Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

ПРИМЕЧАНИЯ

Биографический очерк

Об истории рода Мордухай-Болтовских см: Amvuaire de la Noblesse de

Russie. StPetersbourg. 1900. Прим. ред.

М.Г.Хапланов, Э. Д.Болтовская. Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Бол-

товской - рукопись, хранящаяся у Э.Д. Болтовской. Прим. ред.

См. об этом: И. Гегузин. Студенческие годы Александра Солженицына

// Студенческий Меридиан, 1990, №7, стр.24. Прим. ред.

Четыре лекции по философии математики

Прочитаны на курсах для преподавателей средней школы летом 1912

г. Варшава, 1913 [2], IV, 78 с. с илл.

Введение

Конспект лекций, прочитанных для школьных преподавателей мате-

матики Варшавского учебного округа летом 1912 г. Прим. ред.

Кому принадлежат эти инициалы, установить не удалось. Прим. ред.

См.: Лекцию 2. Прим. ред.

Лекция I

См.: например: Л.С Атанасян. В.Г. Базылев. Геометрия. М. 1986. Прим.

ред.

Точнее говоря, принять отрицание этой аксиомы - оговорка автора.

Прим. ред.

Лекция II

В более привычной записи: p&q

р. Прим. ред.

Лекция IV

. Arisl.Plrys. 207а. Прим. ред.

В том смысле, что определяемые числа суть корни этого уравнения.

Прим. ред.

Психология математического мышления.

Вопросы философии и психологии. 1908. 19. Кн. 4 (94). С. 491-534.

482

Рибо (Ribot). Sur ^imagination creatrice, p. 205,

Шопенгауэр. Мир как воля и представление. Т. П. Гл. XLIII.

Кант. Антропология. §54.

Кант. Антропологая.1. §42.

Физиологическая психология. Т. II. Гл. XVIII.

* Essai sur l'imagination creatrice, ch. IV, p. 199.

Физиологическая психология. Т. II. Гл. XVIII.

Сравнение Рибо памяти с кладовой, где в отдельных ящиках сохраня-

ются все наши сведения, не подходит к элементарной памяти. Для

объектов последней не существует ящиков. Эта память скорее похожа

на перевалочную станцию, где товар перегружается с одного поезда на

другой, чтобы тотчас оставить эту станцию.

Рибо. Память в ее нормальном и болезненном состоянии. Стр. 55.

Вслепую - (фр.). Прим. ред,

Binet. Memoir visuelle geometrique. Revue Philosophique, 1893, № 1.

Гипотеза и наука. В книге: А. Пуанкаре. О науке. М. 1983. Прим. ред.

Случай и бессознательное.

Вопросы философии н психологин, 1912, кн. I (Ш). С. 97-117.

Ф.М. Достоевский. Игрок. Собрание сочинений в 10-ти томах. Т, 4.

М. 1956. Прим. ред.

Психология. С. 83.

A. Binet. Les alterations de la personalite. 1892.

Binet, p. 275.

Binet, p. 81.

Binet, p. 93.

Вундт. Физиологическая психология.

Рибо. "Болезни личности". СпБ. стр. 66,77.

'' Персонаж рассказа И.Ф. Горбунова (1831-95) "На почтовой станции".

См.

ПСС. Спб. 1904. Т. 1. Прим. ред.

Binet, р. 319.

" Ф.М. Достоевский. Идиот, С, С. в 10-ти томах. Т. 6. М. 1956. Прим. ред.

0 законе непрерывности.

Вопросы философии п психологии. 1907. Кн. 87 (2). С. 168-184.

То же: М. 1907.19 с.

Природа не делает скачков - (лат.). Прим. ред.

Лейбниц. Соч. 4 т. Т. 2. М. 1983. Новые опыты о человеческом разуме-

нии.

