Невзоров В.Н., Сугак Е.В. Надежность машин и оборудования. Часть 2

121

Âûðàæåíèÿ (8.8)-(8.12)

ïîêàçûâàþò ñâÿçü äîâåðè-

òåëüíîé âåðîÿòíîñòè ñ ãðà-

íèöàìè äîâåðèòåëüíîãî èí-

òåðâàëà (ðèñ.8.2). Ýòà ñâÿçü

ìîæåò áûòü óñòàíîâëåíà â

âèäå ôóíêöèîíàëüíîé çàâè-

ñèìîñòè íà îñíîâàíèè âèäà

ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

f(x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x.

Îí ìîæåò áûòü èçâåñòåí èç

êàêèõ-ëèáî äîïîëíèòåëüíûõ

ñîîáðàæåíèé, íî ÷àùå óñ-

òàíàâëèâàåòñÿ íà îñíîâàíèè

îáðàáîòêè è àíàëèçà âûáî-

ðî÷íîé ñîâîêóïíîñòè

(x

1

,x

2

,...,x

n

). Òàêèì îáðà-

çîì, ïîëíàÿ ïîñëåäîâàòåëü-

íîñòü èíòåðâàëüíîãî îöåíèâàíèÿ äîëæíà ñîäåðæàòü ñëåäóþùèå ýòàïû: ïî-

ëó÷åíèå âûáîðî÷íîé ñîâîêóïíîñòè îáúåìà n, òî÷å÷íîå îöåíèâàíèå ïàðà-

ìåòðà x, âûÿâëåíèå âèäà âûáîðî÷íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, èíòåðâàëüíîå îöåíè-

âàíèå íåèçâåñòíîãî ãåíåðàëüíîãî ïàðàìåòðà x.

Ïðè ïðîâåäåíèè îïðåäåëèòåëüíûõ èñïûòàíèé íà íàäåæíîñòü èìååòñÿ,

êàê ïðàâèëî, ïàðòèÿ îáúåìîì N îäíîòèïíûõ èçäåëèé (ìàøèí, åäèíèö îáî-

ðóäîâàíèÿ, ñáîðî÷íûõ åäèíèö, óçëîâ èëè äåòàëåé), êàæäûé ýêçåìïëÿð â

êîòîðîé ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì êàêîãî-ëèáî

ïîêàçàòåëÿ íàäåæíîñòè - èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ l, ñðåäíåé t

ñð

èëè ãàììà-

ïðîöåíòíîé t

g

íàðàáîòêè, ñðåäíåãî T

ñð

èëè ãàììà-ïðîöåíòíîãî T

g

ðåñóðñà,

âåðîÿòíîñòåé îòêàçà q(t) èëè áåçîòêàçíîé ðàáîòû p(t) çà çàäàííóþ íàðà-

áîòêó t è äð. Ëþáîé ïîêàçàòåëü íàäåæíîñòè x - âåëè÷èíà ñëó÷àéíàÿ, ò.å.

êàæäûé èç ýêçåìïëÿðîâ â ñèëó ñëó÷àéíîñòè ñâîéñòâ ìàòåðèàëîâ è òåõíî-

ëîãè÷åñêèõ ðåæèìîâ èìååò îòëè÷íîå îò äðóãèõ çíà÷åíèå ýòîãî ïàðàìåòðà.

Ñîâîêóïíîñòü ñëó÷àéíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà â ïàðòèè íàçûâàåòñÿ ãåíå-

ðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîä÷èíÿåòñÿ íåêîòîðîìó

ãåíåðàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì M(x),

äèñïåðñèåé D(x), ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì s

x

è äðóãèìè ïà-

ðàìåòðàìè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñêîëüêó èñïûòàíèÿì ïîäâåðãàåòñÿ íå âñÿ

ïàðòèÿ N, à ëèøü åå ÷àñòü (âûáîðêà) n, òî ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü è ãå-

íåðàëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â ðåçóëüòàòå

èñïûòàíèé îñòàþòñÿ íåèçâåñòíûìè.

Èçäåëèÿ â âûáîðêå òàêæå õàðàêòåðèçóþòñÿ êàêèì-ëèáî ïîêàçàòåëåì

íàäåæíîñòè, êîòîðûé ïîä÷èíÿåòñÿ íåêîòîðîìó âûáîðî÷íîìó ðàñïðåäåëå-

íèþ. Ïàðàìåòðû ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàþòñÿ âûáîðî÷íûìè õàðàêòå-

ðèñòèêàìè èëè îöåíêàìè è ìîãóò áûòü íàéäåíû ïî èçâåñòíûì çíà÷åíèÿì

ïàðàìåòðà äëÿ èçäåëèé âûáîðî÷íîé ñîâîêóïíîñòè.

x x*

ga

e

x

`

x

`

a

à)

x x*

g

x

e

á)

`

x

`

a

x x*

g

x

e

a

e

â)

Ðèñ.8.2. Íèæíèé (à), âåðõíèé (á) è äâóõñòîðîííèé (â)

äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû.

122

Ïîñêîëüêó âûáîðêà íîñèò ñëó÷àéíûé õàðàêòåð, òî â îáùåì ñëó÷àå

íåëüçÿ óòâåðæäàòü, ÷òî íàéäåííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ x*

ñîîòâåòñòâóåò èñòèííîìó çíà÷åíèþ x. Äëÿ íåñêîëüêèõ âûáîðîê èç ïàðòèè

çíà÷åíèÿ x* â îáùåì ñëó÷àå ðàçëè÷íû, îäíàêî, î÷åâèäíî, ïðè óâåëè÷åíèè

îáúåìà âûáîðêè (n®N) âûáîðî÷íîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

ñòðåìèòñÿ ê ãåíåðàëüíîìó (x*®x), ò.å. ðàñõîæäåíèå âûáîðî÷íûõ è ãåíå-

ðàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé è èõ õàðàêòåðèñòèê íîñèò ñëó÷àéíûé õàðàêòåð è

óìåíüøàåòñÿ ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ îáúåìà âûáîðêè.

