Малыхин В.И. Математика в экономике

  1. Файлы
  2. Академическая и специальная литература
  3. Математика
  4. Высшая математика (основы)
  5. Математика для экономических специальностей
Назад
182
двойной
интеграл
j}f(x,
y)dP
и при
каждом значении
х е
[а,
Ь]
сущс-
W
yjW
A
JbW
ствует
простой интеграл
J
/(*,
y)dy,
то J
)f(x,
y)dP
~
J
dx
J
/Of,
j'Jdj'.
j-iW
w
a
fiW
i
y,W
При
этом интеграл
Jdx
J
/(*,
j>)4v
называется
повторным,
о
j»,W
Пример
3.
Найти объем
цилиндра-
тела,
стоящего
на
плоской области
(Р)
(рис.
3) и
имеющего
«крышу»
fix, у)
~х
2
+}
1
.
Решение. Искомый объем
К
есть
двой-
ной
интеграл
J
}f(x,
y)dP.
Сведем
его к
повтор-
w
4
х
ному
JdxJ
(x
2
4-^)^.
Внутренний
интеграл
о
о
равен
(х*у
+У/3)|
-
(4/3)
•
л
3
,
следователь-
о
4
4
но,
искомый объем равен
1(4/3)^^
=
Jc*/3
j
-
256/3.
о о
5.
Тройные
интегралы.
К
понятию тройного интеграла
приводит
задача
нахождения массы неоднородного
по
плотности тела.
Рас-
смотрим
тело
объемом
(V),
плотность
которого/(/и)
в
точках
тела
не
является
постоянной величиной. Требуется найти массу
Л/этого
тела.
Для
этого разложим объем
(У)
тела
на ряд
частей
(К,),....
(%)»
сумме
составляющих данное тело,
В
каждой части
(V)
возьмем
п
точке
т
р
тогда.масса
части приближенно равна
AM,)
К,
(
H
*
noMH
"*'
что
К
обозначает объем части
(У},
а
масса всего тела
приближена
п
равна
Е/(/иЖ
/«1
'
Для
повышения точности
этого
равенства будем уменьшать
р
меры
частей
(V),
увеличивая
их
число.
В
пределе,
при
ст
Р
еМЛС
"
наибольшего
из
диаметров всех частей
(V) к
нулю
это
равенство
с
п
новится
точным,
так что
М
=
Hm
E/(w/)
V
f
l=s\
интервале
функции
sin x.
Можно
ли для
этой функции
найти
это
среднее значение по-другому?
со
2.
Найдите такое
а, что J
#e-*dx
=
1,
о
оо
3.
Примите
к
сведению,
что J
(1/У2тГ)е~*
1/2
сЬ:
=
1/2 и
нарисуйте
о
примерный
график функции Лапласа (см.
п. 6 и
задачу
5 из
разде-
ла
10.2).
4.
Найдите объем цилиндра-тела, стоящего
на
плоской
области
и
имеющего «крышу», затем найдите массу этого тела
с
плотностью,
показанной
на
рис.
4.
5,
Вычислите двойной интеграл
JjOt
2
+y*)dP,
где
область
интег-
w
рирования
(Р)
есть круг радиусом
4 с
центром
в
начале
координат.
6.
Вычислите тройной интеграл
JW
+^
+
*W
где
область
W
интегрирования
(V}
есть
шар
радиуса
8 с
центром
в
начале
координат.
•7.
Найдите массу шара радиуса
г,
плотность которого
Р
авн
°^
но
падает
от
максимальной
D в
центре шара
до
минимальной
а
его
поверхности,
184
8.
Пусть
Л*.
У)
-
8(x)h(y)
t
Убедитесь,
* rf
что
\Jf(x,
у)<\Р
-
)g(x)te
jhWy
(рис.
5).
W
я с
Сформулируйте
соответствующее
утверж-
дение
для
тройного интеграла.
9.
Упавший
в
море самолет лежит
го-
ризонтально
на
дне.
Как
подсчитать силу
давления
на
него воды
(что
может пона-
добиться
для
оценки возможности
его
подъема)?
Рис.
5
Тема
12.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
И
РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
12.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
И
РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
1.
Определение дифференциального
уравнения.
Дифференциаль-
ным
уравнением называется
всякое
соотношение между независи-
мыми
переменными,
функцией
от них и
производными этой функ-
ции
по
этим переменным. Если
независимая
переменная
одна
и
производные,
следовательно,
обыкновенные,
то и
уравнение назы-
вается
обыкновенным
дифференциальным.
