Малыхин В.И. Математика в экономике
Подождите немного. Документ загружается.
гощее
условиям
Х*„)
=
У
0
>
У'(
Х
<)
*=
/о>
•••>
У*"~
1)
(*
0
)
=
У
0
С
"~
°»
если
в
окрестности
начальных значений
функция/является
непрерывной
функцией
всех своих аргументов
и
удовлетворяет условию
Липшица
по
всем
аргументам,
начиная
со
второго.
Эта
теорема есть точное обобщение
соответствующей
теоремы
для
дифференциальных уравнений 1-го порядка (см. выше
п. 2).
Общим
решением дифференциального уравнения
л-ro
порядка
называется
компактная запись всех решений уравнения.
Для
уравне-
ния
я-ro
порядка
в
этой
записи будут
присутствовать'
п
параметров
произвольных
постоянных.
В
качестве этих параметров могут
быть
выбраны,
например, значения
при х -
х
й
самой функции
у и ее
про-
изводных
у',
...,
/»-').
в
частности, общее решение уравнения
2-го
порядка
у"
—f(x
t
у,
у
1
)
зависит
от
двух параметров
с,
и
с
2
,
например,
значений
у и
у'
при х =
х
й
.
Если
же эти
значения фиксировать,
т.е.
задать точку
(X
Q
,
y
Q
)
и
направление касательной
к
искомой
интег-
ральной
кривой
в
точке
*
0
,
то
этими условйями'определится
единст-
венная
интегральная кривая исходного уравнения.
Пример
1,
На
пружине подвешен
груз.
Когда
пружина
не
сжата
и не
растянута, будем считать координату
х
груза равной нулю,
— это
положение
равновесия.
Когда
мы
оттянем
груз
вниз, пружина
будет
стремиться
сжаться
и
потянет
груз
вверх.
В
определенных
пределах
изменения
х
по
закону
Хука
сила
со
стороны пружины, возвращающая
груз
в
положение
равновесия,
пропорциональна
по
величине
х и
об-
ратна
по
знаку. Значит,
таково
же и
ускорение,
и
потому
диффе-
ренциальное уравнение,
описывающее
процесс
колебаний
груза
на
пружине, т.е.
зависимость
координаты
х"от
времени
t,
есть
х" -
-kx
(никакие силы сопротивления типа
сопротивления
воздуха
не
учитываются).
Оттянем
же
груз
вниз
на
величину
ей
отпустим,
Эти
начальные
условия
х(0)
~
-а,
х'(0)
- 0
дают
ре-
шение
х(/)
=
~а
cos
-fkt.
Для
проверки сначала продифферен-
цируем
его
дважды
и
подстановкой
в
дифференциальное
урав-
нение
убедимся,
что это в
самом
деле
его
решение.
Затем
уо
•
димся,
что
выполняются начальные
условия.
Теперь
— на
основании
теоре-
мы
о
существовании
и
единственности
—
можно заключить,
что это
реше-
ние
искомое.
Дифференциальное уравнение
я-го
порядка можно
свести
к
системе
л
дифференциальных уравнений
1-го
порядка.
В
самом
дел
>
обозначим
у
'через
у,,
у"
через
y
v
..„
у
(
"~
1)
через
)>„„,.
Получим
си -
тему
дифференциальных уравнений:
(2)
202
Для
этой системы
также
можно ввести понятие частного
и об-
щего
решений,
а
также начальных условий. Начальные условия мож-
но
задавать
значениями
всех функций
у,
у
{)
...,
у
н
_,
в
некоторой точке
x
Qt
т.е.
это
просто начальные условия исходного уравнения
л-го
по-
рядка.
Когда такое частное решение системы будет
найдено,
то
функ-
ция
у
будет искомым частным решением исходного
уравнения
л-го
порядка.
Верно
и
обратное:
если
дана произвольная
система
(3)
диффе-
ренциальных
уравнений 1-го порядка:
y'l^(x,y
l>
^
f
У
а
),.
