Назаров А.С. (ред.) Конструирование радиоэлектронных средств

Подождите немного. Документ загружается.

тате приближенного решения уравнения (4.16) по методу Рэлея или по

методу Ритца.

Согласно методу Рэлея частота свободных колебаний ω

определяется в

результате сопоставления выражений для кинетической и потен-

циальной энергий колебаний системы. Метод позволяет учесть нагру-

жение платы функционального узла установленными на ней элемента-

ми и получить соотношение для расчета частоты свободных колебаний

пластины, справедливое при любых краевых условиях. Формула Рэлея,

позволяющая найти частоту свободных колебаний основного тона на-

груженной пластины, имеет вид

(4.17)

где α

— коэффициент, характеризующий зависимость частоты сво-

бодных колебаний пластины от краевых условий; α — большая сторона

пластины; т

,т

— приведенные к площади пластины массы эле-

ментов и самой пластины.

Коэффициент α

вычисляется через отношение сторон пластины

β=a/b. Формулы для расчета α

приведены в табл. 4.4. На схемах за-

крепления пунктирной линией обозначено свободное опирание сторо-

ны пластины, штриховкой — жесткое закрепление.

Выражение (4.17) обеспечивает удовлетворительную точность

лишь при расчете частоты свободных колебаний основного тона. С

ростом номера тона точность результатов расчета существенно сни-

жается.

С помощью метода Ритца, являющегося развитием метода Рэлея,

получены формулы расчета частот свободных колебаний пластины на

основном тоне и обертонах для различных краевых условий. Широкое

применение находит формула

KmD /

ω = (4.18)

где α

— коэффициент, зависящий от способа закрепления пластины,

соотношения ее сторон и номера тона колебаний; т — масса пластины,

приведенная к площади; К

— коэффициент, учитывающий нагрузку

пластины размещенными на ней элементами.

Значение α

. находят в результате решения дифференциального

уравнения колебаний прямоугольной пластины при заданных краевых

143

условиях. Для определенных комбинаций краевых условий и отноше-

ний сторон пластины α

- табулирован.

Для упрощения процедуры расчета круговой частоты свободных ко-

лебаний пластины основного тона формула (4.18) преобразуется:

ГцKK

ЭМ

10⋅=

(4.19)

где

mDC

= - частотная постоянная; а — большая сторона пла-

стины, мм; ρρ

CCM

EEK /= - поправочный коэффициент на матери-

144

ал пластины; Е, Е

— модули упругости материала пластины и стали;

ρ,ρ

— их плотности;

ПЭЭ

mmK /1/1 += -поправочный коэффициент на

нагружение пластины равномерно размещенными на ней элементами; т

— масса элемента; т

— масса пластины.

Значения частотной постоянной С для некоторых схем закрепления

пластины приведены в табл. 4.5.

Построение расчетных моделей функциональных узлов производится

на основе анализа реальных конструкций и выявления характерных осо-

бенностей, оказывающих существенное влияние на динамические процес-

сы при вибрации. Ниже приводятся примеры моделирования некоторых

конструкций функциональных узлов. Узел, выполненный на печатной

плате, закрепляемой в четырех точках по углам (рис. 4.19,а), представ-

ляют расчетной моделью пластины, равномерно нагруженной радио-

элементами, со свободным опиранием всех сторон (рис. 4.19,6). Приня-

тый способ закрепления обосновывается тем, что при изгибных колеба-

ниях основного тона на каждой стороне пластины укладывается по-

луволна, узлы перемещения совпадают с точками крепления платы.

Поэтому наличие точек закрепления не сказывается на параметрах ко-

лебаний.

Расчетной моделью узла на печатной плате с размерами сторон а и

Ь, закрепленной в шести точках по контуру (рис. 4.20, а), служит прямо-

угольная пластина с размерами сторон а/2, Ь, свободно опирающаяся

по контуру, с равномерно распределенной нагрузкой (рис. 4,20, б). Ос-

новной тон свободных колебаний определяется полуволной, укладыва-

ющейся вдоль сторон α/2 и b пластины.