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè èñïûòàíèÿõ íà íàäåæíîñòü îáúåì âûáîðêè n

íå îáÿçàòåëüíî îçíà÷àåò êîëè÷åñòâî îáúåêòîâ, ïîäâåðãíóòûõ èñïûòàíèþ.

Äëÿ âîññòàíàâëèâàåìûõ èçäåëèé âûáîðî÷íóþ ñîâîêóïíîñòü èç n çíà÷åíèé

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæíî ïîëó÷èòü è íà ìåíüøåì êîëè÷åñòâå èçäåëèé (è

äàæå íà îäíîì). Ïîä îáúåìîì âûáîðêè n ïîíèìàåòñÿ îáúåì ïîëó÷åííûõ

äàííûõ, ò.å. êîëè÷åñòâî öèêëîâ áåçîòêàçíîé ðàáîòû îäíîòèïíûõ èçäåëèé

äî íàñòóïëåíèÿ îòêàçà. Ýòî æå ìîæåò îòíîñèòüñÿ è ê îáúåìó ïàðòèè N.

Â ñëó÷àå èçâåñòíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íàðàáîòêè èëè ðåñóðñà îá-

ðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ îïðåäåëèòåëüíûõ èñïûòàíèé íà íàäåæíîñòü âêëþ÷àåò

òî÷å÷íîå îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ (ðàçä.8.2.2) è òî÷å÷íóþ

(ðàçä.8.2.3) èëè èíòåðâàëüíóþ (ðàçä.8.2.6) îöåíêó ïîêàçàòåëåé íàäåæíîñòè

ïî ïàðàìåòðàì ðàñïðåäåëåíèÿ, â ñëó÷àå íåèçâåñòíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëå-

íèÿ ïðåäâàðèòåëüíî îïðåäåëÿåòñÿ åãî âèä (ðàçä.8.2.4) ñ ïðîâåðêîé ïðèíÿ-

òîé ñòàòèñòè÷åñêîé ãèïîòåçû (ðàçä.8.2.5) èëè îöåíêà ïîêàçàòåëåé îñóùå-

ñòâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ïî ðåçóëüòàòàì èñïûòàíèé íåïàðàìåòðè÷åñêè-

ìè ìåòîäàìè, ò.å. áåç îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ

(ñì.ðàçä.8.4).

Èñõîäíûìè äàííûìè äëÿ îöåíêè ïîêàçàòåëåé íàäåæíîñòè â çàâèñèìî-

ñòè îò ïëàíà èñïûòàíèé ÿâëÿþòñÿ ÷èñëî íàðàáîòîê èçäåëèé äî îòêàçà r,

÷èñëî íàðàáîòîê äî ñíÿòèÿ ñ èñïûòàíèé (äî öåíçóðèðîâàíèÿ) n, îáùèé

îáúåì âûáîðêè N=r+n, âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ íàðàáîòêè äî îòêàçà

t

1

,t

2

,...,t

r

è äî öåíçóðèðîâàíèÿ t

1

,t

2

,...,t

n

.

8.2.2. Точечное оценивание параметров распределения

Äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íàðàáîòêè èëè ðåñóðñà èçäåëèÿ ÷àùå äðó-

ãèõ èñïîëüçóþòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûé, íîðìàëüíûé (â òîì ÷èñëå óñå÷åííûé)

è ëîãàðèôìè÷åñêè íîðìàëüíûé çàêîíû, à òàêæå ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà.

Ðàñ÷åò òî÷å÷íûõ îöåíîê ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèé ïî ðåçóëüòàòàì èñ-

ïûòàíèé ïðè èçâåñòíûõ çàêîíàõ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàññìîòðèì íà ïðèìåðàõ

ðàçíûõ çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëàíîâ èñïûòàíèé [16].

Ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ íàðàáîòêè íà îòêàç èëè

ðåñóðñà

f(t) = lexp(-lt) (8.13)

îöåíêå ïîäëåæèò åäèíñòâåííûé ïàðàìåòð ðàñïðåäåëåíèÿ l, èìåþùèé

ñìûñë èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ. Ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ òî÷å÷íîé îöåíêè

l* äëÿ ðàçëè÷íûõ ïëàíîâ èñïûòàíèé ïðèâåäåíû â òàáë.8.3 [8,14].

123

Ïðèìåð 8.1. [13]. Ïîä íàáëþäåíèå áûëî ïîñòàâëåíî 50 àâòîìîáèëüíûõ ãåíåðàòî-

ðîâ, ïîñëå îòêàçà îíè íå ðåìîíòèðîâàëèñü è íå çàìåíÿëèñü. Ïðè íàðàáîòêå 3600 ÷ 25

ðàáîòîñïîñîáíûõ ãåíåðàòîðîâ áûëè ñíÿòû ñ èñïûòàíèé äëÿ èññëåäîâàíèÿ èõ òåõíè÷å-

ñêîãî ñîñòîÿíèÿ. Îñòàâøèåñÿ íàõîäèëèñü ïîä êîíòðîëåì äî íàðàáîòêè 25000 ÷. Â ïðî-

öåññå íàáëþäåíèé áûëè çàôèêñèðîâàíû ñëåäóþùèå íàðàáîòêè äî îòêàçà: 2292, 5440,

880, 2996, 1711, 14610, 10806, 4652, 1638, 1287, 2850, 4830, 2700, 755, 3438, 581,

1904, 23289, 8550, 742, 1064 è 2640 ÷. Îöåíèòü ïàðàìåòðû ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðå-

äåëåíèÿ íàðàáîòêè.