У'г=/г(х>У\,..,>Уд,
ф
y
l
a
ss
f
a
(x,yi,...,y
l
),
то
ее
можно,
исключив
все
неизвестные функции, кроме одной, све-
сти
к
одному уравнению соответствующего порядка, которое, воз-
можно,
решить окажется проще.
Пример
2,
Решить систему
|
j^k*
двух
уравнений
1-го
порядка.
Поп
PetlteH
"
e<
Продифференцировав
первое уравнение, получим
у"
-
г'-
'одставим
в
Hero
Z
из
второго уравнения, получим
у" -
j>.
Общее решение
того
уравнения
есть
у
=
с,е*
+
с
г
й~
х
.
Используя первое уравнение, получаем
~
c
i
e
~
С
2
е~
х
.
и
исходная система решена.
ЗАДАЧА
Вспомним
«задачу
о
разведчике»
(см.
п. 1
раздела
1.3).
В
засе-
реченном
городке около
100 000
рабочих работало
на
трех крупных
водах,
других заводов
в
городке
не
было. Разведчику удалось
до-
дать
данные
о
текучести кадров:
за
од
из
каждой тысячи работающих
с
анода
А 20
чел.
переходят
на
завод
Д
»чел.
на
завод
С и
т.д.
Городок
жил
^ильной
спокойной жизнью
уже
CVM
ЛСТ
*
В
этих
У°
лови
ях
разведчик
умел
установить численность
рабо-
«X
на
каждом заводе. Сумеете
ли
делать
это вы?
ал
ь
^
задача
бы
ла
решена,
Но
теперь
мы
составим дифференци-
этих
№
уравнения
>
которым
удовлетворяют численности рабочих
на
Лен
^
аводах
-
Ведь текучесть кадров есть скорость изменения чис-
с
ти
рабочих. Поэтому получаем следующую систему диффе-
203
ренциальных
уравнений,
к
которым добавлено нормировочное
урав-
нение
da/d/=~0,035а
+
0,0076
+
0,008с;
d6/d/=0,020a
-
0,017*
+
0,010с;
/
4
\
dc/d*=0,015u
+
0,0106-0,018c;'
д+6
+
с=100000.
Для
точной постановки нужно добавить
еще
начальное
условие,
выражающее
численность рабочих
на
каждом
заводе
на
начальный
момент
а(0)
=
а,
6(0)
-
b
t
c(0)
=
с.
Однако можно доказать,
что
не-
зависимо
от
этих начальных условий функции
a(f),
b(t),
с(/)
стремят-
ся
при /
->
°°
к
некоторым константам
а',
Ь',
с*,
которые
называются
предельными
или
стационарными значениями,
и при
этом
их
произ-
водные стремятся
к
нулю.
Эти
константы легко найти,
если
поло-
жить
все
производные равными нулю
и
решить систему
алгебраиче-
ских
уравнений:
О
=-0,035с
+
0,0076
+
0,008с;
О
=0,020о
-
0,0176
+
0,010с;
О
=0,015c+
0,0106-0,018с;
0=д+6+с-100000.
Именнно
эта
система
и
была решена
в п. 1
раздела 1.3.
Отме-
тим,
что
подобные системы дифференциальных уравнений
широко
используются
в
теории массового обслуживания.
Тема
14.
ЧИСЛОВЫЕ
И
СТЕПЕННЫЕ
РЯДЫ
14.1. ЧИСЛОВЫЕ
И
СТЕПЕННЫЕ
РЯДЫ
1.
Сумма
ряда.
Пусть
'дана
некоторая бесконечная
последова-
тельность чисел
м\
ЯР
a
v
a
3
,
...,
д
и
,
... .
Составленный
из
этих чисел символ
с,
+
а
г
+
а
3
+ ... +
а
а
+
...
(
называется
бесконечным
рядом,
а
сами числа
(1) —
членами
ряд
•
Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут:
(2,в)
204
Сумма
нескольких первых
подряд
членов ряда называется
час-
тичной
суммой:
A
i
=
*р
А
г
=
«1
+
o
v
...;
А
й
=
я,
+
д
2
+...
