Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы
Подождите немного. Документ загружается.
40
Глава
1.
Основные
понятия
1.4.1.
Одноканальное
управление
и
качество
системы
t
t
в
одноканальных
задачах
управления,
к
которым
относятся
задачи
стабилизации,
слежения
и
терми
нального
управления,
выходная
переменная
y(t)
яв
ляется
скалярной
функцией
времени.
Задача
стабилизации,
или
регулирования,
форму
лируется
как
задача
поддержания
выходной
пере
менной
на
заданном
уровне
у*
= const,
т.
е.
можно
записать:
у
=
у*
= const.
Задача
слежения
-
это
задача
соблюдения
задан
ного
закона
y*(t)
изменения
переменной
у,
т.
е.
у
= y*(t).
При
этом
различают
(рис.
1.22):
•
задачи
слежения
за
внешним
объектом
(объектом
слежения,
ОС),
когда
функция
y*(t)
является
выходом
ОС
и
заранее
неизвестна;
•
задачи
nрограммного
управления,
в
которых
программа
движения
y*(t)
гене
рируется
специальным
задающим
блоком
ЗБ,
входящим
в
состав
устройства
управления
САУ.
Система
автоматического
управления,
решающая
задачу
слежения,
называется
следящей
системой.
Сигнал
y*(t),
определяющий
требуемый
закон
движения
си
стемы,
называется
задающим
воздействием.
Сигнал
e(t) = y*(t) - y(t),
характеризующl:tй
текущее
значение
отклонения
выходной
переменной
от
задаю
щего
воздействия,
называется
рассогласованием,
ошибкой,
или
отклонением.
При
этом
значение
€o
=
€(O)
=
у*(О)
-
у(О)
-
начальное
рассогласование
си
стемы.
Тогда
задачи
стабилизации
и
слежения
иначе
могут
быть
сформулированы
как
задачи
поддержания
нулевого
значения
рассогласования,
т.
е.
e(t) =
О.
~
~
~
~
САУ
Рис.
1.22.
Следящие
системы
y(t)
1.4.
Локальные
задачи
управления
41
У
Yj+--r...::::oo.----
Уо
t
Задача
терминального
управления
заключается
в
«перемещении»
объекта
управления
в
задан
ную
(обычно
удаленную)
конечную
(терминаль
ную)
точку
Yf:
у
--.
Yf·
Основная
особенность
терминальной
задачи,
от
личающая
ее
от
задачи
стабилизации,
заключа-
ется
в
том,
что
величина
начального
отклонения
Е'о
=
У!
-
Уо
достаточно
велика.
Это
обусловливает
необходимость
выбора
осо
бой
стратегии
управления
(минимизации
быстродействия
или
энергетических
за
трат,
соблюдения
ограничений
на
управляющие
сигналы
и
переменные
состояния
и
т.
д.)
[4,
12,
35}.
& t
у
Полное
устранение
рассогласования
с
в
ре
альных
системах
не
достигается,
причиной
чему
служат
ненулевые
начальные
значе
ния
со,
быстрые
изменения
задающих
воздей
ствий
y*(t),
а
также
влияние
возмущающих
воздействий
f(t).
Для
оценки
эффективности
решения
задач
управления
вводятся
так
называемые
nоказатели
качества
управ-
ления.
Различают
динамические
nоказатели,
определяющие
качество
переходного
режи
ма
работы
системы,
к
которым
относятся
различные
количественные
(числовые)
оценки
быстродействия
и
колебательности
системы,
и
точностные
nоказатели,
определяющие
погрешность
системы
в
установившемся
режиме,
т.
е.
по
окончании
переходного
процесса.
К
динамическим
показателям
относятся
время
переходно
го
процесса
t
n
и
перерегулирование
(относительная
величина
первого
выброса
ошибки
А),
а
к
точностным
-
погрешность
стабилизации
или
слежения,
которая
связана
с
установившейся
ошибкой
Е'у
(см.
главу
6).
1.4.2.
