Мостовской А.П. Информационные технологии в математике

Подождите немного. Документ загружается.

А.П.Мостовской

Информационные технологии в математике

Пособие по учебной дисциплине Информационные техно-

логии в математике математических специальностей педаго-

гических университетов и институтов.

Автор : А.П.Мостовской

Пособие состоит из двух несвязных частей. Первая часть

предназначена для знакомства с работой известной компью-

терной программы Математика. Данная программа позволя-

ет решать в числовых и символьных форматах широкий круг

задач линейной алгебры, геометрии, математического анали-

за, дискретной математики, статистики и многих других раз-

делов математики. Приведены основные команды, чаще всего

встречающиеся при решении задач вузовского курса матема-

тики. Рассмотрены примеры программирования математиче-

ских и экономических задач.

Вторая часть курса посвящена введению в издательские

системы L

X и A

S-L

X, с помощью которых можно со-

здавать на персональном компьютере математические руко-

писи типографского качества. Основное внимание в этой ча-

сти уделено программе BaKoMa, в которой удобно созда-

вать математические тексты, просматривать и конвертиро-

вать окончательные варианты текста в распространенные

форматы.

Предисловие

Курс ”Информационные технологии в математике” недавно введен

в математическую подготовку студентов второго курса математиче-

ских специальностей и первого курса экономических специальностей

педагогических университетов и институтов. Курс состоит из двух до-

статочно несвязных частей.

В первой части курса рассматриваются в обзорном порядке наибо-

лее распространенные математические пакеты, такие как Mathematica,

Maple, MathLab, Gauss и другие. Отмечается, что при первом знаком-

стве довольно трудно разобратся в программах и отличие одной про-

граммы от другой часто носит скорее эмоциональный , а не принципи-

альный характер. Программы решают один и тот же круг математи-

ческих задач, имеют схожие интерфейсы.

Тем не менее лидирующее положение среди математических паке-

тов занимает пакет Mathematica. Эта программа достаточно широ-

ко распространена во всем мире, она получила применение в науч-

ных и инженерных исследований, в системе образования. Компания

Wolfram Research, производящая систему Mathematica, активно рабо-

тает на д усовершенствованием программы. Ежемесячно выпускается

журнал с обсуждением актуальных проблем, работает сайт в Интене-

те www.folfram.com, ведется активная работа с пользователями про-

граммы. На всемирных математических конгрессах (раз в четыре го-

да) фирма Wolfram Research имеет свой стенд, а математики компании

читают лекции и проводят семинарские занятия. В некоторых стра-

нах (например, в США) вузовская система образования тесно связана

с системой Mathematica. Каждые два года проходит международный

математический симпозиум по приложениям компьютерной алгебры в

различных областях образования и исследований.

Программа Mathematica естественным образом интегрируется в си-

стему математического образования будущих учителей математики и

студентов экономических специальностей. Основа работы с програм-

мой закладывается для студентов математиков в курсе ”Информаци-

онные технологии в математике” или на практикуме на ЭВМ для сту-

дентов экономических специальностей. Во втором семестре часть заня-

тий по дифференциальной геометрии можно проводить с использовани-

ем программы Mathematica. К таким занятиям можно отнести заняти

посвященные решению вычислительных задач на нахождение всевоз-

можных кривизн кривой или поверхности, уравнений элементов кано-

нической системы координат кривой или поверхности, уравнений раз-

личных видов кривых на поверхности (асимптотических линий, линий

кривизны, геодезических линий). При этом можно построить не толь-

ко изучаемую кривую и поверхность по ее уравнению, но и выяснить

расположение найденных геометрических образов относительно кривой

или поверхности.

На третьем курсе лабораторные работы по вычислительной мате-

матике очень удобно проводить с применением системы Mathematica.

Простота вывода графической информации, программирование мате-

матических задач делает систему Mathematica незаменимой в учебном

процессе.

Стоит отметить, что все больше студентов при написании диплом-

ных работ, применяют систему Mathematica в своих исследованиях.

Во-второй части курса ”Информационные технологии в математи-

ке” приводятся начальные сведения о возможностях технологии T

позволяющей создавать на персональном компьютере документы ти-

пографского качества. Несмотря на то, что данная технология была

создана американским программистом Д.Кнутом еще в 1978 году, что

эта технология относительно сложна в использовании, области приме-

нения T

X’а только расширяются - этот ”старомодный”пакет не только

применяется во всех ведущих научно-технических редакциях мира, но

и получает все более широкое применение в нашей стране.