+
в
я
;
... (3)
Конечный
или
бесконечный предел
Л
частичных сумм
А
п
ряда
(2)
при
п
->
оо
называют суммой
ряда
и
пишут
А-а
{
+а
2
-К..
+
я
()
+...
оо
или
Е
в„.
я«1
"
Если
ряд
имеет конечную сумму,
то его
называют сходящимся,
в
противном
же
случае
(если
сумма равна бесконечности
или же
суммы
нет
вовсе)
—
расходящимся.
Таким
образом, вопрос
о
том,
имеет
ли ряд
сумму,
равносилен
вопросу
о
том,
имеет
ли
предел последовательность
его
частичных
сумм.
Вопрос
же о
сходимости
или
расходимости ряда
равносилен
вопросу
о
существовании конечного предела последовательности
частичных
сумм. Верно
и
обратное:
какую
бы
последовательность
1<у
ни
взять, вопрос
о
наличии
у нее
предела равносилен существо-
ванию
суммы
ряда
b
l
+
(Ь
2
-
и,)
4-
... +
(Ь
н
-
/?„„,)
+ ... .
Пример
I,
Хорошо знакомым бесконечным рядом является геомет-
рическая
прогрессия
b,
bq
t
bq
l
t
,..,
V
1
,
...
•
Ее
частичная сумма
при q
+
I
естьs
tt
=>(b-
bg")/({
-
(i).
Как
известно,
при
[<?[
< 1
Hm
s
a
=
b/(i
- q). Это
l'l"
Tb
'°УМма
всей бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
При
WI
£
1
такая
же
прогрессия
дает
пример расходящегося
ряда,
причем
при
отэн
СГ
°
суммои
будет
бесконечность определенного знака
(в
зависимости
знака
членов прогрессии), если
же q
<
-1,
то
прогрессия суммы
не
имеет.
В
экономике бесконечные
ряды
и их
суммы появляются
в ос-
вном
в
теоретических исследованиях. Предположим, рассматри-
100П°
Я
Вопрос
°
РЫНОЧНОЙ
цене бессрочной облигации номиналом
обл
Д
°
Л
'
И
3
"
п
Р°Ч
ентным
купоном.
Это
значит,
что
владелец этой
тинн
ЦИИ
6уДет
каждый
Г
°Д
п
°лучать
30
дол.
Но
как
определить
ис-
Как
Ц6Ну
ВсеЙ
этой
бесконечной
последовательности платежей?
пой
Пр
5
вило>
Л10б
^я
валюта подвержена инфляции
(до
первой миро-
но
П
В
ы
эк
°номисты
считали инфляцию явлением
исключитель-
По
редньш
>
однако
после
этой войны почти
все
стали признавать
сост
ТЬ
небольш
°й
инфляции
—
1—2%
в
год).
Если инфляция
Эк
авляет
2
%
в
год,
то 30
дол.,
которые
получим через
год,
сейчас
полу!!
аЛеНТНЬ1
30
^
1
+
°'
02
>
дол
'
А
те
же
30
дол
"
КОТ
°Р
ЫС
планируем
Выхп
ИТЬ
Ч6ре3
2
года>
сейчас
эквивалентны
ЗОД1
+
0,02)
2
дол.
и
т.д.
ПОДУЧ
ЧТ
°
бесконечный
Р
яд
платежей
в 30
дол.,
которые будем
^
Яать
каждый
год в
будущем, сейчас эквивалентны сумме ряда
п«=о
'('
+
0,02)",
т.е.
сумме бесконечно убывающей геометрической
205
прогрессии
(первый платеж
30
дол. будет
на
днях).
Воспользовав-
шись
известной формулой, находим,
что эта
сумма равна 1530 дол.
(эта
задача была рассмотрена
в п. 2
раздела
4.1,
в п. 3
этого
же
раз-
дела
было дано
и
определение суммы бесконечного ряда).
