x
;
10)
121
11
lim
5
4
0
−+
−+
→
x
x
x
;
11)
1
1
lim
8
7
1
−
−
→
x
x
x
;
12)
131
5sin
lim
2
2
0
−−
→
x
x
x
;
13)
12cos
1cos
lim
5
3
0
−
−
→
x
x
x
; 14)
(
)
(
)
( )
11cos
121
lim
1
5
1
−−
−−
−
→
x
x
x
x
;
15)
11
3
lim
2
0
−++
→
xx
x
x
;
16)
x
e
x
x
arcsin
1
lim
2
0
−
−
→
;
17)
( )
x
x
x
41ln
12
lim
0
−
−
→
;
18)
121
5
lim
0
−+
→
x
xtg
x
;
19)
( )
x
x
x
21ln
3sin
lim
2
2
0
+
→
; 20)
(
)
( )
32
32
1
431ln
231ln
lim
xxx
xxx
x
+−+
+−+
→
;
21)
( )
2
0
1ln
cosln
lim
x
x
x
+
→
;
22)
(
)
x
e
x
x
ln
1sin
lim
1
1
−
−
→
.
2.4. Точки разрыва функции и их классификация
Точку
a
называют точкой разрыва функции
(
)
xfy
=
, если функция
(
)
xfy
=
не является непрерывной в этой точке.
Точку
a
называют:
•
точкой разрыва первого рода − когда существуют односторонние
пределы в точке, не равные друг другу, т.е.
(
)
≠
−→
xf
ax 0
lim
(
)
xf
ax 0
lim
+→
;
48
•
точкой разрыва второго рода − когда хотя бы один из односто-
ронних пределов в этой точке не существует (в том числе если функция
является бесконечно большой при
0
−
→
a
x
или
0
+
→
a
x
);
•
точкой устранимого разрыва − когда существует предел функции
в точке
a
, но он не совпадает со значением функции в этой точке или
функция в точке
a
не определена.
2.112. Показать, что в точке
a
функция
(
)
xfy
=
имеет разрыв, опре-
делить характер разрыва:
1)
4
−
=
x
x
y ,
a
= 4;
2)
x
x
y = ,
a
= 0;
3)
≤<+
≤≤−
=
,42,12
,22,2
xx
x
y
x
a
= 2;
4)
≤<−
≤≤
=
,21,2
,10,
2
xx
xx
y
a
= 1;
5)
5
25
2
−
−
=
x
x
y ,
a
= 5;
6)
2
1
−
=
x
arctgy ,
a
=2.
2.113. Заданы функции, зависящие от параметров. При каком выборе
параметров функции будут непрерывными?
1)
()
=
≠
−
−+
=
;1,
,1,
1
2
2
xA
x
x
xx
xf
2)
()
>−
≤−
=
;1,2
,1,1
2
xax
xx
xf
3)
()
>+
≤+
=
.
2
,sin
,
2
,1
π
π
xbx
xax
xf
2.114. Исследовать на непрерывность функцию
(
)
xf на указанных
отрезках:
1)
()
( )( )
61
1
−⋅−
=
xx
xf
,
[
]
5,2)a ;
[
]
10,4)b ;
[
]
7,0)c ;
2)
()
25
26
1
24
+
−
=
x
x
xf ,
[
]
10,6)a ;
[
]
2,2)
−
b ;
[
]
6,6)
−
c .
