Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

[Треугольники будут равны друг другу и их элементы будут равны друг

другу,

(лат.)].

Zeuthen. Historic des Mathematiques trad. par. Mascart. Paris. 1902, p.

72.

[Цейтен. История математики в Древности и в Средние века. М.-

Л.

1938.] Взгляды Платона - см. диалоги Тимей, Федон, Республика,

Федр,

Критон. Аристотель - бесполезность идей: Met. II. 2. Et. I, 4;

опровержение: Met I, 9 XIII, 4, 9 VII. 6. 13.

Brunsclrwigg. Les etapes. Liv. II. Ch. IV, p. 67 см. Zeller. Die philosophie

der Griechen, II. Teil. II Abh. Die Dialektik der Ideenlehre.

Умное место (греч.). Прим. ред.

О рационализме см. Bouillier. Historie de la philosophie cartesierme. 1814-

1816. О логике Декарта см. Ziehen, 1.1 Cap. 2. § 23. Классическое сочи-

нение по логике рационалистического направления. Арно. L'art de penser

(пор-роялевская логика). [А. Арно, П. Николь. Логика, или искусство

мыслить. М. 1991.]

Millet Dechales. Elementoram Euclidis. Libri Octo Lugundi 1675. Claude-

Fransois Millett-Dechales (1621-1678). Его же. Cursus sen Mundus

geometricus, см. Cantor III 4-6, 15.

Гильберт. Основания геометрии (есть на русском языке). [М. 1948.]

Arnaldiis. Nouveaux elements de Geometrie. Paris. 1683. - Арнольдиан-

ские учебники: Varignon. Elements des Matliematiques. Amsterdam. 1734.

Rivard. Elements de Mathematiques. Paris. 1750. Camus. Cours de

Mathematiques. 1735 и многие другие XVIII века.

Об аксиоме Арно см.: Исследования о происхождении некоторых ос-

новных идей... Часть: Аксиоматика XVII в. в наст. изд. Прим. ред.

Savilli. Praelectiones. Lib. X. p. 196.

"Плоский угол есть наклонение друг к другу двух линий, в плоскости

встречающихся друг с другом, но не расположенных по одной прямой"

(пер.

Мордухай-Болтовского). Прим. ред.

Т.е. теорема сводится

утверждению о равенстве треугольников по 3-м

сторонам, которое принято как аксиома. Прим. ред.

Savilli. Praelectiones. Lib. ГХ, p. 170, p. I.

Философско-математические идеи XVI века.

Известия Донского университета, 1919, т. 2, с. 1-48.

L: Brunschwigg. Les etapes de la philosophie mathemalique. Paris, Alcan.

1912.

- Выражение Амоса Каменского.

Cardani. Opera Omnia. 1663. De Subtilitate. Libri XXI. Basileae 1554.

Искусство изобретать (лат.). Прим. ред.

Искусство доказывать (лат.). Прим. ред.

512

С.

Waddington. Ramus, sa vie, ses ecrits et ses opinions. Paris. 1855. Так-

же:

M Владиславлев. Логика. Обозрение индуктивных и дедуктивных

приемов мышления и т.д. Спб. 1881.

В.

Виндельбанд. История философии. Спб. 1898, стр. 358.

Самый общий род (лат.). Прим. ред.

Первичное (греч.). Прим. ред.

Небытие (греч.). Прим. ред.

Универсалии (лат.). Прим. ред.

Дыхательные звуки (лат.). Прим. ред.

Интересно отметить, что в XVII веке все три типа: определение, посту-

лат и аксиома сводятся к одному: к аксиоме, тогда как в современную

эпоху ''формально-гипотетической" математики они сводятся к опре-

делению, (см. Пуанкарэ. Наука и гипотеза).

Главным моментом определения является не называние, а указание оче-

виднейшего, первейшего и известнейшего свойства объекта. Постулат

и аксиома отличаются только тем, что первое относится к построению,

второе к свойству.

Borelli. Euclides Restimtus 1679. У других авторов эти понятия совпада-

ют, и термин-постулат совершенно отпадает.

Спиноза.

ЭТИКУ.