Ñòðîèì âàðèàöèîííûé ðÿä, â êîòîðîì çíà÷åíèÿ íàðàáîòîê ðàñïîëîæåíû â ïîðÿäêå

âîçðàñòàíèÿ: 581, 742, 755, 1064, 1287, 1638, 1711, 1904, 2292, 2640, 2700, 2850, 2996,

3438, 3600* (25), 4652,4830, 5440, 8550, 10806, 12036, 14610, 23289, 25000* (2). Çâåç-

äî÷êîé ïîìå÷åíû íàðàáîòêè ãåíåðàòîðîâ, ñíÿòûõ ñ èñïûòàíèé äî íàñòóïëåíèÿ îòêàçà,

÷èñëî â ñêîáêàõ ïîñëå çíà÷åíèÿ íàðàáîòêè óêàçûâàåò êîëè÷åñòâî ÷ëåíîâ âàðèàöèîííîãî

ðÿäà ñ äàííûì çíà÷åíèåì.

Â ôîðìóëå òàáë.8.3 äëÿ ïëàíà [NUz] r = 23, n = 27, N = 23+27 = 50. Ðàññ÷èòûâà-

åì

åt

i

= 581+742+...+14610+23289 = 111691,

åt

j

= 25×3600+2×25000 = 140000 ÷, s = 111691+140000 = 251169.

Òî÷å÷íàÿ îöåíêà ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ l* = 23×50/251169×49 = 93,44×10

-

6

÷

-

1

.

Ïðè íîðìàëüíîì çàêîíå ðàñïðåäåëåíèè

()

( )

ft

t

= -

-

é

ë

ê

ù

û

ú

1

2

s p

m

s

exp (8.14)

îöåíêå ïîäëåæàò ïàðàìåòðû m è s, èìåþùèå ñìûñë ñðåäíåé íàðàáîòêè è

ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ.

Äëÿ ïëàíà èñïûòàíèé [NUN] îöåíêè ïàðàìåòðîâ

( )

m s m* , * *.= =

-

= =

å å

1 1

1

2

1

N

t

N

t

i

N

i

N

(8.15)

Äëÿ ïëàíîâ [NUr], [NUT] è [NUz] îöåíêè ïàðàìåòðîâ m è s îïðåäå-

ëÿþòñÿ ñîâìåñòíûì ðåøåíèåì óðàâíåíèé, ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì ìàêñè-

ìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ [8,13]:

t

f

Ô

i

r

j

n

-

+

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

+

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

=

= =

å å

m

s

m t

s

m t

s

*

,

1 1

1

2

0 (8.16)

Òàáëèöà 8.3

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРА l ПРИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

Ïëàí

èñïûòàíèé

l*

Ñâîéñòâà îöåíêè Ïðèìå÷àíèå

[NUN] ïðè N = 1 1/t

1

Ñìåùåííàÿ

ïðè N > 1

(N-1)/s

Ñîñòîÿòåëüíàÿ, íåñìåùåííàÿ

àñèìïòîòè÷åñêè ýôôåêòèâíàÿ

s = åt

i

[NUr] ïðè r = 1 1/(Nt

1

)

Ñìåùåííàÿ

ïðè r > 1

(r-1)/s

Ñîñòîÿòåëüíàÿ, íåñìåùåííàÿ

àñèìïòîòè÷åñêè ýôôåêòèâíàÿ

s = åt

i

+(N-r)t

r

[NUT] ïðè r > 0 r/s

Ñîñòîÿòåëüíàÿ, íåñìåùåííàÿ

àñèìïòîòè÷åñêè ýôôåêòèâíàÿ

s = åt

i

+(N-r)T

[NUz]

rN/[s(N-1)]

Ñîñòîÿòåëüíàÿ, íåñìåùåííàÿ

àñèìïòîòè÷åñêè ýôôåêòèâíàÿ

s = åt

i

+ åt

j

,

r + n = N

124

r

t

f

Ô

i

r

j

n

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

+

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

+

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

=

= =

å å

m

s

m t

s

m t

s

m t

s

*

.

2

1 1

1

2

0 (8.17)

Óðàâíåíèÿ (8.16)-(8.17) ðåøàþòñÿ ëèáî ìåòîäîì ëèíåéíîãî îöåíèâàíèÿ

(äëÿ íåáîëüøîãî ÷èñëà îáúåêòîâ) [8,15], ëèáî ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ

ïðèáëèæåíèé, ñ ïîìîùüþ ôîðìóë [8,13]

m s

k

A

B

D

B

* *

,= +

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

D

(8.18)

s

k k

k

r

E F A

D

B

E F A

D

B

rC

A

B

*

,= + -

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

+ + -

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

é

ë

ê

ù

û

ú

+ -

æ

è

ç

ö

ø

÷

ì

í

ï

î

ï

ü

ý

ï

þ

ï

1

2

4

2

D D

(8.19)

ãäå k - íîìåð èòåðàöèè (k=0,1,...); A, B, C, D, E, D

k

, F

k

- êîýôôèöèåíòû:

A = åt

i

+0,64åt

j

, B = r+0,64n, C = åt

i

2

+0,64åt

j

2

, D = 0,8n, E = 0,8åt

j

,

( )

D D D D D

0

1

0

1

2

0 08 064 0

2

= = = - - = =

=

-

=

-

= =

-

¥

å å

ò

, , , , , , ,

,

exp

,

k jk

j

n

jk jk jk k jkj

j

n

jk

j k

k

jk

z

z F F

z

y dy

jk

l t

t m

s

l

(8.20)

çíà÷åíèÿ ôóíêöèè l

jk

(z

jk

) ïðèâåäåíû â ÃÎÑÒ 27.504-87 [13] (ñì.ïðèë.IX).

Âû÷èñëåíèÿ ïî ôîðìóëàì (8.18)-(8.20) ïðîäîëæàþòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà

ïîñëåäóþùåå çíà÷åíèå íå áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ïðåäûäóùåãî íà âåëè÷èíó,

ìåíüøóþ çàäàííîé.

