Малыхин В.И. Математика в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

Например,

если

for, k > О, в

О,

й-Л,то

получаем

J7t(bc)

djc-n/:V/3|

л№/3

(тс/3)(АЛ)

(ji/3)rVi.

Это и

есть

объем прямого

кругового

конуса

высотой

А и

радиусом

основания

г-

kh.

Наконец,

длине

кривой.

Дли-

на

кривой определяется

как

верхняя

Рис,

грань длин ломаных, вписанных

эту

кривую.

Эта

верхняя грань

может

быть

определена

как

некоторый определенный интеграл

наподобие

того,

как

выражаются определенными

интегралами

площадь

фигуры

объем тела,

Механические

физические приложения.

Эти

приложения,

хотя

имеют принципиальный характер (выражающийся

том,

что

обойтись

этих приложениях

без

интегралов невозможно),

все же

довольно

специфичны

и для

экономистов мало интересны.

Ограни-

чимся

лишь следующей иллюстрацией.

Напомним,

что

скорость

есть

интеграл

от

ускорения,

прой-

денный

телом

пу/гь

есть

интеграл

от

скорости, Скорость

автомобиля

можно

определить

по

скорости вращения

-его

колес.

А как

опреде-

лить

скорость самолета?

По

«свисту» воздуха

за

бортом?

Как ни

уди-

вительно,

принципе так.

По

сопротивлению

этого

воздуха.

раке-

та

безвоздушном пространстве? Известно, например,

что

многие

ракеты

автономны

полете.

Как

определить

их

скорость

местопо-

ложение?

Они

имеют внутри себя гироскопы

—

вращающиеся

волч-

ки.

Ось

волчка стремится сохранить свое направление

пространст-

ве,

поэтому

если

ракета

летит

ускорением,

то

волчок

«улавливает»

его.

Интегрированием ускорения

во

времени находится скорость

ра-

кеты,

последующим интегрированием скорости определяется мес-

тоположение

ракеты.

Разумеется,

длительном космическом полете можно

как-то

ориентироваться

по

планетам, звездам

т.п.

Экономические

другие иллюстрации

понятию

интеграла.

Воспользуемся

геометрическим

пониманием

интеграла.

А,

100-ваттная

электролампочка

квартире

за час

свечения

•

потребляет

О, I кВт • ч, за два

часа

0,2 кВт • ч и

т.д.

За

сутки

она

много

раз

включается

выключается,

поэтому

подсчитать

расход

электро-

энергии

через

нее

напрямую

затруднительно.

ведь

квартире

десяток

лампочек,

есть

электроплита,

работает

телевизор

т.п.

Установленная

электрическая

мощность

потребителей

сильно

меняется

течение

суток

(рис.

5, а).

172

Как

подсчитать расход электроэнергии

за

сутки?

Так как в

про-

стейшем

случае

— при

постоянной мощности

потребителей

—

рас-

ход

энергии

за

время

равен произведению

qt,

т.е. площади прямо-

угольника

(рис.

б), то при

переменной

во

времени мощности

по-

требления

q(t)

расход энергии

за

время

от а до о

можно отождествить

площадью

криволинейной трапеции (рис,

в). Но эта

площадь

Раина

]q(t)dt

F(b)

F(a),

где

Д0

—

какая-нибудь первообразная

ДЛЯ

д(/).

Пусть,

например,

q(f)

- (t -

(см. рис.

в),

т.е. потребление

энергии

сначала

падает,

потом опять

возрастает.

Для

этой функции

первообразной

является,

например, функция

(/-

/3,

следователь-

°>

искомый

расход

электроэнергии

за

время

от 0 до 2

равен

«-1)

/3|

=2/3.

реальности роль первообразной исполняет электрический

четчик.

Скорость вращения колесика электросчетчика пропорцио-

нальна

суммарной мощности

q(t)

всех включенных

этот момент

квартире

электрических устройств.

1}эафик

изменения этой скорости

времени

подобен

кривой

q(f)>

т.е.

