Назаров А.С. (ред.) Конструирование радиоэлектронных средств
Подождите немного. Документ загружается.
Рис. 4.13. Изгибные колебания балки: а — схема нагружения; б — формы колебаний
Предполагается также, что в системе действуют силы упругого со-
противления и инерции. Тогда уравнение движения балки может быть
представлено в виде
0
2
2
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
t
x
m
x
z
EJ
x
y
(4.14)
где Е — модуль упругого материала балки; J
У
— момент инерции сече-
ния относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба; т
0
— рав-
номерно распределенная погонная масса балки.
Граничные условия, которые используются при решении уравнения,
связывают со способом закрепления балки:
на опертом конце балки прогиб и изгибающий момент равны нулю;
на жестко закрепленном конце прогиб и угол поворота сечения рав-
ны нулю;
на свободном конце балки изгибающий момент и перерезывающая
сила равны нулю.
Решение (4.14) дает следующее соотношение для частоты свобод-
ных колебаний:
F
EJ
l
i
i
ρ
λ
ω
2
2
0
=
(4Л5)
где λ
i
параметр, представляющий собой корень частотного уравнения,
характеризующий форму колебаний и способ закрепления балки;
р — плотность материала; F — площадь поперечного сечения балки.
Произведение EJ определяет жесткость балки на изгиб, произведение
р F = т о — равномерно распределенную погонную массу.
133
Для балки с шарнирно закрепленными концами λi=iπ ; для кон-
сольного закрепления λ
1
=l,875, λ
2
=4,694, λi,≈(2i-1)π/2 (i≥3);в случае
жесткого закрепления концов λ
1
= 4,73, λ
2
= 7,853,
λi,≈(2 i + 1) π/2 (i ≥ 3); i — номер тона колебаний.
Если расчетная модель наряду с распределенной содержит сосре-
доточенную массу, то в формуле (4.15) используется приведенная рас-
пределенная масса
s
s
s
s
mk
l
mm
∑
=
+=
0
1
0
1
где т
s
— сосредоточенная масса; s
0
— число сосредоточенных масс;
K
S
— коэффициент приведения сосредоточенной массы к равномерно
распределенной.
Величина коэффициента K
S
зависит от относительной абсциссы со-
средоточенной массы a
s
=x
s
/l (рис. 4.14). Значения коэффициентов
приведения сосредоточенной массы
к распределенной для рассмотрен-
ных расчетных моделей балки даны
в табл. 4.2. Первая строка коэффи-
циентов соответствует первой фор-
ме колебаний (основной тон), вто-
рая строка — второй форме.
Формулы расчета моментов
инерции сечений балки различной
формы приведены в табл. П.1, фи-
зические параметры некоторых материалов в табл. П.2 приложения.
Таблица 4.2
134
Рис. 4.14. Схема
приведения
сосредоточенной массы
к распреде
ленной
Частота свободных колебаний рамы зависит как от параметров мо-
дели, так и от направления внешнего воздействия (рис. 4.15), которое
определяет вид колебаний, протекающих в отдельных элементах рамы.
Если, например, возбуждающая сила направлена вдоль горизонтально-
го звена рамы (рис. 4.15, а), то в вертикальных звеньях возникают из-
гибные колебания, в горизонтальном — продольные. Внешнее воздей-
ствие, приложенное в соответствии с рис. 4.15, в, вызывает изгибные
колебания горизонтального звена рамы, изгибные и крутильные — вер-
тикальных звеньев. В связи с тем что жескости элементов рамы на из-
гиб, растяжение-сжатие и кручение различны, частота свободных коле-
баний рамы будет существенно зависеть от направления внешнего воз-
действия. Силы Р
х
, Р
y
и Р
z
, приложенные к раме, могут рассматриваться как
составляющие силы Р.
Рис. 4.15. Схема нагружения рамы:
а — составляющая Р
х
; б — составляющая Р
z
; в — составляющая Р
у
Частота свободных колебаний рамы для основного тона определяет-
ся по формулам:
для рамы рис. 4.15, а
[ ]
5.0
3
01
)1(4/91
48
2
1
+−
=
kml
EJ
f
π
для рамы рис. 4.15, б
[ ]
5.0
3
01
)16/(31
24
2
1
++
=
kmh
EJ
f
π
для рамы рис. 4.15, в
5.0
433
01
)2(32324
2
2
1
+
−+=
lGJhEJEJ
GJl
EJ
h
EJ
l
m
f
π
135
где т — масса рамы; к = h/l (h, l — геометрические размеры звеньев
рамы); G=Е /2 (1 + ε) — модуль упругости второго рода (модуль сдви-
га) материала рамы; ε — коэффициент Пуассона. Расчет частоты сво-
бодных колебаний радиоэлементов проиллюстрируем примером.