Ïðèìåð 8.2. [13]. Èç 18 àâòîìîáèëåé, íàõîäèâøèõñÿ ïîä íàáëþäåíèåì, 11 áûëè

îòïðàâëåíû â êàïèòàëüíûé ðåìîíò ïðè íàðàáîòêàõ 221, 242, 246, 253, 264, 283, 303,

307, 313, 348 è 356 òûñ.êì ïðîáåãà, îñòàëüíûå àâòîìîáèëè áûëè ñíÿòû ñ íàáëþäåíèÿ

ïðè íàðàáîòêàõ 236, 272, 280, 287, 300, 302 è 326 òûñ.êì. Îïðåäåëèòü ñ îòíîñèòåëü-

íîé òî÷íîñòüþ e=0,001 ïàðàìåòðû íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ïî ôîðìóëàì (8.20)

A = (221+242+...+356) + 0,64×(236+272+...+326) = 3138 + 0,64×2003 = 4420;

B = 11 + 0,64×7 = 15,46;

C = (221

2

+242

2

+...+356

2

)+0,64×(2362+2722+...+3262) = 914598+0,64×577929=1284473;

D = 0,8×7 = 5,6; E = 0,8×(236+272+...+326)=1602.

Íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ m

0

* è s

0

* íàõîäèì ïî ôîðìóëàì (8.18)-

(8.19), ñ÷èòàÿ, ÷òî D

0

=0 è F

0

=0:

s

m

0

2

0

1

211

16024420

56

1548

16024420

56

1548

4111284473

4420

1548

45361

4420

1548

56

1548

45361301939

*

,

, ,

, ;

,

, , .

=

×

- + -

é

ë

ê

ù

û

ú

+ × -

æ

è

ç

ö

ø

÷

ì

í

ï

î

ï

ü

ý

ï

þ

ï

=

= + =

Äàëåå, ñ èñïîëüçîâàíèåì òàáëèö l

jk

(z

jk

) [13], ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:

- ïåðâîå ïðèáëèæåíèå: D

1

=0,3897, F

1

=97,537, m

1

*=302,836, s

1

*=44,739;

- âòîðîå ïðèáëèæåíèå: D

2

=0,4158, F

1

=104,064, m

1

*=302,894, s

1

*=44,698.

Òàê êàê |(m

2

-m

1

)/m

1

|<e=0,001 è |(s

2

-s

1

)/s

1

|<e=0,001, òî îêîí÷àòåëüíî ïðèíèìà-

åì îöåíêè ïàðàìåòðîâ m*=m

2

=302,894 è s*=s

2

=44,698.

Äëÿ ïëàíîâ [NUr] è [NUT] N>15 ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè [16]

125

t* = t

0

* - k(t

0

* - t

r

), s*

2

= s

0

2

+ k(t

0

* - t

r

), (8.21)

â êîòîðûõ çíà÷åíèÿ âåëè÷èí t

0

* è s

0

ðàññ÷èòûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî ïëàíó

[NUN] ïî ôîðìóëàì (8.15) äëÿ m* è s*, êîýôôèöèåíò k çàâèñèò îò çíà÷å-

íèé âñïîìîãàòåëüíûõ âåëè÷èí

( )

r

s

=

-

=

-

0

2

0

2

t t

h

N r

N

r

*

, . (8.22)

Çíà÷åíèÿ k(r,h) ïðèâåäåíû â ÃÎÑÒ 27.503-87 [16] (ñì.ïðèë.IX).

Ïðèìåð 8.3. [16]. Ïîä íàáëþäåíèåì íàõîäèëîñü 20 èçäåëèé. Ïîñëå îòêàçà èçäåëèÿ

íå ðåìîíòèðîâàëèñü è íå çàìåíÿëèñü. Íàáëþäåíèÿ ïðîâîäèëèñü â òå÷åíèå 2000 ÷. Çà

ýòî âðåìÿ îòêàçàëî 8 èçäåëèé ïðè íàðàáîòêàõ 100, 170, 250, 400, 680, 1000, 1200 è

1500 ÷. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Äëÿ ïëàíà [NUT] ïðè N=20, T=2000 ÷ è r=8 ïî ôîðìóëàì (8.21) è (8.22)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

( )

t

h

0

2 2 2 2

2

1

8

6025

1

7

100 6025 170 6025 1200 6025 1500 6025 254307

254307

60252000

013

20 8

20

06

*

,;

, , ... , , ,

,

,; ,.

= =

= - + - + + - + - =

=

-

» =

-

=

100+170+250+400+680+1000+1200+1500

0

*

s

r

Ïî ÃÎÑÒ 27.503-81 (ñì.ïðèë.IX) äëÿ r=0,13 è h=0,6 îïðåäåëÿåì k » 1,20.

Òîãäà îöåíêè ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëàì (8.21) m* =

602,5 -1,2×(602,5-2000) » 2280, s*

2

=254307+1,2×(602,5-2000) » 2597914, s* » 1612.

Ïðè N<15 ïðè ïëàíàõ èñïûòàíèé [NUN], [NUr] è [NUT] òî÷å÷íûå

îöåíêè ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàññ÷èòûâàþòñÿ ïî ôîðìó-

ëàì [8,16,15]:

m a m b s n a* , * ,= - =

=

å å å

ii

i

r

ii

i

r

ii

i

r

t t t

1

(8.23)

ãäå a

i

(N,r), b

i

(N,r), m(r,j) è n(r,j) - êîýôôèöèåíòû [8,15];

j b a

a a

= -

æ

è

ç

ö

ø

÷

= =

å åii

i

ii

i

t T t

1 1

. (8.24)

Ïðè ëîãàðèôìè÷åñêè-íîðìàëüíîì çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ

()

( )

ft

t

= -

-

é

ë

ê

ù

û

ú

1

2

s p

m

s

exp

ln

(8.25)

òî÷å÷íûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì äëÿ íîðìàëüíîãî

ðàñïðåäåëåíèÿ ñ çàìåíîé çíà÷åíèé íàðàáîòîê èõ íàòóðàëüíûìè [13].

