Малыхин В.И. Математика в экономике
Подождите немного. Документ загружается.
Рассмотрим задачу
ЛП с
двумя целевыми функциями
—
объе-
мами
выпуска продукции.
х
}
->
max,
Х
2
->
max,
x
l
+
Зх
2
<
18,
x
t
+
х
2
<
8,
ж,,
*
2
> 0.
Введем теперь цены реализации
с,
и
с
2
и
«свернем»
два
критерия
в
один
—
цена всего выпуска
с,*,
+
cfc
Проследите,
как
меняется
оптимальный
выпуск
и его
цена
в
зависимости
от цен
с,
и
с
г
.
1.
Пусть игроки играют
в
игру
(см.
пример
2),
Найдите
множе-
ство
оптимальности
по
Парето
для
этой
игры (игровое
множество
показано
на
рис.
4).
Тема
10.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ
И
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛЫ
ЮЛ.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
И ЕГО
СВОЙСТВА
Интеграл
—
одно
из
важнейших математических понятий.
Он
широко
применяется
во
всех областях
науки,
техники,
экономики.
Имеет
мировоззренческое значение. Сначала рассмотрим
его с
чисто
математической точки
зрения,
152
3.
Исследуйте ящик
Эджворта
для
следующих
пар
функций
полезности:
а)
ц
}
«
«,(*„
*
2
)
«
m
j
n
Ц,
2*
2
};
б)
и,
=
«,<*„
*
2
)
-
2х,
+
+
3*
2
;
в)
И|
(х„
х
2
)
«
min
Ц,
2х
2
};
M
2
(x,,
л
2
)
»
2х,
+
3^
2
.
1.
Дифференцирование
и
интегрирование
—
взаимно обратные
операции.
Как
известно, дифференцированием называется отыскание
производной
данной,
вообще говоря, произвольной функции.
При
этом
производная имеет ясный механический смысл
—
если
s(t)
есть
зависимость
пройденного пути
от
времени,
то
производная
s'(t)
есть
мгновенная
скорость
в
момент
/,
производная
же
(s'(t))',
или-2-я
про-
изводная
s"(О,
есть
ускорение
в
момент
А
Но
можно поставить
и
обратную задачу; если известна зависи-
мость
ускорения
a(t)
от
времени,
то как
найти скорость
в
момент
U
Или
если известна скорость
в
каждый момент
времени,
то
каков
будет
пройденный путь?
С
чисто математической точки зрения класс данных задач
та-
ков:
известна
функция
Л^)»
как
найти функцию
Дх)>
производная
Р'(х)
которой
есть
Л*)?
Определение.
Функция
Дх)
называется первообразной функ-
цией
для
функции
Лх) или
интегралом
отЛх),
еслиЛх)
есть
произ-
водная
функции
Дх) -
АХ)
=
f'(x).
Отыскание
для
данной,
вообще говоря, произвольной функции
ее
первообразной называется
интегрированием
(а
весь комплекс свя-
занных
с
этим вопросов
—
интегральным
исчислением)*
Как
видим,
эта
задача является обратной
для
дифференцирования.
Прямая
задача: Обратная задача;
дифференцирование
интегрирование
л*>->/'<*>
л*)
=
п*)->ад
Итак, если
F'(x)
»Лх),
то
Л*)
есть
производная функции Дх),
а
функция
Дх)
есть
первообразная функция
для
Л*)-
Однако вместе
с
F(x)
первообразной функцией
для
Л*)
будет
и
любая функция
Дх)
+
с
,
где
с -
константа,
так как
(Дх)
+
с)
1
=
П*)
=
Л*>-
Но
можно
доказать,
что
этим
и
исчерпываются
все
первообразные функ-
«ии
для
данной
функции
Дх),
т.е. любая
первообразная
функция
для
Л*)
имеет
вид ад +
с,
где
Дх)
-
какая-то
первообразная.
Следова-
тельно,
для
разыскания всех первообразных функций
для
Дх)
доста-
точно
найти какую-нибудь одну,
все
остальные получаются добавле-
нием
всевозможных констант.
В
силу
этого
выражение
Дх)
+
с,
где с
-
произвольная констан-
та,
а
Д*)
-
какая-то первообразная функция
для
Л*),
nPW£™J
собой
общий
вид
функции, которая имеет
производную>
Л*)-
Это
выражение
называется
неопределенным
интегралом
Ах)
(или
отдх»
и
обозначается
Itfx)dx;
произведение
Ax)dx
называется
подынтег-
ральным
выражением,
а
Л*)
-
подынтегральной
функцией,
153
Пример
1. Так как
(х
5
)'
=
Зх
3
,
то
/3;А1х
=
*>
* с; так как
(sin
2х}'
=
-
2cos
2х,
то
Jcos
2xclc
=•
0,5sin
2x
+
с;
Je*dx
=
е*
+ с.
Отметим
еще
раз: непосредственно
из
определения
неопреде-
ленного
интеграла следует,
что
производная
от
него
есть
подынтег-
ральная
функция, т.е.
<№)<1х)'=Л*).
(1)
i
Далее, если
Дх)
—
первообразная
для
Дх),
то
df(x)
-Л*)
1
**»
так
что
можно писать
d(M*)dx)
==Л*№-
С
другой стороны,
Jdflx)
»
-F(x)
+ с, так что
знаки
«d»
и
«J»,
поставленные
последовательно,
почти
сокращают друг
друга.
Пример
2. С
использованием знака интеграла теперь можно
запи-
сать,
что
s(t)
~
J
v(j)df
и
v(/)
-
Ju(/)dA
Проанализируем равноускоренное
пря-
молинейное
движение.
