Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

Аксиома или 5-й постулат "Начал" Евклида эквивалентен утвержде-

нию о единственности прямой, параллельной данной и проходящей че-

рез данную точку. Геометрия Лобачевского получается из евклидовой

при замене этой аксиомы (постулата) на ее (его) отрицание.

Геометрия Рамуса представляет не что иное, как комментарии к

"Началам" Евклида, но не соединенные с их переводом (как, например,

комментарии его современншса Клавия), а изданные отдельно.

Для Рамуса и рамистов самым важным в геометрии является определе-

ние, а за ним уже теоремы.

Главный недостаток Евклида, по Рамусу, в том, что он идет от частно-

го к общему, вместо того, чтобы идти от общего к частному.

Параллелизм прямых Рамус подводит под общее понятие параллель-

ных линий (как прямых, так и кривых). Параллельными являются не

только прямые, но и две концентрические окружности. Характерным

признаком, определяющим параллельность, является равно удаленность.

См.

мое сочинение: "Филосо(|)Ско-Математические идеи XVI

века"

[наст,

изд.].

О Рамусе:

С.

Waddington: Ramus, sa vie, ses ecrits et ses opinions. Paris.

855.

Сочинения Рамуса:

Dialecticae Libri Duo. 1586. Geometriae Libri XXVII. Basilae, 1569.

Scholarum Mathematicarum Libri novem et triginta. Basileae. 1569.

Francfurti. 1569.

Сочинения рамистов: Methodus admirandarum mathematicarum novem

libris etc. autore loahaimo Henrico Alstedio. Herbornae. 1623. Об Алште-

де:

Cantor II ч., 19. Kastner. Ш. 434-438. Riff Quaestiones. Geometriae

Oxoniae 1665. Рамическая тригонометрия: Funkii. 1584. Алгебра

Salignaci. Рамическая диалектика: Caesari. 1552, Hunneae, Tousacae,

Ursini.

Анализ определения параллельных, как прямых равноотстоящих,

приводит Клавия к сознанию необходимости оправдания этого

определения.

Следует убедиться, что линия, все точки которой равноудалены от пря-

мой,

также прямая. И в этом состоит первое положение теории парал-

лельных Клавия. Но при этом положении нет в собственном смысле

доказательства, а только пояснение; имеющее целью повысить сте-

пень очевидности этого не вполне очевидного положения. Все сводится

к ссылке на то, что линия с равноотстоящими от данной прямой точка-

ми должна обладать однородностью, равно лежать всеми своими точ-

ками, причем делается попытка пустить в ход определение 4-е первой

книги "Начал" Евклида, остающееся у самого Евклида неиспользован-

ным.

Дальнейший путь через теорему: если к прямой восстановить два

перпендикуляра и соединить концы равных отрезков прямой, то эта

прямая будет перпендикулярна к обоим перпендикулярам. Но через сто

лет после Клавия вид этой

главы

геометрии совершенно меняется. Центр

тяжести переносится с определения на аксиому.

Уже не ищется определение истинное, удовлетворяющее требованиям

логики, но берется такое, из которого можно было бы дойти до цели,

проходя через наиболее очевидные аксиомы, вовсе не выставляя требо-

вания совершенного минимума, чуждого XVII веку.

У Борелли параллельные прямые, а не линии вообще, определяются

как перпендикулярные к одной и той же прямой.

(Clavius. Crist. Euclides elementorum libri XV Opera t I. Mains. 1590.

Boreli. Euclides restitutus. Pisa. 1658.)

Аксиоматика Херигона (Herigonus Cursus Matfieuiaticus. Paris. 1634.) -

это коллекция очевидных истин, причем автор уверен в ее полноте.

Его совершенно ие интересует вопрос; зависимы или не зависимы эти

истины...

Против требования минимума говорит правило Паскаля: "Не следует

ничего доказывать, что так очевидно, что не нуждается в каком-

либо более ясном средстве доказательства". Pascal. Oeuvres. III. 163-

182.

