Никифорова И.А. Математика в экономике: сборник задач. Часть ?
Подождите немного. Документ загружается.
Федеральное агентство по образованию
Байкальский государственный университет экономики и права
И.А. Никифорова
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ
Сборник задач
Часть Ι
Введение в анализ
Дифференциальное и интегральное исчисление
функции одной переменной
Издание второе, исправленное и дополненное
Иркутск
Издательство БГУЭП
2008
2
УДК 517(075.8)
ББК 22.1я7
Н 62
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Байкальский государственный университет экономики и права
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. З.А. Дулатова
Никифорова И.А.
Н 62 Математика в экономике: сб. задач. Ч. Ι: Введение в анализ.
Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной
переменной. / И.А. Никифорова. – 2-е изд., испр. и доп. – Иркутск:
Изд-во БГУЭП, 2008 – 190 с.
ISBN 978-5-7253-1823-4
Содержит задачи по первой части курса “Математика ”, который чи-
тается на экономических факультетах БГУЭП, и охватывает разделы “Чи-
словые последовательности”, ”Предел, непрерывность, дифференциальное
и интегральное исчисление функции одной переменной”. Написан на осно-
ве многолетнего опыта чтения лекций и ведения практических занятий у
студентов-экономистов.
Для студентов экономических специальностей вузов.
ББК 22.1я7
ISBN 978-5-7253-1823-4 Никифорова И.А., 2008
Издательство БГУЭП, 2008
3
Оглавление
ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.................................................................................
1.1. Множества: основные понятия и простейшие операции над ними.
Логическая символика ......................................................................................................
1. Множества и операции над ними (5). 2. Ограниченные множества. Нижние и
верхние грани (8).
1.2. Понятие числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные по-
следовательности...........................................................................................................
1. Понятие числовой последовательности. Способы задания (9). 2. Ограниченные и
неограниченные последовательности (10).
1. 3. Метод математической индукции…………………………………………………
1.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности…………………
1.5. Сходящиеся последовательности………………………………………………….
1.6. Монотонные последовательности. Число
e
……………………………………...
1.7. Числовые последовательности в экономике……………………………………...
1. Простые и сложные проценты.(19) 2. Темп роста и темп прироста функции
натурального аргумента (22). 3. Дискретная паутинообразная модель рынка с за-
паздыванием предложения (23)
ГЛАВА 2 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.............
2.1. Понятие функции одной переменной. Экономические переменные. Функции
экономического анализа……………………………………………………………………
1. Понятие функции одной переменной.(25) 2. Экономические переменные.
Функции экономического анализа.(26)
2.2. Предел функции. Непрерывность функции…………………………………………..
1. Предел функции, основные определения. (35). 2. Предел функции, основные
свойства. Непрерывные функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функ-
ции. Неопределенности (36). 3. Замечательные пределы (40). 4. Разные примеры на
вычисление пределов (42). Темп роста и мгновенный темп роста функции
(44)
2.3. Сравнение бесконечно малых…………………………………………………………
2.4. Точки разрыва функции и их классификация………………………………………...
ГЛАВА 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ………………………………
3.1. Понятие производной………………………………………………………………….
3.2. Производная явной функции…………………………………………………………..
1.Таблица производных основных элементарных функций (52). 2. Основные пра-
вила дифференцирования (53). 3. Логарифмическая производная (59).
3. 3. Производные высших порядков……………………………………………………
3.4. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически……………
1. Дифференцирование функций, заданных неявно (62). 2. Дифференцирование
функций, заданных параметрически (63).
3.5. Дифференциал функции. Дифференциалы высших порядков……………………
1. Дифференциал функции (64). 2. Формулы для приближенных вычислений (65).
3. Дифференциалы высших порядков (67).
3.6. Геометрические приложения производной…………………………………………..
3.7. Элементы предельного или маргинального анализа……………………………...
3.8. Теоремы Ролля и Лагранжа…………………………………………………………
3.9. Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя………………………………….
1. Неопределенности
0
0
и
∞
∞
. Правило Лопиталя (78). 2. Неопределенности
0
⋅∞
,
∞−∞
,
1
∞
,
0
∞
,
0
∞
(78).
5
5
9
11
11
13
18
19
25
25
35
45
47
50
50
52
60
62
64
68
69
76
78
4
3.10. Формулы Тейлора и Маклорена……………………………………………………..
3.11. Монотонные функции. Экстремум…………………………………………………..
1. Монотонные функции (83). 2. Исследование функции на экстремум (83).