во

сколько-нибудь

раз

выше

или

иже;

поэтому счетчик суммирует нарастающим итогом расход элек-

роэнергии

квартире

и,

как и для

настоящей

первообразной»

рас-

°Д

электроэнергии

за

месяц равен разности показаний

счетчика,

щи

АбсоЛ1

°тно

так же

водомерный

счетчик суммирует

нарастаю-

чик

ИТОГом

асх

°Д

оды

всем заводом,

Птавной

деталью такого счет-

поп

является

УРбинка

лопаточками, скорость вращения которой

^ропорциональна

скорости текущей

по

трубе воды.

Но

ясно,

что

венный

расход воды через заданное поперечное сечение трубы

173

(где установлен счетчик) пропорционален скорости течения

этой

воды

(далее

см.

рассуждения

про

электрический счетчик).

В.

Среди приборов автомобиля есть спидометр.

Это

обычно

комбинированный

прибор, состоящий фактически

из

двух

прибо-

ров: собственно

спидометра,

т.е. показывающего скорость

автомобиг

ля в

данный

момент,

второго прибора,

показывающего,

сколько

километров

автомобиль наездил

начала эксплуатации.

Назовем

его

счетчиком

километража. Показания

этого

счетчика есть

первообраз-

ная

для

скорости автомобиля,

как

функции времени.

Из

других

пер-

вообразных

эта

выделяется тем,

что в

начале эксплуатации

она

равна

нулю.

Чтобы полнее убедиться

во

всем этом, подумайте,

каковы

бы

были

показания второго прибора, если

бы

автомобиль ездил

только

одной

и той же

постоянной скоростью.

Чем бы

можно было

заме-

нить

оба

прибора?

Г.

На

заряд

д в

электрическом поле напряженности

действует

сила

Eq.

Если масса заряда

/и, то он

движется

ускорением

qEjm,

Если

напряженность поля

меняется,

то и

ускорение меняется. Дви-

жение

заряда

этом случае носит сложный характер.

Для

расчетов

необходимо

использование интегралов.

Д.

Скорость

роста

населения страны зависит

от

многочислен-

ных

факторов

—

самой численности населения, жизненного

уровня,

традиций

т.п.

Для

расчетов используется сложный

математический

аппарат,

в том

числе дифференциальные уравнения

интегралы.

Е. На

нефтяном месторождении функционирует много

скважин.

Режим

работы

их

различен

(некоторые

простаивают

ремонте

т.п.).

поэтому мощность всего месторождения (дебит месторождения)

ме-

няется

во

времени, есть функция

q(f).

Тогда

за

время

от а до

место-

рождение

даст

]q(f)&t

нефти.

общем виде можно отметить,

что

если

/)(/)

есть

мгновенная

мощность производства,

то

J/>

(Отдает

выпуск продукции

за

время

от а до Ь,

Ж.

Пусть

на

складе хранится запас какого-то расходуемого

то-

вара

(например,

цемента).

Пусть издержки хранения одной

единиць

товара

течение одной единицы времени равны

Л<

Если запас

товар

на

складе есть функция времени

ДО.

то

издержки хранения

за

время

от а до Ъ

составят

\hf(t)&.

Такая

ситуация

рассматривалась

в п.

174

раздела

6,1 под

названием

«формула

Уилсона»,

При

рассмотрении

был

принят

без

обсуждения следующий

факт:

при

равномерном рас-

ходовании

запасов

от

Одо

нуля

за

время

издержки

хранения

мож-

но

подсчитывать

как

hQT/2.

Докажем это.

данном случае

*/?>

так что

J/j/W

[Ш*

-(Q/T)?/1)]

h(QT-

(0/Т)Г/2)

h(QT-

QT/2)

hQT/2,

что

.о

требовалось

доказать.

Отметим,

что

если график изменения запасов

во

времени есть

ломаная

линия,

то без

интегрирования можно обойтись: надо рабо-

тать

со

средними значениями.

Интересной иллюстрацией воз-

можности

применения интегралов

для

анализа

социально-экономического

строения

общества является

так

называ-

емая

«диаграмма

или

кривая Джинни»

распределения

богатства

обществе.

Рассмотрим

функцию

d(z),

которая

сообщает,

что

z-я

часть самых бедных

людей

общества

владеет

</(г)-Й

частью

всего

общественного богатства (рис.

6).

если

бы

распределение богатства было

Равномерным,

то

график функции

d(z)

шел бы по

диагонали квадра-

та.

Поэтому

чем

больше площадь

заштрихованной

линзы,

тем

нерав-

номернее

распределено

богатство

обществе.