Многоканальное
управление
в
многоканальных
задачах
управления
выходом
объекта
служит
векторная
пере
мен
на
я
(вектор
выхода)
у
= y(t) = {Yj(t)},
и,
следовательно,
векторными
переменными
являются
также
задающее
воздей
ствие
(вектор
задания)
у*
= y*(t) = {Yj(t)}
и
рассогласование
(вектор
ошибок)
Е'
=
E'(t)
42
Глава
1.
Основные
понятия
Формулировки
основных
задач
многоканального
управления
(стабилизации,
сле
жения
и
терминального
управления)
практически
не
отличаются
от
приведенных
в
1.4.1.
Кроме
них
для
многоканальных
объектов
возникает
ряд
специфических
задач,
среди
которых
следует
выделить
задачи
декомпозиции
и
согласованного
управления
[25,
30].
У!
=>
Рис.
1.23.
Согласованное
управление
Задача
согласованного
управления
предусматривает
организацию
принудитель
ного
взаимодействия
каналов
системы
с
целью
поддержания
заданных
соотноше
ний
выходных
переменных
Yj(t).
Такие
соотношения,
или
условия
согласования,
в
простейших
случаях
принимают
вид
равенств вида
Уl
=
У2,
соответствующих
синхронному
движению
отдельных
частей
(каналов)
сложной
системы.
В
более
общем
случае условия
согласования
записываются
в
виде:
(1.8)
где
1р(.)
-
заданная
функция.
Решение
задачи
согласованного
управления
тре
бует
введения
искусственных
перекрестных
связей
(рис.
1.23),
т.
е.
координации
управляющих
воздействий
Uj
[25,
26,
30].
УЗ
Наиболее
наглядные
задачи
терминального
и
согласован
ного
управления
возникают
при
управлении
простран
ственным
движением
многозвенных
механических
объ
ектов
(роботов,
станочных
механизмов,
маятниковых
си
стем,
транспортных
средств).
Здесь
в
качестве
выход
ных
переменных
системы
обычно
выступают
декартовы
координаты
Yj
рабочей'
точки
механизма
в
трехмерном
физическом
пространстве
IR.3
или
двумерном
IR.2,
а
зада-
ча
перемещения
рабочей
точки
механизма
из
начального
положения
Уо
=
{YOj}
в
точку
У!
= {Yjj}
относится
к
многоканальным
терминаль
ным
задачам.
При
организации
синхронного
движения
нескольких
однотипных
механизмов
воз
никает
простейшая
задача
согласованного
управления.
Если
же
сложная
механи
ческая
система
должна
осуществлять
движение
по
некоторой траектории
В,
то
ставится
задача
согласования
выходных
переменных,
в
которой
условие
согласова
ния
(1.8)
-
это
не
что
иное,
как
уравнение кривой
S
в
физическом
(декартовом)
пространстве
[7,
15,
25,
30].
1.5.
Блоки
и
алгоритмы
устройств
управления
43
У1
Пример
1.6.
Так
называемое
контур
ное
движение
схвата
простейшего
робота
манипулятора
в
плоскости
~2
осуществляет
ся
по
отрезкам
прямых
(1.9)
или
окру>Кностей
y~
+
y~
- R
2
=
о.
(1.10)
Эти
уравнения
и
определяют
условия
согласования
выходных
переменных
рассмат
риваемой
многоканальной
системы.
D
_!
и
1
У!
_jU<Ж
..
У2
..
и'
~
-4
~
=>
и'
~
~
~
Рис.
1.24.
Декомпозиция
многоканальной
системы
Задача
декомпозиции
в
противополо>Кность
задаче
согласования
заключается
в
устранении
взаимного
влияния
каналов
системы
с
целью
сведения
задачи
управ
ления
многосвязным
объектом
к
нескольким
более
простым
одноканальным
зада
чам.
Ее
решение
предусматривает
создание
дополнительных
(искусственных)
пере
крестных
связей
ме>Кду
каналами
системы,
которые
компенсируют
нежелательное
действие
внутренних
связей
объекта
управления
(рис.
1.24).
Это
достигается
с
помощью
соответствующих
алгоритмов
управления,
т.
е.
коррекции
управляющих
воздействий
Uj.