Кн. 4, гл. 16, §12. Прим. ред,

483

Oeuvres de Leibniz. Nouveaux Essais sur l'entendement lmmain. Livre

IV. Chap. XVI. §12. Лейбниц, цит. соч., кн.4 гл. 16, §12.

Н. В. Бугаев. Математика и научно-философское миросозерцание. //

Вопросы Философии и Психологии, 1898 г. Книга V (45). С. 697.

Cursus der Philosophic. Leipzig. 1875. S. 93-94

* Так называет Некрасов то направление, основанное на идеях Бугаева,

к которому прииадлелшт Бугаев, Некрасов, Алексеев и другие мысли-

тели математики. См.: СМ. Половинин. Московская философско-ма-

тематическая школа // Общественные науки в СССР. Сер. 3. филосо-

фия.

1992 г. № 2. Прим. ред.

В.Г. Алексеев. Математика, как основание критики научно-философс-

кого мировоззрения. Юрьев. 1903 г.. С.25.

Н.В. Бугаев. Математика и научно-философское миросозерцание. //

Вопросы Философии и Психологии, 1898 г., книга V(45).

Cursus der Philosophic. Leipzig. 1875. S. 92-93.

П.А. Некрасов, Московская-философская мат. школа. С. 59.

Ломброзо и Лиски. Политическая преступность и революция. Ч. I, гл. I.

Delboeuf.

Elements de psychophisique, p. 148.

Ненатуральное и апагогическое доказательство в

прошедшем и будущем.

Математическое образование, 1929, № 1, с. 19-34.

Отметим основную проблему определения права, различно решаемую

Кантом, Иерингом и др. См.: Шершеневич. Определение понятия пра-

ва.

Казань. 1896. Коркунов. Лекции по общей теории права. Спб. 1897.

Не будем упоминать о классиках схоластики и работах по средневеко-

вой философии. Отметим любопытную книгу по популярной схолас-

тике, где можно найти все основные схоластические вопросы: Knithel.

Arisloteles curiosus. Praga.1682. Fylkowski. Philosophia curiosa. 1680.

О значении схоластики в истории математики я говорю в работах: "Фи-

лософско-математические идеи XVI века.", "Генезис современного чис-

ла.",

"Аксиоматика XVII в.", "Генезис и история теории пределов."

См.:

нас. изд.

Рамус 1515-1572. Waddiuglon. Ramus, sa vie, ses ecrils et ses opinions.

Paris,

1855. G. Wierkert. Encyclopadie des Petms Ramus. Leipzig, 1848.

Ziehen, §. 23. Моя работа: "Философско-математические идеи XVI

века."

Renati Descartis. Principia philosophiae. Amstelodami, 1677, и другие

работы. Куно Фишер. Т. 1. О логике Декарта. Ziehen. LehbruchderLogik.

Berlin. Т. I. Cap. 2, §. 23. Там же о Bouse, §. 32.

484

Haureau. De la philosophic scolastique. Paris. 1850. Работы Werner,

Rousselot

Aristoteles. Opera omnia graece et latine.

Об определениях Аристотеля: Analyt, pr. 11, с, 3.

Об аристотелевском методе: Eiken. Die Methode der aristotelischen

Forschung. Berlin. 1872. Gottini. Aristotele e il metodo scientifico. Pisa,

1873.

См. также: Franz Biese, Aristoteles Philosophic Berlin. 1835-1842.

Cousin. DelaMethaphysiqued'Aristotcl. Paris, 1838. О логике Аристоте-

ля:

см. Ziehen. Lehbmch der Logik. Berlin, 1920. Teil 1, §. 9.

О схоластическом методе: Carl Prantl. Geschichte der Logik im

Abendlande. Leipzig, Bd. 1,1855. Bd. 2, 1863. Bd. 3, 1867. Bd. 4,1870.

Ziehen. 1 Teil.

О различных смыслах субстанции. Met. V. 8.

О принципе, Met. V, 1.

Met. 1059в34 - 1060al. Прим. ред.

Интересно отметить, что древние при решении проблемы не ставили

вопроса о единственности решения, а находят какое-либо решение,

вполне удовлетворяясь им. См.: напр.," Арифметику Диофанта". Впер-

вые проблема о единственности решения ставится схоластикой в чисто

теологической сфере. См.: S. Anselmi. Prologium... Monoiogium...

