Назаров А.С. (ред.) Конструирование радиоэлектронных средств

Подождите немного. Документ загружается.

Поскольку параметры свободных колебаний определяются только

состоянием самой системы, правую часть уравнения (4.4) полагают рав-

ной нулю. Уравнение становится однородным.

Решение уравнения при начальных условиях Ż(0)=z(0)=0,z(0)=V

и отсутствии демпфирования (δ = 0) имеет вид

z = (v/ω

) sin ω

t = Z sin ω

t, (4.5)

где Z = v/ω

— амплитуда свободных колебаний.

Из уравнения (4.5) следует, что свободные колебания протекают на

частоте со

, амплитуда колебаний зависит от начальных условий (мгно-

венной скорости к, сообщенной массе в начальный момент времени).

Частота свободных колебаний определяется жесткостью упругого эле-

мента k и массой т конструкции.

Если учесть, что реальным систе-

мам присуще затухание δ≠0, то решение

однородного дифференциального

уравнения свободных колебаний дает

следующее соотношение для

перемещения:

z = (v/ω

) e

-δt

sinω

t, (4.6)

где

δωω −= -частота колебаний. Так

как ω

>> 5, то принимают ω

≈ ω

Выражение (4.6) представляет

собой затухающее колебание с пери-

одом Т

= 2 π≠ω

(рис. 4.4). Затухание свободных колебаний количественно

можно характеризовать логарифмическим декрементом колебаний

λ = ln(Z

i+l

) = ln(e

-δt

/ e

-δ(t+T1 )

) =δ T

где Z

, Z

i+l

— значения предыдущей и последующей амплитуд колебаний

соответственно.

Таким образом, свободные колебания в системах существуют непос-

редственно после внешнего воздействия на отрезке времени, в конце

которого множитель е

-δt

и, следовательно, амплитуда перемещения

становятся равными нулю.

123

Вынужденные колебания в системе протекают под действием внеш-

ней гармонической силы Р = Р

sin ω t.

Общее решение уравнения (4.3) может быть представлено в виде

суммы решения (4.5) однородного уравнения и частного решения, соот-

ветствующего гармонической силе Р :

z = Z e

-δt

sin(ω

t-φ

) + μZ

sin(ωt-φ). (4.7)

Перемещение при вынужденных колебаниях

= μz

sin(ωt-φ). (4.8)

Здесь

222

)1(4/1 vv −+= δµ —коэффициент динамичности системы,

где Δ

=Δ/ω

— коэффициент затухания ; v=ω/ω

— коэффициент

частотной расстройки или частотное отношение;

φ = arctg [ β ω/(k - т ω

)] — начальная фаза вынужденных колебаний.

Амплитуда вынужденных колебаний Z

= μ z

ст

, откуда μ = Z

ст

Таким образом, коэффициент динамичности ц показывает, во

сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при действии силы

sinωt больше (или меньше) статического прогиба упругого эле-

мента системы под действием силы P

Характерной особенностью вынужденных колебаний является зави-

симость их амплитуды не только от параметров системы и внешнего

воздействия, но и от частоты возмущающей силы со. Максимальное зна-

чение коэффициента динамичности

(

)

00max

12/1 δδµ −=

соответствует коэффициенту частотной расстройки

(

)

1 δ−=v

Зависимость коэффициента динамичности от частотной расстрой-

ки v приведена на рис. 4.5. Если частота возмущающей силы со совпада-

ет с частотой свободных колебаний (v = 1), то возникает явление меха-

нического резонанса, при котором амплитуда вынужденных колебаний

достигает максимальной величины, а при отсутствии затухания стано-

вится бесконечно большой. Поэтому исключение механических резо-

нансов выбором частот свободных колебаний механических систем за

пределами диапазона частот внешних вибрационных воздействий —

одно из необходимых условий обеспечения вибропрочности.

Модель механической системы с кинематическим возбуждением

приведена на рис. 4.6.

124

Рис. 4.5. Зависимость коэффициента дина- Рис. 4.6. Модель механической

мичности от частотной расстройки системы с кинематическим

возбуждением

Внешнее вибрационное воздействие P=Р

sinωt приложено к ос-

нованию (платформе), которое перемещается по гармоническому

закону z

sinωt, где Z

- амплитуда виброперемещения основания.