3.12. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба…………………………………..
3.13. О некоторых свойствах функций экономического анализа………………………..
1. Функция полезности и ее свойства (90). 2. Экономическая область и закон убы-
вающей производительности труда производственной функции (91).
3.14. Поведение предприятий в условиях совершенной конкуренции и чистой
монополии…………………………………………………………………………………..
1. Максимизация прибыли (92). 2. Монополия с несколькими заводами (101). 3.
Ценовая дискриминация монополиста на сегментированных рынках (102).
3.15. Асимптоты……………………………………………………………………………..
3.16. Исследование функций. Построение графиков........................................................
ГЛАВА 4 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ…………………………………………
4.1. Первообразная и неопределённый интеграл…………………………………………
4.2. Метод подстановки или замены переменной………………………………………..
4.3. Метод интегрирования по частям……………………………………………………..
4.4. Интегрирование рациональных функций
1. Определение рациональной функции. Способы разложения рациональных дро-
бей (119). 2. Интегрируемость рациональных функций (121).
4.5. Интегрирование тригонометрических функций…………………………………….
1. Интегралы вида
(
)
sin,cos
Rxxdx
∫
(126). 2. Интегралы вида sincos
mn
xxdx
∫
(128).
4.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
1. Интеграл вида
1
,,,
k
mm
axbaxb
Rxdx
cxdcxd
++
++
∫
K (129). 2. Тригонометрические под-
становки (131).
4.7. Смешанные примеры на интегрирование…………………………………………….
ГЛАВА 5 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ…………………………………………….
5.1. Понятие определённого интеграла. Основные свойства……………………………
1. Понятие определённого интеграла (134). 2. Основные свойства определённого
интеграла (136).
5.2. Вычисление определённого интеграла……………………………………………….
1. Формула Ньютона-Лейбница (138). 2. Замена переменной в определенном инте-
грале (139).3. Интегрирование по частям (140).
5.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Восстановление функции по её про-
изводной…………………………………………………………………………………….
5.4. Некоторые геометрические приложения определённого интеграла………………
1. Вычисление площадей плоских фигур (144). 2. Решение некоторых экономиче-
ских задач (145).
5.5. Несобственные интегралы…………………………………………………………….
1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования (147). 2. Интегралы от
неограниченных функций (148).
ОТВЕТЫ…………………………………………………………………………………….
ГЛАВА 1……………………………………………………………………………………..
ГЛАВА 2…………………………………………………………………………………….
ГЛАВА 3…………………………………………………………………………………….
ГЛАВА 4……………………………………………………………………………………..
ГЛАВА 5……………………………………………………………………………………..
81
83
89
90
92
104
105
108
108
114
115
119
126
129
132
134
134
138
142
144
147
150
150
154
158
177
188
5
Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1.1. Множества: основные понятия и простейшие операции над ними.
Логическая символика
1. Множества и операции над ними. Понятие множества является
первичным, неопределяемым. Под множеством понимают совокупность
различных объектов, рассматриваемых как единое целое. Множества обо-
значают большими, а их элементы − малыми буквами: запись
X
x
∈
означа-
ет: «элемент
x
принадлежит множеству
X
», запись
X
x
∉
− «элемент
x
не
принадлежит множеству
X
». По числу содержащихся в них элементов
множества делят на конечные и бесконечные. Множество, которое не со-
держит ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом ∅.
Множество можно задать: 1) либо перечислением всех элементов,
принадлежащих данному множеству (возможно лишь для конечных мно-
жеств), 2) либо определением правила, которое позволяет судить о принад-
лежности элементов множеству. Запись
{
}
n
xxxX ,...,,
21
=
означает, что
множество состоит из
n
элементов
n
xxx ,...,,
21
; запись
(
)
{
}
xPxX = − что
X
состоит из элементов
x
, для которых выполняется правило
(
)
xP . Напри-
мер, множество
{
}
023
23
=+−= xxxxX состоит из чисел
x
, удовлетво-
ряющих уравнению
0
2
3
23
=
+
−
x
x
x
. Решив уравнение, зададим множест-
во перечислением элементов:
{
}
2;1;0
=
X .
Если множество
X
не содержит ни одного элемента, не принадле-
жащего множеству
Y
, то в этом случае говорят, что множество
X
является
подмножеством множества
Y
, и пишут
Y
X
⊆
. Если одновременно
Y
X
⊆
и
X
Y
⊆
, то множества
X
и
Y
называют равными и пишут
Y
X
=
.