Ïðè ðàñïðåäåëåíèè Âåéáóëëà

()

ft

b

a

t

a

t

a

b b

=

æ

è

ç

ö

ø

÷

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

é

ë

ê

ù

û

ú

-1

exp (8.26)

ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà îöåíîê ïàðàìåòðîâ a è b â çàâèñèìîñòè îò ïëàíà èñ-

ïûòàíèé ïðè N > 15 ïðèâåäåíû â òàáë.8.4 [8,13,16].

Óðàâíåíèÿ òàáë.8.4 ðåøàþòñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé

îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà b ïî ðåêóððåíòíîé ôîðìóëå [16]

126

b b

b

S

r

S

SS S

S

k k

k

b

k

+

= +

+ -

+

-

1

1 3

2

24 3

2

1

* *

*

,

(8.27)

ãäå äëÿ ïëàíîâ [NUN], [NUr] è [NUT]

( )

( ) ( )

S t S t N rt

S t t N rt t S t t N rt t

i

r

i

b

i

r

b

i

b

i

r

b

r

i

b

i

r

b

r

k k

k k k k

1

2

1

3

1

4

2

1

2

= = + -

= + - = + -

= =

=

å å

ln; ;

ln ln; ln ln ,

* *

* * * *

(8.28)

äëÿ ïëàíîâ [NRr] è [NRT]

S t S t t t

S t t t t t t

i

r

i

b

i

r

r j

k

r

b

j

N

i

b

i

r

r j

k

r

b

r j

k

r

j

N

i

b

i

r

r j

k

r

b

r j

k

r

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

1

2

1 11

3

1 1 11

4

2

1 1

2

1

= = + -

æ

è

ç

ö

ø

÷

= + -

æ

è

ç

ö

ø

÷

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

= + -

æ

è

ç

ö

ø

÷

-

= = ==

= = =

å å åå

å å

ln; ,

ln ln ;

ln ln

*

åå

æ

è

ç

ö

ø

÷

=j

N

1

.

(8.29)

Òàáëèöà 8.4

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПРИ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ВЕЙБУЛЛА (N>15)

Ïëàí

a b

[NUN]

1

N

t

i

b

i

N

b

=

å

æ

è

ç

ö

ø

÷

N

b

t t N t

i

N

i

b

i

N

i

N

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

- =

= = =

å å å

ln ln

1 1 1

0

[NUr],

[NUT]

( )

1

r

t N rt

i

b

i

r

b

=

å

+ -

æ

è

ç

ö

ø

÷

ì

í

ï

î

ï

ü

ý

ï

þ

ï

( )

r

b

t t N rt

r t t N rt t

i

r

i

b

i

r

b

i

b

i

r

b

r

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

+ -

é

ë

ê

ù

û

ú

-

- + -

é

ë

ê

ù

û

ú

=

= =

=

å å

å

ln

ln ln

1 1

1

0

[NUz]

1

1 1

1

r

t

i

b

i

r

j

b

j

n

b

= =

å å

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

é

ë

ê

ù

û

ú

t

r

b

t t

r t t

i

r

i

b

i

r

j

b

j

n

i

b

i

r

j

b

j

n

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

-

- +

æ

è

ç

ö

ø

÷

=

= = =

= =

å å å

å å

ln

ln ln

1 1 1

1 1

0

t

t t

[NRr],

[NRT]

1

1 11

1

r

t t t

i

b

i

r

r j

k

r

j

b

j

N

b

= ==

å åå

+ -

æ

è

ç

ö

ø

÷

é

ë

ê

ù

û

ú

ì

í

ï

î

ï

ü

ý

ï

þ

ï

r

b

t t t t

r t t t t t t

i

r

i

b

i

r

r j

k

r

j

b

j

N

i

b

i

r

r j

k

r

j

r j

k

r

j

N

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

+ -

æ

è

ç

ö

ø

÷

é

ë

ê

ù

û

ú

-

- + -

æ

è

ç

ö

ø

÷

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

é

ë

ê

ù

û

ú

=

= = ==

å å åå

ln

ln ln

1 1 11

0

Ïðèìå÷àíèå: Äëÿ ïëàíà [NUT] t

r

= T. Äëÿ ïëàíîâ [NRr] è [NRT] t

jk

-

íàðàáîòêè

ìåæäó îòêàçàìè j-ãî èçäåëèÿ, r

j

- ÷èñëî îòêàçîâ â èíòåðâàëå (0,t

r

) j-

ãî èçäåëèÿ,

j

=1,2,...,

N

,

k

=1,2,...,

r

j

.

127

Â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü çíà÷åíèå

b

B

Sr t

0

1 1

1

*

,

ln

,= =

-D

(8.30)

çíà÷åíèå D îïðåäåëÿåòñÿ ïî ãðàôèêó (ðèñ.8.3).

Äëÿ ïëàíîâ [NUN] è [NUr] ïðè

10£N£50 çíà÷åíèå b

0

*, ïîëó÷åííîå

ïî ôîðìóëå (8.28) ìîæíî ñ÷èòàòü

îöåíêîé ïàðàìåòðà b* [16].

Âû÷èñëåíèÿ ïî ôîðìóëàì (8.27)-

(8.30) ïðîäîëæàþòñÿ äî òåõ ïîð, ïî-

êà ïîñëåäóþùåå çíà÷åíèå îòëè÷àåòñÿ

îò ïðåäûäóùåãî íà âåëè÷èíó, áîëü-

øóþ çàäàííîé.

