Моклячук М.П., Ямненко Р.Є. Лекції з теорії вибору та прийняття рішень (на укр. языке)
Подождите немного. Документ загружается.
Рис. 3.4.1: Байєсiвськi рiшення.
Розглянемо тепер довiльний розподiл W .НехайP (W = w
1
)=p
1
та
P
(W = w
2
)=p
2
. З попереднiх зауважень випливає, що iснують в точно-
стi три розподiли з неєдиними байєсiвськими рiшеннями. Для кожного з
цих розподiлiв нахил
−
p
1
p
2
опорної прямої збiгається з нахилом одного з
трьох прямолiнiйних вiдрiзкiв байєсiвської границi
G. Наприклад, якщо
p
1
= p
2
=
1
2
, то опорна пряма перетинається з множиною G по вiдрiзку
мiж
y
3
i y
5
.Отжеd
3
i d
5
є байєсiвськими рiшеннями при цьому розподi-
лi i всяке змiшане рiшення, при якому вибирається
d
3
чи d
5
буде також
байєсiвським рiшенням.
3.5. ПРОЦЕДУРИ ПРИЙНЯТТЯ РIШЕНЬ В УМОВАХ
НЕВИЗНАЧЕНОСТI
Розглянемо iншi критерiї, якi найбiльш часто використовуються на
практицi при прийняттi рiшень в умовах невизначеностi. Це такi крите-
рiї:
1. критерiй Лапласа;
2. мiнiмаксний критерiй;
3. критерiй Севiджа;
181
4. критерiй Гурвиця.
Основна вiдмiннiсть мiж критерiями, перерахованими вище, визнача-
ється стратегiєю поведiнки “особи, що приймає рiшення”. Так, напри-
клад, критерiй Лапласа базується на бiльш оптимiстичних припущен-
нях, нiж мiнiмаксний критерiй, а критерiй Гурвиця, в свою чергу, можна
використовувати при рiзних пiдходах: вiд найбiльш песимiстичного до
найбiльш оптимiстичного. Таким чином, перерахованi критерiї, незважа-
ючи на їх кiлькiсну природу, вiдображають суб’єктивну оцiнку ситуацiї,
в якiй доводиться приймати рiшення.
На жаль, не iснує загальноприйнятих правил оцiнки практичної цiн-
ностi того або iншого критерiю при прийняттi рiшень в умовах невизна-
ченостi. Це пов’язано з тим, що поведiнка “особи, що приймає рiшення”
обумовлена невизначенiстю ситуацiї, що є найбiльш важливим фактором
при виборi вiдповiдного критерiю.
Нагадаємо, що ми розглядаємо задачi прийняття рiшень в умовах
невизначеностi, коли вибiр рiшення з множини допустимих рiшень здiй-
снюється однiєю особою. Специфiчною особливiстю цих задач являється
вiдсутнiсть у “особи, що приймає рiшення” розумного супротивника. У
тому випадку, коли в ролi супротивника виступає “природа”, немає пiд-
став припускати, що вона прагне принести шкоду “особi, що приймає
рiшення”.
Iнформацiя, необхiдна для прийняття рiшень в умовах невизначено-
стi, звичайно представляється у формi матрицi, у якiй
j-й стовпець вiд-
повiдає рiшенню
d
j
з множини допустимих рiшень D = {d
1
,...,d
m
},а
i-й рядок вiдповiдає стану ω
i
системи, що вивчається, з множиною мо-
жливих станiв
Ω={ω
1
,...,ω
k
}. Кожному допустимому рiшенню d
j
∈
D
i кожному можливому стану ω
i
∈ Ω
i
системи вiдповiдає результат
L(ω
i
,d
j
),i =1,...,k; j =1,...,m, який визначає втрати при прийняттi
даного рiшення
d
j
iреалiзацiїданогостануω
i
системи. Таким чином,
якщо множина
D = {d
1
,...,d
m
} допустимих рiшень складається з m
елементiв, а система може знаходитися в будь-якому з Ω={ ω
1
,...,ω
k
}
можливих станiв, то матриця
L = {L(ω
i
,d
j
)}
j=1,...,m
i=1,...,k
являється матрицею початкових даних для прийняття рiшень в умовах
невизначеностi. Цю матрицю називають матрицею втрат або матрицею
витрат.