Основной программной средой при изучении этого раздела курса вы-

брана известная программа

BaKoM’a, органично соединяющая в себе

все возможности T

X’а. В этой программе удобно создавть документ,

переводить законченный документ в более распространенные форма-

ты, такие, как pdf, ps, html и svg.

http://www.bakoma-tex.com/

Глава 1

Система Математики

1.1 Введение. Главное меню и рабочее поле

Пособие предназначено для знакомства с работой программ Мате-

матика 3.0, Математика 4 и более совершенного варианта Математи-

ка 5, именуемых в дальнейшем Математика. Программы предназначе-

ны для решения большого круга математических задач в числовых и

символьных форматах.

Первые варианты программы были созданы в 80-х годах под ру-

ководством Стивена Вольфрама (фирма Wolfram Research Ltd, США).

Было создано универсальное ядро системы, способное работать на раз-

личных компьютерных платф ормах, и представляющее собой язык про-

граммирования высокого уровня, ориентированного на математические

приложения. С самого начала большое внимание уделялось графике,

в том числе динамической, и даже возможностям мультимедиа - вос-

произведению динамических изображений и синтезу звуков. Програм-

ма Математика обычно размещается в директории C : \P rogramF iles

\W olframResearch. В этой директории содержатся, помимо всего про-

чего, пакеты (packages) программ, расширяющие область применения

команд, содержащихся в ядре. К Математике прилагаются пакеты про-

грамм, решающих задачи линейной алгебры и геометрии, дискретной

математики, статистики, пакет программ, реализующих специальные

символьные вычисления и численные методы, а также пакеты, содер-

жащие графические функции, преобразования Фурье и Лапласа и дру-

гое. Пользователи программы могут разработать и разместить в таких

директориях собственные пакеты программ.

Для запуска Математики надо щелкнуть два раза левой клавишей

мышки по значку Математика на панели Windows или по соответ-

6 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

ствующей строке в меню ”Пуск->Программы”. Программа выводит на

экран рабочее поле и главное меню. Основные приемы управления про-

граммой такие же, как и в любой другой программе, работающей под

Windows. Главное меню программы Математика содержит следующие

позиции:

File - работа с файлами: задание нового файла, выбор файла из

каталога, закрытие файла, запись текущего файла, запись файла с из-

менением имени, печать документа и выход в Windows.

Cell - работа с ячейками (переформатирование, установка статуса

ячейки, открытие и закрытие и др.). Под ячейкой понимается связ-

ная часть рабочего поля, содержащая задачу, ответ, текст или другое.

Каждая ячейка ограничена квадратной скобкой, расположенной спра-

ва от рабочего поля. Чтобы выделить ячейку, надо щелкнуть мышкой

по скобке, ограничивающую ячейку или провести курсором по скобкам

ячеек, подлежащих выделению, с нажатой левой клавишей мышки.

Выделенные ячейки можно объединить в одну ячейку, выполнив ко-

манду Cell/Merge Cell. Ячейку можно разбить на две ячейки командой

Cell/Divide Cell, предварительно установив курсор на место деления

ячейки (обычно - в конец строки).

Edit - основные операции редактирования (отмена операции, копи-

рование выделенных участков документа в буфер обмена с их удалени-

ем и без удаления, перенос выделенных участков и их стирание). При

копировании содержимого ячейки, например, в Word, необходимо вы-

делить ячейку, выполнить команду Cell/Display As/Input Form и после

этого провести копирование обычным способом - Edit/Copy, Edit/Paste.

В меню Edit/Save As/ содержатся команды, позволяющие сохра-

нить выделенный рисунок в форматах EPS, Bitmap (BMP), Enhanced

Metafile (EMF), Windows Metafile (WMF), текст в формате Rich Text

(RTF), звуковой объект (результат работы команды Play) в формате

Wave (WAV). Аналогично работает команды меню Edit/Copy As/.

Format - устанавливает внешний вид рабочего поля, стиль ячеек,

их содержание, размер, вид и размер шрифтов и другое.

Input - устанавливает опции 3D-графики (3D ViewPointSelector)

для просмотра графических изображений , содержит команды для со-

здания матриц, таблиц, сборных палеток (CreateTable/Matrix/ Palette)

и другое.