Ïðèìåð 8.4. Ïîä íàáëþäåíèåì íàõî-

äèëîñü 15 àâòîìîáèëåé. Ïîñëå îòêàçà àâòî-

ìîáèëè íå ðåìîíòèðîâàëèñü è íîâûìè íå

çàìåíÿëèñü. Íàáëþäåíèÿ ïðîâîäèëèñü äî 10

îòêàçîâ. Íàðàáîòêè äî îòêàçà ñîñòàâèëè

0,743, 0,768, 0,826, 1,001, 1,069, 1,265,

1,305, 1,345, 1,422 è 1,685 òûñ.êì. Òðåáó-

åòñÿ îïðåäåëèòü òî÷å÷íûå îöåíêè ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà.

Äëÿ ïëàíà [NUr] ïî ôîðìóëå äëÿ ìåòîäà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ (8.28)

S

1

= ln0,743+ln0,768+...+ln1,422+ln1,685 = 0,987.

Ïî ôîðìóëàì (8.30)

B = 1/(0,987/10-ln0,743) = 2,527, b

0

* = 2,527/0,87 = 2,9,

ãäå D = 0,87 äëÿ r/N = 10/15 = 0,667 ïî ãðàôèêó íà ðèñ.8.3.

Ïðè 10£N£50 çíà÷åíèå b

0

* ìîæíî ñ÷èòàòü îöåíêîé ïàðàìåòðà b*. Òîãäà îöåíêà ïà-

ðàìåòðà à* ïî ôîðìóëå òàáë.8.4:

a

r

t N r

i

b t

r

b

i

r

b

* ( )

,

,,

*

,

= + -

é

ë

ê

ù

û

ú

=

æ

è

ç

ö

ø

÷

=

å

1 4011

10

161

1

29

ãäå

( ) ( )

t N rt

i

b

i

r

b* * ,

,, , ,.= - × = - × =

=

å

1741 15101685 227

1

29

Äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðà b* ïî ôîðìóëàì òàáë.8.4 ìåòîäîì èòåðàöèè

ìîæíî òàêæå âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåêóððåíòíîé ôîðìóëîé [8]

b

tt

t

A

k

i

b

i

r

i

b

i

n

i

b

i

r

i

b

i

r

k k

+

= =

-

=

+

-

é

ë

ê

ù

û

ú

å å

1

1 1

1

*

ln ln

,

* *

tt

t

(8.31)

ãäå

( )

A

r

t b

r

A t r

i

r

= =

+

- +

=

å

1 1

023 371

1

0

1

ln,

ln , ,

.

*

(8.32)

Ïðèìåð 8.5.[8] Ïî äàííûì ïðåäûäóøåãî ïðèìåðà ïî ôîðìóëàì (8.31)-(8.32) íàõî-

äèì íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå ïàðàìåòðà b

0

*:

( )( )

A t b

i

= = = =

+

- × +

=

å

1

10

0987

10

00987

101

10 074302310 371

4625

1

19

0

ln

,

, ,

ln, , ,

, .

*

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

D

0 0,2 0,4 0,6 0,8 m/N

N

=15

N

=10

N

=20

N

=25

N

=50

N

=35

N

=30

Ðèñ.8.3. Îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðà D

128

Ïî ôîðìóëå (8.31)

b b

b

1

2

1

3

1

1025650521811169

28917511169

00987 2732

44625052184160

1571754160

00987 3118

535052185088

1759955088

00987 3004

* *

*

, , ,

, ,

, , ,

, ,

, , ,

, ,

, , .

=

+× ×

+×

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

= =

+× ×

+×

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

=

+× ×

+×

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

=

-

Òàê êàê |(b

3

*-b

2

*)/b

2

*|=0,037<0,05, òî îêîí÷àòåëüíî ïðèíèìàåì b*= 3.

Îöåíêà ïàðàìåòðà à* ïî ôîðìóëå òàáë.8.4:

a

r

t N r

i

b t

i

r

b

r

b

* ( )

, ,

,.

*

= + -

é

ë

ê

ù

û

ú

=

+×

æ

è

ç

ö

ø

÷

=

å

1 1700851685

10

160

1

3

1

3

Òî÷å÷íûå îöåí-

êè ïàðàìåòðîâ ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ Âåé-

áóëëà äëÿ N£15 îï-

ðåäåëÿþòñÿ ìåòî-

äîì ëèíåéíîãî îöå-

íèâàíèÿ â çàâèñè-

ìîñòè îò ïëàíà èñ-

ïûòàíèé ïî ôîðìó-

ëàì òàáë.8.5.

Êðîìå òîãî äëÿ

N£6 òî÷å÷íûå

îöåíêè ïàðàìåòðîâ

ðàñïðåäåëåíèÿ Âåé-

áóëëà ìåòîäîì ëè-

íåéíîãî îöåíèâàíèÿ ïî ôîðìóëàì [8,13]

a A t

P

L

C t

i i

i

r

i i

i

r

* exp ln ln= -

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

= =

å å

1 1

1

, (8.33)

b

L

C t

i i

i

r

*

ln

,=

-

=

å

1

(8.34)

â êîòîðûõ çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ A

i

(N,r), C

i

(N,r), P(N,r) è L(N,r) â çà-

âèñèìîñòè îò ÷åðåäîâàíèÿ íàðàáîòîê äî îòêàçà (èíäåêñ 0) è öåíçóðèðîâà-

íèÿ (èíäåêñ 1) - ïî ÃÎÑÒ 27.504-87 [13] (ñì.òàêæå [12,21] è ïðèë.IX).

Ïðèìåð 8.6 [13]. Èç øåñòè îáðàçöîâ ïÿòü îòêàçàëè ïðè íàðàáîòêàõ 38, 88, 96, 118

è 178 ÷, îäèí ñíÿò ñ èñïûòàíèé ïðè íàðàáîòêå 120 ÷.