Перейдемо до розгляду конкретних критерiїв, якi найбiльш часто ви-
користовуються при прийняттi рiшень в умовах невизначеностi.
182
Критерiй Лапласа. Для обґрунтування цього критерiю скористаємо-
ся наступними мiркуваннями, що вiдображають основну суть принципу
недостатнього обґрунтування.
Оскiльки ймовiрнiсть перебування системи, що вивчається, в кожно-
му її можливому станi
ω
i
,...,ω
k
невiдомi, то вiдсутня i необхiдна iнфор-
мацiя для висновку про те, що ця ймовiрнiсть рiзна. Iнакше ми могли
б застосувати байесiвський пiдхiд до прийняття рiшень. Тому ми мо-
жемо припустити, що ймовiрностi реалiзацiї будь-яких можливих станiв
системи рiвнi. Таким чином, задачу можна розглядати як задачу прийня-
ття рiшень при умовi, що вибирають рiшення, яке забезпечує найменшi
втрати, тобто
ρ(d
∗
)= inf
d
j
∈D
1
k
k
i=1
L (ω
i
,d
j
).
Тут враховано, що ймовiрнiсть перебування системи в станах ω
1
,...,ω
k
однаковi. Сформульований критерiй називають критерiєм Лапласа.
Приклад 3.5.1. Пiдприємство має визначити рiвень пропозицiї послуг
так, щоб задовольнити потреби клiєнтiв протягом майбутнiх свят. За
попереднiми прогнозами число клiєнтiв може прийняти одне з наступних
значень:
ω
1
= 200,ω
2
= 250,ω
3
= 300,ω
4
= 350. Для кожного з цих
можливих значень iснує найкращий з погляду можливих витрат рiвень
пропозицiй
d
j
i сукупнiсть цих рiвнiв утворює множину D iз чотирьох
елементiв. Вiдхилення вiд рiвнiв
d
j
приводять до додаткових витрат або
через неповне задоволення попиту, або через перевищення пропозицiї
над попитом. Матриця витрат в умовних грошових одиницях подана
нижче:
L =
5 8 21 30
1071822
1881219
25 23 21 15
,
183
де L
ij
–цевитратиприω = ω
i
та d = d
j
.Длятакоїматрицiмаємо
ρ(d
1
)=
1
4
4
i=1
L (ω
i
,d
1
)=
1
4
(5 + 10 + 18 + 25) = 14,5;
(3.5.1)
ρ(d
2
)=
1
4
4
i=1
L (ω
i
,d
2
)=
1
4
(8+7+8+23)=11,5;
(3.5.2)
ρ(d
3
)=
1
4
4
i=1
L (ω
i
,d
3
)=
1
4
(21 + 18 + 12 + 21) = 18;
(3.5.3)
ρ(d
4
)=
1
4
4
i=1
L (ω
i
,d
4
)=
1
4
(30 + 22 + 19 + 15) = 24,5.
(3.5.4)
Звiдси маємо
ρ(d
∗
)= inf
d
j
∈D
1
4
4
i=1
L (ω
i
,d
j
)=11,5.
Отже, найкращим рiвнем пропозицiї за критерiєм Лапласа буде d
2
.
Мiнiмаксний критерiй. Цей критерiй являється найбiльш “обере-
жним”, оскiльки його реалiзацiя передбачає вибiр найкращої з найгiр-
ших можливостей.
Нехай
D = {d
1
,...,d
m
} – множина допустимих рiшень, а Ω={ω
1
,...,
ω
k
} – множина можливих станiв системи, що вивчається. Якщо L(ω
i
,d
j
),
i =1,...,k; j =1,...,m
– втрати “особи, що приймає рiшення” при
виборi рiшення
d
j
∈ D i реалiзацiї системою можливого стану ω
i
∈ Ω,то
найбiльшi втрати незалежно вiд можливих станiв будуть рiвнi
max
ω
i
∈Ω
L (ω
i
,d
j
),j =1,...,m.
