Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

Исследование изогенности и гомогенности пространства с точки зре-

ния теории непрерывных групп - см. мою статью: "Основания геомет-

рии неизогенных и негомогенных пространств с точки зрения теории

групп"// Известия СКГУ. Delegue выставляет основным свойством про-

странства делимость, непрерывность, бесконечность, гомогенность и

изотропность, которые понимаются уже в смысле возможности суще-

ствования схемы с центром

любой точке. Delegue. Essai sur les principes

des sciences mathematiques. Paris, 1908.

Бертран Женевский, 173 1-1812. L. Bertrand. Developpement nouveau

de la partie elementaire des mathematiques prises dans toute son etendue.

A Geneve. 1778. Его же - Elements de Geometrie. Paris. 1812, О нем:

Cantor. Vorlesungen, В. IV.

Petri Rami. Geometriae libri 27. Basileae, 1509. Scholarum Mathem. Libri

unus et triginta, 1569. О нем см. мою работу: Философско-математи-

ческие идеи XVI в, [наст, изд.]

Рассел называет гомогенностью то, что я называю выше изогешюс-

тью.

Валлис (1616-1703). См.: Stackel und Engel,

Oeuvres, t. VI, I, V, ch, V, p. 472.

Lambert (1728-1777). Theorie der Paralieiinien, 1788.

Stackel und Engel. Die Theorie der Paralieiinien von Euklid bis auf Gauss.

Leipzig. 1893.

Delboeuf.

Prologomenes philosophiques de la Geometrie. Liege. 1860.

Lanciennes et les nouvelles Geometries. Revue philosophiques, 36-39.

Определение Евклида: прямая линия есть та, которая одинаково лежит

относительно своих точек, 4 опр. I кн. "Начал" Евклида. Пер. Петру-

шевского,

Парносвязность изогенного пространства сводится к наличности ин-

варианта группы преобразования движений, зависящего от двух точек.

Lie.

Theorie der Transformationsgruppen, Leipzig, 1888-93.

См.:

Lambert. Theorie der Paralieiinien.

502

Petri Rami. Geometrie libri 27.

Мордухай-Болтовской. Философско-математические идеи XVI века,

[наст, изд.]

Например,

Leibnizens Math. Schriften (her. Gephardt), Abt II, В. I. Characteristica

Geometrica IV in Eucl. ETOI%SICX

Д. Мордухай-Болтовской. Генезис и история пределов. Изв. СКГУ. 1928.

Из прошлого пятой книги "Начал" Евклида.

Математическое образование, 1916, № 7, с. 255-263; № 8, с. 277-289.

Как только дробь становится числом, результаты 7-й книги начинают

толковаться в обобщенном виде. В пропорции

a:b=c:d

а, Ь, с, d могут

оказаться не только целыми числами, но и дробями. Характерно опре-

деление Беха-Эддина деления, как определения числа, которое с еди-

ницей находится в том же отношении, что делимое с делителем.

Nouvelles Annales Т.5, 1846, Khelasat de Beha-Eddin.

Евклидовых "Начал" восемь книг., пер. Ф. Петрушевского, Спб. 1819.

[пер.

Мордухай-Болтовского. М. 1950]

Более подробно об этом см. ниже.

Опр. 3 5-й книги: "Отношение есть некоторая зависимость двух од-

нородных величин по количеству", (пер. Мордухай-Болтовского).

Прим. ред.

"Совмещающиеся друг с другом равны между собой" (по изд. 1950г. -

7-я аксиома). Прим. ред.

* Аксиома параллельных (по изд. 1950 г. - 5-й постулат). Прим. ред.

Все теоремы относятся к 5-й книге. Прим. ред.

Табличка эта значительно продолжена классами:

a:b>c:d—>c:d<a:b, a:b>c:d—>a:c>b:d, a:b>c:d—?a + b:b>c+d:d,

и т.д.

В изд. 1950 г. Мордухай-Болтовской отбрасывает оба варианта как не-

подлинные. Прим. ред.

Euclid's Elemente funfzhcn Bucher ubers. J. Lorenz Halle. 1840.

Euclides elementoram Libri XVI Auctore Christophoro Clavio. Trancofurti

Auno MDCLIV.

Из неравных линий, неравных поверхностей или неравных тел, если

избыток большего перед меньшим будет совокупляем сам с собою, то

он может превзойти всякую предложенную величину из рода тех, кои

взаимно сравниваются.