Äëÿ âàðèàöèîííîãî ðÿäà

íàðàáîòîê äî îòêàçà èëè öåí-

çóðèðîâàíèÿ 38, 88, 96, 118,

120*, 178 (èëè 000010), òî ïî

ÃÎÑÒ 27.504-87 (ïðèë.IX) ïðè

N=6 è r=1 íàõîäèì çíà÷åíèÿ

êîýôôèöèåíòîâ A, C, P è L

(òàáë.8.6).

Ïî ôîðìóëàì (8.38) è

(8.39) îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà

Òàáëèöà 8.5

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА

ПРИ N £ 15

Ïëàí

a* b*

[NUN],

[NUr]

exp ln lnA t C t

i i

i

r

i i

i

r

= =

å å

×

æ

è

ç

ö

ø

÷

1 1

1

C t

i i

i

r

ln

=

å

[NUT]

exp ln ln lnA t C t C t

i i

i

r

i i

i

r

i i

i

r

= = =

å å å

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

×

é

ë

ê

ù

û

ú

1 1 1

m

n

C t

i i

i

r

ln

=

å

1

Ïðèìå÷àíèå: Äëÿ ïëàíà [NUT] t

r

=T

. Êîýôôèöèåíòû

A

i

(N,r), C

i

(N,r), m(j) è n(j) - ïî ÃÎÑÒ 27.503-87 [16

]

(ñì.ïðèë.IX).

Òàáëèöà 8.6

ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ

i A

i

C

i

P L

38

0,013939

-0,159159

88

0,054654

-0,156823

96

0,106415

-0,123795

0,0299845

0,14656259

118

0,362619

0,046088

178

0,462373

0,393678

129

a A t

P

L

C t

i i

i

i i

i

* exp ln ln exp,

,

, ,,= -

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

= +

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

=

= =

å å

1

5

1

5

1

490697

00299845

1014656259

041371 13429

b

L

C t

i i

i

r

*

ln

,

,.=

-

=

-

=

å

1 1014656259

041371

206

1

8.2.3. Точечное оценивание показателей надежности

Îñíîâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, õàðàêòåðèçóþùåé íàäåæíîñòü îáúåêòà,

ÿâëÿåòñÿ íàðàáîòêà íà îòêàç (èëè äî îòêàçà) t. Åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäà-

íèå (ñðåäíÿÿ íàðàáîòêà t

ñð

) ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ ïîêàçàòåëåé íà-

äåæíîñòè. Ïîýòîìó çàäà÷à îöåíèâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãåíå-

ðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ M[t] èìååò ïðèêëàäíîå çíà÷åíèå - îïðåäåëåíèå

ïîêàçàòåëÿ íàäåæíîñòè. Ïðè ýòîì îöåíèâàåìîé ãåíåðàëüíîé õàðàêòåðèñòè-

êîé ÿâëÿåòñÿ ãåíåðàëüíàÿ ñðåäíÿÿ íàðàáîòêà, âûáîðî÷íîé òî÷å÷íîé îöåí-

êîé - âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ íàðàáîòêà, à âûáîðî÷íóþ ñîâîêóïíîñòü îáðàçóåò

ðÿä ñëó÷àéíûõ íàðàáîòîê {t

i

} (i=1,2,...,n), ïîëó÷àåìûõ ïðè èñïûòàíèÿõ.

Ïðè ëþáîì ïëàíå èñïûòàíèé â õîäå ýêñïåðèìåíòà ôèêñèðóþòñÿ íîìåðà

âîçíèêàþùèõ îòêàçîâ i è ñîîòâåòñòâóþùèå íàðàáîòêè t

i

. Îöåíêà ìàòåìà-

òè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íàðàáîòêè t* íàõîäèòñÿ îòíîøåíèåì ñóììàðíîé íàðà-

áîòêè âñåõ èçäåëèé çà âðåìÿ èñïûòàíèé t

S

ê êîëè÷åñòâó çàðåãèñòðèðîâàí-

íûõ îòêàçîâ. Äëÿ ðàçëè÷íûõ ïëàíîâ èñïûòàíèé ñóììàðíàÿ íàðàáîòêà è,

ñîîòâåòñòâåííî, îöåíêà t* îïðåäåëÿþòñÿ ïî-ðàçíîìó:

- äëÿ ïëàíà [NUr]:

( )

t

r r

t N rt

i

r

*= = + -

é

ë

ê

ù

û

ú

=

å

S

1

, (8.35)

ãäå t

r

- âðåìÿ âîçíèêíîâåíèÿ r-ãî îòêàçà, ïîñëå êîòîðîãî èñïûòàíèÿ ïðåêðàùàþòñÿ, t

i

-

íàðàáîòêè äî îòêàçà îòêàçàâøèõ èçäåëèé, ïðè ýòîì r îòêàçàâøèõ îáúåêòîâ äàþò âêëàä

â ñóììàðíóþ íàðàáîòêó â ðàçìåðå St

i

, îñòàëüíûå N

-

r íåîòêàçàâøèõ - â ðàçìåðå (N

-

r)t

r

;

- äëÿ ïëàíîâ [NRr] è [NMr]:

t

r

nt

r

* = =

S

1

; (8.36)

- äëÿ ïëàíà [NUT]:

( )

t

r r

t N rT

t t

i

r

t

*= = + -

é

ë

ê

ù

û

ú

=

å

S

1

, (8.37)

ãäå r

t

- ÷èñëî îòêàçîâ, âîçíèêøèõ â âûáîðêå N çà çàäàííîå âðåìÿ èñïûòàíèé T;

- äëÿ ïëàíîâ [NRT] è [NMT]:

t

r r

nT

t t

* = =

S

1

. (8.38)

Â òàáë.8.7 ïðèâåäåíû ôîðìóëû äëÿ òî÷å÷íûõ îöåíîê îñíîâíûõ ïîêàçàòå-

ëåé íàäåæíîñòè ïî òî÷å÷íûì îöåíêàì ïàðàìåòðîâ çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ

[8,16]. Â ãë.6 ïðèâåäåíû îæèäàåìûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ íàðàáîòêè íà îò-

êàç â çàâèñèìîñòè îò âèäà è ïðè÷èí âîçíèêíîâåíèÿ îòêàçîâ [17], óñëîâèé

ýêñïëóàòàöèè, ðåæèìà íàãðóæåíèÿ è òåõíîëîãèè èçãîòîâëåíèÿ èçäåëèé [18].