Migne. Patrologia. Т. 158. Анссльм. 1033-1109.

О подобии - Аристотель. Met. V. 9.

О платоновских идеях см. его диалоги: Федон, Теэтет, Софист, Кратил,

Филеб, Меной, Федр и т.д. Аристотель против идей Платона. Analyt.

Post, lib. 1, 2, 19. Met., lib. VII, с. .14, 15; X. с.

LO;

XI, 4, 5, 11, 12; XIII,

XIV, 3.

О субстанциях. Met. V. 8. Взгляды Аристотеля на определение см. Anal.

Post. Lib. I. 13,

Характеристика античной мысли: Шпенглер. Закат Европы.

Petri Rami. Geometriae. Libri XXVII. Basileae. 1560. Scholarum.

Mathematicarum Libri unus el Iriginla Basileae, 1569. Fracfurli. 1569

О Рамусе см. мою работу: "Философско-математические идеи XVI века."

Гильберт. Основания геометрии. Русск. пер. Спб. 1923.

Об определениях: Bonnel. Essai sur les definitions geometriques. 1870.

Liard. Des definitions geometriques e des definitions empiriques. Paris.

Alcan. 1888. Историю и вместе с тем методическое значение определе-

ний можно найти в прекрасной книге: Schotteu. Inhalt und Methode des

Planimetrischen Unterrichts, 1870.

Определение знания у Аристотеля. Anal. Post. I, 9. II, 12, 13,

Met. 1005b20. Сравните критику Канта в "Критике чистого разума".

Уч.

эл. I отд., 2 гл., 1 сек. Прим. ред.

485

Возражения антиматематиков собраны в книге: Hugonis Simplicii

Crasgbartaci Scoti. E. Soc. Iesu. cleMathematicis disciplinis libri duodecim.

Antv. 1635.

Simplicius - латинизированное Hugo Simple, 1594-1654. См.: Cantor.

Geschichte d. Mathematik.

См.:

Спиноза. Этика.

Walisi. Malhesis universalis, cap. III. De demonstrationibus mathematicis.

Впервые различие доказательств: тш cm, тш Sioti (quia et quare) у Ал-

фараби (ум. в 950). См. Baur. Beitrage z. Geschichte derPhilosophia des

Mittelalters. Bd. 4.1-I. 23. Minister 1903. Другая библиография у Ziehen.

Lehrbuch der Logik. Bonn. 1920. Т. I. Cap. 2, § 19, таюке Ziehen, Т. IV, §

135,

S. 805. [Это различие восходит к Аристотелю. См. An. Post, кн.1,

гл.

13.J Прим. ред.

L'art de penser. p.

3 92

(это так называемая Пор-роялевская логика Арно

иНиколя) Pierre Nicole, 1625-1695, Anloine Arnauld, 1612-1694. [В

русском переводе: А. Арно и П.Николь. Логика или искусство мыс-

лить. М. 1991] Требования пор-роялевской логики Арно старается осу-

ществить в своем "Nouveaux elements de Geometrie". Paris, 1683.

F E

Прим. ред.

Евклид доказывает теорему Пифагора (для треугольника ABC), дока-

зывая равенство треугольников DАС и BAF, откуда следует равновели-

кость квадрата на катете АВ и прямоугольника AGFE, являющегося ча-

стью квадрата на гипотенузе АС. Аналогично доказывается, что остав-

шаяся часть квадрата на гипотенузе равна квадрату на другом катете.

Legendre. Elements de Geometrie.

a! b'

a _ a' +

b _ a' +b'

= a'

+ a'b'; b

= b'

+ a'b'

+ b

= a'

+ b'

+ 2a'b' = (a' +

b')

= c

Прим. ред.

О софистах: "Диалоги" Платона: Софист, Протагор. Xenophonti.