Величина этой

площа-

Ди

называется

также

«коэффициентом

Джинни»;

Можно

придумать много аналогичных характеристик; напри-

Ме

Р,

для

оценки распределения заработной платы

фирме

или

ак-

Ции

среди сотрудников

т.п. Соответствующие функции Джинни

Наверняка

будут довольно сложными

и без

интегралов

не

обойтись.

И.

Экономисты выделяют

два

вида величин: потоки

стоки,

котор

Ь1е

анализируются парами. Например, касса предприятия каж-

Дыи

день составляет

отчет:

сколько выдано

сколько принято денег.

Усмотренная

как

ежедневная

эта

величина есть поток.

кассовый

тчетза

месяц есть

уже

величина-сток.

математической точки зре-

ия

величины-потоки есть мгновенные скорости изменения вели-

ин-стоков,

наоборот, величины-стоки

— это

интегралы

от

вели-

ин-потоков

за

какое-то

время,

иногда

переменным верхним

пре-

делом.

175

176

Так,

примерах

А,

Б,

(см. выше) мгновенные значения

мощ-

нос'ти

включенных

квартире электрических

устройств,

дебет

мес-

торождения,

мгновенный

расход

воды

есть

величины-потоки,

рас-

ход

электричества

или

воды

за

месяц

или

количество добытой

за

месяц нефти

есть

величины-стоки.

вообще, мгновенная мощность производства есть

потоковая

величина,

выпуск продукции

за

какое-то время есть стоковая

вели-

чина.

Предположим,

что у — это

величина, являющаяся

-функцией

времени,

Дд,

Ь)

—

величина, являющаяся функцией

временнбго

промежутка,

Предположим,

что

если

на

промежутке

[д, Ь]

величи-

на

постоянна,

то

Да,

у(Ь

- а).

Тогда весьма часто

Дд»

Ь)'*

)y(t}&

и у,

F—

пара величин

(у —

потоковая,

F—

стоковая)'.

К.

Велика

экономике

роль средних величин. Напомним,

что

среднее

значение величины

х,

изменяющейся

во

времени

по

закону

x(t)

на

промежутке

[а,

Ь],

есть

[\/(Ь

а)]

•

]x(t)dt.

По

своему

смыслу

среднее значение есть

интегральная'характеристика

широко

при-

меняется

для

Характеристики поведения величины

«в

целом»,

на

всем

промежутке.

ЗАДАЧИ

Выведите известные

из

школь'ной

программы формулы

для

площади

круга,

кругового сектора

сегмента круга

помощью фор-

мулы

для

площади

полярных координатах

(см.

п. 1).

Выведите известные

из

школьной программы формулы

для

объема

пирамиды,

усеченной

пирамиды,

кругового конуса

усечен-

ного

конуса

(см.

также

п. 1).

Найдите площади фигур

(рис.

7).

Найдите площади фигур

(рис.

8),

заданных

полярной

сис-

теме

координат:

а)

cos

2<р

—

лемниската;

б)

= \ + cos

(р

—

кардиоида;

в)

sin

Зср

—

трилистник.

электрический счетчик электроэнергии,

автомобильный

счетчик

километража имеют шкалу какой-то величины,

Например,

счетчик

километража обнуляется после

100000

км.

Каковы после

этого

«взаимоотношения»

между спидометром

этим счетчиком?

боль

шинстве

моделей

«Жигулей»,

кроме счетчика кило-

телГ

Жа

6СТЬ

еще

один

счетчик

(

тоже

километража), который води-

ль

может

любой момент обнулить. Каковы «взаимоотношения»

«ВДВДу

спидометром

этим счетчиком?

моВи

Электрический

счетчик

электроэнергии,

водомерный

авто-

оильный

счетчики километража являются примерами приборов-

граторо

РОВ

ИЛИ

сумматоров

Приведите

еще

примеры таких

инте-

УнивР

Помощью

электрического

счетчика можно было

бы

создать

Ка

^реальный

интегратор,

Примем,

что

скорость

вращения счетчи-

ПУСТ

проп

°Р^

иональна

величине текущего через счетчик

тока,

ся

AVB

ся

создат

интегратор какой-то величины

ж,

являющей-

РЫЙ

гтп

врсмени

*W-

Создадим промежуточный

прибор,

кото-

«»кая

т *

шрабатьшает

ток

пропорциональный

Ах,

где

-то

константа.