503

Творение Архимеда. Две книги о шаре и цилиндре. Пер. Ф. Петрушев-

ского. Спб. 1823. С. 5. [Архимед. Соч. М. 1962.]

Прим. 4 на стр. 187. "Начала" Евклида. М. Е. Ващенко-Захарченко.

Киев.

1880.

Этим определением Евклид хочет показать, что сравниваемые величи-

ны должны быть однородны, например, длина и длина, площадь и пло-

щадь и т.д. Но длина и площадь, соотношения в смысле вышеизложен-

ного,

иметь не могут, так как, сколько бы раз длину не повторили, пло-

щадь не получится.

Отношение друг к другу имеют величины, которые, взятые кратно, мо-

гут друг друга превзойти, (нем.) Близкий перевод дает сам Мордухай-

Болтовской в изд. "Начал" 1950 г.: "Говорят, что величины имеют от-

ношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг

друга". Прим. ред.

Jacobi Peletarii. Medici et Matliematici. Commentarij fres... Basileae, см.

мою статью: Философско-математические идеи XVI века. Cantor.

Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik. В. II. S. 565.

Ближайшим родом (лат.). Прим. ред.

Исправленный Евклид (лат.). Прим. ред.

Arzet. Clavis Mathemalica. 1634.

Ozanam. Cours de Mathematiques. 1720.

Taquet. Elementa Geometriae. 1654.

Euclides restitutus etc. a Alp. Borelio. Romae. 1670.

Euclides ab omni naevo vindicatus... auctore Hieronymo Sacchero,

Mediolarni. 1738, см. также Engel-Stackel. Die Theorie der Parallellinien.

Leipzig. 1875.

"Некоторая" (лат). Опр. 3 5-й книги: "Отношение есть некоторая за-

висимость двух однородных величин по количеству". Прим. ред.

Определение 20-е 7-й книги: "числа называются пропорциональны-

ми,

когда первое второго, а третье четвертого суть равнократные, или

равночастные, или равномпогочастные". Евклид. "Начал" три книги в

пер.

Петрушевского. 1833.

Taquet. Elementa Geometriae planae ас solidae etc. Antverpiae. 1654.

L'art de penser. А. Арно, П. Николь. Логика или искусство мыслить. М.

1991.

Прим. ред.

Dechales. Elementorum Euclidis Libri Octo ad faciliorem captum

accomodati aucthore P. Claudio Francisco Milliet Dechales Cambericus

Soc.

les. Lugundi MDCLXXV.

Интересно сравнить теорию Таю с теорией Саньо д' Овидио, в кото-

рой роль равенств (*) играют

a = m

b + a

•&

, <b

HjC —

Pjd+Cj Cj <d

j =Pj-

Рассел, Пеаио.

Arnaldus. Nouveaux elements de Geometric. Paris. 1683, (анонимно, как

его пор-роялевская логика).

Здесь можно отметить более грубый способ уже не сократить, а отде-

латься от 5-й книги, относящийся к этому времени. Это Euclidis

elementomm sex libri Henrici Coetsii. 1692, где 5-я книга сводится к

числовой теории пропорций с пояснениями на числах, вместо евкли-

довых доказательств 7-й книги, причем поясняется, что автор это де-

лает потому, что читатель привык более мыслить в числах, а то, что он

говорит о числах, легко распространяется и на линии.

Вне сомнения, в связи с арифметизацией геометрии в XVII веке нахо-

дится и онтологическая проблема, о которой велся спор между Арно,

стоявшим на точке зрения Декарта, и Мальбраншем, шедшим дальше

его.

Это проблема вроде схоластической "universalia in re" или "ante

rem"

[универсалии в вещах или до вещей (лат.)] сводится к вопросу:

numerus ante rem numeratam aut in re питега1а?[числа до перечислен-

ных вещей или в перечисленных вещах (лат.)] В переводе на математи-

ческий язык: дается ли число счетом или число следует понимать об-

щее. Решение вопроса в последнем смысле приводит к признанию от-

носительных величин Арно за числа.

Т.е. части вида —, где п - целое. Прим. ред.

Конечно, в основании этого доказательства те идеи, которые лежат в

основе метода исчерпывания Евклида (см. 12-ю книгу: 2, 5, 10, 11, 12

предложения).

Величина как род, величина вообще (лат). Прим. ред.

De la Caille. Lectiones elementares mathematicae Seu elementa Algebrae

et Geometriae. 1762.

Количество или величина (лат.). Прим. ред.

