Москвин Б.В. Теория принятия решений
Подождите немного. Документ загружается.
221
Начальное состояние системы x(t
o
) соответствует некото-
рому взаимному положению КА в пространстве
x(t
o
) = ║r(t
o
) v(t
o
)║
т
= ║r
o
v
o
║
т
.
Конечное состояние соответствует ситуации, когда КА сблизи-
лись, тогда
x(t
f
) = ║0 0║
т
.
В этих условиях необходимо найти управление, достав-
ляющее оптимальное значение некоторому функционалу.
11.1.1. Управление КА, оптимальное по быстродействию
Оптимальное по быстродействию управление соответству-
ет сближению за минимальное время. Будем без ограничения
общности считать, что t
o
= 0, t
f
= T, тогда функционал, описы-
вающий качество управления имеет вид
1.
J =
∫
T
0
dt → min. (11.1)
2. Дифференциальные связи
x x
2 1
=
, (11.2)
u x
2
=
. (11.3)
3. Ограничения вдоль траектории
u(t) ∈ G
u
= [-U
o
,+U
o
], t ∈ (0,T]. (11.4)
4. Краевые условия
x(0) =
║r
o
v
o
║
т
,x(T) = ║ 0 0 ║
т
. (11.5)
Решение поставленной задачи на основе принципа макси-
мума Л.С. Понтрягина (см. 8.6.2) основывается на том, что опти-
мальное управление обладает тем свойством, что функция Га-
мильтона в любой момент времени достигает максимума по
управлению. Функция Гамильтона определяется в соответствии
(8.36) как
) , ( ) u,,xH(t,
2
0i
ii
т
∑
=
ϕψ=ϕψ=ψϕ=ψ
Для рассматриваемой задачи (11.1)-(11.5)
222
(t))x(t),x(t),(x (t)x
21o
= ,
где x
o
(t) характеризует значение функционала; x
o
(t) = J.
Тогда дифференциальные уравнения (11.2),(11.3) необхо-
димо дополнить уравнением вида
1 x
o
=
. (11.2′)
В этом случае вектор-функция правых частей дифферен-
циальных уравнений (11.2
'
), (11.2),(11.3) имеет вид
u
x
1
2
=ϕ . (11.6)
Дифференциальные уравнения являются линейными, сле-
довательно, их можно представить в виде
,
0
0
1
u
1
0
0
x
000
100
000
Cux
td
xd
++=+Β+Α=
тогда сопряженная система дифференциальных уравнений будет
иметь вид
,
010
000
000
td
d
т
ψ−=ψΑ−=
ψ
или
0,
o
=ψ
тогда , const
ooo
ψ
=
=
ψ
0
1
=ψ
, откуда , const
1o1
ψ=
=
ψ
,-
12
ψ=ψ
тогда t
o1o22
ψ
−
ψ
=
ψ
,
или
t
o12o
1o
oo
ψ−ψ
ψ
ψ
=ψ
В этом случае функция Гамильтона имеет вид
u t) - ( x ) u,,xH(t,
1oo22o1oo
т
ψψ+ψ+ψ=ϕψ=ψ
В соответствии с (8.45) оптимальное управление в любой
момент времени t ищется, исходя из максимизации функции Га-
мильтона
223
u t) - ( max u) t) - ( x ( max
) u,,xH(t, max ) u*,,xH(t,
1o2o
Gu
1o2o21ooo
Gu
Gu
uu
u
ψψ=ψψ+ψ+ψ=
=ψ=ψ
∈∈
∈
откуда оптимальное управление
u*(t) = U
o
sign (ψ
2o
- ψ
1o
t). (11.6)
Для того, что бы определить вид функции оптимального
управления u*(t) необходимо выяснить значения констант ψ
1o
, ψ
2o
в выражении (11.6).