За мiнiмаксним критерiєм вибирають рiшення d
∗
,щозабезпечуєвикона-
ння спiввiдношення
ρ(d
∗
)= min
d
j
∈D
max
ω
i
∈Ω
L (ω
i
,d
j
).
Приклад 3.5.2. Повернемося до прикладу 3.5.1. Оскiльки в цьому ви-
падку
L
ij
вiдображають витрати, то скористаємося мiнiмаксним критерi-
єм. Для кожного допустимого вирiшення
d
j
∈ D знайдемо максимальнi
184
витрати:
max
ω
i
∈Ω
L (ω
i
,d
1
)=L(ω
4
,d
1
) = 25; (3.5.5)
max
ω
i
∈Ω
L (ω
i
,d
2
)=L(ω
4
,d
2
) = 23; (3.5.6)
max
ω
i
∈Ω
L (ω
i
,d
3
)=L(ω
1
,d
3
)=L(ω
4
,d
3
) = 21; (3.5.7)
max
ω
i
∈Ω
L (ω
i
,d
4
)=L(ω
1
,d
4
)=30. (3.5.8)
Потiм iз обчислених значень знайдемо мiнiмальне:
min
d
j
∈D
max
ω
i
∈Ω
L (ω
i
,d
j
)=L(ω
1
,d
3
)=L(ω
4
,d
3
)=21.
Отже, оптимальним являється рiшення d
3
.
У багатьох задачах, однак, єдиним мiнiмаксним рiшенням є змiшане,
а не чисте рiшення. Наприклад, у задачi з прикладу 3.4.1 двовимiрний
вектор втрат єдиного мiнiмаксного рiшення дорiвнює (3,3). Цей вектор
лежить на прямолiнiйному вiдрiзку, що з’єднує точки
y
3
та y
5
,iможе
бути представлений, як опукла комбiнацiя
3
4
y
3
+
1
4
y
5
.Звiдсивипливає,
що єдине мiнiмiксне рiшення є змiшаним. Воно приймає рiшення
d
3
iз
ймовiрнiстю
3
4
i рiшення d
5
iз ймовiрнiстю
1
4
.
Критерiй Севiджа. Мiнiмаксний критерiй являється настiльки “пе-
симiстичним”, що може приводити до нелогiчних висновкiв. Необхi-
днiсть використання менш “песимiстичного” критерiю звичайно iлюстру-
ють задачею прийняття рiшень в умовах невизначеностi з матрицею
втрат
L =
11000 10000
90 10000
.
Застосування мiнiмаксного критерiю приводить до вибору рiшення d
2
i втрат в 10000 при реалiзацiї системою одного з можливих станiв ω
1
або ω
2
. Проте iнтуїтивно напрошується висновок про доцiльнiсть вибору
рiшення
d
1
, оскiльки не виключається можливiсть реалiзацiї стану ω
2
i
втрат
L(ω
2
,d
1
)=90.
Для усунення вiдмiченого недолiку мiнiмаксного критерiю замiсть ве-
личини
L(ω
i
,d
j
), що характеризує втрати при прийняттi рiшення d
j
i
реалiзацiї можливого стану
ω
i
, введемо величину
r(ω
i
,d
j
)=L(ω
i
,d
j
) − min
d
j
∈D
L (ω
i
,d
j
).
Фактично величина r(ω
i
,d
j
) висловлює “жаль” “особи, що приймає рi-
шення”, з приводу того, що вона не вибрала найкраще рiшення вiдносно
стану
ω
i
системи, що вивчається. Тому матрицю
R = {r(ω
i
,d
j
)}
j=1,...,m
i=1,...,k
185
називають матрицею “жалю”, а мiнiмаксний критерiй вiдносно цiєї ма-
трицi називають критерiєм Севiджа. При використаннi цього критерiю
рiшення вибирають iз умови
ρ(d
∗
)= min
d
j
∈D
max
ω
i
∈Ω
r (ω
i
,d
j
).