Ток

/создает поле, вращающее колесико счетчи-

Тогда

показания

^счетчика

будут

F(T)

jt(f)dt

где 0 -

начало

четчи1

СЧеТЧИКа

Ясно

что

точност

ыо

до

константы

показания

*Ь1

счети»

еСТЪ

пе

вообразНая

Для

х(().

помощью подходящей шка-

лика

его

показания можно сделать настоящей первообразной.

177

На

рис..

приведены графики функций спроса

D и

предложе-

ния

S в

зависимости

от

цены

р.

Какой экономический смысл

можно

придать

заштрихованным

площадям

или

соответствующим

интегралам?

Рис.

Найдите коэффициент Джинни распределения богатства

в об-

ществе,

если функция Джинни есть

10.

Известная задача

(автор

узнал

о ней от

В.В.

Ясько):

человек

несет

на

плече небольшое

деревце

отпиленными корнем

ветвями.

Какая

часть больше

весит:

корневая

или

верхушечная?

Тема

11.

НЕСОБСТВЕННЫЕ

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

11.1.

НЕСОБСТВЕННЫЕ

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Определение

интегралов

бесконечными

пределами.

разде-

лах

10.1-10.3

были изучены определенные интегралы

для

мУ

*»

немного

промежутка

ограниченной

этом промежутке

ФУ™^'

ffl

собственные

интегралы представляют

со^ой

обобщение

кяза

™

понятия

интеграла

на

случай бесконечного промежутка

нео

ченной

функции. Начнем

интегралов

на

бесконечном

Р°"

Пусть

fix)

определена

промежутке

[о,

то

) и

интегриру

любой

его

конечной части

[а, А], так что

интеграл

J/(x)cbc

сушестэуе

при

любом

а,

178

Если

предел этого интеграла

при А

-»

°°

существует

(Конечный

или

бесконечный),

то его

называют несобственным интегралом

со

функции

Дх)

от

до

оо

обозначают

j/(x)dx

Подчеркнем

еще

раз,

что

J/<*)dx

lim

J/(x)dx

(1)

-»~

Если

предел

конечен,

то

говорят,

что

интеграл

(1)

сходится,

ФУНКЦИЮ

Дд:)

называют интегрируемой

бесконечном промежутке

№.

°°).

Если

же

предел

(1)

бесконечен

или

предела

нет,

то

говорят,

что

интеграл

расходится.

Аналогично

определяется несобственный интеграл

/(jc)dx,

как

_ОО

оо

"Редел

lim

J/(x)dx.

Интеграл

же J

f(x)dx

можно определить

так:

А-)

-со

—се

возьмем

любое число

а и

если

оба

несобственных инт.еграла

°°

\ г

существуют,

то

существует

и J ,

который

равен

их

сумме.

-со

сообии

имер

Какую

минимальную скорость вертикально вверх надо

щить

тел

поверхности

Земли,

чтобы

оно не

вернулось

на

Землю?

притя*?'

''"

Зешш

имеет

Ф°Р

ша

Радиусом

6371

км.

Сила земного

ли

йтпн

ТОруга

надо

°Д°

левЕ

ть

телу

массой

ш,

поверхности

Зем-'

эта

омп

™

где

на

высоте

над

поверхностью Земли

Удалит!

РаВН

Л)

smi

)

Чтобы

тело

не

вернулось,

надо

гь

его в

бесконечность,

для

чего

совершить

работу, равную интегралу

[р

A)dft.

Для

нахождения

этого

интеграла,

найдем интеграл

затем

•

^мим

Яв

бесконечность. Имеем:

lgmt*/(r

«gmfit-lftr

A))l

SJnijjJ/]

йвенрмг

У(

+Я))-№&г/(г+

ff),

При

Я-^

оо

предел

этого

выражения

«юг,

^то

потенциальная энергия,

Если

ее

пересчитать

кинетическую

по

РМуле

mr=

(l/2)mv

то

получим

^З^и

11,1?

км/с.

Это

есть

ответ,

179

Несобственные интегралы

от

неограниченных

функций.