Memorabilia. Soc. XVJ.-II, 2. Sextus Empiricus. Adversus Logicos. Lb.

VII. А. Гиляров. Греческие софисты. Москва, 1888. И. Ягодинский.

Софист, Протагор. Казань, 1916. См. мою работу: "Об апагогических

доказательствах".

Евклидовых

"Начал"

восемь книг. Пер. Петрушевского. Спб. 1819. "На-

чала" Евклида. Пер. Ващенко-Захарченко. [См. также пер.: Морду-

хай-Болтовского. М.

1950.

Elem. Euclidis ed. Heiberg. IX, 12. Sacceri. Euclides ab omni naevo

vindicatus. Milan. 1739. Vailati. Suruneclasseremarquablederaisoimements

par reduction a 1'absurde. Revue deMetaphysique.1901, p. 799.

Aristotelis. Analytica Post. Lib. I, cap. 26. Интересно отметить, что Спи-

ноза не может обойтись без апагогических доказательств. См.: его "Эти-

ку", 1 часть, т. V, 8, 11 и 14.

В особенности интересно выпрямление Озанамом XI теоремы книги

III "Начал: "Если круг ABC касается круга АГКМ внутри этого после-

днего, то прямая, соединяющая их центры, проходит через точку их

касания". Ozanam. Cours de Mathematiques. Paris, 1720. Sect. XI.

Kepler. Nova stereometria doliorum, 1615. Opera omnia. IV, pp. 537-

538.

Эмбрион еще до Кеплерау Stiffel. Arithmetica integra Nova. 1544.

Appendex libri secundi. О методе неделимых, Brunschwigg. Les etapes.

Lib.

Ill, ch. IX, p. 160. Ziehen. Geschichte der Math, in XVI und XVII

Jahrh. Leipzig. 1903, S. 121. Bon Cavalieri. Geometria indivis. cont.

nova quidem ratione promota, Bononiae. 1635, 1653. Exercitationes. Bon.

1643.

Метод неделимых проходит через три ступени: Roberval,

Gregorius. Vencentio и Taquet. Cantor II, 392. Против апагогических

доказательств - Рамус (1515-1572).

487

зл

P. Rami. Proemium Mathemalicum. 1507. p. 428-429.

Sawilii. Lectioacs.

История полной математической индукции: Francisko Maurolico.

Arithmeticae, Libri duo. 1557. Ven. 1577. Jacob Bernoulli. Ars consectandi,

изд.

1713. Opera I, 282-283. Pascal. Oeuvres. Paris. 1908. Т. Ill, p. 456.

Cantor. Vorlesimgen. B. Ill, S. 34.1. G. Vacca. Sur leprinciped'induction

math. Revue de Meth. 1911, p. 30.

Возведение принципа полной математической индукции в определе-

ние - см.: Кутюра. Принципы математики.

О сверхлогичности полной математической индукции: Менделеев. Ме-

тод математики.

Пуанкарэ. Гипотеза и наука. [В книге: А. Пуанкаре. О науке. М. 1983. |

» Anal. Poster. Lib. I, С. XIX, XXI, XXII, XXIII.

Более подробно: Лобачевский и основные логические проблемы в ма-

тематике. [См.: наст, изд.]

" Первый опыт построения математической системы без аксиомы ис-

ключенного третьего. Brouwer. Begrandung derMengelehre unabhangig

von logischen Satzvon Abgeschlossenen, dritterTlieil.

См.

МОИ

работы: Sur les syllogismes en logique et hypersyllogismes en

Melalogique. Прот. О-ва ест, при С.-Кав. гос. yimBepcuTeTeMetalogique,

Metaalgebre, Прот. О-ва ест. при С.-Кав. гос. университете за 1928 г.

До меня понятие металогики было обработано, но только с философс-

кой,

а не математической стороны, проф. И. Васильевым. (Журнал

министерства народного просвещения, 1905).

Метаалгебра.

Ученые записки Научно-исследовательского института математики

и фнзикн при Ростовском ун-те, 1937, т. 1, с. 21-25.