Пусть в краевых условиях (11.5) r
o
> 0, v
o
> 0. Тогда при t =
0 из (11.6) следует, что знак u*(0) определяется знаком ψ
2o
. Но,
если v
o
> 0, то объекты расходятся, следовательно, при t=0 не-
обходимо давать тормозной импульс, т.е. управление u*(0) долж-
но быть меньше 0, а значит константа ψ
20
<0. Далее, из условий
трансверсальности (8.46) следует, что
ψ
о
(T) = ψ
оо
≤ 0 ; H(T,x,u*,ψ) = 0.
Или
H(T,x,u*,ψ) = ψ
оо
+ (ψ
2o
- ψ
1o
T) U
o
= 0,
откуда
0
U
U
o
oo2oo
1o
<
Τ
ψ+ψ
=ψ
.
Тогда функции ψ
2
(t) и u
*
(t) имеют вид
Чтобы полностью определить оптимальное управление не-
обходимо найти время переключения двигательной установки t
п
.
ψ
2
,u
ψ
2
(t) u(t)
U
о
t
t
п
T
-U
о
-ψ
2o
Рис.11.1.
224
Решим с этой целью уравнения состояния (11.2),(11.3) при на-
чальных условиях (11.5).
1
x
= x
2
, x
1
(0) = x
1o
= r
o
,
2
x
= u. x
2
(0) = x
2o
= v
o
.
Из второго уравнения получаем: x
2
(t) = x
2o
+ u t,
тогда из первого уравнения имеем:
2
ut
t x x (t)x
2
2o1o1
++= .
Подставим в полученные уравнения начальные условия,
тогда
2
ut
tv r (t)x
2
oo1
++= . (11.7)
tu v (t)x
o2
+
= . (11.8)
Выразим из второго уравнения время t через x
2
(t), и под-
ставим его в первое уравнение, получим
()
(
)
(
)()
u2
vtxv2tx
u
v
u
txv
rtx
2
o2o
2
2
2
o2o
o1
+−
+−+=
или
()
(
)
u2
v
r
u2
tx
tx
2
o
o
2
2
1
−+= . (11.9)
Анализируя (11.9), можно заключить, что в фазовом про-
странстве (см. 8.2.1.) траектории движения системы при различ-
ных начальных условиях и управлениях имеют вид парабол
x
2
u < 0
x
1
u > 0
Рис.11.2.
225
Для рассматриваемого случая фазовая траектория имеет
вид
x
2
x(0) = (r
o
,v
o
)
u < 0
x(T)
x
1
u > 0 x(τ
o
)
x(t
п
)
Рис.11.3.
Для вычисления момента времени переключения двига-
тельной установки t
п
рассмотрим движение системы по участ-
кам:
- участок 1: t ∈ (0 , τ
o
];
- участок 2: t ∈ (τ
o
, t
п
];
- участок 3: t ∈ (t
п
, T ].
При этом будем иметь в виду то, что t
п
= τ
o
+ τ
п
; T = t
п
+ τ
м
= τ
o
+ τ
п
+ τ
м
, где τ
o
– длительность участка 1, τ
п
- длительность участка 2,
τ
м
– длительность участка 3.
Участок 1: 0) ,(x )v,(r
o
1oo
0
τ
→ .
Так как x
2
(τ
o
) = 0, то из уравнения (11.7) с учетом того, что
u = -U
o
получаем
()
o
2
o
o
o
1o1
U2
v
rxx +==τ
. (11.10)
Из (11.8) получаем, что
o
o
o
U
v
=τ
. (11.11)
226
Участок 2: )) (t x), (t(x 0) ),((x
п2п1o1
П
τ
→τ .
В соответствии с (11.7) и с учетом того, что на этом участке
u = -U
o
() ( )
2
rU
0xtx
2
по
по1п1
−τ+τ=
или, подставляя (11.10) в последнее выражение, получим
()
2
U
U2
v
rtx
2
по
о
2
о
оп1
τ
−+=
. (11.12)
В соответствии с (11.8) и с учетом того, что u = -U
o
x
2
(t
п
) = 0 - U
o
τ
п
Участок 3: ) ))(t x),t ((x
п2п1
0 (0, →
Μ
τ
).