Такого
рода
дисконтирование,
т.е. нахождение
сегодняшних
эквивалентов
прошлых
или
будущих платежей, применяется
и в
дру-
гих
ситуациях. Пусть,
например,
рассматриваются
две
стратегии
дей-
ствий
фирмы
в
будущем.
Для
выяснения, какая
из них
лучше,
при-
ходится
дисконтировать
к
сегодняшнему моменту будущие
прибыли
по
каждой
из
этих стратегий. Сегодняшний эквивалент этих
дискон-
тированных
прибылей представляет сумму бесконечного ряда.
Какая
из
этих сумм больше,
ту
стратегию, наверное,
и
нужно
выбрать.
2.
Свойства
и
признаки
сходящихся рядов. Доказательства
очень
просты
и
опущены.
Если
в
ряде
(2)
отбросить
п
первых членов,
то
получится
ряд
Д.*,
+
«„+,
+
.»,
(4)
называемый
остатком ряда
(2)
после
п-то
члена.
A.
Если сходится
ряд
(2),
то
сходится
и
любой
из его
остатков (4);
наоборот,
из
сходимости остатка
(4)
вытекает сходимость
исходного
ряда. Таким образом, отбрасывание конечного числа членов
ряда
или
присоединение
к
нему нескольких новых членов
не
отражается
на
по-
ведении
ряда
(в
смысле
его
сходимости
или
расходимости).
Б.
Обозначим остаток после
m-го
члена через
г
т
.
Тогда,
если
исходный
ряд
сходится,
то
г
т
стремится
к
нулю
при т
->
°°.
B.
Общий член
а
т
сходящегося
ряда стремится
к
нулю.
Это
необходимое условие сходимости ряда;
при его
невыполне-
нии
ряд не
может сходиться, т.е. заведомо расходится. Однако
оно
н
является достаточным,
т.е.
ряд
может расходиться, даже
если
эт
условие
выполнено.
Укажем
следующие
простые
свойства сходящихся рядов.
Г.
Если члены сходящегося ряда умножить
на
одно
и то же
чис-
ло, не
равное нулю,
то его
сходимость
или
расходимость
не
нару
шится,
а
сумма умножится
на это
число.
Д.
Два
сходящихся ряда можно почленно складывать
или
вычи-
тать,
так что ряд
(я,
±
£,)
+
(а
2
±
£
2
)
+
,..
также сходится
и его
сум»
равна
соответственно
А ± В.
3.
Признаки
сходимости знакопостоянных рядов.
В
таких
ряд
^
все
члены либо неотрицательны, либо
неположительны,
изу
206
ряды,
все
члены которых
неотрицательны,
или
кратко, положитель-
ные
ряды.
Итак, пусть
все
числа ряда
д
р
а
у
...,
а
п
,
... (5)
неотрицательны,
а
п
>
0.
Тогда очевидно,
все
частичные суммы неот-
рицательны
и
последовательность
А
п
частичных сумм оказывается
монотонно
возрастающей. Такая последовательность всегда имеет
предел
—
конечный,,
если
эта
последовательность ограничена сверху,
и
бесконечный
— в
противном случае. Получаем следующий вывод.
Вывод:
положительный
ряд
всегда имеет сумму;
эта
сумма
бу-
дет
конечной
и ряд
сходящимся, если частичные суммы ограничены
сверху,
и
бесконечной,
а ряд —
расходящимся
в
противном случае.
Прежде
чем
перейти
к
рассмотрению некоторых признаков схо-
димости
(и
расходимости) положительных рядов, докажем расходи-
мость
гармонического ряда.
Так
называется
ряд
оо
1/1
+
1/2
+
„.
+
1/л
+ ...
=
Е
1/я.
/i=i
•
Имеем
очевидное неравенство
1/(й
+ 1)
+
... +
1/(2д)
>
п
-
1/(2и)
=
1/2.
Отбросим
первые
два
члена
ряда,
тогда остальные можно раз-
бить
на
группы
по 2,
4,
8,...,
2*,
...