Kernel - команды работы с ядром программы. Работающую ко-

манду легко обнаружить - скобка ячейки, содержащей такую команду,

1.1 Введение. Главное меню и рабочее поле 7

утолщена и имеет красный цвет. Если команда выполняется слиш-

ком долго, то ее можно попытаться прервать командой Kernel/Abort

Avaluation или нажать на клавиши Alt+”.” (точнее: нажать и держать

клавишу Alt и нажимать на клавишу ”.”). Отметим так же коман-

ду Quit: Kernel/Local/Quit позволяющую выгрузить ядро программы

в случае полного зависания, что иногда случается при работе поль-

зовательской программы или неправильного выполнения встроенной

команды. При этом содержимое рабочего окна не теряется, однако по-

вторный ввод нужных команд и данных для продолжения работы не-

обходим.

Find - поиск в рабочем поле.

Window - операции с окнами и их расположением.

Каждая позиция меню содержит ряд относящихся к ней команд.

Часть команд может быть в данный момент невыполнима, например,

нельзя вычислить значение выражения, если его самого нет на рабочем

поле или ячейка с ним не выделена. Большинство команд меню типич-

но для других интегрированных систем, предназначенных для работы

в среде Windows.

Начать работу в Математике можно с простого примера, для выпол-

нение которого произойдет загрузка ядра системы. Введем, например,

команду 45+78. Для этого надо щелкнуть левой клавишей мышки на

рабочем поле, ввести с клавиатуры символы 45+78 и нажать последо-

вательно клавиши Shift (не отпускать) и центральную клавишу Enter

или только одну клавишу Enter, расположенную справа на клавиатуре.

В результате получится две строки (и две ячейки ) - первая содержит

введенные символы и начинается с номера ввода команды In[1], вторая

- содержит ответ и начинается с номера вывода Out[1] :

In[1] := 45 + 78

Out[1] = 123

Далее команду и результат ее выполнения будем в основном запи-

сывать так: 45 + 78 ⇒ 123.

Ячейка может занимать одну или несколько строк и всегда выде-

лена своей квадратной скобкой. Для редактирования текста в ячейке

необходимо поместить в поле ячейки курсор - для этого надо щелкнуть

мышкой по полю ячейки или поместить над ячейкой горизонтальную

линию (подвижная линия, перемещаемая по рабочему полю клавишами

курсора) и нажать клавишу со стрелкой → .

Большинство математических символов можно вводить в рабочее

8 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

поле в их привычном виде, а команды на выполнение запускаются на-

жатием соответствующих значков. Для выбора того или иного клас-

са команд достаточно щелкнуть мышью на нужной позиции в меню

File/Paletter (палетка). Так, позиция BasicInput выводит справа от ра-

бочего поля палетку с распространенными математическими символа-

ми и греческим алфавитом. Например, для ввода определенного инте-

грала нужно щелкнуть мышкой по интегралу на палетке и он появится

в рабочем поле, затем щелкнуть мышкой по нижнему пределу на ра-

бочем поле и ввести нижний предел. Перемещая курсор клавишей Tab,

можно ввести верхний предел, функцию, дифференциал переменной.

Help - управление базой данных помощи. Каждая команда Матема-

тики описана в программе помощи (позиция меню Help/Help Browser).

Например, найдем в помощи команду Factor. Для этого щелкнем мы-

шью по строчке меню Help/Help Browser, в открывшейся форме в поле

ввода текста на форме введем слово Factor. Соответствующий раздел

Factor будет найден автоматически. При этом будет выделены глава

Basic Algebra и часть Algebraic Computation, содержащие данный раз-

дел. Щелкнем мышью по строчке Factor - получим описание команды.

Описание команду заканчивается строчкой: . Further Examples. Если

щелкнуть один раз по треугольнику, то откроются примеры, поясня-

ющие работу команды Factor. Каждый пример можно изменить и за-

пустить на выполнение.

Активная клавиша Built-in Functions на форме помощи показывает,

что команда Factor принадлежит ядру программы Математика. Не-

которые команды Математики принадлежат программам расширения

ядра. Такие программы образуют Standart Packages. Для просмотра

всех packages (пакетов) нажмите на клавишу Add-ons формы помощи.

Нажатие на клавишу The Mathematica Book выводит в окошки по-

мощи оглавление книги полного описания программы Математики.

Клавиша Master Index поможет найти команду по алфавиту. Описа-

ние меню программы - Other Information, начало работы с Матема-

тикой и демонстрация основных возможностей Математики - Getting

Started/Demos.

Отметим, что и в рабочем поле программы можно узнать формат

команды. Для этого достаточно ввести в рабочем поле команду ??name,

где name название команды, формат которой неизвестен. Например,

команда ??F actor выводит на экран следующее сообщение

Factor[poly] factors a polynomial over the integers.