Rami. Dialecticae Libri Duo. 1586. Waddington. Ramus. 1855, p. 364.

Выдержки из старых алгебр и подробный исторический очерк см.: L.

Mattliiessen. Gnmdzuge der Antiken mid modern Algebra. Der litteralen

Gleiclumgen. Leipzig. Teubner. 1896.

Утверждение (фр.). Прим. ред.

Боэций 470-570. Boelhii In Porphyrium. Isag I. VI, p. 86. Porpli. Isag. III.

Abelard. Dialectica liber Divisionum et Defmitonum. Remusat. Abelard,

T. I,f.439.

Комментарии Клавия помещены тоже отдельно от них же в собрании

его сочинений.

Евклидовых

"Начал"

восемь шиш Пер. Петрушевского, Спб. 1819, стр. 2.

Через род и [специфическое] различие (лат.). Прим. ред.

Petri Rami. Geometriae Libri XXVII. Basileae 1569. Sholarum

Mathematicarum Libri unus et triginta. Basileae 1569. Francfurti 1569.

Определение параллельных прямых, как прямых равноудаленных ве-

дет свое начало с Геминуса и Посидония (1 в. по P. X.)

Параллельные линии суть линии везде равноудаленные (лат.). Прим. ред.

Определение 10 1-й книги. Евклидовых

"Начал"

восемь книг. Пер. Пет-

рушевского, сгр. 2.

Подобные прямолинейнык фигуры суть те, которые имеют углы рав-

ные по порядку и стороны при равных углах пропорциональные. Пер.

с лат. Мордухай-Болтовского, М. 1950. Прим. ред.

Подобие же кругов и шаров понимается посредством соответствую-

щих многоугольников с бесконечным числом сторон (лат.). Прим. ред.

Euclidis elementoruin Libri XV... auctoc Crist. Clavio. Francfnrti. 1654

(первое издание 1574). Прим. ред.

Постулат 3 I книги "Начал": "... из всякого центра всяким радиусом

может быть описан круг" (пер. Мордухай-Болтовского). Прим. ред.

В дальнейшем существование геометр, объек. - это отсутствие проти-

воречия в определяющих его логических терминах.

Сравни Аристотеля: Est vero interrogantis, ita disputationem induere ut

respondentem cogat inaxime improbabilia dicere ex iis, quae propter thesin

sunt necessaria. Respondentis contra est ne sua culpa videatur accidere

absurdum, aut quod sit contra opinionem omnium, sed propter thesin.

Aristoteles. Topicoram Lib VIII. Cap. IV. ["Вопрошающий должен таге

вести речь, чтобы заставить отвечающего говорить самое неправдопо-

добное, необходимо вытекающее из тезиса. Отвечающий же должен

так вести речь, чтобы несообразное или противное общепринятом}'

казалось получающимся не по его вине, а из-за тезиса". Аристотель.

Топика, кн. 8

;

гл. 4. Соч. 4 Т. Т. 2, пер. Иткина М. 1978.]

Albert! Dureri. Institutionum Geometricorum Lib. Lutetiae 1532.

Клейн. О преподавании геометрии. Вестник Опытной физики и эле-

ментарной математики. № 537. 1911 год.

Чертеж, схема (лат). Прим. ред.

Точка есть то, что не имеет частей [ср. опр. 1 гаг, I "Начал" Евклида].

Линия - то, части чего суть точки. Поверхность - то, части чего суть

линии. Тело - то, части чего суть поверхности. Или иначе: точка есть

неподвижный момент, линия это движущаяся точка... также точка есть

то,

что не имеет ни одного измерения,., (лат.). Прим. ред.

Cantor. Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik В. I. 1907. § 73.

Пселл (p. 1028 г.) известный средневековый логик, сочинение которого

Eie

ТПУ.

АрихтотеХоо^Г, Xoy\%r\v...имело большое значение в средние

века. Michaelis Pselli. Compedium Mathematicum aliaque tractatus eodem

pertinens. Lugn. Bat. Exo fficine Elzeviorum. 1647. Gulielmo Xylanclro

interpretato.

Срав.