Искусство открытия (лат.). Прим. ред.

Herigonus. Cursus matliematicus nova etc. Paris. MDCXXXIV.

Descartes. Geometrie. Liv. I.

Интересно проследить влияние, оказанное картезианской философи-

ей на арифметизации) геометрии. После сведения материальной все-

ленной к "immdus geometricus",

движущимся геометрическим фигу-

рам в пространстве, объявив все остальное иллюзией, оставался только

один путь - к Мальбраншу и Беркли, к признанию только одной ре-

505

альности - духа. Вместе с тем число, как принадлежность духа, неза-

висимая от опыта в материальной вселенной, переводится на высшую,

в сравнении с пространством, плоскость существования.

Malbransche. Reponse аЗ lettres de Arnauld, Recherche de la verite 6. Ch. V.

Брюнсвиг характеризует две ступени Декарта и Мальбранша так: пер-

вый прилагает алгебру к геометрии, второй сводит геометрию к алгебре.

Brunschvigg 9. Les etapes de la philosophie malliematique, p. 130.

Эирикес. Вопросы элементарной Геометрии. Спб. 1913, статья Д, Вай-

лати "Учение о пропорциях", стр. 220 и дальше.

Euclidis. Megareusis Eleinentorimi Geometriae. Lib. XV. cum-

commentationibus. Campani. 1491.

Перевод Мордухай-Болтовского в изд. 1950 г.: "Говорится, что отно-

шение составляется из отношений,.когда количества этих отношений,

перемноженные между собой, образуют нечто". Прим. ред.

"Начала" Евклида. Ващенко-Захарченко, стр. 214.

Равноугольные параллелограммы имеют друг к другу составное отно-

шение сторон. Прим. ред.

См. об относительном умножении отношений, напр. Кутюра. Фило-

софские ггоинципы математики, стр. 29.

D. Vitale. Euclide restitulo. Roma. 1680.

Bnmsclrwigg. Les etapes de la philosophie mathematique. Paris. Alcan.

1912,

p. 47.

Rivard. Elements de Mathematiques. Paris. 1788.

L. Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des

Mathematiques prise dans toute oson etendue. A Geneve. .1778.

Legendre. Elements de geometrie.

Учебники леясандровского типа: Gamier, Vincent, Terquem, Sonnet,

Dupin, Fournier, Nicollet, Pascal, а также позднейший Rouche et

Comberousse.

Lacroix. Elements de Geometrie a l'usage de

1'Ecole

Centrale des Quatre

nations. Paris. 1814.

A. Sannia ed E. D'Ovidio. Elementi di Geometria ad uso dii Gimnasii e

degli Instituti Tecnici. Napoli. 1916.

G. Veronese. Elementi di Geometria ad uso dei Gimnasi e instituti tecnici.

Padova. 1911, parti 1, t. П. См. также геометрич. учебники Энрикеса и

Амальди, Инграми, де Наолиса и т.д.

Гурьев. Основания Геометрии. Спб. 1825 и другие его сочинения.

Метод исчерпывания.

Математическое образование, 1928, № 6, с. 229-240.

Аристотель о бесконечности - "Phys.". Cap. V. "De Generat. et Corrup".

Cap.

III.

506

Примеры reductio ad infinitum - приведение к бесконечному (лат.) -

можно найти у Аристотеля и у схоластиков.

Первым образцом такого доказательства является известное зеноновс-

кое доказательство несуществования пустого пространства. См., напри-

мер,

Таннери - "Первые шаги греческой науки". Укажем также доказа-

тельства существования первой материи и первого двигателя у Аристо-

теля,

- "Мех.", гл. XIV, с. 1; "Phys.". VIII. С. 49.

О статическом характере античной мысли см: Шпенглер - "Закат Ев-

ропы". [М.1993] TI.

Определение Д'Аламбера предела см.: "Encyclopedic methodique des

arts etdes metiers" (Diderot), статья Limite, также Melanges, § XIV, Об

истории пределов см. мою статью "Генезис и история пределов".

О Д'Аламбере см.: Bobynin. "Elemeute der Geometrie" в Cantor.

"Vorlesungen ub. Ges. der Math.", В. IV, Ab. XXII, S. 355, также В. 1П,

статья Бобынииа

—

"Элементарная геометрия и ее деятели во второй

половинеXVIII века", "Журнал мин. нар. проев", сер. XII, 1907,№ 1,

отдел 2.