членов
в
каждой группе:
J1/3
+
1/4)
+
(1/5
+ 1/6 + 1/7 +
1/8)
+
... +
^
-
^
-
*
.^А
2
*
+
1)
+
У(2*
+
2) + ... +
\/(2"
+
2
;
))
+
-
.
2*
Каждая
из
этих
сумм
в
отдельности
будет
больше
1/2,
Пусть
S
—
частичная
сумма
п
первых
членов,
тогда
H
lk
> k
•
1/2.
Видим,
Нто
частичные
суммы
не
ограничены
сверху
—
значит,
гармоничес-
кий
ряд
расходится.
Сходимость
или
расходимость
ряда
часто
можно
установить,
равнивая
его с
другим
рядом,
сходимость
или
расходимость которо-
Уже
установлена. Следующая теорема представляется очевидной.
Теорема
1.
Пусть даны
два
положительных ряда
(А) и
(Б):
а
{
+
а
2
+
...
+ а + ... ; (А)
Ь,
+
Ь
г
+ ... +
Ь
й
+ ... . (Б)
вен
^°
ЛИ
ХОТЯ
бы
начиная
с
некоторого
номера
выполняется
нера-
нство
а
п
<
й
н
,
то из
сходимости
ряда
(Б)
следует
сходимость
ряда
v
),
или — что то же
самое
— из
расходимости ряда
(А)
вытекает
^сходимость
ряда
(Б).
207
л*
Пример
2.
Для
ряда
Е [1
/(п
-
1)°
-
1/л°]
(о > 0)
л-я
частим
ная
сумма
и-2
равна
1 -
1/л
в
и
ясно,
что ее
предел равен единице
при
п
-*
°°,
значит,
этот
ряд
сходится. Теперь сравнением
с ним
установим сходимость
ряда
£l/rt'
+
<l
(опять-таки
о > 0).
л-1
Функция
1/л°
убывающая. Применяя
к ней
теорему
Лагранжа
о
сред-
нем
(см.
п. 1
раздела
5.2)
в
промежутке
[п
-
1,
п],
получаем'
\/(п
-
1)"
«-
-
1/л
в
»а/(л~е)
1
+
в
,
гдеО<0<
1.
Поскольку
1/«
|
+
0
<
1/(й-0)
1
+
0
,то
I/n
1
*
0
<
[1/(л
-
1)°
-
\/п"]/<з.
Выше была отмечена сходимость
ряда
Е[1/(л
—
1)°
—
1/л°];
значит,
по
теореме
2,
сходится
и ряд
Jl/й
1
*
0
.
и-2
,
и-1
На
практике иногда более удобна следующая
теорема,
вытекаю-
щая из
теоремы
1, (В
дальнейшем предполагается,
что в
ряде
(Б) все
члены,
начиная
с
некоторого, строго
положительны.)
Теорема
2.
Если существует предел
lim
ajb
n
=
К,
то из
схо-
н->
*>
димости
ряда
(Б) при
К<
°°
вытекает сходимость ряда (А),
а из
рас-
ходимости
ряда
(А) при
К>
0
вытекает
расходимость ряда
(£).
Таким
образом,
при 0 < К <
оо
оба
ряда сходятся
или
расходятся
одновре-
менно.
Следствием
теоремы
1
является теорема
3.
Теорема
3.
Если хотя
бы
начиная
с
некоторого
номера
вы-
полняется
неравенство
а„
+{
/а„
^
Ь
п
+
,//>„,
то из
сходимости
ряда
(£)
вытекает
сходимость
ряда
(А),
а из
расходимости ряда
(А)
вытекает
расходимость
ряда
(Б).
(Предполагается,
что не
только
Ь
н
**
0, но и
а
п
&
0.)
Пример
3.
Используя теоремы
1—3,
путем сравнения
с
гармоничес-
ким
рядом
и
рядом
из
примера
2
установим сходимость
и
расходимость
не-
скольких
рядов.
По
теореме
1:
1)
EWя(л
+
1)
расходится::
l/Jn(n
+1)
>
!/(«
+
О»
л-1
2)
£
1А/«(л
2
+ 1)
сходится;
1//л(«
2
+ 1) <
1/"
э/г
;
л-1
'
ft*
3)
Ewl/л"
сходится:
л!/л"
<
2/л
3
(я > 3).