Арно,

выступая в "Nouveaux elemens de Geometric". Paris. 1683, против

недостатков Евклида с точки зрения пор-роялевской логики,

переделывает "Начала", изменяя порядок теорем и соответствующим

образом доказательства.

Изучение параллелизма прямых углов у него предшествует равенству

треугольников, ибо угол, по его мнению, более простой объект, чем тре-

угольник.

Арнольднаиского типа большинство крупных французских учебников

до эпохи энциклопедистов:

Lamy, Sauveur, Camus, Varignon, de la Caille, Rivard и другие.

В русской методической литературе влияние сказывается на "руковод-

стве" Остроградского.

К учебникам Лежандровского типа следует отнести кроме "Элементов"

Лагранжа, оригинальных и переработанных Бланше, учебник, имевший

огромное значение:

(Lacroix Elemens de Geometrie a L'usage de

'Ecole Nonnale. Paris. 1814.).

Упомянем Gamier, Vincent, Sonnet, Guilemin и наиболее обстоятель-

ный учебник Лагранжевского типа:

Роше и Комберусс.

Характерно для этой эпохи сочинение, не имеющее ни научного, ни

методического значения: Tompson. Geometrie sans axiomes. ("Геомет-

рия без аксиом".).

Объекты геометрии превращаются из чистых предметов разума в

объекты опыта. Если, по Арно, "душа человека, как бы с первых дней

детства, как бы вся погружена и обмотана чувствами и имеет только

темные и смутные восприятия предметов, оказывающих действие на ее

тело",

так что вся ее дальнейшая эволюция представляется своего рода

очищением, то для де ля Шаппеля кристально чистая душа ребенка

заволакивается метафизическим туманом все больше и больше,

загораживающим путь к истинному знанию, основой которого являются

именно эти презираемые рационалистами чувства:

"В est done evident que les premiers elements de Geometrie posent sur la

matiere le plus, expose a uos senses" (Очевидно, что первичные элемен-

ты геометрии закладываются в материале, в наибольшей степени пред-

ставленном нашим чувствам).

(De la Schapelle. Institutions de Geometrie. 1765).

К этому направлению принадлежат учебники: Clairaut, Bezout, Bossut и

другие.

Сюда следует отнести и капитальные сочинения: Bertrand Developpement

nouveau de la partie elemenlaire des Mathematiques. Geneve, 1778.

Взгляды математиков этого направления складываются под влиянием

"Опытов о человеческом рассудке" Локка, логики и трактатов о чув-

ствах Кондильяка.

Здесь интересно привести мнение д'Аламбера об аксиомах, высказы-

ваемое им в Энциклопедии.

В большинстве аксиом он видит только выражение одной и той же идеи

двумя различными знаками или словами: "Разве тот, сто говорит, что

два и два составляет четыре, обладает большим знанием, чем тот, кто

удовлетворится считать, что два и два составляют два и два?".

Лобачевский в сочинениях о "Началах Геометрии" говорит:

"Первые понятия, с которых начинается какая-либо наука, должны быть

ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут

служить простым и достаточным основанием учения. Такие понятия

приобретаются чувствами, врожденным не следует верить. (См.: П.С.С.

по геометрии Н.И. Лобачевского).

Д'Аламбер говорит более определенно:

"Мы сперва рассматриваем тела со всеми их качествами, понемногу

производим в уме разделение и абстракцию этих различных свойств и

переходим к рассмотрению тел как частей пространства проницаемых,

делимых и оформленных".

Во вступлении к новым началам геометрии (стр. 13, изд. Хар. Мат. Об.

Харьков, 1912.) Лобачевский старается убедить не в логической

возможности, сводящейся к непротиворечивости, а в реальной

возможности, он старается убедить в том, что в уме нет никакого

противоречия в предположении реальности отношений между углом и

длиною, которая ему представляется аналогичной отношению между

силой и расстоянием.

494

Ни у одного математика до Лобачевского и Больяя ие хватило храбрости

публично выдвинуть рад теорем, вытегающих из постулата, которым

заменялся Евклидов постулат о параллельных - за геометрическую

систему. Мне представляется, что у Гаусса был еще другой страх, кроме

страха что он не будет понят (см.: Р. Бонола - "Неевклидова геометрия",

стр.