См.,

напр.:, Поссе. "Курс дифференциального и интегрального исчис-

ления", § 5. У Коиш ("Уроки диф. и инт. исчисления", пер. Буняковско-

го,

С. 1831) этот пункт не выявлен.

То есть для

>0 не только Зп, так что|А

-А|<е, но 3N , так что

AjmVn>N |AN- А|<е . Прим. ред.

Кантор. Учение о множествах. Новые идеи в математике. Его работа в

"Math. Ann.", 21, 23, и "Acta Math.", t. II [Г.Кантор. Труды по теории

множеств. М. 1985]

У Клавия впервые выступает этот постулат. См.: "Euclidis elementorum

libri XVI". Auctore Christophoro Clavis. Francfurti. 1654. См. также Эн-

рикес. "Вопросы элементарной математики". С. 1915. С. 220, статью

Вайлати: "Учение о пропорциях". "Мат. обр.". 1916 № 7-8.

Arist.

"Phys." VIII. I. Tiedemaun, "Geist der Spec. Philos". B. III. S. 542.

Thom Aq. p. 1, q. 7, a. 2,1 Sent, des 43, q. 1. Quodex ub. g. a. 1. lib. 10 q.

a. 4. XI Met. Iec. 10. Аргументы Прокла за вечность вселенной у

Philipon 'a "Contra Proclum de aeteraitate mundi. Ven. 1535. Схоластики,

пытаясь примирить Аристотеля со св. писанием, признавали высказы-

ваемое Аристотелем за передачу чужого мнения. Thom. Aq. 1 p. q. 46.

См.

"Аналитики Аристотеля". Конспект

"Логике"

Владиславлева. [Met.

1005 Ь20] Об Аристотеле Brumchvigg. "Les etapes de la philosophie

mamemaiique". Alcan. Paris. 1912. p. I, ch. V. Milhaud. "Aristote et les

mathematiques". "Archiv fur Gesch. der Phil", t. XVI. 1903.

Brunschvigg p. I, ch. Ill, ch. IX.

Обэлейцахсм. Arist,:"Phys", 1-4,"DeCoelo",Ш, 1."Desophis. el.",28.

Simpllc. in "Phys". Arist. 8, 9, 22, 24, 25. SextEmpyr. Pyrrh. hyp. Ш, 65.

"Adversus mathematicos", X, 46.

507

Понятие переменного некоторое время остается связанным со време-

нем,

всякое изменение мыслится во времени. Время является универ-

сальным независимым переменным у Баррова и Ньютона (1643-1727).

Barrow. "Lectiones opticae et Geometriae".

Newtoni. "Theoria fluxionum" (теория ([ыпоксой, фр. пер. 1740 г.) Ньютон.

Математические работы. М.-Л. 1937. см. Cantor. "Vorlesuiigen Ps " Ш.

"Начала Евклида", русские переводы; Петрушевского, (1833), Ващен-

ко-Захарченко (1880). ГМордухай-Болтовского (1950).]

Немецкие: Lorenz. Halle 1840.

"НачалаЕвклида". О методе исчерпывания:

Klugel.

"Math. Worterbuch.

Exhaustionsmethode".

Выражение "исчерпание", "метод исчерпывания", видимо, впервые

встречается у Такэ, который, выявляя общие схемы метода исчерпыва-

ния и устанавливая с помощью его положения общего, абстрактного

характера, ведет его к превращению в метод пределов.

Andreae Taquet е. soc. jesu "Opera mathematica". Losani. 1666.

Taquet. "Elementa Geometriae planae et Solidae". Antverpiae. 1684.

Паппус во времена Диоклетиана (284-305 по PX.)

"Collect. Max". IV, II. Старое издание Коммадина Ven. 1589; Hultscz.

Vol. t. XIII. Berolini. 1875-78.

Основа их: Legendre. "Elements de Geometrie". Давидов. Элементар-

ная геометрия. 1922.

Методическая переработка: Lacroix "Elements de Geometrie a

1'usage

FEcole centrale des Quatre nations". Paris. 1814. К этому типу относятся

известные учебники: Rouche'etComberousse, Niewenglowski, Hadamard

(хотя не вполне). О Лежандре и его учебнике см.: Bobynin. "Lehrbucher".

"Опыт усовершенствования элементов геометрии". Спб. 1798. "Основа-

ние геометрии". Спб. 1825. О Гурьеве (1766-1813) см.: Bobynin. S. 319.