Конструкция функциональной ячейки блока разъемного типа

(рис. 4.21, а) может быть представлена расчетной моделью в виде

нагруженной прямоугольной пластины с жестким закреплением

двух сторон, на которых установлены контрольная колодка 3 и

электрический соединитель 2, и свободным опиранием двух других

сторон (рис. 4.21, б). Принятая схема закрепления обосновывается тем,

что электрический соединитель и контрольная колодка по сравнению с

печатной платой имеют значительно большую жесткость на изгиб, а

расстояние между стенками направляющих, с помощью которых плата

устанавливается в блоке, в большинстве случаев существенно превы-

шает толщину печатной платы.

Каркасные конструкции функциональных ячеек (печатная плата за-

креплена на рамке по контуру) обычно моделируют пластиной с жест-

ким закреплением всех сторон. Другой подход к построению расчетных

моделей таких конструкций изложен в следующем разделе.

145

Таблица 4.5

Значения частотной постоянной С Схема закрепления

пластины

а/b= 0,1

а/

0,2

а/b= 0,5

а/b= 1

а/b= 1,5

а/b=2

а/b= 2,5

а/b= 3

а/b=4

23,1 23,8 28,6 45,8 74,4 114,5 166,0 228,9 389,3

52,0 52,4 55,3 67,3 90,9 127,6 '76,9 238,8 396,7

52,1 52,5 56,2 74,1 102,5 170,6 248,5 345,1 592,8

52,1 52,6 57,2 83,8 141,4 228,6 343,7 485,4 847,6

23,2 23,9 32,1 67,6 131,1 221,4 337,9 480,5 843,6

35,9 36,7 42,2 74,1 135,4 224,6 340,6 482,8 845,8

Рис. 4.19. Построение расчетной модели платы, закрепленной в четырех точках

по углам:

а — конструкция платы; б — расчетная модель

Рис. 4.20. Построение расчетной модели платы, закрепленной в шести точках

по контуру:

а — конструкция платы; б — расчетная модель

Рис. 4.21. Построение расчетной модели функциональной ячейки блока

разъемного типа:

а — конструкция платы; б — расчетная модель

147

Пример 4.3. Определить частоту свободных колебаний основного

тона платы функциональной ячейки блока кассетного типа. Конструк-

ция ячейки приведена на рис. 4.21,а, расчетная модель — на рис. 4.21, б.

Размер платы 100x120 мм, материал — стеклотекстолит Сф-2-50-1,5,

плотность ρ = 1,85 г/см

, модуль упругости Е= 32•10

Н/м

, коэффициент

Пуассона ε = 0,22. На плате установлены 50 микросхем в корпусах 401-14-3,

масса корпуса т

ис

= 0,52 г.

Расчет выполним по формулам (4.17) и (4.18) для того, чтобы срав-

нить полученные результаты.

Для отношения сторон платы β = а/b = 1,2

3.32393.0691.0137.2219.048.0137.22

=++=++= ββα a,

Цилиндрическая жесткость платы

D=Eh

/12(1-ε

) = 32·10

(1,5·10

-3

)

/12( 1-0,22

) = 9,45 Н-м .

Масса элементов, установленных на плате, т

эл

= 50 • 0,52- 10 ~ =

= 26·10

-3

кг, масса платы m

пл

=рV

пл

= 1,85·10

·0,1·0,12· 1,5·10

-3

= 33,3·10

-3

кг.

Площадь платы S

ПЛ

= 0,1·0,12=0,012 м

Приведенная к площади масса платы (т

+ т

) = (т

эл

+ m

пл

)/S

пл

=(26·

-3

+33,3·10

-3

)/0,012=4,94 кг/м

Частота свободных колебаний основного тона

ГцmmDf

49494.4/45.9

3.32

)/(

⋅

=+=

−

πα

Чтобы воспользоваться формулой (4.18), определим поправочные

коэффициенты на материал платы

82.01085.110200/(1082.71032/

3939

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ρρ

CCM

EEK

и на нагрузку платы микросхемами

75.0103.33/10261/1/1/1

=⋅⋅+=+=

−−

плЭЛЭ

mmK

По табл. 4.5 для отношения сторон платы а/b = 1,2 находим частот-

ную постоянную С = 74,6. Частота свободных колебаний

= (СhК

/а

)·10

= (74,6·1,5·0,82·0,75/(120)

)·10

= 478Гц.