Объединением множеств
X
и
Y
называют множество YX U , кото-
рое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств
X
или
Y
.
Пересечением множеств
X
и
Y
называют множество YX I , кото-
рое состоит из элементов, принадлежащих обоим множествам
X
и
Y
од-
новременно.
Разностью
Y
X
/
называют множество, которое состоит из элементов
множества
X
, не принадлежащих множеству
Y
.
Числовые множества. Напомним некоторые числовые множества:
• множество натуральных чисел
{
}
;...2;1
=
N ;
• множество целых чисел
{
}
;...2;1;0;1;2...
−
−
=
Z ;
• множество действительных чисел IQR U
=
, где множество рацио-
нальных чисел
∈∈== NnZm
n
m
qqQ ,, ;
−
I
множество иррациональ-
ных чисел. Иррациональными называют числа, представимые в виде деся-
6
тичных непериодических дробей. В частности, иррациональными являются
числа 4,12 ≈ ,
≈
e
2,8,
14
,
3
≈
π
.
Логические символы. Для сокращения записи математических тек-
стов удобно использовать логические символы. Наиболее часто встречают-
ся следующие из них.
• Символ существования "
∃
" используют вместо слов "существует",
"найдётся".
• Символ общности "
∀
" используют вместо слов "любой", "каждый",
"всякий".
• Символ следования "
⇒
" или "
⇐
" используют вместо слов и сло-
восочетаний "влечёт", "отсюда следует", "из ... следует" и т.д.
• Символ эквивалентности "
⇔
" заменяет словосочетания "тогда и
только тогда", "в том и только том случае, если", "эквивалентно", "равно-
сильно".
• Двоеточие ":" и вертикальную черту "|" используют для замены
словосочетаний "такая, что", "такой, что" и т.д.
Пример 1. Выражение: "для любого
0
>
ε
существует
0
>
δ
такое, что
для всех
x
, не равных
0
x и удовлетворяющих неравенству δ<−
0
xx , вы-
полняется неравенство:
(
)
ε<−axf " записать при помощи логических
символов.
Решение. Данное выражение содержит в себе следующие высказыва-
ния:
"для любого "
0
>
ε
", которое с помощью логических символов запи-
сывается
0
>
∀
ε
;
" существует
0
>
δ
" − с помощью логических символов записывается
0
>
∃
δ
;
"для всех
x
, не равных
0
x и удовлетворяющих неравенству
δ<−
0
xx " − краткая запись: δ<−≠∀
00
, xxxx .
И, наконец, в данном выражении имеется утверждение: "выполняется
неравенство
(
)
ε<−axf ".
Запись всего приведённого предложения в логических символах бу-
дет иметь вид:
0
>
∀
ε
0
>
∃
δ
(
)
(
)
εδ <−⇒<−≠∀ axfxxxx
00
, .
Скобки здесь используются для того, чтобы показать, что действие
высказываний
0
>
∀
ε
0
>
∃
δ
распространяется на всё предложение, заклю-
чённое в скобки
7
1.1. Задать указанные множества перечислением всех своих элемен-
тов:
1)
{
}
045|
23
=+−∈= xxxRxA ;
2)
{
}
043|
2
≤−−∈= xxNxA ;
3)
≤+∈=
+
0
1
|
x
xRxA ; 4)
<≤∈= 52
4
1
|
x
ZxA ;
5)
{
}
2log|
2
<
∈
=
xNxA ;
6)
{
}
π20,12cos|
2
≤<=∈= xxRxA .
1.2. Найти все подмножества данных множеств:
1)
{
}
cbaA ,,
=
; 2)
{
}
{
}
2,6,2,1
=
B .
1.3. Определить, равны ли множества:
{
}
5|
<
∈
=
xNxA ,
(
)
(
)
{
}
08634|
22
=+−⋅+−∈= xxxxRxB .
1.4. Найти множества ABBABABA /,/,, IU :
1)
{
}
020|
2
=−+∈= xxRxA ;
{
}
012|
2
=−−∈= xxRxB ;
2)
(
)
{
}
4,,|,
22
<+∈∈= yxRyRxyxA ;
(
)
{
}
1,,|,
22
>+∈∈= yxRyRxyxB ;
3)
[
]
(
)
8,3,9,7
=
=
BA .
1.5. Найти множества решений уравнений:
1) 0
32
=+ xx ;
2) 132
2
=++− xx ;
3)
2
+
=
xx
.
1.6. Найти множества решений неравенств:
1)
3
+
>
xx
; 2)
113
−
≤
−
xx
.