Движение системы подчиняется уравнению

mž + β(ż-ż

) + k(z-z

) = 0, (4.9)

где разность перемещения массы и основания (z-z

) характеризует

упругую деформацию системы.

После подстановки в (4.9) частного решения для вынужденных ко-

лебаний (4.8) и выражения для перемещения основания уравнение

движения системы приводится к виду

(-mω

+jωβ + k)z = (jωβ +k)z

откуда находят передаточную функцию

F(j ω) = z/z

= (k+ jωβ) /(k-m ω

+ jωβ )

и амплитуду колебаний системы

4)1(

+−

Отношение амплитуд перемещения массы и основания

125

Рис. 4.7. Зависимость

коэффициента передачи вибраций

от частотной расстройки

4)1(

+−

носит название коэффициента пере-

дачи вибраций. Зависимость ц от ко-

эффициента частотной расстройки

v приведена на рис. 4.7. Как видно из

рисунка, коэффициент передачи г|

становится меньше единицы, если

значение v превышает

. Эта осо-

бенность в поведении коэффициента

передачи вибраций используется

для организации виброзащиты кон-

струкций (виброизоляции) с по-

мощью амортизаторов.

4.2.2. Воздействие удара на систему с одной степенью свободы

Анализ ударных воздействий имеет целью определение деформа-

ций и механических напряжений, возникающих в элементах конструк-

ции в зависимости от величины и характера ударных нагрузок. Как от-

мечалось в разд. 4.1, для упрощения анализа ударные импульсы раз-

личной формы приводят к эквивалентному прямоугольному импульсу,

используя зависимость

∫

dttaa )(

где a

, τ

— ускорение и длительность прямоугольного эквивалент-

ного ударного импульса соответственно; а, τ — ускорение и длитель-

ность ударного импульса произвольной формы соответственно. Расче-

ты показывают [25], что для синусоидального импульса (см. рис. 4.1, б)

можно принять a

= 0,63а , τ

= τ , для косинусоидального импульса —

= 0,5а, τ

= 1,27τ. Аналогичные соотношения нетрудно получить

для трапецеидального и треугольного импульсов.

Наиболее просто удар моделируется падением конструкции с опре-

деленной высоты на жесткую платформу. Конструкцию представляют

моделью механической системы с одной степенью свободы.

В результате удара возникает колебательное движение массы отно-

сительно положения равновесия, соответствующего статическому про-

гибу упругого элемента под действием силы тяжести (рис. 4.8). Движе-

126

ние имеет характер свободных ко-

лебаний и без учета сил неупругого

сопротивления протекает в соответ-

ствии с дифференциальным урав-

нением

mž + kz = 0. (4.10)

Начальными условиями при этом

являются:

при t = 0 z = -z

, ż (0) = V

, где

= mg/K— статический прогиб

упругого элемента;

2gHv =

начальная скорость перемещения; Н

— высота падения конструкции.

Решение уравнения (4.10) для перемещения массы получают в виде

z(t) = (v

/(ω

)sinω

t-z

cosω

t, (4.11)

где mk /

=ω — частота свободных колебаний. Из (4.11) можно найти

максимальное перемещение массы

max

)/( ωvzz

и полную (динамическую) деформацию упругого элемента

(

)

CTCTCTCTД

zzvzzzz µω =++=+=

0max

/11

где µ— коэффициент динамичности конструкции.

Жесткость k и полная деформация упругого элемента определяют

эквивалентную силу удара Р

УД

=kz

=mgμ. При известной силе уда-

ра Р

УД

можно найти напряжения, возникающие в упругом элементе

конструкции.

Чтобы оценить перегрузки элементов при ударе, из соотношения

(4.11) находят ускорение

ž(t) = - V

sin ω

t + z

cos ω

Максимальное значение ускорения

(

)

max

CTCT

zvzz ωω +=

⋅⋅

определяет перегрузку при ударе:

127

УД

max

η ≈+==

•

Защита конструкций РЭС от ударов осуществляется с помощью

амортизаторов. Движение амортизированной системы, вызываемое уда-

ром, зависит как от характеристик самой системы, так и от параметров

удара. Поведение амортизированных систем при воздействии удара

подробно рассмотрено в разд. 4.6.