156). Мотив для иеопубликования своих опытов по антиевклидовой

геометрии (Engel Stackel. S. 209), о котором он не пишет, говоря о "Ge-

schrei der Bootier" (крике беотийцев) - это неуверенность в том, что его

ряд теорем, продолженный дальше, не встретит противоречия, страх

того,

что его работа послужит в стыд ему и в славу другого, который

двумя-тремя теоремами, прибавленными к антиевклидовой геометрии,

скомпрометирует его, с другой стороны - получит ту славу, которой

добивался тщетно Гаусс.

Швейкарт ограничивается только заметкой, частным образом передан-

ной Гауссу, печатное же сочинение стоит па точке зрения евклидовой

геометрии.

Таурииус в Geometria prima Coloniae, 1826 (Engel-Slackel. S. 273.) за-

мечает, что найденное им доказательство постулата о параллельных не

вполне его удовлетворяет и прибавляет, что исследование вопроса, ка-

ково истинное значение логарифмическо-сферической геометрии, со-

держит ли она что-либо возможное или только мнимое, это достойная

задача для ученых, но переходящая границы элементов геометрии.

Саккери ищет новые логические приемы, он употребляет сомкнутую на

заключении форму простого апагогического доказательства (см. мою

работу: Об апагогических доказательствах. Ростов, Научный Вестник.

1922).

Следует доказать В, А, (т.е. если В, то А) из В не-А выводится В, А.

Этот прием употребляется Евклидом только один раз: при доказатель-

стве 12-го положения 9-й книги "Начал". (Euclides ab omni naevo

vindicalus autore Hieronymo Saccherio. Mediolani. 1773, Engel-Stackel.

S. 42.)

"Я отсюда, - говорит Ламберт, - почти заключаю, что третья гипотеза

имеет место; в случае не плоскости она. не так легко поддается, как

вторая". - § 82. Theorie der Parallellinien (Engel-Slackel. S. 137).

Больяю принадлежит исследование свойств параллельных, независящих

от евклидовости, тождественность геометрии иа орисфере с обыкновенной

геометрией на плоскости, доказательства независимости сферической

тригонометрии от постулата о параллельных и некоторые геометрические

построения, независящие от него.

(Bolyai Johann. Appendix scientiam spalii absolute veram exhibens. 1832.)

Согласно Гербарту, пространство не представляет только (Субъективную

форму созерцания, в каковом случае оно было бы только призракам. Но

всякий призрак, все кажущееся указывает на реальное отношение в

объективном мире. Субъективной форме обязательно должна отвечать

объективная, хотя бы и отличная от нее.

Понятие об этой форме получается обычной гербартовской методой ис-

правления понятии; такое намерение построения реального, по Гербар-

ту, умопостигаемого интеллигибельного пространства предполагает от-

каз в некоторой мере от кантовского взгляда на пространство, так чистую

форму созерцания (см.: "Критика чистого разума"). Пространство, по

Гербарту, не только форма созерцания, по прежде всего понятие.

Для построения умопостигаемого, пространства следует признать и вы-

делить концешуашклнческие элементы пространства и подвергнуть их

очистке от кроющихся в них противоречий.

В конечном итоге такой метафизической обработки, пространство долж-

но явиться понятием, причем свестись к отношениям между реалиями,

т.е. теми первичными монадами, к которым метод исправления сводит

всю вселенную.

Умопостигаемое пространство Гербарта, конечно, нельзя представить,

но его можно мыслить, причем в самых общих абстрактных понятиях.

Простыми, уже неразложимыми, элементарными отношениями, из кото-

рых слагается пространство как сложное отношение, Гербарт выставляет

те,

которые отделяются предлогами "с" и "на". Гербарт считает воз-

можиым снятие созерцательности с этих отношении и сведение их к

чистым понятиям. Полное существование двух реалий вместе противо-

полагается их существовашпо не вполне. Существование а на b может

быть существованием в большей .или метшей мере.