Archimedis "Opera" (ed. Heiberg). Архимед (287-212 до P. X.). [Архи-

мед.

Сочинения. М. 1962.]

"О шаре и цилиндре", пер. Петрушевского. [Архимед. Соч. М. 1962.]

Milhaud.

"La methode d'Archimede". "Rev. ScienL". 1908.

См.

литогр. записки Д. Мордухай-Болтовского "Курс диффер. и ин-

тегр.

исчисл.". Т. I, Варшава. 1915. Также четыре лекции по филосо-

фии математики. (Наст. изд.).

Д.

Мордухай-Болтовской. "Философско-математические идеи XVI в."

[наст, изд.]

Kepleri. Nova stereometria doliorom. Изд. 1615. Также в "Opera omnia."

Francmrti 1871, vol. IV, p. 537-538. [Кеплер. Новая стереометрия вин-

ных бочек. М. 1935] Bon. Cavalieri. "Geometria indivisib." Bononiae.

1635 (1653). [Кавальери. Геометрия неделимых. М.-Л. 1940] Walisii.

"Arithmetica infmitonuu". Opera Oxoniae. 1693. Аксиоматику исчисле-

ния бесконечно малых актуальных см. у I'Hopital. "Analyse des infin.

.petits".

Paris 1759. [Лопиталь. Анализ бесконечно малых. М.-Л. 1935]

Историю исчисления бесконечно малых - в книге: Gerhardt. "Die

Entwickehing der Hoheren Analysis". Halle, 1855. В "Vorlesungen"

Cautor'a В. II, k.78. "Infinitesimal Betrachtung". Kepler. Cavalieri. Из

старых книг: Knorre. "Dissertatio geometrica de methodo exliaustiones et

indivisibilium". Wittenburgnae, 1692.

Об апагогических доказательствах - моя статья в "Ростовском науч-

ном вестнике" за 1922. [См.: "Ненатуральное и апагогическое доказа-

тельство в прошедшем и будущем" в наст, изд.] Аристотель об апаго-

гических доказательствах "Analitica Pos", lib. I; см. также пор-роя-

левскую логику: "L'art de penser" (Арно и Николя). [А. Арно и П. Ни-

коль. Логика или искусство мыслить. М. 1991] Примеры выпрямлен-

ных доказательств (с помощью введения бесконечно малых) можно

найти в книге Ozanam. "Cours de Mathematiques". Paris. 1720; lect. XI.

Эта форма вырабатывается впервые Дюамелем - Duhamel. "Elements

de calcul infinitesimal". Paris. 1860, ch. IV, V, VI.

Обработка принципа Кавальери в смысле современных идей - см.:

Weber-Wellsein. "Энциклопедия элементарной математики", изд. Ма-

тезис. Одесса. Т. II, книга III, § 90. Принцип Кавальери, стр. 262; см.

Также: Heinze. "Genetische Stereometrie".

Торичелли (1608-1647). "De dimensione parabolae" в "Opera

Geometrica". Florence. 1644. О нем Cantor. "Vorlesungen". В. II. S. 883.

Квадратура параболы Архимеда: Arch. "Opera" (ed. Heibug), I, 288.

[Архимед. Соч. M. 1962] Cantor. "Vorlesungen". В. I. К, 29, S. 289. См.

также Duhamel. "El. de calc.

inf.",

ch. V, p. 29.

Из истории метода наложения в элементарной

геометрии

Математическое образование, 1928, № 3, с. 107-113.

На русском языке: евклидовы "Начала", восемь книг, пер. Ф. Петру-

шевского, или "Начала Евклида" в пер. Ващенко-Захарченко. Киев.

1880.

Пользоваться в виду неточности перевода следует очень осто-

рожно. [См. также пер. Мордухай-Болтовского. М. 1950.]

Хороший перевод: Euclids Elementeu funfzelm Buches ubers. L. Lorenz,

Halle, 1840.

Legendre. Elements de Geometrie, Paris, неск. изд., напр. 1837. Русское

издание в переводе Баландина и Бунтац: Лежандр. Основание геомет-

рии

тригонометрии Спб, 1837;

другом издании: "Элементарная гео-

метрия Лежандра", Спб. 1879, переработка Blanchet Legendre. Elements

de Geometrie, 1813. Серьезная методическая переработка Лежандра-

Lacroix. Elements de Geometrie a

1'usage

de l'ecole Centr,, Paris. 1814.

Этот учебник лежит

основе всей учебной лтературылежандроватипа.