Аксиома III, Гильберта (Основания геометрии. М. 1948)

Пусть АВ и ВС - два отрезка на прямой а без общих точек, пусть А'В' и

В'С - два отрезка на другой прямой а' тоже без общих точек.

Если при этом АВ = А'В' и ВС = В'С, то всегда также АС = А'С.

1 j 1

Л ВС

Л'

В' с

О числовой характеристике утверждаемого

тождества.

Известия Донского увнверснтета, 1925, т. 7, с. 40-43.

488

Лобачевский и основные логические

проблемы в математике.

Известия Северо-Кавказского университета, 1927, т.1(12), е.78-95.

Речь, прочитанная на торжественном заседании в память столетия

открытия неевклидовой геометрии.

Вундт

следующих словах формулирует закон гетерогонии целей; "Воля

всегда проявляется так, что результаты постоянно более или менее

выходят за пределы первых мотивов воли". Вундт. Этика. Рус. пер. Отд.

I, гл. IV, стр. 282.

Такова, например, совершенно не обоснованная вера в то, что всякое

уравнение разрешается в радикалах. Такова необоснованная вера в то.

что все интегралы, даже • , приводятся к интегралам

рациональных функций н выражаются в конечном виде (см.: Lettre XIII

d'Euler a Goldbach). Такова вообще вера в то, что решение проблемы в

частном случае при введении некоторых ограничительных условий Q

способствует решению проблемы в общем случае. Вместо проблемы Р

решается

(РП),

где Q подбирается так, что не поддающаяся в общем

случае решению задача решается при этом ограничении.

Весь метод обычно зиждется на этом ограничительном условии. Если

снять его, то разрушится и вся постройка. Вообще решение проблемы

при офашг-штелыюм условии П ничего не дает для решения общей

проблемы, ибо метод для решения Р при предположешга, что Q не имеет

места, будет тот

лее,

что в общем случае, т.е. при П и без Q безразлично.

Построение корня уравнения х

= а (решение Делийской проблемы)

сперва вовсе не являлось задачей более простои, чем решение уравнения

+ах = b и арабские математики не находили оснований сводить вторую

задач}'

к первой. Задача о построении корня уравнений 3-й степени с

помощью циркуля и линейки с развитием арабской алгебры должна была

превратиться в задачу о нахождении иррациональиостей по X книге

"Начал" Евклида, удовлетворявших этому уравнению, а. в дальнейшем,

когда алгебра расширила сферу радикальных выражений, - о

разрешении уравнений 3-й степени с помощью радикалов 2-й степени.

Тщетные попытки решения этой проблемы привели к сомнению в воз-

можности ее решения, которое вероятно было и у арабов, превративше-

еся в уверенность после доказательств невозможности решения урав-

нения 3-й степени с помощью иррациональиостей Евклида.

Естественно, путь дальнейшей эволюции проблемы - замена области

иррациональностей Евклида областью иррациональностей более общего

489

характера, зависящих от радикалов высших степеней, т.е. принятия

лГ'т/

за

элементы построения.

Таким образом была поставлена задача о решении в радикалах куби-

ческого уравнения, которое вскоре и было решено в этом смысле Тар-

таглия и Карданом. Затем вскоре такая же задача была решена Ферари

для уравнения 4-й степени.

Этическая проблема подвергается метаморфозе.

Вывод моральных норм из эгоистических интересов, из единственного

стремления организма к самосохранению (Suuin esse conservare), ко-

нечно, Спинозой ("Этика") понимается совершенно иначе, чем дарви-

нистами второй половины XIX столетия. Мы имеем сперва логический

вывод всей системы альтруистической морали из эгоистических пред-

посылок, здесь нет ни слова о том, каким образом возникла альтруис-

тическая мораль.

У сенсуалистов XVII века исследование генезиса морали является толь-

ко средством для эгоистического ее обоснования. Любимая их мысль,

что всякий альтруистический поступок - это эгоизм, скрытый под мас-

кой,

созданной культурой, что на более низких ступенях культуры, при-

ближающих к естественному состоянию, - маски уже нет.