Риман исправляет

или,

лучше сказать, перерабатывает понятие простран-

ства, ие вскрывая противоречий в евклидовом пространстве, но поды-

маясь к идее многообразия, объемлющей евклидово пространство, обоб-

щая характерные признаки последнего, выраженные математически.

(Riemanii. Uebera die Hypothesen die der Geometrie zu Grande liegen.

Gotting. AbhandlugenXIII. 1868. N. Grassman. Die lineale Ausdelumgslehre.

Leipzig. 1844.)

Различие между Риманом и Гельмгольцем (Helmholtz. Ueber die That-

sachen die der Geometrie zu Grande liegen) то, что последний старается

опытным путем обосновать свои постулаты. Он выходит из простейших

фактов, характерезующих движение в трехмерном пространстве,

которое, согласно эмпиристической гносеологии XIX века, и создает

понятие о пространстве. Это - определяемость .элемента тремя

координатами, существование подвижных твердых тел, свободная

подвижность их и монодромиость пространства, состоящая в

возможности движения вокруг точки, приводящего в первоначальное

положение. Эти факты, выраженные в формулах аналитической

геометрии, естественно обобщаются и на большее число измерений.

Другие же факты, тоже наблюдаемые в евклидовом пространстве.

496

признаются, таким образом, уже не характеризующими пространство

как таковое.

С.

Ли видоизменяет пгаотезы Гельмгольца таким образом,

что является возможной чисто математическая их обработка.

(S.

Lie. Theorie der Transformationsgruppen. Leipzig. 1828-1893, Т. Ш.)

Beltrami. Saggio di interpretazione della Geometria non Euclidea. Giornal

di Mat, Vol VI. 1868, фр. Пер.: Houel. Annales Scient. de l'Ecole Nor-

male. Т. VI. 1869.

Klein. Ueber die sogenannte Nicht-Euclidische Geometrie. Math. Aim. VI.

1871.

Т. VI. 1873. VIII. 1874,

Poincare. Sur les hypotheses fondamentales de la Geometrie. Bulletin de la

Soc.

Mat. de France XV. 1887,

Гильберт, Основания Геометрии. Петроград. 1923. С. 63.

См.

мое сочинение: Об апагогических доказательствах. Ростов. Научн,

Вестник. 1922.

Выпрямление доказательств достигается большей частью введением

постулатов, относящихся к бесконечным классам. К этому следует

прибавить еще те логические аксиомы, которые узаконивают вывод из

бесконечного ряда силлогизмов, леясащего в основе полной

математической индукции. И. Менделеев (в "Методе математики")

относит это к сверхлогическому в математике. Но признание

существования бесконечного числа силлогизмов, связующих сложения

А, В, С, Р, Q, R, и вывод из истинности А, В, С, истинности Р, Q, R, не

более сверхлогичиы, чем всевозможные постулаты, лежащие в основе

современной теории множеств.

Аксиома IIL. Если для двух треухольнмков ABC и А,В

имеют место

конгруэнции

АВ=А,В

, АС=А,С,, ZBAC=ZB,A,C

то всегда имеют место и конгруэнции

ZABC=ZA

B,C

, ZACB=ZA

[

Существуют теоремы недоказуемые, хотя и истинные. Для доказатель-

ства таких теорем у нас просто не хватает очевидных постулатов.

Такие положения должны найтись среди очень простых положений тео-

рии чисел и ситуационной геометрии. Видимо, такова знаменитая тео-

рема Гольдбаха, что всякое четное число представляется суммой двух

простых чисел, и теорема о бесконечном числе пар последовательных

простых чисел с равной разностью.

Можно предполагать, что такими же являются и следующие весьма об-

щего характера положения:

Всякая форма м (х), выражаемая в конечном виде с помощью элемен-

тарных трансцендентных и алгебраических функций, алгебраически

неразложимая, иначе говоря, не представляющаяся произведением S (х)

п (х), где

(х),

п.

(х) при всяком целом х тоже целые числа, содержит

бесконечное множество простых чисел. Только в случае более точного

497

определения формы может существовать доказательство этого положе-

ния,

так как из одного условия о неразложимости, конечно, ничего нельзя

вывести.