4.3. Расчет показателей вибропрочности конструкций РЭС

Исходя из определения вибропрочности и анализа динамических

процессов, протекающих в элементах конструкций РЭС при вибрациях,

можно определить следующие условия обеспечения вибропрочности:

отсутствие в конструкции механических резонансов;

ограничение амплитуды виброперемещения и виброскорости значе-

ниями, исключающими опасные напряжения и усталостные явления в

элементах конструкции;

допустимые значения виброперегрузок в диапазоне частот внешних

воздействий должны превышать величины, определенные техническим

заданием на разработку конструкции РЭС.

Первое условие выполняется, если частота свободных колебаний

элементов конструкции лежит за пределами диапазона частот внешних

воздействий. Ввиду того, что частота свободных

колебаний mk/

=ω , где k — жесткость элемента конструкции; т —

масса,для снижения массы конструкции приемлемым является решение: ω

>ω

где ω

верхняя граница диапазона частот внешних воздействий.

Проверка выполнения условия прочности конструкции при вибра-

ции производится на основе приведения динамической задачи к стати-

ческой [52]. Для этого необходимо найти коэффициент динамичности

конструкции ц и нагрузку, которая возникает в элементах конструкции:

P = mgμn

где m — масса элемента конструкции; g — ускорение свободного паде-

ния; n

— вибрационная перегрузка элемента при резонансе. Затем по

формулам сопротивления материалов следует определить допустимое

напряжение, которое может выдержать элемент в течение заданного

срока эксплуатации:

128

доп

=σ/n.

где σ — предельное значение напряжения (предел прочности) для ма-

териала; п — запас прочности.

Запас прочности обычно устанавливают на основе так называемого

дифференциального метода в виде произведения частных коэффици-

ентов:n=п

,гдеп

=1,2...1,5— коэффициент достоверности определения

расчетных нагрузок и напряжений; п

= 1,0... 1,5 — коэффициент,

учитывающий степень ответственности детали; п

= 1,2... 3-коэффициент,

учитывающий однородность механических свойств материалов.

В случае изгибных деформаций наряжение на изгиб

=М

идоп

где М

— изгибающий момент в наиболее опасном сечении элемента

конструкции; W

— момент сопротивления при изгибе.

Усталостные разрушения характерны для циклических нагрузок на

высоких частотах вибраций и обычно наблюдаются при резонансных

колебаниях радиоэлементов. Чаще всего разрушаются выводы радио-

элементов, так как механические напряжения в определенных сечениях

выводов (область изгиба и соединения с контактными площадками

коммутационных плат) при вибрациях на резонансной частоте резко

возрастают. Если известно максимальное циклическое напряжение в

выводах, то по кривой усталости для материала можно определить чис-

ло циклов до разрушения и, таким образом, составить прогноз долго-

вечности изделия. Количественной оценкой долговечности служит

время работы элемента до разрушения выводов

Где

— число циклов нагрузки до разрушения;

— частота свобод-

ных колебаний основного тона элемента.

Связь между виброперегрузкой n

, частотой ω и амплитудой виб-

раций Z определяется выражением (4.2). Если исходя из допустимых

напряжений, возникающих в материале элемента конструкции, поло-

жить ограничение на амплитуду вибраций, то получим предельное зна-

чение виброперегрузки:

ДОП

ДОПВ

≤ (4.12)

129

Выразив виброперегрузку через виброскорость V, можно найти до-

пустимое значение виброперегрузки при ограничении на виброско-

рость

ДОП

ДОПВ

≤

Условие вибропрочности конструкции выполняется, если

в.доп

≥n

в.тз

Проверку неравенств (4.12) и (4.13) целесообразно проводить или на

нижней частоте вынужденных колебаний или на резонансной частоте,

где амплитуда вибраций и виброскорость достигают больших значе-

ний. Так, например, при низкочастотных вибрациях (f= 5 ... 50 Гц) для

= 4 амплитуда вибраций лежит в пределах 40...0,4 мм и изгибные де-

формации могут вызвать разрушение элемента конструкции. На часто-

те вибраций 1000 Гц при прежнем значении виброперегрузки амплиту-

да вибраций Z = 1 мкм. Однако вследствие большого числа циклов ко-

лебаний могут возникнуть усталостные явления в материале.