К
специальным
задачам,
возникающим
в
системах
автоматического
управления
и
автоматического
контроля,
относятся
задачи
оценивания
переменных
состояния
и
идентификации
пара
метров
(см.
1.5.3).
1.5.
Блоки
и
алгоритмы
устройств
управления
в
состав
устройства
управления
системы,
предназначенной
для
решения
локаль
ных
задач,
рассмотренных
в
п.
1.4,
входят
задающий
блок
(ЗБ)
и
регулятор
вы
ходных
переменных
(рис.
1.25).
Замечание
1.8.
В
современных
системах
блоку
не
обязательно
соответствует
физи
ческое
устройство,
в
большинстве
случаев
-
это
алгоритм
или
программа
расчетов
требуемых
переменных
(сигналов),
что
отвечает
кибернетической
трактовке
дан
ного
понятия
(см.
1.1.3).
44
Глава
1.
Основные
понятия
Рис.
1.25.
Многоканальная
система
управления
1.5.1.
Регуляторы
Регулятором
называется
блок
(алгоритм),
рассчитывающий
управляющее
воздей
ствие
u
с
целью
решения
локальной
задачи
управления.
Алгоритмом
управления
называется
набор
аналитических
выражений,
используемых
для
расчета
управля
ющих
воздействий
(термин
«алгоритм»
происходит
от
имени
Ал-Хорезми
и
подра
зумевает
систему
операций,
выполняемых
по
определенным
правилам).
Типовой
алгоритм
управления
по
выходной
nере
менной
у
имеет
вид:
и
=
U(€,y*,
...
),
(1.11)
где
рассогласование
€
рассчитывается
по
формуле:
€ =
у*
-
у,
(1.12)
а
в
качестве
оператора
u(·)
могут
выступать
как
алгебраические
и
трансцендент
ные
функции,
так
и
интегро-дифференциальные
операторы,
операторы
Лапласа,
булевы
функции
и
т.
Д.
u
Простейшими
алгоритмами
управления
(регу
ляторами)
являются
регуляторы
отклонения
вида:
(1.13)
к
ним
относятся
так
называемые
типовые
регуляторы
nроnорциональный,
или
п
регулятор:
и
= k
p
€,
(1.14)
nроnорцuонально-дифференциальный,
или
ПД
-регулятор:
d
u = k
p
€ +
kD
dt
€,
(1.15)
nроnорционально-интегральный,
или
ПИ
-регулятор:
и
= k
p
€ +
k[
l'
€dT,
(1.16)
1.5.
Блоки
и
алгоритмы
устройств
управления
45
nроnорционально-интегрально-дифференциальный,
или
ПИД-регулятор:
и
= k
p
€ + kD
~€
+
k]
l'
"dT,
(1.17)
где
kp,
k[
,
kv
-
постоянные
коэффициенты.
Назначение
типовых
регуляторов
и
свойства
систем
управления,
построенных
с
их
использованием,
обсуждаются
в
п.
7.2.
1.5.2.
Задающие
блоки
Задающим
блоком
называется
блок
(алгоритм),
осуществляющий
расчет
задающе
го
воздействия
y*(t).
В
тривиальных
случаях
в
качестве
таких
блоков
выступают
задающие
рукоятки
и
пульты,
а в
более
совершенных
системах
-
аппаратно
и
программно
реализованные
генераторы
задающих
сигналов.
К простейшим
задающим
блокам
можно
отнести
блоки,
генерирующие
сигналы
для
задач
стабилизации,
где
у*
=
У*
= const,
и
элементарных
задач
слежения.
у*
t
у*
t
Для
организации
движения
объекта
управления
с
по
стоянной
скоростью
у
=
V*
= const
используется
ал
горитм,
описываемый
дифференциальным
уравнением
'у*
=
V*,
у*(О)=У*,
и
обеспечивающий
генерацию
задающего
воздействия
y*(t)
=
У*
+
V*t.