Хорошо известно доказательство такой теоремы для со(х) = ах+р

Может будут построены доказательства и для нешгорых более слож-

ных выражений, например, для ах

+ bx + с (а, Ь, с, взаимнопростые и

- ас [ 0, но для произвольно написанных со (х) такое доказательство

явится улее невозможным.

Другое положение о невозможности существования формы

со

(х), со-

дерлеащей исключительно простые числа. Мы идем дальше,

мы

утвер-

ждаем, что в теории чисел существует неизмеримо больше недоказуе-

мых истинных положений, чем доказуемых.

Вообще больше теорем недоказуемых, чем доказуемых. Если на пер-

вый взгляд представляется, что в геометрии всякая задача может быть

решена, то только потому, что те задачи, которые мы рассматриваем, -

это простейшие, теснейшим образом связанные с очевидыми постула-

тами,

лежащими в основе геометрии.

Рассматриваемые нами геометрические объекты - треугольник, четы-

рехугольник, круг и т.д. настолько же просты, как просты рациональ-

ные дроби, рассматриваемые в начале курса интегрального исчисле-

ния.

Чтобы получить неразрешимые задачи и недоказуемые свойства следу-

ет усложнить эти формы так, чтобы явилась необходимость, наряду с

постулатами меровой геометрии, и в постулатах ситуационной геомет-

рии,

которые уже определенным образом будут недостаточны.

Задача о ветвях алгебраической кривой в общем случае всегда остается

именно в силу этого неразрешимой.

В настоящее время уже никто не верит в то, что всякая функция,

выражающаяся в конечном виде с помощью элементарных

трансцендентных, может быть проинтегрирована в конечном виде с

помощью элементарных трансцендентных. Те же, кому приходилось

над этим размышлять, знают, что в большинстве случаев такие

выражения не интегрируемы в конечном виде, более того, если написать

совершенно произвольно какое-либо выражение (даже рациональное)

от х, то можно быть уверенным, что оно неинтегрируемо.

При подборе примеров неинтегрируемости для моего сочинениям "Об

интегрировании трансцендентных фушеций в конечном виде" (Изв.

Варш. Универ. 1913) я брал выражения наугад, но примеры интегриру-

емости я получал скрытым от глаз читателя дифференцированием.

Правильная постановка проблемы интегрирования в конечном виде:

Определить, можно ли выразить данный интеграл Jf(x)dx

какой—либо

трансцендентной определенного конечного класса в лыовиллевском

смысле и, ваш возможно, то найти это вырао/сение.

498

В то время, как частные аксиоматические проблемы можно считать

вполне определенными, общая проблема об основании геометрии

является пока не вполне определенной.

Паш,

ставящий в основу геометрии простейшие эмпирические данные,

лучшим образом характеризующие пространство, и Пеано, ставящий в

число постулатов непростую истину о непересекаемости в одной точке

трех диагоналей четырехугольника (G. Peano. I principii die Geometria

logicamente exposita. Torino. 1889), решают, собственно говоря, различ-

ные проблемы.

Должно ли ставиться при построении системы геометрии условие оче-

видности, должны ли постулаты быть аксиомам/Л

Если да, то системы Пеано и Гильберта не годятся, ибо пользуются со-

вершенно неочевидными постулатами.

Но что при выборе постулатов должно заменить очевидность? О про-

стоте, выдвигаемой Пашем, можно спорить больше, чем об очевиднос-

ти.

Как бы ни подчеркивался формальный характер системы, очевидность

если не всех, то большей части постулатов принимается во внимание,

Возведение определений в аксиомы по существу не меняет дела.

Объект А определяется признаками

а,(3,у

, которые даются очевидны-

ми положениями, но тот же объект можно определить и признаками

, у 'р

, которые даются не очевидными положениями.

Нет основания предполагать, что минимум постулатов попадает имен-

но на группу положений очевидных или вообще содержащих очевид-

ные положения.

Материалом для этих заметок служат мои большие работы: "Схоластика

и Математика", "Законы эволюции проблемы". Печатание больших

работ в настоящее время невозможно, вне сомнения эти работы я не

увижу в печати.