1.7. Изобразить на координатной прямой множества, определяемые
неравенствами:
1) 32 <−x ; 2) 22 ≥+x ;
3)
1044 ≤++− xx .
1.8. Для заданных семейств множеств ,, NnA
n
∈
найти
U
Nn
n
A
∈
и
n
Nn
A
I
∈
:
1)
{
}
nxnZxA
n
≤
≤
−
∈
=
| ;
2)
{
}
13,23
−
−
=
nnA
n
;
3)
≤≤∈= 1
1
| x
n
RxA
n
.
1.9. Прочитать приведённые ниже высказывания и записать их от-
рицания:
1)
(
)
3
=
+
∃
∀
yxyx ;
2)
0
0
>
∃
>
∀
δ
C
(
)
(
)
Cxfxxxx >⇒<−≠∀ δ
00
, .
8
2. Ограниченные множества. Нижние и верхние грани. Числовое
множество X называют ограниченным снизу (ограниченным сверху), если
найдётся действительное число m (M) такое, что неравенство m≤ x (M≥ x)
выполнится ∀x∈X, при этом m (M) называют нижней (верхней) гранью
множества X. Множество, ограниченное снизу и сверху, называют ограни-
ченным.
Если множество ограничено снизу (сверху), то оно имеет бесконечно
много нижних (верхних) граней. Наибольшую из нижних (наименьшую из
верхних) граней называют точной нижней (точной верхней) гранью и обо-
значают inf X (sup
X
).
Если m = inf X и m∈X, то m = min X (число m − минимум или наи-
меньшее число множества X), если M = sup X и M∈X, то M= max X (число
M − максимум или наибольшее число множества X).
1.10. Доказать, что приведённое выше определение точной верхней
грани эквивалентно следующему. Число
M
есть точная верхняя грань
множества
X
в том и только том случае, когда: 1)
M
x
≤
для всех
X
x
∈
;
2) для всякого
0
>
ε
найдётся элемент Xx
∈
ε
такой, что
ε
ε
−
>
Mx .
Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для точной
нижней грани множества.
1.11. Определить, являются ли указанные множества ограниченны-
ми сверху, ограниченными снизу, ограниченными, найти для них множест-
ва верхних и нижних граней, а также
,
sup
X
X
inf
,
X
max
и
X
min
, если
они существуют:
1)
[
]
1,1
−
=
X ; 2)
(
)
3,4
−
=
X ;
3)
{
}
05|
<
≤
−
∈
=
xZxX ; 4)
{
}
;0|
<
∈
=
xRxX
5)
= ,...
1
...,,
3
1
,
2
1
,1
n
X ; 6) .,;|
∈=∈= Nnm
n
m
xRxX
1.12. Привести примеры числовых множеств
X
, у которых:
a)
X
X
∈
sup
; б)
X
X
∉
sup
; в)
X
X
∈
inf
; г)
X
X
∉
inf
; д)
X
X
sup
inf
=
;
е)
X
X
∈
inf
, а
X
X
∉
sup
. Имеет ли множество
X
в случаях а) и
б) наибольшее, а в случаях в) и г) наименьшее число?
1.13. Пусть
X
и
Y
− непустые множества вещественных чисел.
Доказать, что если
X
Y
⊆
, то а)
X
Y
sup
sup
≤
; б)
X
Y
inf
inf
≥
.
1.14. Пусть
R
X
⊆
− произвольное ограниченное множество. Дока-
зать, что множество
{
}
XxxX
∈
−
=
−
| также ограничено, и справедливы
равенства
(
)
(
)
XXXX supinf,infsup
=
−
−
=
−
.
9
1.2. Понятие числовой последовательности.
Ограниченные и неограниченные последовательности
1. Понятие числовой последовательности. Способы задания. Если
задано правило, по которому каждому натуральному числу
n
ставится в
соответствие действительное число
n
x , то множество
{
}
n
x занумерованных
действительных чисел ...,,...,,
21 n
xxx называют числовой последовательно-
стью или просто последовательностью. Числа ...,,
21
xx называют эле-
ментами или членами последовательности, символ
−
n
x общим элементом
или общим членом последовательности, а
n
- его номером. Последователь-
ность задана, если указан способ получения любого её элемента: либо
приведена 1) явная формула вида
(
)
nfx
n
=
, либо 2) рекуррентная форму-
ла вида
(
)
knnnn
xxxfx
−−−
=
,...,,
21
, причём
1
x ,
2
x , …,
k
x
заданы, k − нату-
ральное число, n>k.