Зокрема, в попередньому прикладi, розв’язок якого з використанням мi-
нiмаксного критерiю приводив до нелогiчного висновку
min
d
j
∈D
L (ω
1
,d
j
) = 10000, min
d
j
∈D
L (ω
2
,d
j
)=90,
матриця “жалю” має вигляд
R =
1000 0
0 9910
.
Таким чином,
max
ω
i
∈Ω
r (ω
i
,d
1
)=r (ω
1
,d
1
) = 1000;
max
ω
i
∈Ω
r (ω
i
,d
2
)=r (ω
2
,d
2
) = 9910;
i за критерiєм Севiджа оптимальним являється рiшення d
1
.Вiдмiтимо,
що такий же результат ми отримаємо i при використаннi критерiю Ла-
пласа.
Приклад 3.5.3. Повернемося до прикладу 3.5.1 i запишемо матрицю
“жалю”
R =
0 3 16 10
3 0 11 15
100411
10 8 6 0
.
Звiдси отримуємо
max
ω
i
∈Ω
r (ω
i
,d
1
)=r (ω
3
,d
1
) = 10; max
ω
i
∈Ω
r (ω
i
,d
2
)=r (ω
4
,d
2
)=8;
max
ω
i
∈Ω
r (ω
i
,d
3
)=r (ω
1
,d
3
) = 16; max
ω
i
∈Ω
r (ω
i
,d
4
)=r (ω
1
,d
4
) = 25;
min
d
j
∈D
max
ω
i
∈Ω
r (ω
i
,d
j
)=r (ω
4
,d
2
)=8,
i оптимальним за критерiєм Севiджа являється рiшення d
2
,якевiдрiзня-
ється вiд оптимального рiшення за мiнiмаксним критерiєм (див. приклад
3.5.2) i спiвпадає з оптимальним рiшенням за критерiєм Лапласа (див.
приклад 3.5.1).
Критерiй Гурвиця. Цей критерiй охоплює ряд пiдходiв до прийнят-
тя рiшень в умовах невизначеностi вiд найбiльш песимiстичного до най-
бiльш оптимiстичного. Якщо
L(ω
i
,d
j
),i =1,...,k, j =1,...,m, –матриця
186
втрат, то найбiльш оптимiстичному пiдходу вiдповiдає критерiй, що ре-
алiзує
min
d
j
∈D
min
ω
i
∈Ω
L (ω
i
,d
j
),
а найбiльш песимiстичному пiдходу вiдповiдає критерiй, що реалiзує
max
d
j
∈D
max
ω
i
∈Ω
L (ω
i
,d
j
).
Критерiй Гурвиця встановлює баланс мiж найбiльш оптимiстичним i
найбiльш песимiстичним пiдходами шляхом зважування обох варiантiв
прийняття рiшень в умовах невизначеностi з вагами
α та 1 − α,де0 ≤
α ≤ 1
. Це означає, що за критерiю Гурвиця вибирають рiшення d
∗
∈ D,
що забезпечує
min
d
j
∈D
α min
ω
i
∈Ω
L (ω
i
,d
j
)+(1−α)max
ω
i
∈Ω
L (ω
i
,d
j
)
.
Параметр α ∈ [0,1] називається показником оптимiзму.Йогозначе-
ння вибирається “особою, що приймає рiшення”, залежно вiд досвiду
прийняття рiшень в умовах невизначеностi i особистих схильностей до
оптимiзму (
α → 1)абопесимiзму(α → 0). За вiдсутностi яскраво вира-
жених схильностей
α =0,5 представляється найбiльш розумним.
Приклад 3.5.4. Скористаємося критерiєм Гурвиця для розв’язку зада-
чi з прикладу 3.5.1, вважаючи
α =0,5. Результати розрахункiв поданi
нижче в таблицi 3.5.1.