Движение системы на этом участке, в отличие от участков
1, 2, осуществляется при u = U
o
. Из рис. 11.2, 11.3 и выражения
(11.9) можно заключить, что траектория движения проходит по
параболе, аналогичной участку 2, но ориентированной в противо-
положную сторону. Тогда, из того, что x
2
(Т) = 0, следует, что τ
м
=
τ
п
. Будем иметь в виду данный факт. В этом случае из выражения
(11.7) и того, что u = +U
o
, получаем
τ
++=
2
U
) (t x )(t x 0
2
по
п2п1
, (11.13)
из (11.8) получаем
0 = x
2
(t
п
) + U
o
τ
п
. (11.14)
Подставляем в (11.13) выражение для x
1
(t
п
) из (11.12) и вы-
ражение для x
2
(t
п
) из (11.14). Тогда
2
U
U
2
U
U2
v
r0
2
по
2
по
2
по
о
2
о
о
τ
+τ−
τ
−+=
откуда
2
о
2
о
о
о
п
U2
v
U
r
+=τ
. (11.15)
Тогда с учетом (11.11) и (11.15)
2
о
2
о
о
о
о
о
поп
U2
v
U
r
U
v
t ++=τ+τ=
. (11.16)
В этом случае время сближения КА определяется как
227
2
о
2
о
о
о
о
о
помп
U2
v
U
r
2
U
v
2tT ++=τ+τ=τ+=
Таким образом, оптимальное управление в рассматривае-
мой задаче определяется видом функции u(t), представленной на
рис.11.1, причем t
п
определяется выражением (11.16).
Пример.
С целью проведения оперативной инспекции технического
состояния КА необходимо произвести сближение с ним за мини-
мальное время. При этом расстояние между КА равно 60 км, а
относительная скорость 40 м/сек. На КА-инспекторе установлена
двигательная установка мощностью 2 м/сек
2
. Необходимо найти
оптимальное управление.
Вид оптимального управления в данной задаче соответст-
вует управлению, представленному на рис. 11.1. Так как r
o
= 60 км
= 60 000 м > 0 и v
o
= 40 м/сек > 0, то для расчета момента време-
ни переключения двигательной установки с отрицательного им-
пульса на выдачу положительного управления можно воспользо-
ваться формулой (11.16).
8.1938.17320
42
1600
2
60000
2
40
t
п
=+=
⋅
++=
Таким образом, t
п
= 193.8 сек, при этом минимальное время
сближения равно T = 367.6 сек.
11.1.2. Оптимальное по расходу топлива управление КА
Расход топлива двигательной установки зависит от величи-
ны прикладываемого управляющего импульса и длительности
работы двигательной установки. Тогда функционал в рассматри-
ваемой задаче (11.1)-(11.5) имеет вид
min dt u(t) J
T
0
→=
∫
. (11.17)
Время Т задано, причем оно не должно быть меньше мини-
мального времени, полученного в задаче о максимальном быст-
родействии (см. 11.1.1).
Поскольку в данной задаче рассматривается та же динами-
ческая система, что и предыдущем пункте, то расширение исход-
228
ной системы и построение сопряженной динамической системы
проводится аналогично тому, как это делалось в 11.1.1.
Из условий трансверсальности (8.46) следует, что ψ
о
(Т)≤0.
Пусть ψ
о
(Т) = -1. Тогда функция Гамильтона (см.(8.43) в рассмат-
риваемой задаче будет иметь вид
. t)u - ( x u - u)x,(t, u)x,F(t, H
1o2o21o
n
1i
iio
ψψ+ψ+=ϕψ+ψ=
∑
=
Оптимальное управление u*(t), как это следует из принципа
максимума Л.С. Понтрягина, обладает тем свойством, что оно
доставляет максимум функции Гамильтона в каждый момент
времени
(
)
u)t) - ( u - max u))(t) ( u (- max arg (t)u
o12o
Gu
2
Gu
*
uu
ψψ+=ψ+=
∈∈
Откуда
(
)
(
)
()
⎩
⎨
⎧
⎜≤ψ⎜
⎜>ψ⎜ψ
=
∗
1tпри,0
1t при,tsignU
u
2
22o
Тогда оптимальное управление при r
o
>0, v
o
>0 имеет вид
ψ
2
,u
ψ
2
(t)
u(t)
+U
o
+1
0
t
1
t
2
T t
-1
-U
o
-ψ
20
Рис. 11.4.