Пример 4.1. Определить частоту свободных колебаний резистора
С2-6-1, установленного на печатной плате по варианту ΙΙа. Параметры
конструкции резистора (рис. 4.16, а): D = 6,6 мм, L
к
= 17 мм, d = 0,9 мм,
L = 22,5 мм, масса резистора т
p
— не более 2,5 г. Выводы резистора
выполнены из холоднотянутой медной проволоки, модуль упругости
Е= 1,23 • 10
11
Н/м
2
, плотность ρ= 8,96 г/см
3
.
Частоту свободных колебаний резистора найдем для двух
расчетных моделей: балки и рамы.
Модель резистора в виде балки представлена на рис. 4.16, б.
Длина балки l= L-L
K
= (22,5- 17) • 10
-3
= 5,5- 10
-3
м. Равномерно
распределенная погонная масса балки определяется массой выводов
резистора:
мкгll
d
m /1069.51096.8
4
)109.0(14.3
/
4
33
232
0
−
−
⋅=⋅⋅
⋅
=
= ρ
π
Сосредоточенная масса равна массе корпуса резистора, т.е.
мкгl
d
mm
p
/1047.21096.8105.5
4
)109.0(14.3
105.2
4
333
23
3
2
0
−−
−
−
⋅=⋅⋅⋅⋅
⋅
−⋅=−= ρ
π
Рис. 4.16. Построение расчетных моделей резистора:
а — вариант установки на печатной плате; б — расчетная модель в виде
балки;в — модель в виде рамы
136
Приведенная распределенная погонная масса балки для
относительной абсциссы сосредоточенной массы a j = 0,5:
m
l
= m
0
+(1/l) m
K
k
1
=5,69·10
-3
+ 2,47·10
-3
·0,52/5,5·10
-3
= 0,239 кг/м .
Момент инерции сечения балки J=0,05d
4
= 3,28·10
-14
м
4
.
Частота свободных колебаний балки основного тона
Гц
m
EJ
l
f
l
4
1411
23
2
2
2
1
01
1053.1
239.0
1028.31023.1
)105.5(
)73.4(
14.32
1
2
1
⋅=
⋅⋅⋅
⋅⋅
==
−
−
λ
π
Расчетная модель резистора в виде рамы приведена на рис. 4.16, в.
Длина горизонтального звена рамы l= 5,5 • 10
-3
м , высота рамы h =
= (0,5D+1)10
-3
= (0,5·6,6+1)10
-3
= 4,3-10
-3
м.
Отношение высоты рамы к длине к = h/l = 4,3·10
-3
/5,5·10
-3
= 0,78.
Частота свободных колебаний рамы
[ ] [ ]
Гц
kmh
EJ
f
3
5.0
333
1411
5.0
3
01
10839.2
)178.06/(31)103.4(105.2
1028.31023.124
14,32
1
)16/(31
24
2
1
⋅=
+⋅+⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅
=
++
=
−−
−
π
Полученные значения частоты свободных колебаний резистора
для моделей балки и рамы существенно расходятся. Однако можно
предположить, что модель рамы точнее воспроизводит и
конструкцию резистора и динамические процессы при вибрации.
Одновременно расхождение результатов расчета подчеркивает
важность и ответственность этапа выбора расчетной модели.
4.3.2. Расчет вибропрочности выводов радиоэлементов
Характерным видом отказов радиоэлементов при вибрационных воз-
действиях является усталостное разрушение выводов.
Усталостные явления в выводах наиболее часто наблюдаются
при резонансных колебаниях радиоэлемента или резонансных
колебаниях платы, на которой установлен радиоэлемент. Первый
случай относится к условиям силового возбуждения механической
колебательной системы, второй - к условиям кинематического
возбуждения.