определение Анариция: угол - количество, имеющее протяже-

ние, границы которого сходятся в одной точке.

Т.е. любой отличный от треугольника многоугольник, который здесь

рассматривается гак составленный из треугольников. Прим. ред.

Т.е. любой отличный от пирамиды многоугольник, который здесь рас-

сматривается как составленный из призм. Разбиение многогранника

на пирамиды проводится аналогично триангуляции многоугольника.

Прим. ред.

Пентаэдр - призма с треугольным основанием. Всякая другая призма

может быть составлена из пентаэдров: разбиение призмы на пентаэд-

ры находится во взаимно-однозначном соответствии с триангуляцией

многоугольника, лежащего в основании призмы. Прим. ред.

Напр.

Henrici und Trellein.

В учебниках XV1T в. и XVITI в. Штурма [I. Sturmii Mathesis Iuvenalis] и

Вольфа различаются три части элементарной геометрии: евтимстрия,

или лоигиметрия, эпипедеметрия или планиметрия, и стереометрия.

См.

также: Аничков. Теоретическая и практическая геометрия. Моск-

ва.

1780.

Евющдовых

"Начал"

восемь шит. Пер. Петрушевского. Спб. 1819, стр. 30.

Т.е. если угол ZABC равен /АДС, при равных основаниях АС и

А^,, то если Е внутри ABC, то ZAEC > /АДС,.

Arnaldus. Nouveaux elemens de Geometrie.

Остроградский. Руководство к геометрии. 1855.

О линиях в круге (лат.). Прим. ред.

О сегментах круга, об опнсывании круга и тругольиика, о вписывании

треугольника (лат). Прим. ред.

Конус есть то, что содержится между конической поверхностью и ос-

нованием. Цилиндр есть то, что содержится между цилиндрической

поверхностью и противоположными основаниями (лат.). Прим. ред.

Т.е. поверхности, образуемой движением прямой линии, (лат.). Прим. ред.

Varium это кривое тело, основание которого представляет собой обвод, а

образующие - прямые [идущие] кругом от края до края по основаниям

(лат.).

Согласно данной выше классификации, gibbum - это вид тела,

однако

данном случае фактически определяется поверхность этого тела,

что и позволяет автору называть varium поверхностью. "Основания в

этом определении - это направляющие поверхности". Прим. ред.

Через род (кривое тело) и [видовое] отличие (сторона) (лат.). Прим. ред.

Цилиндр противополагается конусу, между тем как в настоящее время

цилиндр - вырождение конуса, когда вершина ушла на бесконечность.

Это точка зрения диалектической логики, встающей выше логики клас-

сов,

разбивающей неизменность видов. Цилиндр, с одной стороны, не

конус, ибо в нем прямолинейно-образующие параллельны, в то время

так в конусе не параллельны, с другой стороны, цилиндр - вид конуса,

ибо нельзя указать, когда при удалении вершины конус перестает быть

конусом.

515

Methodus admirandarum mathematicorum novem libris exhibens

universam Mathesin autore Johanno Henrico. Alstedio Herbornae

Nassovioram. 1623. Johann Heinrinh Alsted 1588-1638. Cantor. II. 719.

Kastner П1. 434-438.

Alstedi. Novum speculum Logicis minime vulgaris. 1652,

Riff.

Quaestiones Geometricae in Euclidis et R Rami

C,to\.%£i®aiv

adsumscholae Mathematicae collectae doctore Rufo. Oxoniae. 1665.

Определения образов (видов) (лат.). Прим. ред.

Исследования свойств данных величин независимо от их вида (лат.)

Эвтиметрия линий. Термин "эвтиметрия", по-видимому, происходит

от греч.

8VTO%IA

(счастье) и обозначает "хорошее" сочетание геомет-

рических обектов. Прим. ред.

В гегельянстве дихотомная система заменяется трихотомией, и прин-

ципом построения является не родовое соподчинение, а диалектичес-

кий принцип, противополагающий тезису антитез и соединяющий их

в синтезе. Точка и пространство - это первые тезис и антитезис, точка

и пространство, и их отрицание и npimiroeiute, обретается в прямой

линии, которая как количество-расстояние и кале качество-направле-

ние дает снова тезис и антитезис и т.д. (Гегель. Философия природы.)