Таким образом, оценка вибропрочности конструкций РЭС произво-

дится по следующим показателям:

частоте свободных колебаний ω

;

допустимому значению напряжения σ

доп

в материале элементов

конструкции и предельному числу циклов нагружения N

;

допустимому значению виброперегрузки п

в доп

При расчете частот свободных колебаний элементы конструкций

РЭС заменяют эквивалентными расчетными моделями, для которых

получены аналитические соотношения, связывающие частоту свобод-

ных колебаний с параметрами модели. Основным условием замены яв-

ляется соответствие модели реальной конструкции и минимальное

число степеней свободы. Так как резонансные явления могут возник-

нуть на всех структурных уровнях конструкции, то желательно опреде-

лять частоты свободных колебаний радиоэлементов, узлов, субблоков

и т.д. При этом в зависимости от способа монтажа радиоэлементы мо-

гут заменяться расчетными моделями балки или рамы, в качестве рас-

четных моделей функциональных узлов и других планарных конструк-

ций используется модель пластины.

4.3.1. Расчет частоты свободных колебаний радиоэлементов

Согласно [63] при конструировании узлов РЭС на печатных платах

применяется ряд вариантов установки радиоэлементов. Воздействию

130

вибрации в большей степени подвержены

радиоэлементы, установленные по

вариан-

там, не предусматривающим механического

соединения корпуса с платой. Поэтому в

первую очередь рассмотрим примеры по-

строения расчетных моделей для таких

радиоэлементов.

На рис. 4.9, а показана установка радио-

элемента по варианту П. Расчетными

моделями данной конструкции могут

служить: балка с шарнирным или жестким

закреплением на концах (рис. 4.9, б,в) и

рама (рис. 4.9, г). Длины балки и

горизонтальной связи рамы l определяются

длиной выводов радиоэлемента от корпуса

до изгиба. Корпус элемента моде-

лируется сосредоточенной массой т.

Транзистор и конденсатор, установлен-

ные на плате по варианту ||В (рис. 4.10, а,б),

и радиоэлементы, установленные по вари-

анту III (рис. 4,10, в), заменяются расчетны-

ми моделями в виде балки, жестко закреп-

ленной с одного конца, с сосредоточенной

массой на свободном конце (рис. 4.10, г).

Длина балки l равна длине выводов от пла-

ты до корпуса радиоэлемента.

Расчетной моделью радиоэлемента, смонтированного по варианту

IV (рис. 4.11, а), является балка, жестко закрепленная с двух сторон

(рис. 4.11,6).

Если корпус радиоэлемента закрепляется на плате (рис. 4,12, а,б),

то анализ динамических процессов при вибрации может быть выполнен

по расчетным моделям в виде рамы или арки (рис. 4.12, в,г).

В условиях внешних механических воздействий в элементах конст-

рукций РЭС, приводимых к модели балки, возникают продольные, кру-

тильные и изгибные колебания. Однако жесткость балки на изгиб, как

правило, бывает ниже жесткости на растяжение и кручение. Поэтому

для практики расчет изгибных колебаний представляет наибольший

интерес.

Схема нагружения балки с шарнирным закреплением концов приве-

дена на рис. 4.13, а, где приняты следующие обозначения: q = mž/l —

распределенная нагрузка балки, т — масса, ž— виброускорение, l —

длина балки, z (x, t) — максимальный прогиб балки при вибрации. На

131

Рис. 4.9.

Расчетные модели

радиоэлемента, установлен-

ного по варианту П:

а —установка радиоэлемента

на печатной плате;

б, в — расчетные модели

в виде балки; г — расчетная

модель в виде рамы

Рис. 4.10. Расчетная модель

радиоэлементов, установленных

по варианту Ш:

а, б, в — конструктивные

исполнения; г — расчетная

модель

Рис. 4.11. Расчетная

модель

радиоэлемента, установленного

по варианту IV:

о. —/установка радиоэлемента;

б — расчетная модель

Рис. 4.12. Расчетные модели радиоэлементов, установленных по варианту V:

а, б —установка радиоэлементов на печатной плате; в,г —расчетные модели

рис. 4.13, б показаны возможные формы колебаний, которые характери

зуются числом полуволн п , укладывающихся на длине балки.

При расчете частоты свободных колебаний балки принимают следу

ющие допущения:

упругая ось балки совпадает с линией центров масс поперечных сечений;

при колебаниях все точки балки смещаются перпендикулярно пер-

воначальному направлению оси;

все поперечные сечения балки остаются плоскими.

132