137
Количественной оценкой вибропрочности выводов служит время
работы радиоэлемента до разрушения выводов t
p
. Для определения t
p
,
как правило, используется расчетная модель в виде рамы, так как по
сравнению с моделью балки она позволяет рассмотреть большее число
опасных сечений выводов радиоэлемента.
В случае вибрации на резонансной частоте на радиоэлемент дейст-
вует инерционная сила Р
и
. Если направление инерционной силы не
совпадает с направлением осей координат, то она может быть разложе-
на на составляющие P
X
. Р
Y
, Р
Z
,.
Расчет времени работы выводов радиоэлемента до усталостного
разрушения состоит в определении силы Р
и
изгибающих моментов и на-
пряжений в опасных сечениях рамы. Для максимального напряжения
σ
max
по кривой усталости материала выводов находят число циклов ко-
лебаний до разрушения N к время работы радиоэлемента до отказа t .
Инерционная сила, действующая на радиоэлемент,
P
H
= μmgn
B
,
где μ. — коэффициент динамичности ; т — масса радиоэлемента; n
в
—
вибрационные перегрузки; g — ускорение силы тяжести.
Коэффициент динамичности на резонансной частоте μ= π/Λ,где
Λ — логарифмический декремент затухания.
Численное значение Λ можно найти через частоту свободных коле-
баний системы f
01
или коэффициент затухания δ
0
:
Λ = π/
01
f ; Λ = 2πδ
0
.
Для реальных систем δ
0
= 0,02...0,25 [23]. Формулы изгибающих мо-
ментов в характерных точках рам приведены в табл. 4.3.
.
Механические напряжения в характерных сечениях определяют с
помощью соотношения
σ = М
и
/W
и
,
где М
и
— изгибающий момент в сечении; W
и
=J
x
/y
max
— момент со-
противления изгибу; J
x
— момент инерции сечения относительно оси,
перпендикулярной плоскости изгиба; у
шах
— расстояние от нейтраль-
ной линии сечения до поверхности упругого элемента.
138
Для максимального напряжения по кривой усталости материала вы-
вода находят число циклов нагружения до разрушения выводов N , за-
тем — время работы радиоэлемента до отказа:
t
р
=Nр/f01
Случай колебаний элемента на резо-
нансной частоте платы иллюстрируется
рис. 4.17. Плата 2 с длиной стороны а
совершает изгибные колебания. На вы-
воды радиоэлемента
1
,установленного
на плате, действует изгибающий мо-
мент, обусловленный поворотом сече-
ния платы на угол θ, и сила, определяе-
мая прогибом платы на величину z(x).
При условии, что радиоэлемент уста-
Рис. 4.17. Изгиб выводов радио
-
элемента при резонансных коле-
баниях платы
новлен в центре платы, форму колебаний платы в направлении х мож-
но представить в виде
z(x) = Z
0
sin (πх/а),
где Z
0
— прогиб в центре платы.
Угол поворота сечения платы в точке крепления вывода
a
x
Z
x
xz
⋅
=
∂
∂
=
π
π
θ cos
0)(
)(
0
где х — расстояние от края платы до точки крепления вывода.
Прогиб в центре платы
Z
o
=Z
o
k
1
(ζ
X
.ζ
Y
)/2δ
o
где Z
0
— амплитуда вибраций, возбуждающих плату;k
1
(ζ
X
.ζ
Y
)— ко-
эффициент формы колебаний платы; ζ
X
.ζ
Y
— относительные коорди-
наты центра платы; 2δ
0
=1/
01
f — коэффициент механических потерь на
резонансной частоте f
01
основного тона колебаний платы.
Коэффициенты формы колебаний для дискретных значений отно-
сительных координат приведены в [24].
Прогиб платы на отрезке, равном расстоянию между точками креп-
ления выводов, может быть определен как
Z(x)=Z
2
(x)·Z
1
(x)=Z
0
[k
1
(ζ
X
.ζ
Y
)-K
2
(ζ
X
.ζ
Y
)]/2δ
0
.
Через значения угла поворота сечения платы 6 и прогиба (деформа-
ции) Z(х) находят изгибающие моменты в характерных точках (см. табл.
4.3). Далее порядок решения задачи не отличается от случая вибраций
элемента на частоте свободных колебаний.
Пример 4.2. Определить время работы резистора до разрушения вы-
водов при вибрации на резонансной частоте основного тона. Параметры
конструкции резистора соответствуют рис. 4.16, а; расчетная модель —
рис. 4.16,в. Вибрационные перегрузки резистора n
в
= 10.