Arnaldus. Nouveaux elemens de Geometrie. Paris. 1683.

Здесь уместно упомянуть логистическую точку зрения: линия здесь

объявляется классом точек, которым присуще определенное свойство;

наиболее существенным представлятся не отношение вида к роду, не

отношение части к целому, а соотношение между объектами, удовлет-

воряющими одной и той же системе постулатов и подвергающимся тем

же формальным операциям. См.: Ingrami. Elementi di Geometria.

Bologna. 1904. Pieri. I principia delli Geometria, и др. его сочинения.

Т.е. точек прямой. Прим. ред.

De la Caille. Lectiones elementares Mathematicae seu Elementa Algebrae

et Geometriae. 1762.

Порочный круг (лат.). Прим. ред.

Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des

Mathematiques. A Geneve. 1778.

В прошлом столетии угол имеет интересную историю, ярко отражаю-

щую "механизацию" геометрии от начала к середине столетия. От евк-

лидовского угла, как наклонения (принятого Хауффгом 1803 г., Бреве-

ром 1822 г., Паукером 1823 г., Коберлейном 1824 г., Креллем 1824 г.,

ван Свинденом 1834 г,, Ульрихом 1836 г., Рехтом 1844 и Эбенсбергером

1850) и разновидности угла, как раскрытия (ouverture) (Безу 1812, Де-

велей 1818, Махистр 1845) через бертрановское определение угла, как

неопределенного пространства мелсду двумя непараллельными прямы-

ми (Форстерланг 1847, Кнорр 1849, Бекер 1859, Турих 1868, Адам 1869,

Беер 1869, Шлегсль 1872 г.) эволюционирующая мысль составителей

учебников пришла к углу, как различию направлений (Тибо 1822 г.,

Фишер 1833, Вундер 1840, Эбенсбергер 1850, Кунце 1851, Хейдегреих

1856, Соиндорфер 1865, Зененберг 1868, Турих 1898 ), а отсюда к'от-

клонению (Abweichung) направления (Соломон 1847, Август 1852, Пер-

нет 1857, Виганд 1863, Функ 1864, Грунерт 1870, Нагель 1873, Брок-

ман 1871, Спикер 1873, и, наконец, к величине поворота (Grosse der

Drelumg) (И. Мюллер 1844, Любсен 1850, Кунце 1851, Фрезениус 1853,

Франке 1860, Сонндорф 1856 (два опред.), Хейс и Энгвейлер 1870,

Спикер 1873 (два опред.).

Интересно отметить, что в некоторых немецких учебниках имеются два

угла: угол - lineatum и угол - planum. Взаимное наклонение двух пере-

секающихся прямых называется углом (Winkel), а ограниченная ими

часть плоскости (Winkel-raum), причем равным углам отвечают рав-

ные угловые пространства и обратно.

(Крелль 1826, Форстнер 1826, Бретшиейдер 1844, Август 1852, Сте-

фенхагер 1847, Мюллер 1844 и Спикер L873).

См.

историю определений: Schotten. Inhalt und Methode des

planimetrischen Unterichts. Teubner.

Параллельные пространства играют важную роль в теории параллель-

ных Бетрана, в основе которой лежит принцип: "Каждое параллельное

пространство меньше угла."

Крелль, дополняет его еще вторым принципом: "Каждое ограничен-

ное пространство меньше угла". Интересно отсюда вытекающее до-

каз,

того, что внешний угол

треугольнике больше внутреннего с ними

не смежного.

У Мерея (Meray. Nouveaux de geometrie.) за изложением теорем и Опе-

раций, относящихся

углам, следует изложение теорем и операций, от-

носящихся к параллельным полосам.

Lacroix. Elemens de Geometric

1'usage

de l'Ecole Centraie des Quatre-

nations. Paris. 1814.

Lacroix. Essais sur 1 'enseignement en general et sur celui des Mathematiques

en particulier. Paris.