Оптимальное управление в данной задаче характерно тем,
что на участке t∈(0,t
1
] двигательная установка работает на тор-
можение (с целью погасить начальную скорость v
o
); на участке
229
t∈(t
1
,t
2
] двигательная установка выключена, и объекты сближают-
ся с некоторой постоянной скоростью x
2
(t
1
); на участке t∈(t
2
,Т]
двигатель включается с целью гашения скорости сближения.
Фазовая траектория в этом случае имеет вид
x
2
x(0)
u<0
u>0 x
1
u=0
x(t
2
) x(t
1
)
Рис. 11.5.
Введем следующие обозначения:
τ
1
= t
1
; τ
2
= t
2
- t
1
; τ
3
= T - t
2
; x
1
= x(t
1
); x
2
= x(t
2
).
Откуда заданное время сближения определяется как
Т = τ
1
+ τ
2
+ τ
3
.
Рассмотрим движение системы по участкам, при этом бу-
дем использовать уравнения движения (11.7), (11.8)
2
tu
t x x (t)x
2
2o1o1
++=
.
t u x (t)x
2o2
+
= .
Участок 1: U- u ), x,(x )v,(r
o
1
2
1
1oo
1
=→
τ
.
2
U
- v r x
2
1o
1oo
1
1
τ
τ+=
, (11.18)
x
1
2
= v
o
- U
o
τ
1
. (11.19)
Участок 2: 0 u ),x,(x )x,(x
2
2
2
1
1
2
1
1
2
=→
τ
.
x
2
1
= x
1
1
+ x
1
2
τ
2
, (11.20)
x
2
2
= x
1
2
. (11.21)
Участок 3:
0
2
2
2
1
U u 0), (0, )x,(x
3
+=→
τ
.
230
2
U
x x0
2
3o
3
2
2
2
1
τ
+τ+=
. (11.22)
0 = x
2
2
- U
o
τ
3
. (11.23)
Подставим (11.19) в (11.21) и результат в (11.23), тогда по-
лучим
o
o
13
U
v
−τ=τ
(11.24)
Так как Т = τ
1
+ τ
2
+ τ
3
, то из (11.24) получаем
o
o
12
U
v
2 +τ−Τ=τ
. (11.25)
Подставим (11.18), (11.19) в (11.20), тогда
) U - (v
2
U
- v r x
21oo
2
1o
1oo
2
1
ττ+
τ
τ+=
. (11.26)
Подставим (11.23), (11.24), (11.25), (11.26) в (11.22), откуда
o
o
o
o
2
o
2
o
2
o
o
1
U2
Tv
U
r
U4
v
4
T
U2
v
2
T
−−−−+=τ
. (11.27)
Пример
.
Пусть в условиях примера, рассмотренного в 11.1.1, необ-
ходимо произвести сближение КА за 600 сек., минимизируя при
этом расход топлива. Итак, r
o
=60 км, v
o
=40 м/сек, U
o
=2 м/сек
2
. За-
данное время сближения (600 сек.) превышает минимальное
время, равное 367.6 сек. (см. пример в 11.1.1).
Вид оптимального по расходу топлива управления соответст-
вует управлению u(t), представленному на рис. 11.4. Произведем
расчет характеристик управления.
Участок 1. Производится гашение начальной относитель-
ной скорости КА-инспектора. Длительность участка определяется
в соответствии с формулой (11.27):
84.77
22
24000
2
60000
44
1600
4
360000
22
40
2
600
t
11
=
⋅
−−
⋅
−−
⋅
+=τ=
Через 77.84 сек. работы двигательной установки (u = -2
м/сек
2
) объекты находятся на расстоянии, определяемом соглас-
но (11.18),