130

Ïðèìåð 8.7. [13]. Ïî äàííûì è ðåçóëüòàòàì ðàñ÷åòîâ ïðèìåðà 8.1 äëÿ ýêñïîíåíöè-

àëüíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ îöåíèòü âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû çà íàðàáîòêó t

0

= 5000 ÷, ñðåäíþþ íàðàáîòêó äî îòêàçà è 95%-íóþ íàðàáîòêó äî îòêàçà.

Òî÷å÷íûå îöåíêè ïîêàçàòåëåé íàäåæíîñòè äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

ïðè l* = 93,44×10

-

6

÷

-

1

ïî ôîðìóëàì òàáë.8.7:

- âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû çà íàðàáîòêó 5000 ÷ p*(t)=exp(-93,44×10

-

6

×5000)=

0,63:

- ñðåäíåé íàðàáîòêè äî îòêàçà t* = 1/93,44×10

-

6

= 10700 ÷;

- 95%-íîé íàðàáîòêè äî îòêàçà t

0,95

* = ln(1/0,95)/93,44×10

-

6

= 549 ÷.

Ïðèìåð 8.8. [13]. Ïî äàííûì è ðåçóëüòàòàì ðàñ÷åòîâ ïðèìåðà 8.2 äëÿ íîðìàëüíîãî

çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëèòü òî÷å÷íûå îöåíêè ñðåäíåãî è 90%-íîãî ðåñóðñîâ àâ-

òîìîáèëåé.

Ïî ôîðìóëàì òàáë.8.7 îöåíêà ñðåäíåãî ðåñóðñà t*=m*=302,894 òûñ.êì, 90%-íîãî

ðåñóðñà t

g

=302,894-1,2816×44,698=245,609 òûñ.êì (ãäå u

g

=1,2816 - êâàíòèëü íîðìàëü-

íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè p

g

=0,9 (ñì.ïðèë.I)).

Ïðèìåð 8.9. [16]. Ïî äàííûì è ðåçóëüòàòàì ðàñ÷åòîâ ïðèìåðà 8.3 äëÿ íîðìàëüíîãî

çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëèòü îöåíêè ïîêàçàòåëåé íàäåæíîñòè: ñðåäíåé íàðàáîòêè

äî îòêàçà, âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû çà íàðàáîòêó t = 500 ÷, 90%-ãî ðåñóðñà è

èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ çà íàðàáîòêó t = 500 ÷.

Ïî ôîðìóëàì òàáë.8.7 ñðåäíèé ðåñóðñ`t*=m*=2280 ÷, âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðà-

áîòû ïðè t = 500 ÷ (ñ èñïîëüçîâàíèåì íîðìèðîâàííîé ôóíêöèè Ëàïëàñà - ñì.ïðèë.I)

( ) ( )

pt Ô Ô= = -

-

é

ë

ê

ù

û

ú

= - =500

1

2

500 2280

1612

1

2

11 085, ,,

90%-íûé ðåñóðñ

t

g

* = 2280-1,2816×1612 = 214 ÷.

ãäå u

g

=1,2816 - êâàíòèëü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè p

g

=0,9 (ñì.ïðèë.I).

Èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ l(t) çà íàðàáîòêó 500 ÷

()

l

s s

s

*

,

, .t

f

t a

Ô

t a

f

=

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

=

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

×

=

×

= ×

-

1

2

500 2280

1612

1612085

0218

1612085

15910

0 0

4

Ïðèìåð 8.10. Ïî äàííûì è ðåçóëüòàòàì ðàñ÷åòîâ ïðèìåðà 8.4 äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

Âåéáóëëà îïðåäåëèòü òî÷å÷íûå îöåíêè ñðåäíåé íàðàáîòêè äî îòêàçà, âåðîÿòíîñòè áåç-

îòêàçíîé ðàáîòû è èíòåíñèâíîñòè îòêàçà çà íàðàáîòêó t = 1,0 òûñ.êì.

Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà ñ ïàðàìåòðàìè a* = 1,61 è b* = 2,90 îöåíêè õàðàêòå-

ðèñòèê íàäåæíîñòè ïî ôîðìóëàì òàáë.8.7:

- ñðåäíåãî ðåñóðñà

Òàáëèöà 8.7

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ [8,16]

Ïîêàçàòåëü Âèä ðàñïðåäåëåíèÿ

íàäåæíîñòè

Ýêñïîíåíöèàëüíûé

Íîðìàëüíûé

Ëîãàðèôìè÷åñêè

íîðìàëüíûé

Âåéáóëëà

Ñðåäíÿÿ

íàðàáîòêà

äî îòêàçà t

1/l m exp(m+s/2) aG(1+1/b)

Ãàììà-

ïðîöåíòíàÿ

íàðàáîòêà

äî îòêàçà t

g

ln(1/g)/l m - u

g

s exp(m+u

g

s) a[ln(1/g)

1/b

Âåðîÿòíîñòü

áåçîòêàçíîé

ðàáîòû p(t)

exp(-lt)

1

2

+

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

Ô

tm

s

1

2

+

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

Ô

tm

s

ln

exp[-(t/a)

b

]

Èíòåíñèâíîñòü

îòêàçîâ l(t)

l

(

)

ft

Ô

t

s

m

s

1

2

+

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

(

)

s

m

s

ftt

Ô

t1

2

+

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

ln

bt

b-1

/a

b

Невзоров В.Н., Сугак Е.В. Надежность машин и оборудования. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.