См.:

Бобынип. Элементарная Геометрия и ее деятели во второй полови-

не

XVni

века. // Журнал Министерства народного Просвещения.

Ordo Arnoldianus в учебниках:

Lamy. Elemens de Geometrie. Paris. 1685.

Sauveur (revu par !e Blond) Geometrie elemenlaire et practique. 1753.

Pvivard. Elements de Mathematiques. Paris. 1768. Заметно сильное влия-

ние Арно на сочинения.

Varignon. Elemens de Mathematiques. Amsterdam. 1734.

De la Caille. Lectiones elementares. 1762.

Camus. Coins de Mathematiques. 1755.

517

Интересно отметить, что в "Руководстве начальной Геометрии" Остро-

градского в отношении плана проводятся арнольдовские идеи. У Ост-

роградского, в противоположность Лежандру, курс не начинается с тре-

угольников, но ему очень рано приходится пользоваться теоремой о кон-

груэнтности Арно.

"Когда Вы встретите на боках двух равных углов части, соответственно

равные, необходимо допустить равенство линий, соединяющих в каж-

дом угле концы этих частей".

Также как Арно, когда с Остроградским доходим до треугольников, то

все уже оказывается готовым, так как "треугольник, говорит Остроград-

ский,

можно рассматривать, как совокупность двух наклонных и секу-

щей этих наклонных, ограничив первые и последние точками взаим-

ных пересечений".

Остается только приложить к треугольникам свойства наклонных.

Идея Арно провести теорию параллельных и перпегщикулярных до ис-

следования случаев конгруэнтности треугольников - конечно, не совер-

шенно независимо от него, нашла осуществление и в учебниках чисто

лежандровского типа, например в Геометрии Ньевеигловского.

Путь же указан Омом.

Ohm. Die reine Elementar - Mathematik... Berlin. 1826.

Этот фактор играл не меньшую роль, чем желание систематизирования.

В этом отношении интересны сочинения Дешаля, Арце и Симпсона.

Предисловие, (фр.). Прим. ред.

То же - 5-й постулат. Прим. ред.

"Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к

точкам на ней" (пер. Мордухай-Болтовского). Возможен перевод: "Пря-

мая 'линия есть та, которая равно лежит своими точками". Прим. ред.

То же акс. 9 (в изд. М. 1950). Прим. ред.

Dechales. Elemeniarum Euclidis Libri Octo... autore Claudio Franciscio

Millet Dechales...MDCLXXV.

Джордано Витале (1633-1711) выводит из равенства AC=EF= BD, что

ZC -ZD = d и отсюда, что AB и CD при условии одинаковости рас-

стояний трех точек А, Е, равно отстает друг от друга, но если для ка-

кой-либо точки G перпендикуляр к АВ .. GH > АС, то откладывая QI =

АС получаем противоречие Сгодной стороны СШ + HID меньше 2d,

ибо ZACI = Z СШ и Z BDI =Z HID представляют части прямых

углов, с другой стороны эта сумма, как сумма внешних углов прямоу-

гольных треугольников, больше 2d.

Vitale. Euclide restitute 1680.

Бонола. Теория параллельности и неевклидовы геометрии.

Энриквес. Вопросы Элементарной Математики Спб. 1913.

Euclidis restitutus a Alphonso Borellio. Romae. 1679.

При движении вдоль CD концом перпендикуляра, не лежащим на CD.

Здесь использовано первое положение Клавия: линия, все точки кото-

рой равноудалены от прямой, тоже прямая. Прим. ред.

Euclides ab omni naevo vindicatus... autore Hieronymo Saccherio.

Mediolani MDCCXXX1II см.: Enget und Stackel. Die Theorie der

Paralieiinien. Leipzig. 1895.

Каган. Основания Геометрии. Исторический очерк. Одесса 1907 г.

Pascal. Oeuvres. Hachette. Paris. 1872. 1613-182. Cantor. Vorlesungen.

Leipzig. 1900. s. 681-682.

Евклидовых "Начал" восемь книг, пер. Петрушевского. Спб., 1819,

стр.

108.

"Начала" Евклида с толк., пер. М. Ващенко-Захарченко. Киев, стр. 146.