л-1
По
теореме
2:
4)
Е1/(й!//Г)
расходится;
1/(п^/Г):
1/«
->
1;
л-1
208
209
5)
Z(l
-
cos
л/л)
сходится:
(1 - cos
л/л):
1/n
2
->
л
2
/
2
-
ll"l
.Из
других признаков сходимости
или
расходимости
ряда
отметим
два
признака,
основанных
на
сравнении
рядов
с
геометрической прогрессией.
Признак
Кош
и.
Составим
для
ряда
(А)
последовательность
К„~
уй
л
.
Если хотя
бы при
всех достаточно больших
п
выполняется
неравенство
К
я
<
q,
где q —
константа, меньшая единицы,
то ряд
(А)
сходится;
если
же
начиная
с
некоторого номера
К
> 1, то ряд (А)
расходится..
'
Признак
Даламбера.
Составим
для
ряда
(А)
последователь-
ность
L
n
=
а
н
+
,/о
д
.
Если хотя
бы при
всех
достаточно
больших
п
выполняется
неравенство
L
n
<
q
t
где q —
константа, меньшая едини-
цы,
то ряд
(Л)
сходится;
если
же
начиная
с
некоторого номера
%
>
1, то ряд (А)
расходится.
Интегральный признак
Маклорена-Коши.
Этот
признак
по
форме отличается
от
предыдущих.
Он
основан
на
идее
сравнения
ряда
с
интегралом.
оо
оа
Запишем
исследуемый
ряд £
д„
в
виде
ЕД/0,
где
функцию/
«=1
/1=1
при
х
>
1
предположим непрерывной, положительной
и
монотонно
Убывающей.
/Г
^
Jl
ycTb
^*)
~~
какая-нибудь первообразная
для
Дх);
так как
б«
'
то
^
возрастает
и
при
х
-*
°°
имеет предел,
конечный
или
сконечный.
При
конечности
этого
предела
ряд
со
S
[Дл
+ 1) -
Дл)3
(6)
л
=
1
Дится,
а
если предел бесконечный,
то
этот
ряд
расходится.
С
этим
РЯДОМ
и
сравним исследуемый ряд.
fb
v^°
теореме
Лагранжа
о
среднем
(см.
п. 1
раздела 5.2) имеем
,Г
+
*)
-
Д")
=Дп
+ в), где 0 < 0 < 1.
Так
как
Л*)
монотонно
бывает,
то
а^,
&
д
й
+ 1) <
д„
+
1}
_
д
й)
<
д
л)
«
^
оа
В
случае
сходимости ряда
(6) по
теореме
1
сходится
ряд Б
а
я+
,
=
«
и
!
оо
««р
и
+
*)>
члены которого меньше соответствующих членов ряда (б).
со
Но
тогда
и
исходный
ряд Е
а„
также
сходится.
Если
же ряд (6)
рас-
л™!
ходится,
то и
исходный
ряд
расходится,
так как его
члены
больше
соответствующих
членов ряда
(б).
Отсюда получается
интегральный
признак:
при
сделанных
пред-
со
положениях
ряд Z
а
сходится
или
расходится
в
зависимости
от
я°1
того,
имеет
ли
функция
F(x)
конечный предел
при х
->
°°
или
нет.
х
Первообразную
F(x)
можно взять
в
виде
J/(/)df.
Как
известно,
1
предел
этого
интеграла
при х
-»
°°
называют несобственным
интег-
оо
ралом
J/(/)d?(cM.
п, 1
раздела 11.1).
1
Следовательно,
рассматриваемый
ряд
сходится
или
расходится
в
зависимости
от
того,
имеет этот интеграл конечное значение
или
нет.
Существуют
и еще
более тонкие,
и еще
более сложные
призна-
ки
сходимости
рядов.
Ознакомиться
с
ними можно
в
специальноя
литературе.
4.
Знакопеременные
ряды.