Будем изучать только такие
Уравнения
и
потому
слово
«обыкновенное»
в
названии
дифференци-
ьного
уравнения опустим. Наивысший порядок входящих
в
урав-
ение
производных называется порядком уравнения.
Итак,
общий
д
ди
ФФеренциального
уравнения
л-го
порядка
есть
Дж,
л
У,...,
/">)
=
о, (1)
ГДе
^
сть
ФУНКЦИЯ
от
х,
а
/,
..,,
У»)
—
производные этой функции.
Пен
,
ункция
У№
называется решением дифференциального урав-
д
Ия
W»
если
при
подстановке
ее и ее
производных получается
тож-
185
Пример
1.
у'-
2х
есть
пример
дифференциального
уравнения 1-го
порядка.
Решением
этого
уравнения
является
любая
функция
у(х)
=
х*
+с,
где
с
—
константа.
Проверить
это
можно
вычислив
производную
от у
~£
+
+ с и
подставив
ее
значение
в
уравнение.
Пример
2. у" + у = О
есть
пример
дифференциального
уравнения
2-го
порядка.
Решением
этого
уравнения
является,-
например,
функция
X*)
=
cos x.
Проверить
это
можно,
вычислив
2-ю'производную
от cos х и
подставив
ее в
уравнение.
Как
и в
случае обычного уравнения, главное
в
теории
диффе-
ренциальных
уравнений
— это
отыскание всех решений
данного
дифференциального уравнения. Нахождение решений
дифференци-
ального
уравнения называется
интегрированием
этого
уравнения.
Компактная запись всех решений уравнения называется
его
общим
решением. Например,
в
примере
1
общее решение имеет
вид
у(х)
-
х
2
+ с, где с —
произвольная константа,
при
различных
значе-
ниях
этой константы получаются частные решения уравнения,
В
при-
мере
2
было указано только одно частное решение уравнения.
Обыч-
но
при
решении дифференциального уравнения требуется
отыскать
некоторое частное решение,
удовлетворяющее
каким-то
дополни-
тельным
данным. Например, требуется отыскать решение
—
функ-
цию
X*),
такую
что
Х*
0
)
~
-V
Такого
рода
дополнительные
данные
называются
начальными условиями.
В
рассмотренных примерах решения уравнения были
найдены
очень просто, однако
для
более
сложных уравнений
приходится
при-
менять
приближенные
методы
интегрирования, используя
компью-
теры.
Кдифференциальным
относятся
такж_е
уравнения,
связывающие
дифференциалы
независимой
переменной
и
функции
от
нее.
Напри-
мер,
2ctv
+
3dy
~
0
есть пример дифференциального уравнения.
2.
Задачи, приводящие
к
дифференциальным
уравнениям.
К.
диф-
ференциальным
уравнениям приводят многие вопросы естествозна-
ния. Рассмотрим несколько примеров.
А.
Движение тела
с
заданной
зависимостью скорости
от
времена.
Допустим,
что в
каждый момент времени скорость
точки,
движу-
щейся
по оси
х,
есть
V(/),
причем
v
непрерывна. Кроме
того,
извест-
но, что в
момент
t
Q
точка имела абсциссу
х
в
.
Нужно найти закон
дви-
жения точки,
т.е.
зависимость
ее
абсциссы
х от
времени.
Решение
этой задачи несложно
—
ведь
скорость
изменения
абсциссы, т.е. про-
изводная
я'(0,
и
есть скорость. Получаем дифференциальное
урав-
нение
x'(t)
=
v(/).
Решить
это
дифференциальное уравнение
- это
найти
первообразную
для
v(/).
Поскольку
v(0
непрерывна,
то
перво-
образная
существует
(см.
п. 5
раздела 10.2)
и
может быть записана
в
186
3.
Уравнения
1-го порядка, разрешенные
относительно
производ-
ной.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка
часто
можно
разре-
шить
относительно производной
и
представить
в
виде
у'
-J[x,
у).
Если
J[x,
у) в
действительности зависит только
от
х,
то
получается
уравнение
у'
-fix).
Следовательно, если
f(x)
имеет
первообразную
F(x),
например,
еслиДл)
непрерывна,
то
указанное
дифференциаль-
ное
уравнение имеет общее решение
у
=
F(x)
+ с.