2.115. Исследовать на непрерывность, определить характер точек
разрыва и построить графики функций:
1)
()
1
2
−
=
x
xf ; 2)
()
x
xf
6
−= ;
3)
(
)
tgxxf
=
;
4)
()
2
4
4
x
xf
−
= ;
5)
()
1
1
+
+
=
x
x
xf ;
6)
()
x
x
xf −=2 ;
7)
()
1
1
+
+
+=
x
x
xxf ;
8)
()
x
xx
xf
⋅
+
=
2
3
; 9)
()
3
2
4
4
xx
x
xf
−
−
= ;
49
10)
2
23
)(
2
−
+−
=
x
xx
xf ;
11)
()
2
1
2
−
=
x
xf ; 12)
()
x
xf
1
21−= ;
13)
>
≤≤−−−
−<+
=
;5,
,51,1
,1,1
)(
2
xx
xx
xx
xf
14)
=
<≤−−
<≤
=
;4 ,1
,41 ,1
,11- ,2
)(
x
xx
x
xf
x
15)
>
≤≤−−
−<+
=
;1 ,
1
,12 ,3
,2 ,32
)(
2
x
x
xx
xx
xf
16)
>+
≤≤−+
−<
+
=
;1 1,
,13 ,2
,3 ,
4
3
)(
2
xx
xx
x
x
xf
17)
>
≤≤
−
<+
=
;1,
,10,
1
1
,0,1
)(
2
xx
x
x
xx
xf
18)
>
−
≤≤−
<−
=
.1 ,
2
1
,10 ,1
,0 ,1
)(
3
x
x
xx
xx
xf
2.116. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в слу-
чае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:
1)
()
( )
1
1
2
−⋅
=
xx
xf ;
2)
()
(
)
x
x
xf
n
11 −+
= ;
3)
()
x
x
xf sin
1
⋅= ;
4)
()
2
4
3
x
x
xf
−
= ;
5)
() ( )
x
arctgxxf
1
1 ⋅+= ; 6)
()
x
x
x
xf
−
+
⋅=
1
1
ln
1
;
7)
()
1
3
13
2
1
2
1
+
−
=
−
−
x
x
xf ;
8)
()
x
x
xx
xf
1
1
1
1
11
+
−
+
−
= .
50
Глава 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3.1. Понятие производной
Пусть функция
(
)
xfy
=
определена в окрестности точки
x
,
(
)
=
∆
=
∆
xfy
(
)
(
)
−
−
∆
+
xfxxf приращение функции в точке
x
, соответст-
вующее приращению аргумента
x
∆
. Если существует
(
)
(
)
(
)
x
xfxxf
x
xf
x
y
xxx
∆
−
∆
+
=
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆→∆ 000
limlimlim ,
то его называют производной функции
(
)
xfy
=
в точке
x
и обозначают
(
)
(
)
xyxf
′
′
, , ,
dx
dy
(
)
dx
xdf
. Операцию нахождения производной называют
дифференцированием.
Величина
(
)
x
xf
x
y
∆
∆
=
∆
∆
равна средней скорости изменения функции
(
)
xfy
=
при изменении аргумента от
x
до
x
x
∆
+
, а производная
(
)
xf
′
– мгновенной скорости изменения функции
(
)
xfy
=
в точке
x
.
Если
(
)
( )
∞−∞+∞=
∆
∆
→∆
,lim
0
x
xf
x
, то говорят, что в точке
x
функция
(
)
xfy
=
имеет бесконечную производную (бесконечную производную знака
«+», бесконечную производную знака «-»).
Правостороннюю
(
)
xf
+
′
и левостороннюю
(
)
xf
−
′
производные
функции
(
)
xfy
=
в точке
x
определяют равенствами
()
(
)
(
)
x
xfxxf
xf
x
∆
−
∆
+
=
′
+→∆
+
0
lim ,
()
(
)
(
)
x
xfxxf
xf
x
∆
−
∆
+
=
′
−→∆
−
0
lim .
Производные
(
)
xf
+
′
и
(
)
xf
−
′
называют односторонними.
Для существования производной
(
)
xf
′
функции
(
)
xf в точке
x
не-
обходимо и достаточно, чтобы в этой точке обе односторонние производ-
ные существовали и были равны между собой, т.е.
(
)
xf
+
′
=
(
)
xf
−
′
, при этом
(
)
=
′
xf
(
)
xf
+
′
=
(
)
xf
−
′
.
Пример 3.1. Пользуясь определением производной, найти формулу
для вычисления производной функции
ax
y
cos
=
при
0
≠
a
.
Решение. Найдём приращение функции в точке
x
и преобразуем его:
( )
⇒
∆⋅
⋅
∆⋅
+−=−∆+=∆
2
sin
2
sin2coscos
xaxa
axaxxxay
x
xaxa
ax
x
y
∆
∆⋅
⋅
∆⋅
+
−=
∆
∆
2
sin
2
sin2
.
Применяя свойства предела функции в точке и 1-й замечательный
предел, вычислим