Рас-

смотрим-теперь

функцию

Дх),

заданную

конечном

промежутке

[а,

Ь],

но не

ограниченную

этом

промежутке.

Предположим,

ча-

стности,

что в

любом промежутке

[a, b —

е],

где 0 < е < b — а,

функ-

ция

Дх)

ограничена

интегрируема,

но в

остатке

[Ь

- е,

Ь]

функция

неограниченна.

Точка

называется особой точкой.

Ь-£

Предел интеграла

/(x)dx

при е

-»

(конечный

или

бесконеч-

ный)

называется несобственным интегралом функции

Дх)

от а до

обозначается,

как

обычно,

J/(x)dx

Подчеркнем

еще

раз,

что

ь-ъ

j/(x)dx

lim

/(x)dx.

~*°

Если

предел конечен,

то

говорят,

что

интеграл

(2)

сходится,

функцию

Дх)

называют интегрируемой

промежутке

[я,

Ь].

Если

же

предел

(2)

бесконечен

или

предела

нет,

то

говорят,

что

интеграл

(I)

расходится.

Пример

Функция

1Д/1-Х

интегрируема

любом

промежутке

!•:<

—,

1-е

[О,

1 - е] (0 < е < 1) и J

dx/V

1-х

arcsin

x I

arcsin

(1 - е). Так

как

lim

arcsin

- е)

arcsin

тс/2,

то

исследуемый несобственный

интеграл

е-Ю

равен

к/2,

Двойные

интегралы,

определение.

Задача нахождения

™ощади

криволинейной

трапеции

(см,

п. 2

раздела

10.1

и п. 1

разделаLIW.

приводит

понятию

простого (или одномерного)

-определенного

теграла,

а к

двойному интегралу

приводит

задача нахождения

ооъ

цилиндрического

бруса. Рассмотрим

тело

(У),

которое сверху

ничено

поверхностью

=Дх,

у),

боков

цилиндрической

пош*

ностыо

вертикальными образующими

снизу

njIOCK0

рой

(Р)

на

плоскости

ху

(рис.

1).

Требуется найти объем этого

Для

этого разложим область

(/)

сетью кривых

на

части

ir,**.

(Р„)

рассмотрим

ряд

цилиндрических

столбиков,

которые

имею»

ими

основаниями

эти

части

и в

совокупности составляют

данно

180

каждой

части

(Р)

возьмем

по

точке

(х,,

у),

тогда объем столбика

основанием

(Р)

приближенно

равен

J[x

y)P

(напомним,

что

Р,

обозначает

площадь

части

(Р)

фигуры

(Р)),

объ-

ем

всего

тела

(V)

приближенно равен

£/(*«

У)?,-

Для

повышения точности

(=1

' ' '

этого

равенства

будем

уменьшать

раз-

меры

частей

(Р),

увеличивая

их

число.

пределе,

при

стремлении наибольше-

го

из

диаметров

в.сех

частей

(/*)

нулю,

это

равенство

становится точным,

так

Рис.

чтоК=Нт£/(х,,^Р,

Предел

этого

вида

называется двойным интегралом

от

функ-

ции

Дх,

у) до

области

(Р);

он

обозначается

символом-

jj/(x,

y)dP

так

что

формула

для

объема тела

принимает

вид V-

JJ/(x,

y)dP.

(Г)

Видно,

что

двойной интеграл есть прямое обобщение обычного

интеграла

по

промежутку

на

случай двух переменных.

Двойной

интеграл используется

и для

нахождения площади

по-

ерхности.

Пусть поверхность задана

как

поверхность функции

№

у),

заданной

на

плоской области

(Р).

Если функция

область

Достаточно

«хорошие»,

то

площадь поверхности можно вычислить

юмощыо

некоторого двойного интеграла.

Сведение двойного интеграла

к по-

тому.

Это

сведение применяется

для

счисления

двойного интеграла.

бт,л/

мотрим

опять

Цилиндрический

<рис.

1),

только сейчас область

(Р) на

"'оскости.имеет.вид,

как на

рис.

т.е.

ог-

вой

СНИЗу

кривой

J'lW

СВ6

нн«.7

боков

вертикальными

ли-

«иями

х =

и х

Ь.

опп

Теорема

°ли

для

функции

Дх,

у),

феделенной

области

(Р),

существует

181

Рис.