Для
нахождения конкретного решения постоянная
с
может
быть
определена
из его
начального условия
Х*
0
)
~УЪ
и
тог>
Д
а
это
конкрет-
ное
решение есть
у(х)
=
F(x)
+
(у
0
-
^
0
)).
(2)
Что
же
касается
общего
случая, т.е.
уравнения
у'
-J(x,
у), то
при
некоторых
ограничениях, налагаемых
на
функцию
.Дх,
у), это
урав-
нение
для
любого начального условия
Х*
0
)
-
у
0
имеет
единственное
решение,
а его
общее
решение зависит
от
одной произвольной
по-
стоянной.
Пример
3.
Найти
решение
дифференциального
уравнения
/~
е*,
удовлетворяющее
условию
уф) = 1.
Решение.
Так как для
функции
е*
первообразной
является,
например,
функция
е*,
то
согласно
(2)
искомое
решение
есть
у(х)
»
е* + (1 -
е°)
-
е*.
4.
Уравнения
с
разделяющимися
переменными.
Дифференциаль-
ные
уравнения вида
Xy)dy
+
g(x)dx=Q
(3)
называются
уравнениями
с
разделенными
уравнениями,
а
уравне-
ние,
которое можно привести
к
такому виду, называется
уравнением
с
разделяющимися
уравнениями.
Функции
f(y)
и
g(x)
будем
считать
непрерывными.
Предположим,
что
у(х)
является решением этого
уравнения,
тогда
при
подстановке
у(х)
в
него получим тождество,
интегрируя
которое, имеем
ШФ>
-
jg(*)dx
+ с.
(
4
)
Этому тождеству удовлетворяют
все
решения уравнения (3).
Верно
и
обратное: если некоторая функция
X*)
обращает
уравне-
ние
(4) в
тождество,
то,
дифференцируя уравнение (4),
обнаружим,
что
эта
функция есть решение исходного уравнения (3).
Все это оп-
равдывает
следующее определение.
Определение.
Уравнение
Ф(х,
у)
=
0,
которое определяет
ре-
шение
X*)
дифференциального уравнения
как
неявную
функцию
х,
называется
интегралом
дифференциального
уравнения. Если
же это со-
188
К
уравнениям
с
разделяющимися переменными
приводятся
и
так
называемые
однородные дифференциальные уравнения
1-го
по-
рядка,
т.е.
уравнения вида
dy/dx
-f(y/x).
Введем новую переменную
z =
у/х,
тогда получим
у -
zx,
ф/dx
-
-xdz/dx
+
z>
xdz/dx
+ z
=Az),
&z/(f(z)
- z)
=
dx'/x,
а в
этом
уравнении
переменные
уже
разделены.
5.
Линейные
уравнения
1-го
порядка,
уравнение
Бериулли.
Линей-
ным
называется уравнение
1-го
порядка, линейное
относительно
не-
известной
функции
и ее
производной,
Оно
имеет
вид
dy/dx+p^y^Ax),
'
(5)
где
р(х)
и
АХ) —
непрерывные функции.
ЕСЛИ.ДХ)
тождественно нулевая
функция,
то
уравнение
(5)
при-
обретает
вид
dy/dx
=
~р(х)у
и
называется линейным однородным.
Оно
является уравнением
с
разделяющимися переменными: dy/y
~
=
~p(x)dx.
Интегрируя, получаем
у
=
с
е,-3рю*х.
(б)
Для
нахождения решений неоднородного линейного
уравнения
(5)
применяют
метод
вариации постоянной.
При
применении
этого
метода сначала интегрируется соответствующее однородное
уравне-
ние
dy/dx
=
~р(х)у.
Как
указано выше,
его
общее решение
есть
у-с
е-^'Ч
При
постоянном
с эта
функция является решением
од-
нородного уравнения.
Попробуем теперь удовлетворить неоднородному
уравнению,
считая
с
функцией
с(*).
Попробуем подобрать с(х),
дифференцируя
функцию
X*)'-
с(х)
e-w*
1
*
и
подставляя
ее в
исходное неоднород-
ное
уравнение
(5).
Получим:
у'
«
с'
e-W
+ с
е-^(-р),
с'
e
Jf(U
+
+
™
Jfdx
(-p)+py=f.
•
Йо
с
е-Ц
(-^)
+
ру~
0, так что
остается
с'
е-^
-/,
откуда
находим,
что с
~
№)е^
dx
+
с,.