Таким образом, расхождение результатов расчета частоты свобод-

ных колебаний основного тона пластины по формулам (4.17) и (4.18)

лежит в пределах 3,5%.

148

4.3.4. Расчет частоты свободных колебаний функциональных узлов

сложных конструкций

Понятие «сложные конструкции» охватывает функциональные уз-

лы, усиленные ребрами жесткости, рамками, обечайками и другими

элементами, повышающими жесткость конструкции.

Частота свободных колебаний основного тона таких конструкций

может быть найдена по формуле Рэлея (4.17). Применение формулы

(4.17) предполагает переход от сложной конструкции узла к модели эк-

вивалентной прямоугольной пластины с параметрами a, D и m

=(m

эл

+т

пл

)/S

пл

Жесткость эквивалентной пластины на изгиб находят как D = D

пл

+ D

, где D

пл

, D

— цилиндрическая жесткость

платы и рамки на изгиб соответственно.

Расчет цилиндрической жесткости платы производят по формуле

)1(

ε−

ПЛ

(4.2)

где Е — модуль упругости материала платы; J— момент инерции сече-

ния платы в плоскости изгиба; b — ширина сечения; ε — коэффициент

Пуассона для материала платы.

Значение D можно найти также с помощью (4.20), если подставить

в формулу момент инерции сечения рамки.

Ввиду того что сечение рамки или других элементов, повышающих

жесткость конструкции узла, имеет сложную конфигурацию, момент

инерции сечения определяют как сумму осевых и центробежных мо-

ментов элементарных сечений правильной геометрической формы, на

которые разбивается исходное сечение:

iiP

FlJJ

∑ ∑

= =

1 1

(4.21)

где J

,., l

,- F

— осевой и центробежный моменты i'-го элементарного

сечения соответственно; F

— площадь этого сечения; l

,- — расстояние

в плоскости изгиба сечения между центрами тяжести ЦТ i-го элемен-

тарного сечения и сечения рамки.

Подход к определению момента инерции сечения рамки иллюстри-

руется с помощью рис. 4.22.

Соотношения для расчета осевых моментов инерции сечений про-

стейших геометрических форм и координат центра тяжести приведены

в приложении (табл. П.1).

149

Рис. 4.22. К расчету момента инерции сечения рамки

При выборе сечения рамки необходимо исходить из принципа наи-

худшего случая: жесткость конструкции на изгиб в сечении должна

быть минимальной, что позволит найти самую низкую частоту свобод-

ных колебаний конструкции узла.

Коэффициент а,-, входящий в формулу (4.18), при конкретном за-

креплении сторон определяют по таблицам, приведенным в [64]. В

случае закрепления пластины в четырех или шести точках по перимет-

ру, значение a j может быть найдено по формуле:

=π

(1+a

где а , b — длина и ширина пластины.

4.4. Расчет ударопрочности конструкций РЭС

Конструкция РЭС отвечает требованиям ударопрочности, если пе-

ремещение и ускорение при ударе не превышают допустимых значений,

а элементы конструкции обладают запасом прочности на изгиб. В связи

с тем что изгибные напряжения в элементах конструкции в конечном

счете определяются величиной перемещений (прогибов), расчет уда-

ропрочности конструкций может быть сведен к нахождению запаса

прочности элементов при прогибе.

Исходными данными для расчета являются: масса т и геометриче-

ские размеры элемента конструкции; характеристики материала (мо-

дуль упругости Е, Па; плотность ρ , кг/м

; коэффициент Пуассона ε);

перегрузки при ударе п

УД

и длительность удара i, с). Основу методики

расчета составляют соотношения, приведенные в разд. 4.22.

Прежде всего, по заданным параметрам удара необходимо опреде-

лить амплитуду ускорения при ударе а

тах

= п

УД

g, значение скорости в

150

начальный момент удара v

max

τ или эквивалентную высоту паде-

ния массы Н

= V

/2g .