Friedlein. Procli Diadochi in primum Euclidi elementorum librum

commenlarii. Leipzig, 1873.

Les quinze livres des elements geometriques d'Euclide Megarien Traduits

devrecen Francaispar. P. Le~Mardele, Paris. 1632.

В учебнике вольфианского типа: "Ежели прямые линии и углы закры-

ваются взаимно друг друга, то они равны между собой, ежели равны,

то друг друга взаимно закрывают". Аничков. Теорет. и Практ. Геомет-

рии Спб. 1780.

Arzet. Clavis Mathemalica...MDCXXXIV.

У Кардана (Opus novum de proporionibis. Opera IV. 542-546) имеется

доказательство, что угол (смешанный) между двумя пересекиощимися

равными кругами равен углу между равными хордами этих уголов (на

основании положения, что углы сегментов с равными хордами равны).

Aristotelis. Analytica Priora Lib. I Cap. XXIII (no Didot).

Исследования о происхождении некоторых основных

идей современной математики.

Известия Северо-Кавказского ун-та, 1928, т.З, с. 35-129.

Методическая сторона настоящей темы более развита в моей работе:

Риторическая алгебра н арифметические задачи. "Педагогическая

мысль". Ростов-на-Дону. 1918.

Примитивное решение должно было выступать в периоды упадка ма-

тематики. Вне сомнений, путем проб решились и задачи Алкуина.

Regula falsi при решении некоторых задач:

August Eiseulohr. "Ein. mathem. Handbuch der Alten Aegypter." Leipzig.

1877. Бобынии. "Древнеегипетская математика

эпоху владычества Гик-

сов".

Журнал Мин. Нар. Проев, за 1909 г., №

10,11.

(Regula falsi применяется в исчислении х а у: главы XI, XII, XIII.)

Фальшивое правило у индусов ishla karman. Как отмечает Кантор, егип-

тяне пользовались этим правилом инстинктивно, а индусы вполне со-

519

знателыю. Cantor. "Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik." Bd. I,

s. 371.

Khelasat al I-Iisab ou Essence de Calcul de Beha-Eddin. Nouvelles Annales,

Т. V. 1846.

Regula falsi, называемое также правилом уменьшения и увеличения,

находится у Авраама бен Эзра (ИЗО), Иби Альбани (1222), Алказади

(1480).

О них смотри: Libri. Histoire des sciences math. Т. I, p. 304-312.

Сочинение Альбани переведено на французский язык: Talkys dylbn

Albani publ. et traduit par Aristide Mare. Rome. 1865. p. 26-27. О Еэг-

Эддинесм. Nesselman. Behe-Eddins der Rechenkunst. Berlin. 1843.

Магницкий. Арифметика.

Albert Girard. Invention nouvelle en l'Algebre. Amsterdam. 1629.

Эта форма regula falsi называется иными prope veri, см.: Эйлера. -

Theoria planetonun et commetarum, также Ньютона: De mundi systema

in fine Princip. L. 3. 41.

Matthiessen. rundzuge der Antiken und Modern Algebra der Lit.

Gleichungen. Leipzig. 1878,

Издание Диофанта: Guil. Xilander: Diophanti Alexandrini rerum

aritluneticarum - libri sex. Изд. Bachet. 1760 с примечаниями Фермата

о Диофанте. Cantor. Vorlesungen. В. I, s. 433. [См. также: Диофант.

Арифметика и книга о многоугольных числах. Пер. Веселовского. М.

1974.]

Ehrenfriedt Walter von Tschimhausen (1651-1708),

Cantor. Vorlesungen. В. Ill, s. Ill, см. его переписку с Лейбницем. Leibniz.

Opera. IV, s. 423-500.)

Аристотель (384-322 до н. э,). О нем. см.: Историю философии. Zeller'a,

Windelbandt'a

др.

Aristotelis. Opera omnia graece et latine. Parisiis. Didot,

1.1. De praedicamentis. [Или рус. пер.: Аристотель. Соч. в 4-х томах. Т;

М. 1978.]