Табл.3.5.1
d
j
min
i
L(i,j) max
i
L(i,j) α min
i
L(i,j)+(1−α)max
i
L(i,j)
d
1
5 25 15
d
2
7 23 15
d
3
12 21 16,5
d
4
15 30 22,5
Згiдно з результатами розрахункiв, оптимальне значення за критерiєм
Гурвиця рiвне 15 i забезпечується допустимими рiшеннями
d
1
i d
2
.
3.5.1. Контрольнi запитання i задачi для самостiйної роботи
187
1. Який iз вiдомих Вам критерiїв для прийняття рiшень в умовах
невизначеностi являється: а) найбiльш песимiстичним; б) найбiльш
оптимiстичним?
2. Чи являється iстинним наступне висловлювання: Якщо “особа, що
приймає рiшення”, має в своєму розпорядженнi матрицю доходiв,
то вибiр оптимального рiшення за критерiєм Севiджа ґрунтується
на умовах максимiну?
Задачi
1. Виробник випускає партiї виробiв, що мiстять 8%, 10%, 12% i 14%
браку з ймовiрнiстю 0,4; 0,3; 0,25; 0,05 вiдповiдно. Вiн зв’язаний
контрактами зi споживачами A, В, C, i в цих контрактах обумов-
лено наступне:
1) вiдсоток браку для споживачiв A, В i C не повинен перевищувати
8%, 12%, i 14% вiдповiдно;
2) якщо вiдсоток браку перевищує обумовлений, то штраф складає
100 грошових одиниць за 1% перевищення.
Хто iз споживачiв матиме найбiльший прiоритет при виконаннi за-
мовлення, якщо партiя не перевiряється до вiдправки, а виробни-
цтво партiй виробiв вищої нiж потрiбної якостi, приводить до до-
даткових витрат виробника в 50 грошових одиниць за 1%?
Вiдповiдь: споживач В.
2. Автомат виробляє
α тисяч виробiв за добу. Якщо α збiльшується,
то зростає i частка браку
β. Функцiя щiльностi розподiлу ймовiр-
ностей випадкової величини
β(ω) вiдома:
f
β
(ω)=
αx
α−1
,x∈ [0,1]
0,x/∈ [0,1]
.
Кожен доброякiсний вирiб приносить дохiд в 5 грошових одиниць,
а кожен бракований вирiб приносить збиток в 50 грошових оди-
ниць. Визначте значення
α, при якому очiкуваний дохiд приймає
максимальне значення.
Вiдповiдь:
α =49.
3. Щоденний попит на булочки в продовольчому магазинi є дискре-
тною випадковою величиною що приймає значення 100, 120, 130 з
ймовiрнiстю 0,2; 0,3; 0,5 вiдповiдно. Власник магазину обмежений
188
у виборi величини запасу одним з вказаних рiвнiв. Якщо вiн ку-
пує бiльше, нiж може продати, то повинен реалiзувати надлишок
iз знижкою в 0,55 грошових одиниць за кожну булочку.
Знайдiть оптимальний рiвень запасу, якщо булочка купується за
цiною 0,6 грошових одиниць, а продається за 1,05 грошових оди-
ниць.
Вiдповiдь: оптимальний рiвень запасу – 130 булочок.
4. В умовах попередньої задачi власник магазина бажає розглянути
задачу прийняття рiшень на дводенний перiод. Його рiшення для
другого дня визначаються таким чином: якщо попит в перший день
рiвний поточному запасу, то вiн замовить таку ж кiлькiсть булочок
i на другий день; якщо в перший день попит перевищив запас, то
на другий день вiн зробить запас на бiльш високому рiвнi; якщо в
перший день запас перевищив попит, то на другий день вiн зробить
замовлення на бiльш низькому рiвнi. Знайдiть оптимальне рiшення.
Вiдповiдь: у перший день замовити 130 булочок. Якщо в перший
день попит склав 100 булочок, то на другий день замовити 120
булочок. Якщо ж попит склав 120 булочок, то на другiй день замо-
вити 120 булочок, а при попитi 130 булочок замовити 130 булочок.