Далее находят частоту свободных колебаний конструкции f

, по

значению которой вычисляется максимальный прогиб упругого эле-

мента при ударе. В зависимости от модели, к которой приводится ре-

альная конструкция, расчет частоты свободных колебаний производит-

ся по формулам (4.15), (4.17)—(4.19).

Составляющим максимального прогиба упругого элемента конст-

рукции при ударе является статический прогиб z

=mg/k . Неизвестное

значение жесткости конструкции k в выражении для z

можно найти, если

соотношения (4.15), (4.17)—(4.19) преобразовать к виду

mkf /

= . Так, например, воспользовавшись формулой (4.15) для

основного тона колебаний, получим k = EJλ

. /l

. Из формулы Рэлея

(4.17) найдем k = Da

b/a

т.д. Другой подход к определению жес-

ткости конструкции состоит в использовании значения частоты свобод-

ных колебаний. Из основной формулы для расчета частоты свободных

колебаний следует, что k = (2 πf

)

т .

Знание статического прогиба z

ст

, скорости V

в начальный момент

удара и частоты свободных колебаний f

позволяет найти максималь-

ный прогиб упругого элемента (максимальное перемещение массы)

max

010

)2/( fvz

π+

и полную динамическую деформацию упругого элемента

(

)

CTCTCTД

zfvzzzz

010max

2/(11 π++=+=

Полная динамическая деформация определяет эквивалентную силу

удара, приложенную к упругому элементу в точке удара: Р

УД

=kz

Допустимое напряжение в элементах конструкции при изгибе

σ = σ/n , где σ — предельное напряжение в материале; п = п j п

— коэффициент, характеризующий запас прочности: n

= 1,25... 1,5 —

коэффициент достоверности определения расчетных нагрузок и на-

пряжений; п

= 1,0...1,5 — коэффициент, характеризующий степень от-

ветственности детали; п

= 1,2...3 — коэффициент, учитывающий од-

нородность механических свойств материалов.

151

Изгибное напряжение, возникающее в элементах конструкции при

ударе, можно найти через изгибающий момент М

и момент сопротив-

ления изгибу W

по формуле σ

= М

. При расчете изгибающего

момента исходят из того, что сила Р

УД

приложена в геометрическом

центре упругого элемента. Тогда реакция опор упругого элемента со-

ставит Р = Р

УД

/2,а изгибающий момент М

= Р

α/2, где a — геомет-

рический размер элемента конструкции в плоскости изгиба.

Момент сопротивления упругого элемента изгибу W

=J/y

max

, где

J— момент инерции сечения элемента относительно оси изгиба;

шах

= h/2 — значение координаты от нейтральной оси сечения до поверхности

упругого элемента; h — толщина упругого элемента.

Пример 4.4. Прямоугольное основание из сплава Д16Т, покрытое

диэлектрическим слоем А1

(поликор) и закрепленное в четырех точках по

углам, подвергается удару длительностью τ = 5·10

-3

с при максимальной

перегрузке п

УД

= 150 единиц. Проверить условия ударопрочности

конструкции, если размеры основания L

= 0,2м, толщина пластины h

l,5-10~

M, толщина диэлектрического покрытия

= 0,25·10

-3

м.

При решении задачи примем следующие допущения: жесткость

конструкции определяется жесткостью металлического основания;

расчетной моделью конструкции является прямоугольная пластина со

свободным опиранием всех сторон (см. рис. 4.19, б), нагруженная рав-

номерно распределенной массой диэлектрического слоя; прогиб диэ-

лектрического слоя при ударе равен прогибу основания. Решение зада-

чи состоит в определении напряжений, возникающих в основании и ди-

электрическом слое при прогибе под действием удара.

Амплитуда ускорения при ударе

mах

= n

уд

g=150·9.8=1470м/с

Начальная скорость в момент удара

= а

шах

τ=1470·5·10

-3

= 7,35 м/с.

Для расчета частоты свободных колебаний пластины воспользуемся

формулой (4.19). При свободном опирании пластины по контуру и от- '

ношении сторон а/b = 1 частотная постоянная С = 45,8. Масса пластины т

2,76 10

• 0,2 • 0,2 • 1,5 • 10

-3

= 0,166 кг; масса диэлектрического

152