Для
получения
движения
с
постоянным
ускорением
jj
=
а*
= const
применяется
алгоритм
у*
=
а*,
у*(О)
=
У*,
у*(О)
=
V*,
обеспечивающий
генерацию
сигнала
y*(t)
У*
+
V*t
+
a*t
2
/2,
и
т.
Д.
(см.
п.
4.2).
Более
сложным
задающим
блоком
является
интерполятор
-
многоканальный
задающий
блок,
предназначенный
для
расчета
текущих
значений
согласованных
задающих
воздействий
(см.
1.4.2),
т.
е.
сигналов
yj(t),
подчиненных
функциональ
ной
зависимости
типа
<P(Yi,
У2)
=
о.
(1.18)
46
Глава
1.
Основн.ые
понятия
Выходные
сигналы
интерполятора
используются
в
следящих
системах,
обеспечи
вающих
решение
задач
согласованного
управления
и,
в
частности,
траекторного
управления
многозвенными
механическими
системами,
где
требуемая
траектория
S
движения
рабочей
точки
механизма
задана
уравнением
(1.8).
Пример
1.7.
Интерполятор
системы
управления
роботом
манипулятором
[25],
схват
которого
перемещается
по
окруж
ности
(1.10),
генерирует
двумерное
задающее
воздействие
y*(t)
=
(Yi(t),y;(t))
и
описывается
системой
дифференциальных
уравнений
. * * . * *
Уl
=
У2'
У2
=
-Уl
С
начальными
значениями
yio
=
R,
У20
=
О.
Система
имеет
решение
Yi
=
Rcost,
У2
=
Rsint,
которое
удовлетворяет
уравнению
(1.10).
(1.19)
(1.20)
D
Многие
современные
САУ
строятся
как
системы
управления
состоянием
объек
та,
т.
е.
обеспечивают
решения
задач
стабилизации
состояния
х
=
х*
= const
или
обобщенных
задач
слежения
-
соблюдение
заданного
закона
изменения
век
тора
состояний:
х
=
x*(t),
где
х*
=
{xi}
-
вектор
задающих
воздействий
по
состоянию.
Алгоритмы
управ
ления таких
систем
имеют
вид
u =
U(е,х*,
...
),
(1.21)
где
вектор
рассогласования,
или
ошибок,
е
рассчитывается
по
формуле:
е
=
х*
-
х
(1.22)
(см.
п.
4.3
и
7.3).
Структура
системы
управления
состоянием
иллюстрируется
рис.
1.26.
Рис.
1.26.
Система
управления
состоянием
1.5.
Блоки
и
алгоритмы
устройств
управления
1.5.3.
Специальные
задачи
и
блоки
систем
управления
47
Вспомогательные
задачи
определения
(идентификации)
неизмеряемых
переменных
инеизвестных
пара
метров
возникают
как
в
САУ,
так
и
в
системах
автоматического
контроля.
Это:
•
задача
наблюдения,
т.
е.
оценивание
неизмеряемых
переменных
состояния
объекта
в
условиях
действия
шумов
(фильтрация,
сглаживание,
предсказа
ние,
см.
также
п.
7.4);
•
задача
идентификации
параметров,
т.
е.
оценивания
неизвестных
парамет
ров
системы.
Для
решения
перечисленных
задач
используются
наблюдатели
и
идентификаторы.
и
у
Наблюдателем
называется
блок
(алгоритм),
предна-
-....-.с
ОУ
значенный
для
оценивания
неизмеряемых
переменных
состояния
ОУ
xi
или
внешней
среды
(см.
п.
7.4
и
[3,
20, 29]).
Структура
наблюдателя
ОУ
включает
в
себя
модель
объекта
управления
МОУ,
которая
выра
батывает
текущие
значения
оценки
у(
t)
выходной
пе
ременной
y(t)
и
оценки
x(t)
вектора
состояния
x(t).
~
Поведение
модели
корректируется
за
счет
обратных
наблюl!::д::::а=т=е=л=ь*>
связей
по
ошибке
наблюдения
(невязке)
y(t) = y(t) - y(t).
Наблюдатели
применяются
в
системах
управления
состоянием
(рис.
1.26),
в ко
торых
не
все
переменные
состояния
xi
могут
быть
измерены
или
результаты
из
мерения
содержат
значительные
помехи.