(Categoriae) Cap IV. Об Аристотеле работы: Biese, Phlosophie der

Aristoteles. Berlin, 1877 и др. Библиограф, см.: Ziehen. Lehrbuch der

Logik; о его значении для истории математики: Cantor. Vorlesungen. В.

s. 238.

Cap.

VI, [5bll,

ба19].

Следует отличать то яосгао - quantum от тосютпс. - quantitas.

Categ. VI, 6a26. По-видимому, автор имеет в виду огшозицию 5ova,u.ii;

svspysux (обычный перевод: "возможность - действительность"), ко-

торая обсуждается Аристотелем в Met. VIII, хотя и ие применительно к

"равному" и "неравному". Прим. ред.

Arist. Met. lib. VIII.

О схоластике: Heaureau. De la philosophie Scolastique, p. I, II. Paris.,

Rousselot. Etude sur la philosophie de moyen age.

Подробное изложение средневековых философских систем: Ticdemann.

Geist der speculative!! Philosophie. В. IV. Marburg. 1793.

О Дунсе Скотте (1274-1308) и скоттистах см.: Pluzanski. Essai sur la

philosophie de D. Scott. Paris. 1887. Изложение его системы: Boyvin.

Philosophia scotica. 41. Paris. 1668. Abergoni. Resoiutio doctrinae Scoticae.

Lyon. 1643.

Фома Аквинский (1227-1274).

Его сочин.: Sancti Tliomae Aqunatiis doc. angelici. Opera omnia jussu

Leonis ХП1. Romae 1884. Изложение его системы: Guerinois Clypeus

ThomisticaePhilosophiae. Venetii. Также учебники; Piny, Reichl, Sclmell.

Rabes и многие другие.

Рационалисты: Декарт (1596-1650), Арно (1612-1694), Гейлинкс (1625—

1669),

Мальбранш (1638-1715). См.: Ziehen. Т. 1. kap.2, s.26-29. Тща-

тельный и тонкий анализ рационалистической мысли в iorare Е. Н.

Спекторского: Проблема социальной физики в XVII веке. Варшава.

1910.

S. Thom. Aq. 4 Contra gent. С. 65. Summa Theologiae. I p. q. 14 ar. 12.

Opusc.76. q. 5, art. 3. Opusc. 48 art. 12. Того же мнения и Суарец,

Kepleri. Nova Stereometria dolorum. Opera omnia IV, p.p. 537-538.

Cavalieri. Geometria indivisiiibus contin. nova quodam metliode promota

Bononiae. (1635, 1653).

Formaliter ex natura rei, см.: Boyvin. Prantl, Geschichte der Logik.

О пространственном мышлении античной математики см.: Шпенглер.

Закат Европы. 1923, гл. I. О смысле числа.

"Начала" Евклида. Опр. 2, кн. 1,[Пер. Мордухай-Болтовского. М.

950]

Критику евклидова определения мысли с точки зрения требований,

предъявляемых аналитиками к определению - см.: Arist. Topic. Lib.

VI,

cap. VI. 5.

Опр.

5 кн. 1 "Начал" Евклида. Прим. ред.

Опр.

1 кн. 11 "Начал" Евклида. Прим. ред.

Подробный разбор см.: Guerinois Clipeus. Q. Ill, art. 3.

Scotus Soncinas (Quacstiones Melaphyscae acutissimae. 1622), Capreollus

и др. ссылаются на Arist. 5 Met.

Soncinas. Met. Lib. V. Q. XXI.

Albertus Magnus (1193-1280). Opera ed. Pet. lammy. Lyon 1653, vol 21.

Определение Архимедом площади сегмента параболы.[См.: Архимед.

Квадратура параболы. Соч. М. 1962.]

Archimedis. Opera (ed. Heiberg) I s. 288. см. также Cantor. Vorlesungen

uber Geschichte der Mathematik. Leipzig. 1894. B. s.

О месте (Locus) см.: Aristotelis. Naturales Ausculationes. Lib. IV. Cap. I,

II,

Ш. [Phys. IV. см. Аристотель соч. в 4-х томах. Т. 3. М. 1981.]

Arist. Categ. Cap. VI. 5а15-36.

521