Как было показано в примере 4.1, частота свободных колебаний ре-
зистора f
01
= 2839 Гц. Через значение f
01
находим логарифмический
декремент затухания в системе Λ =π /
01
f = 3,14 2839 = 0,059 и коэф-
фициент динамичности при резонансе μ, = π/Λ= 3,14/0,059= 53,2.
Инерционная сила, действующая на резистор,
P
и
= μmgn
B
= 53,2·2,510
-3
·9,8·10=13,04 Н.
По формулам табл. 4.3 определим изгибающие моменты для харак-
терных точек:
140
М
A
=М
Д
= Р
и
l/8(2 + к) = 13,03·5,5· 10
-3
/8(2 + 0,78) == 3,22·10
-3
Н·м;
М
E
=М
C
= Р
И
l/4(2 + к) = 13,03·5,5·10
-3
/4 (2 + 0,78) = 6,44·10
-3
Н·м.
Момент сопротивления изгибу выводов резистора
W
И
=J/(0.5й) = 3,28·10
-14
/(0.5·0.9·10
-3
) = 7,29·10
-11
м
3
.
Изгибные напряжения в характерных точках:
σ
Л
= σ
Д
=M
A
/W
И
= 3,22·10
-3
/7,29·10
-11
= 4,42·10
7
Н/м
2
,
σ
B
= σ
C
= M
B
/W
И
= 6,44· 10
-3
/7,29·10
-11
= 8,84·10
7
Н/м
2
.
Таким образом, максимальные изгибные напряжения
σ
max
= 8,84·10
7
Н/м возникают в точках изгиба выводов резистора.
Рис. 4.18. Кривая усталости для медной проволоки
По кривой усталости холоднокатанной меди (рис. 4.18) для
σ
шах
=8,84·10
7
Н/м
2
находим число циклов нагружения резистора до
разрушения выводов N
P
=10
7
. Время работы резистора до отказа
t
P
= N
P
/f
01
= 10
7
/2839 = 3,52·10
3
с.
141
4.3.3. Расчет частоты свободных колебаний функциональных узлов
Функциональные узлы РЭС представляют собой планарные конст-
рукции. Поэтому основной расчетной моделью узлов является прямо-
угольная пластина при определенном закреплении сторон.
Расчет частоты свободных колебаний прямоугольных пластин про-
изводится на основе следующих допущений:
изгибные деформации пластины при вибрации по сравнению с ее
толщиной малы, упругие деформации подчиняются закону Гука;
пластина имеет постоянную толщину, нейтральный слой пластины
не подвержен деформациям растяжения-сжатия;
материал пластины идеально упругий, однородный и изотропный;
все прямые, нормальные к поверхности нейтрального слоя до де-
формации, остаются прямыми и нормальными к ней после деформа-
ции.
Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний
пластины имеет вид
02
2
4
22
4
4
4
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
y
z
yxx
z
D
t
z
m
(4
.
16)
где z = z(x,y, t) — виброперемещение пластины, определяемое в точке
с координатами х, у; т — масса пластины; D=Eh
3
/12(1-ε
2
) — жес-
ткость пластины на изгиб (цилиндрическая жесткость);Е,ε- соот-
ветственно модуль упругости и коэффициент Пуассона материала; h —
толщина пластины.
Точное решение уравнения (4.16) получено для свободных колеба-
ний прямоугольных однородных пластин, две противоположные сторо-
ны которых свободно опираются, при любом закреплении двух других
сторон.
В случае свободного опирания всех сторон частота свободных коле-
баний пластины может быть найдена по формуле
ω
0
= π
2
[(i/a)
2
+ (j/b)
2
] hD ρ/ ,
где i,j — число полуволн синусоиды, укладывающихся вдоль сторон
пластины; a,b— размеры сторон; ρ — плотность материала пластины.
Реальные конструкции функциональных узлов, приводимые к рас-
четным моделям пластины, по основным параметрам не соответствуют
требованиям однородной пластины, а разновидность внутренних струк-
тур конструкций РЭС ведет к многообразию краевых условий пластин.
Поэтому для расчета частоты свободных колебаний функциональных
узлов, как правило, используются соотношения, полученные в резуль-
142