509

Это доказательство вошло в употребление значительно раньше "Эле-

ментов" Лежандра; см.: например, Coeti. Euclidis elementorum sex libri

priores. 1697; "Элементы" Лежандра, кн, I, пред. XII.

"Начала" Евклида, кн. I, пред. VII. "Элементы" Лел<андра, кн. I, пред.

X. В учебнике Киселева вместо медианы проводится биссектриса ("Эле-

ментарная геометрия", Москва, 1914, стр. 27, §38). Таким образом,

третий случай равенства общего типа треугольников заменяется пер-

вым случаем равенства треугольников; причем, теорема доказывается

непосредственно наложением. Конечно, и это доказательство недопус-

тимо с евклидовой точки зрения.

Legendre - Blanche!, Liv. 1. Prop. X (см, Давидов); у Legendre'a изд.

1837 теорема доказана иначе.

Aristotelis. Melaph. Lib. IX, стр. 9. Aristotelis. Opera omnia graece el

latine, изд. Didot. [Аристотель Соч. в 4 Т. T.l. M. 1976.]

Шопенгауэр. Мир как воля и представление. Пер. Фета. Т. I, § 15,

Очевидность как критерий истинности. См.: Descartes. De Prima

Philosophia. IV, p. 25, 34, 39. Regulae ad dirigendum ing. 2 p. 4 (Декарт.

1596-1658. Виндельбанд. I стр. 34), см. Также Arnoldi Geilinx. Logica

fundamentalis. Lugd. 1662.

Аналитика Аристотеля. Есть французский перевод. Dernieres

Analitiques. Logique d'Arislote trad, par Barthelemy Saint-Hillaire, 1842.

О логике Аристотеля см. новую книгу: Ziehen. Lehrbuch der Logik, Bonn.

1920.

Bd. 1, § 9.

Euclides-Heiberg. S. 9. 5 постулатов (пятый - о параллельных, иногда

относится к аксиомам - 11 аксиома.

О постулатах Евклида см. Hauber. Christomatia Geometrica. Tubingen.

1820.

§ 127; таюке Savillus. Praelectiones tredecim Oxoniae, 1820; см.

также Brunschwigg. Les etapes de la philosophie mathematique. Paris.

1912,

стр. 89. Les postulats. Там же библиография. [Декарт. Соч. в 2 Т.

Т. 1. М. 1989.] [Аристотель. Соч. в 4 Т. Т.2. М.

1978],

Понимание постулата Кантом в логике родственно евклидову. Посту-

латом, говорит Кант (Логика I, 2 отд., § 38), называется практическое

непосредственно-очевидное положение или принцип, определяющий

возможное действие, в котором подразумевается, что способ его вы-

полнения непосредственно очевиден.

Savilli. Praelectiones. О Савилли (1549-1622) см. Cantor. В. II, S. 664,

р.

131, также Kastner, 1,249, III, 19-26; Ball. History of mathematics at

Cambridge, p. 29.

Hobbes. DeCorpore, ch. VI, S. 13. Lond., 1839, p. 72. [Гоббс.Избранные

произведения. M. 1964.] Brunsclrwigg, неправильно считая определе-

ния Евклида номинальными, считает, что цель постулатов - придать

им реальное значение, и в этом смысле неправильно понимает и Гоб-

бса.

Brunschwigg. Les etapes etc. Liv. II. ch. VI, p. 91.

О постулатах и аксиомах см. также Кэджори. История элементарной

математики. Одесса, 1917, где приводится резюме доклада Vailati, на-

печатанного в Verhandluingen der dritten intern. Math. Kongress in

Heidelberg 1904; см. также Tannery, La Geometrie grecque.

Например, Arzet. Clavis Mathemalica, 1635.

Euclidis -Heiberg, vol. l,p. 11.

C(F)

Прим. ред.

Этим наложением Евклид в предл. 4 1-й книги

доказывает равенство треугольников по двум

сторонам и углу между ними ("первый случай

равенства треугольников" по терминологии ав-

тора).

Прим. ред. A(D)

В(Е)

О схоластическом реализме см. Haureau. De la philosophic Scolastique.

Paris.

1850.

Euclides elemeutonim libri XV auctore Clmstophoro Clavio.

В теоремах о равенстве треугольников Евклид доказывает: а) равнове-

ликость; б) равенство сторон и углов. Euclides-Heiberg, s. 17: "et

triangulus triangulo aequalis erit et reliqui reliquis aequales alter alteri".

511