5. Вiдома матриця втрат
L =
15 3 1 7
10 14 5 19
0 8 14 10
−69 20 2
17 2 −30
.
Знайдiть i порiвняєте оптимальнi рiшення, отриманi з використан-
ням: а) критерiю Лапласа; б) мiнiмаксного критерiю; у) критерiю
Севiджа; г) критерiю Гурвиця при
α =0,5.
Вiдповiдь: а)
d
4
;б)d
2
;в)d
2
;г)d
4
.
3.6. ЗАДАЧI ПРИЙНЯТТЯ РIШЕНЬ ЗI
СПОСТЕРЕЖЕННЯМИ
Розглянемо задачi прийняття рiшень, у яких статистик перед тим,
як вибрати рiшення з множини
D, спостерiгає значення випадкової ве-
личини чи випадкового вектора
X, пов’язаного з параметром W .Спо-
стереження
X дає статистику деяку iнформацiю про значення W ,яке
189
допомагає йому прийняти бiльш рацiональне рiшення. Ми припустимо,
що для усiх
w ∈ Ω заданий умовний розподiл X при W = w.Задачiта-
кого типу називаються статистичними задачами прийняття рiшень.
Основнi елементи статистичної задачi прийняття рiшень – це параме-
тричний простiр
Ω, простiр рiшень D,функцiявтратL(ω,d) iсiмейство
умовних розподiлiв ймовiрностей
{f ( ·|ω) ,ω ∈ Ω} величини X,щоспо-
стерiгається статистиком до прийняття рiшення.
Нехай
S позначає вибiрковий простiр можливих значень спостереже-
ння
X. Оскiльки рiшення статистика залежить вiд значення X,щоспо-
стерiгається, вiн, насправдi, повинен вибрати вирiшуючу функцiю
δ(x),
яка задає для будь-якого можливого значення
x ∈ S рiшення δ (x) ∈ D.
У багатьох задачах статистику не потрiбно мати усю вирiшуючу фун-
кцiю
δ. Пiсля того, як вiн довiдався про результат спостереження x ∈ S,
йому досить розглянути задачу вибору рiшення
δ (x).Вiншихзадачах
статистик повинен зiставляти кiлькiсть iнформацiї, отриманої вiд спосте-
реження
X, з цiною цього спостереження. Там вiн повинен задати вже
всю вирiшуючу функцiю
δ(x), оскiльки вiд її властивостей залежить,
чи варто платити за спостереження. В усiх випадках вважатимемо, що
статистик завжди вибирає всю вирiшуючу функцiю
δ.
Позначимо через
∆ клас усiх вирiшуючих функцiй δ. В мiру потре-
би ми будемо накладати на вирiшуючi функцiї деякi обмеження типу
вимiрностi. Ми могли б також розглядати вирiшуючi функцiї
δ,щозада-
ють рандомiзованi рiшення
δ (x) при деяких x ∈ S.Однакминебудемо
надалi розглядати такi ситуацiї.
Для кожного розподiлу ймовiрностей
p параметра W iбудь-якоїви-
рiшуючої функцiї
δ ∈ ∆ ризик ρ (p,δ) визначається рiвнiстю
ρ (p,δ)=E { L [W,δ (x)]} =
=
Ω
S
L [w,δ (x)] f ( x|w) p (w) dµ (x) dν (w). (3.6.1)
Вважається, що при усiх
w ∈ Ω функцiя L [w,δ (·)] вимiрна i iнтегровна
на множинi
S.Символиdµ (x) i dν (µ) вказують на те, що кожен з
iнтегралiв у (3.6.1) може бути як звичайним iнтегралом, що залежить
вiд щiльностей розподiлу ймовiрностей, так i сумою значень дискретного
розподiлу ймовiрностей.
Термiн “ризик” тут вiдноситься до середнього збитку. Для кожного рiше-
ння
d ∈ D через ρ (p,d) знову позначається ризик вiд прийняття рiшення
d при розподiлi ймовiрностей p параметра W ,тобто
ρ (p,d)=
Ω
L (w,d) p (w) dν (µ). (3.6.2)
190