Следовательно,
у -
с(х)
е"
1
^
*
=
с,е^
+
е-^
]/(х)&^
dx.
Это
общее решение, содержащее
произ-
вольную постоянную
с,.
Взяв
с,
= 0,
получим частное
решение
У„(х)
=
e-U
]дде)е^
ck.
Теперь
видно,
что
общее решение
можно
записать
так:
у(х)
=
c,e^
ltb:
+
y
Q
(x),
т.е.
как
сумму частного
решения
>
0
(х)
неоднородного уравнения
(5) и
общего
решения-^е^*
1
*
одно-
родного уравнения
(б).
190
Пример
5.
Решить
уравнение
у'
+у-
2л.
Решение.
Не
имеет
смысла запоминать
громоздкие
формулы общего
решения,
выведенные чуть выше; проще повторить конкретные
выкладки.
Проинтегрируем
однородное
уравнение
у'
+у
— О, Оно с
разделяющимися
переменными
dy/y
—
~dx,
и
потому
его
решение
есть
у
—
CQ~
X
,
Теперь счи-
таем
с
функцией
х,
тогда
у'
=
с'
е~*
- с
е~
х
и,
подставляя
в
Исходное
уравне-
ние,
получим
с'е-
я
- с
е~*-
+
с
е~*«
2х
или
с'е-*
=
2х.
Следовательно,
с'-
2хе*,
с
=
J2xe*dx
Этот
интеграл
надо-находить
интегрированием
по
частям.
По-
лучаем
с
=
2е*
(л;
- 1) +
с,.
Далее
имеем
у(х)
=
(2е*(*
- 1)
+
с,)е-*.
Оконча-
тельно
имеем
у(х)
=
2(х - 1)
+
с,е-*
Многие
дифференциальные
уравнения могут быть сведены
к
линейным.
Например,
уравнение Бернулли, имеющее
вид
dy/dx
+
р(х)у
=Д*)У,
и
ч*
1 (V)
(при
п
=
1 оно уже
линейное,
поэтому
этот
случай
исключают).
Перепишем
его в
виде
y-"dy/dx
+
p(x)y
l
-"
=
J(x),
Тогда заменой
переменных
у
1
~"
- z оно
сводится
к
линейному уравнению.
Дейст-
вительно,
дифференцируя
у
1
-"
=
z,
находим
(1 -
п)у-"
dy/dx
-
dz/dx,
И)
подставляя
это в
уравнение
(7),
получим линейное уравнение
V(l
-я)
-dz/dx+p(x)z*=f(x).
ЗАДАЧИ
1.
Найдите общее решение уравнений:
а)У
"
2х-
4; 6)
у'**
1 -
-
е
~*;
в)
/
=
х +
sin.x;
г)
,у'
=
7 + cos х; д)
у'
-
х&,
2,
Найдите частные решения
уравнений,
которые
при
х - 0
при-
нимают
значение,
равное единице:
а)
у'
=
х;
б)
у'**
sin х; в)
у'
=
In
х
3,
Найдите общие
решения
уравнений
с
разделяющимися пере-
менными;
а)
хуу'~
1 -
xj
б)
у/«
(1 -
2х)/и
в)
у«-10»+П
г)
е~
я
(1 +
+
<J«/di)*
1.
4.
Найдите общие решения
однородных,
уравнений:
а)
у'
=
у*/х*"
""
2
;
б) У
=
(ж
+
у)/(ж
-
у);
в)
у*
=
у/х
+
х/у;
г) У
«
2ay/(^
-
У).
(
5,
Найдите общие решения линейных уравнений:
а)
у'+2у~
4х;
б
)
У
-Ь
2ху
=
яе-*
1
;
в) у +
>
*=
cos
л-;
г)
у'
+
у
~
sin х.
6.
Сейчас
население
Индии
составляет
примерно
t
млрд
чело-
в
ек
и
растет
со
скоростью
3% в
год.
Каким
оно
будет через
20 лет при
^хранении
такого темпа роста?
7.
Период полураспада
урана-238
равен
4,51
млрд
лет.
Напиши-
тс
Уравнение
процесса распада.
8.
при
взрыве атомной бомбы
в
течение короткого времени
ч
исло
свободных нейтронов растет
со
скоростью,
пропорциональ-
191
  • 2008 — 2025 «СтудМед»