Гельвеций отстаивает тождество блага и полезного. Честь - это при-

вычка к поступкам, полезным для общества. Отсюда заключение, что

моралист и законодатель прежде всего должны аппелировать к пользе

индивидуума.

Гельвеций прежде всего моралист, ои пытается обосновать этические

нормы на эгоизме и, верный характеру того времени, обращается

"ме-

тоде происхождения", старающейся подойти к естественному состоя-

нию.

Но в дальнейшем генетическая этика является уясе самоцелью.

Мы имеем уже ие вывод альтруистических норм из эгоизма, а объясне-

ние их происхождения нз эгоизма дикого человека.

Особенно резко различие в понимании эгоистического этического мо-

низма выступает при спенсеровской точке зрения, заменяющей инди-

видуальный сенсуализм видовым.

Те явления радиоактивности, которые обещают решение экономической

проблемы алхимии, подводят не

решению алхимической проблемы, а к

доказательству ее певозлюжности. Эту проблему постигает совершенно

та же участь, что и другие проклятые щюблемы, на которые человек веками

тратил силы. Превращение в золото металла с меньшим атомным весом

потребует такой энергии, которую нельзя купить на получаемую ценность,

превращенный лее в золото элемент с большим атомным весом потребует

неблагородный металл в количестве, стоющем дороже, чем получаемый

продукт.

490

Одним словом, химик окажется

таком лее положении, что Муассои при

добывании алмаза из нагретого до 3000° сплава железа и угля.. При зат-

рате тока в 31500 вольт, получались крошечные кристаллики алмаза.

Но Содди замечает, что ценность полученной таким образом материи

будет ничтожна в сравнении с теми неимоверными количествами энер-

гии,

которые будут выделяться при этом процессе. Энергия элементов

вещества, освобожденная от заколдованного сна, в который он погру-

жен природой, заняла бы вскоре первое место в народном хозяйстве.

В сравнении с ее громадным значением золото явилось бы только по-

бочным продуктом разложения.

Таким образом, вместо алхимической проблемы, мы решаем другую,

тоже экономическую проблему.

' Основание привилегированности механики чисто психологическое, так

как именно механические явления имеют наибольшее значение в

обыденной жизни при невысокой культуре, вследствие чего механика и

развивается раньше других отделов физики, занимаясь сведением более

сложных механических явлений к более простым.

Современный же химический атом представляется системой электро-

нов,

частиц, несущих положительные и отрицательные заряды и явля-

ющихся последними неделимыми. Положительный электрон уподоб-

ляется солнцу, окруженному планетами - отрицательными электрона-

ми,

находящимися в движении, но образующими вообще неустойчивые

системы, подвергающиеся распадению.

* Было бы глубочайшим заблуждением полагать, что задача вообще

неразрешимая об интегрировании в конечном виде с помощью

элементарных трансцендентных или в квадратурах эволюционировала

в задачу вообще разрешимую. Нет никакого основания считать, что

всякая особенная точка характеризуется формой вроде тех, которые

даются Брио

Бую и Фуксом, Томэ

другими, т.е. формой, построенной

с помощью конечного числа символов элементарных трансцендентных

и операцией, выражающей алгеброидальное разложение.

* Очень яркую картину гетерогонии дает история педагогики. Цель

воспитания для спасения индивидуальной души эволюциоштрует в

воспитание человечества для встречи второго пришествия. В эпоху

Возрождения для воспитания этого трансцендентального идеала

представляется необходимым власть над враждебными силами гфироды.

Отсюда утилитаризм пансофии Каменского, сводящийся к собиранию

знаний. Знания затем обращаются в самоцель. Но осознание некрепостн

пассивного приобретения знаний приводит к упражнению, как средству.

Последнее обращается в цель, - воспитание определенных способностей,

когда Песталоцци выдвигает формально-воспитательный принцип в

тфотивовес материальному.

491