Геометрия как наука о пространстве.

Известия Ростовского пед. ин-та, 1940, т. 10, с. 10-25.

Геометрию как науку о формах определяют Becker, 1872; Fischer, 1887.

Oriller, 1887, см.: Schooten-Jnhalt und Methode des Planimetrischen

unterrichts. Leipzig, 1890, Bd I, kap, 2, s. 161.

Наглядной геометрией является геометрия индусов. Наглядный элемент

находится в большой мере в учебниках

XV7II в., например, De la Chapelle - "Institutions de la Geometrie" и Д.

Мордухай-Болтовской - О школьном геометрическом доказательстве -

журнал "Математика в трудовой школе", 1928.

499

Геометрию определяют, как науку о пространстве: Bartolomei, 1851,

Helmholtz - Pop. Wiss. Vortrage, Crell, Grunert, 1870.

"Начала" Евклида -пер. Петрушевского или Ващенко-Захарченко. [См.

также пер. Д.Д. Мордухай-Болтовского. М. 1950.]

К рационалистическим учебникам я отношу в некоторой мере учебни-

ки арнольдианского типа, начиная с Arnauld - Nouveaux elements de

Geometrie, 1667-1684.

Principia Philos., Amsterdam!.

Спиноза. Этика, пер. Модестова.

Russel. Les fondements de la Geometrie. 1901.

Delboeuf.

Prologomenes philosophiques de geometrie. 1860.

Д.

Мордухай-Болтовской. Ненатуральное и апагогическое доказатель-

ство в прошедшем и будущем, [наст, изд.]

Образцом является Гильберт. Основания геометрии, метод, обработка

М. 1948; Hallsted. Geometrie rationelle.

Leibnitii. Characteristica Geometriae In Euclidis, Leibnizius math.

Schriften, t. II, Bd. I.

в В'

A M С A' M" С

Прим. ред.

В'

Прим. ред.

Leibnitii. Characteristica Geometriae. Wolfii. Compendium elementorum

Matheseos Universae in usum studiosae Juventutis adornata. Venetii, 1713.

Пусть даны два отрезка АД = а, и А

В, = а

, которые (как любые два

отрезка) подобны по аксиоме.

Будем строить на этих отрезках треугольники АДЕ, и А

так,

4ToZE,A,B,

=ZEjAjB

=а и ZE^A, = ZE

= р. Для это-

го построим окружности С,

HCJC

центрами в точках А, и А

и радиу-

сами а, и а

, соответственно. Затем проведем в этих окружностях ра-

диусы А,М, и А

так, что М,А,В, =М

= а . Построив ана-

логичным образом окружности D, и D

с центрами в В, и В

и радиу-

сами по-прежнему а, и а

и проведя в них радиусы B,N, иВ

так,

что N,B,A, = N

= |i (на чертеже не указаны), получим Е, и Е

как пересечения А,М, и B,N,, А,М

и B

. Окружности С, и С

стро-

ятся на радиусах АД и А

одним и тем же действием - построе-

нием окрулсности по заданному радиусу - откуда следует, что С, и С

подобны. Далее, радиусы А,М, и А

тоже строятся одним и тем же

действием - поворотом данного радиуса на данный угол (если этот

поворот осуществлять циркулем и линейкой, с помощью построения

равных вспомогательных треугольников, утверждение остается в силе).

Следовательно, сектор М,А,В, подобен сектору М

. Рассуждая та-

ким образом, доходим до утверждения подобия треугольников А

В ,Е

}

uAJiJL

Прим. ред.

A' Q' В'

Центр вписанной

треугольник окружности это точка пересечения бис-

сектрис углов треугольника; точку касания внешней окружности со сто-

ронами треугольника можной найти, опустив из точки пересечения бис-

сектрис перпендикуляры на стороны треугольника. Прим. ред.

Suzanne. La maniere

d'etudier

les mathematiques.

Д.

Мордухай-Болтовской. Теория подобия X. Вольфа и постулат де Ле-

века. "Вест. опыт, физики и элем, матем.", 1906.

501