В
этих
случаях
рассмотренный
ранее
алгоритм
управления
(1.21)
принимает
вид
и
=
uсе,х*,
...
),
(1.23)
где
оценка
рассогласования
е
рассчитывается
по
формуле:
......
*
......
е
=
х
-
х.
(1.24)
Математическая
модель
(уравнение)
объекта
управления
содержит
коэффициенты
Oi
-
массо-инерционные,
электрические
и
термодинамические
пара
метры
управ
ляемого
процесса
и
других
используемых
в
САУ
устройств.
Параметры
объеди
няются
в
вектор
параметров
()
=
{()i},
в
тех
случаях,
когда
значения
пара
метров
изменяются
во
времени
или
заранее неизвестны,
появляется
необходимость
в
ис
пользовании
идентификаторов
параметров
[30,
47].
48
Глава
1.
Основные
понятия
Идентификатором
называется
блок
(алгоритм)
вида
и
8 =
8(х,
и,
...
)
(1.25)
~
(здесь
8(·)
-
динамический
оператор),
предназначен-
I!:::::::=~>
ный
для
оценивания
пара
метров
ОУ
по
имеющейся
ин-
формации
о
текущем
состоянии
x(t)
и
входном
воздей-
ствии
u(t)
объекта,
т.
е.
для
расчета
в
реальном
времени
значений
8(t) -
текущей
оценки
вектора
8.
Идентификаторы
применяются
в
адаптивных
системах
управления
[зо, З2],
в
ко
торых
параметры
регулятора
не
устанавливаются
заранее,
а
настраиваются
в
про
цессе
работы.
В
таких
системах
часто
используются
адаптивные
алгоритмы
управ-
ления
вида
u =
U(е,
х*,
8 ...
),
(1.26)
а
вектор
оценки
8
может
быть
получен
с
помощью
алгоритма
идентификации
(1.25).
Глава
2.
Математические
модели
вход-выход
Математической
моделью
динамической
системы
принято
называть
совокуп
ность
математических
символов,
однозначно
определяющих
развитие
процессов
в
системе,
т.
е.
ее
движение.
При
этом
в
зависимости
от
используемых
символов
различают
аналитические
и
графоаналитические
модели.
Аналитические
модели
строятся
с
помощью
буквенных
символов,
в
то
время
как
графоаналитические
допускают
применение
графических
обозначений
(см.
2.1.2).
В
зависимости
от
типа сигналов
различаются
непрерывные
и
дискретные
модели
систем.
В
зависимости
от
используемых
операторов
-
линейные
и
нелинейные,
а
также
временные
и
частотные
модели.
К
временным
относятся
модели,
в
кото
рых
аргументом
является
время
(непрерывное
или
дискретное)
[2,
3,
14,
20].
Это
ДИфференциальные
и
разностные
уравнения,
записанные
в
явном
виде
или
в
опе
раторной
форме.
Частотные
модели
предусматривают
использование
операторов,
аргументом
которых
является
частота
соответствующего
сигнала,
т.
е.
операторы
Лапласа,
Фурье
и
т.
д.
[1,4,
20,
39].
В
этом
разделе
рассматриваются
непрерывные
линейные
временные
модели,
опи
сывающие
связи
входных
и
выходных
переменных
динамической
системы
с
по
мощью
обыкновенных
ДИфференциальных
уравнений
соответствующего
порядка.
Вопросы
описания
движения
системы
в
пространстве
состояний
изучаются
в
главе
3,
а
модели
дискретного
типа
-
в
главе
8.
2.1.
Линейные
модели
вход-выход
Модель
вход-выход
(ВВ)
-
это
описание
связи
входных
и
выходных
сигналов
динамической
системы.
Необходимость
в
таком
описании
появляется
при
рассмот
рении
поведения
как
отдельных
блоков
и,
в
частности,
объекта
управления,
так
и
всей
системы
управления
в
целом.
Различия
в
математическом
описании
блоков
и
системы
управления
не
принципиальны,
но
требуют
использования
разных
обо-