1.15. Написать первых пять членов каждой из последовательностей,
если известны их общие члены:
1)
1
2
1
+
=
n
x
n
; 2)
1
2
+
=
n
n
n
x ;
3)
( )
2
1
1
1
n
n
x
n
n
+
−=
−
;
4)
(
)
n
n
x
n
2/sin
π
= ;
5)
(
)
(
)
n
n
nx 11 −−= ;
6)
( )
nx
n
n
π+−=
2
3
arcsin1 .
1.16. Зная несколько первых членов последовательности, написать
формулу общего члена последовательности:
1) ...,
8
1
,
6
1
,
4
1
,
2
1
; 2) ...,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
−− ;
3) ...,
7
9
,
5
7
,
3
5
,3 −− ; 4) ...,
7
8
,
5
6
,
3
4
,2 ;
5)
...
,
2
,
0
,
2
,
0
; 6)
...
,
0
,
7
,
0
,
5
,
0
,
3
,
0
,
1
−
−
;
7) ...,
25
6
3,
16
1
3,
9
7
2,
4
1
2,1 ;
8) ...;0;
2
2
;1;
2
2
;0;
2
2
;1;
2
2
;0 −−− .
1.17. Написать пять первых членов и формулу общего члена каждой
из последовательностей, заданной её рекуррентной формулой:
1) 1,3
11
=
+
=
+
xxx
nn
; 2) 2,3
11
=
=
+
xxx
nn
;
3)
(
)
1,1
11
=
+
=
+
xxnx
nn
; 4) 1,...
1121
=
+
+
+
=
−
xxxxx
nn
;
5) 1,!
11
=
=
+
xxx
nn
.
1.18. Последовательность
{
}
n
x задаётся двумя первыми элементами
1,0
21
=
=
xx и рекуррентной формулой
nnn
xxx
−
=
++ 12
для любого
1
≥
n
.
Найти
90
x и
885
x .
10
1.19. Пара кроликов приносит раз в месяц приплод из двух крольчат
(самки и самца), причём новорождённые через два месяца после рождения
уже приносят приплод. Сколько кроликов появится через год, если в нача-
ле года была одна пара новорождённых кроликов? Найти рекуррентную
формулу для задания последовательности
{
}
n
x , где
−
n
x количество кро-
ликов по истечении n месяцев.
2. Ограниченные и неограниченные последовательности. После-
довательность
{
}
n
x называют ограниченной снизу (ограниченной сверху),
если найдётся число m (M) такое, что неравенство m≤
n
x (M ≥
n
x ) выпол-
нится ∀n∈N, тогда m (M) называют нижней (верхней) гранью последова-
тельности. Последовательность, ограниченную снизу и сверху, называют
ограниченной. Наибольшую из нижних и наименьшую из верхних граней
последовательности
{
}
n
x называют соответственно точной нижней и
точной верхней гранями последовательности и обозначают
n
xinf и
n
xsup .
Если m =
n
xinf и m∈
{
}
n
x , то m =
n
xmin (наименьший член последо-
вательности), если M =
n
xsup и M∈
{
}
n
x , то M=
n
xmax (наибольший член
последовательности).
1.20. Используя логическую символику, записать определения огра-
ниченной снизу (сверху), ограниченной последовательностей, а также от-
рицания этих понятий.
1.21. Доказать, что последовательность является ограниченной тогда
и только тогда, когда найдётся число
0
>
С
такое, что неравенство Cx
n
≤
выполнится ∀n∈N.
1.22. Для последовательностей
{
}
n
x : а) определить, являются ли
последовательности ограниченными снизу, ограниченными сверху, огра-
ниченными; б) найти
n
xinf ,
n
xsup ,
,...
2
,
1
=
n
, наименьший и наибольший
члены последовательности, если они существуют:
1)
n
x
n
1
1−= ; 2)
(
)
nx
n
n
⋅−= 1 ; 3) nx
n
ln
=
;
4) 56
2
−−= nnx
n
; 5)
n
n
n
x
2
!
= ;
6)
( )
+−=
−
n
x
n
n
3
21
1
;
7)
2410
2
−−
=
nn
n
ex ;
8)
2
cos
1
1
π
n
n
n
x
n
+
+=
;
9)
(
)
(
)
1
1312
+
−+−=
nn
n
x ;
10) nx
n
sin
=
;
11)
(
)
(
)
n
n
nx 12 −+⋅−= ;
12)
2
sin1
π
n
nx
n
⋅+= .