Так
называются ряды,
в
которых
по-
ложительные
и
отрицательные члены чередуются.
Для
таких
рядов
существует
весьма
простой
и
удобный признак сходимости.
Признак
Лейбница.
Если члены знакопеременного
ряД<|
с,
-
с
2
+
с
3
~
С
А
+...,
где
с
п
>
0,
монотонно убывают
по
абсолютной
величине
и
стремятся
к
нулю,
то ряд
сходится.
Можно
также
отметить,
что
остаток этого ряда имеет
знак
си
•
его
первого члена
и
меньше
его
по
абсолютной величине.
Пример
4.
Простейшие
ряды
лейбницевского
типа
L(-0"
/"
tt
И
1
=
1
-
1/2
+
1/3
-
1/4
+ ... и
£(-1)"*
'/(2«
- 1) - 1 - 1/3 + 1/5 -
I/
7
+
'"
п-1
сходятся
по
признаку Лейбница.
Поясним
еще,
что
такое абсолютная сходимость ряда.
Про Р
со
Е
а
п
говорят,
что он
сходится абсолютно, если сходится ряд,
сост
n
ra
l
210
ленный
из
абсолютных
величин
членов исходного ряда,
т.е.
если схо-
*>
со
дитсяряд
Е
|я„|.
В
этом
случае
сходится
и
исходный
ряд
Цд„.Ясно,
я=1
г
„=1
"
со
что
ряд
Е
\а
н
\
есть
положительный
и для его
сходимости можно
ис-
пользовать
весь
аппарат,
разработанный
для
положительных рядов
(см,
п. 3).
Отметим
также,
что ряд
может сходиться,
но не
абсолютно.
Например,
первый
ряд из
примера
4
сходится,
но'не
абсолютно,
ибо
ряд
из
абсолютных величин
его
членов
есть
ряд
гармонический,
а
этот
ряд
расходится.
5.
Степенные ряды.
Так
называются
ряды
вида
ею
„?
0
Я
Х
=
fl
o
+
fl
i*
+
Д
2
*
2
+
•••
+
«„*"
+
»•»
(7)
т
-е.
как бы
бесконечный
многочлен.
Теорема
4.
Если
ряд (7)
сходится
при х
=
d,
то он
абсолютно
сходится
при
всяком
x
t
таком,
что \х\ <
|d|.
00
Доказательство.
Из
сходимости ряда
£
a
n
d"
- а,
+
a.d
+
+
Л
/1=1
вп°
2
^
+
'"
вытекаст
'
что
его
общий член стремится
к
нулю
(см.
«Г»
как
I
?1
начит
'
ог
Р
ан
ичен,
т.е.
\af\
<
М,
Пусть
теперь
\х\
<
\d\.
Так
„
'
Л
(Л
~
Ml
(№/d"\)
<
М
\x/d\
K
>
то
члены
ряда
оказываются мень-
+
уи
0
°^
ТСтау10щих
членов
геометрической прогрессии
М +
М\х/а\
+
м
х/щг
+
..;
со
знаменателем
\x/d\
< 1.
Значит,
эта
прогрессия убывающая
и
поэтому сходящаяся. Сле-
со
«овательно,
и ряд S
|й
л
я»|
при |х| <
\d\
сходится
(по
теореме
1).
л
в
!
Существуют
степенные ряды, которые
не
сходятся
ни при
ка-
м
х,
отличном
от
нуля.
Таков,
например,
ряд
£
п\х",
расходимость
ЛяГ!?
0
/
0
при
Л10бом
х
ф
°
можно
установить
с
помощью
признака
^ВДамбера
(см.
п. 3).
РЫх
ре
^?
оложим
>
однако,
что
существуют значения
х,
при
кото-
это
мн
Д
СХ
°Д
ИТСЯ
-
Обозначим
через
S
множество
таких
х
Если
такой
ec
J
BO
He
ограничено
сверху,
то, как
следует
из
теоремы
4,
"
РЯД
абсолютно сходится
при
любом
х,
т.е.
всюду сходится. Если
211