1.2 Числа 9

Factor[poly, Modulus−> p]

factors a polynomial

modulo a prime p.

Attributes[Factor] = {Protected}

Options[Factor] =

{GaussianIntegers−> False, Modulus−> 0, Trig− > False}

Первая строка описывает действие команды F actor с одним аргу-

ментом poly. Команда разлагает многочлен poly на множители над це-

лыми числами. Следующая форма команды (вторая строка) разлагает

многочлен poly на множители по модулю простого числа p. В этой

команде присутствует второй аргумент, содержащий стрелку − >

Такие аргументы (один или несколько, разделенные запятыми) назы-

ваются опциями (options) команды. Они уточняют действие коман-

ды. Возможные опции данной команды F actor описываются в послед-

ней строке. Значение опций в этой строке есть значения, установлен-

ные по умолчанию, то есть изначально. Опция T rig− > T rue (”ис-

тина”) указывает команде, что полином poly содержит тригонометри-

ческие функции, которые можно рассматривать, как экспоненциаль-

ные полиномы. Опция GaussianIntegers−> F alse (”ложь”) означает,

что разложение на множители производится над кольцом целых чисел.

Attributes[Factor] = {Protected} означает, что данную команду не-

льзя переопределить.

1.2 Числа

1.2.1 Основные алгебраические операции.

Обозначение основных математических операций в Математике тра-

диционно: +, −, ∗ (умножение можно заменять пробелом), / (деление

), ∧ (возведение в степень). Знак = означает присваивание, например

a = 3. Результатом логических операции есть T rue или F alse : ==

(равенство), ! = (неравенство ), > (больше ), < (меньше ), >= (больше

или равно ), <= (меньше или равно), && логическое ”и”, || логическое

”или”. Каждая операция имеет другое обозначение. Например, матема-

тическая операция ”+” - Plus[x,y]; x,y - числа, логическое ”и” - And[x,y],

логическое ”или” - Or[x,y]; x,y - логические высказывания.

Математика имеет дело с числами, содержащими любое количество

значащих цифр. Например,

Стрелка состоит из ”минуса” и знака ”больше” без пробела.

10 ГЛАВА 1. СИСТЕМА МАТЕМАТИКИ

In[1] := 25 5

Напомним, что для выполнения этой первой команды In[1] доста-

точно написать на рабочем поле только 25 5 и нажать на клавиши

Shift+Enter или только на одну клавишу - правый Enter, если она у

вас есть. Вводить номер команды In[1] не надо - это служебные сим-

волы Математики вводятся программой автоматически после запуска

команды. Результат работы первой команды примет вид:

Out[1] = 125

Введем вторую команду, например, такую:

In[2] := 3

∧

1000

Ответ Out[2] не приводим - содержит слишком много цифр. С отве-

тами можно работать дальше. Например, команда %

∧

(1/1000) извле-

кает корень 1000 степени из последнего результата, то есть, в нашем

случае Out[2]. Символ %% означает результат, предыдущий к толь-

ко что полученному, %n - результат с номером вывода n. С ответами

можно работать и так:

In[6] := Out[1] + Out[2] ∗ Out[1]

Или

In[7] := %1 + %2 ∗ %1

Если в конце команды поставить точку с запятой ”;”, то полученный

результат не выводится на экран. Например, 2+6; или a+b;.

Команда N[expr] (или exp//N) - дает численное значение ариф-

метического выражения expr или является предикатом, если выраже-

ние expr есть логическое высказывание.

Все внутренние команды Математики начинаются с прописной

буквы, аргументы всегда заключены в квадратные скобки.

Результатом команды N[3

∧

1000] является число 3

∧

1000, записан-

ное в форме с плавающей точкой: 1.32207 · 10

477

. Результат команды

N[1998

1997

> 1997

1998

] будет False, а N[3 < 5] - True.

Команда N допускает такую запись: N[exp, m], где m - число вы-

водимых цифр выражения exp. Например, число N[3

∧

1000, 40] будет

записано в форме с плавающей точкой и содержать 40 цифр.

Команда Sqrt[9] вычисляет квадратный корень. Результат - 3.

Если введем команду Sqrt[10], то в качестве ответа получим точное

значение, именно - Sqrt[10]. Команда N[Sqrt[10], 20] дает округленное

до 20 знаков значение.

Использование в выражении числа с десятичной точкой приводит

к ответу, содержащему числа с десятичной точкой, например, 1.0 +