Например,
под
действием силы тяжести,
когда
й(0
=
const
- g.
Тогда
v(f)
=
gt
+
с,
где с —
произвольная константа.
Следо-
вательно,
данных пока недостаточно
для
определения скорости.
Это
ясно
и
из
физических
соображений. Чтобы фиксировать какое-то значение
v,
надо
знать скорость
в
какой-то момент. Пусть
v(/
0
)
=
v
0
,
тогда
v(/)
-
v
fl
и
&
й
+
с-
Следовательно,
с
=
v
0
~
gt
u
и
получаем такой закон изменения
скорости
от
времени:
v(/)
=
g
(t
-
$
+
V
Q
.
Поскольку
s(t)
-
Jv(/)d/
- fc(/ -
/
0
)
+
V
0
)d/*
~
s(t
- ffi/2 +
v
0
/
4-
с.
Опять-таки
с
можно найти, задав значение
пройден-
ного
пути
в
какой-то момент времени; пусть,
например,
s(Q
=>
s
v
тогда
с
~
^о
- V
и
окончательно получаем:
s(t)
=
£(/
-
/
0
)
2
/2
+
v
0
(/
-
/
0
)
*
s
v
Значения
v
fl
,
s
0
условно называются начальными значениями скорости
и
пути
в
момент
/
0
,
В
общем виде
для
выбора конкретной первообразной
можно
указать
значение
F
v
которое -она должна принять
при х
=
*
0
.
Если
F(x)
+ с —
неопределенный интеграл
для
Л*),
т.е. семейство
всех
первообразных,
то,
полагая
Дх
0
)
+ с
«
F
v
получаем
с
=
F
9
-
W
и
Дэс)
+
(^
0
-
/Ц))
— та
самая конкретная первообразная,
которая
в
точке
х
й
принимает значение
F
Q
.
^Пример
3.
Определить первообразную
для 2х,
которая равна
4
при
X
~~
2.
Так
как
\2xdx
«
х
г
+ с, то,
полагая
2
г
+ с
=
4,
получаем
с
=
0.
Значит,
искомая
первообразная
есть
л
2
.
•
Часто уточняют понятие
первообразной,
говоря,
что
функция
F(x)
есть первообразная
для
функции
Л*)
на
отрезке
[а,
Ь]
(интервале
и
т.п.),
если
F'(x)
-Л*)'во
всякой точке
этого
отрезка
(в
концевых
точках
речь
идет,
конечно,
об
односторонних производных).
154
2,
Геометрическое
понимание
интеграла. Рассмотрим
в
промежут-
ке
(а, Ь]
непрерывную
функцию
у
«Д*),
принимающую
лишь неот-
рицательные
значения. Рассмотрим
фигуру
ADCB
(рис.
1),
ограниченную
кривой
f(x),
двумя
вертикальными
прямыми:
х =
анх~Ьи
отрезком
[о,
Ь]
оси
ОХ,
т.е.
ADCB
-
криволи-
нейная
трапеция. Изучим поведение
площади
переменной фигуры
ADNM,
заключенной
между постоянной вер-
тикальной
прямой
х - а и
вертикаль-
ной
прямой,
отвечающей
произволь-
но
выбранному
в
промежутке значе-
нию
х. При
изменении
х эта
площадь
будет
изменяться, являясь функцией
от
х;
обозначим
эту
функцию
Р(х).
Л
Й,„
Р
МУ
ппа-
Найдем
производную
этой
функции.
Д
е
»
J
°^7полу-
вилу,
придадим
х
некоторое
приращение
Дх;
тогда
площадь
г
полу
чит
приращение
Д.Р.
„„«ЙППМИРР
чначе-
Пусть
» и
М
соответственно
наименьшее
"
на
^™
ь
~^
а
нияЛх)
в
промежутке
(х,
х
+
Ах], тогда
т •
6х<Р
<
*
4*™*£
-
<
АР/А,
<V
При
Д*
-*
0
Ж«те
Н
Жв£1ио
И
,
^
стремиться
к
Дх),
а
тогда
и
Д/уДх
-»
/W-
^
1С
^«
=
Нт
Д/уДх
=У(х).
^
Таким
образом,
справедлива
замечательна.,
тесфема
обычн^-
зываемая
теоремой
Ньютона-Лейбница:
производная
от
переменно
шщади
Р(х)
по
абсциссе
х
равна
^^У
ZS^
первообразная
Иными
словами,
переменная
"^
Первообразных
она
Функция
для
данной функции
Дж).
Из
других:
пер
v
отличается
тем,
что
Р(а)
- 0.
Любая
другая
первообразная
iw
w
Ах)
отличается
от
Р(х)
только
на
константу.
Следовательно,
площадь
криволи-
нейной
трапеции
ADCB
равна
Р(1>)
-
=
Р(Ь)
-
Р(а)
-
(Дй)
+ с) -
(Я«)
+
с
>
~
«ад
-
Дд),
где
Л» -
какая угодно пер-
вообразная
для
Уф).
Пример
4.
Найдем
площадь
Р(х)
фигу-
РЫ,
ограниченной
параболой
у
«£.
осью
v/
"
вертикальной
прямой
с
абсциссой
х
(рис.
^.
Для
функции
х
1
первообразная
есть,
на- .
пример,
х
3
/3,
следовательно,
искомая
площадь
РавнаВД^хУЗ-О-хУЗ.
155
Повторим
еще
раз:
для
непрерывной
функции
Лх),
заданной
на
отрезке
[а,
Ь],
вполне правильно понимать первообразную
как
пере-
менную
площадь
?(х)
криволинейной трапеции
(см, рис.
1).
Еще
одно геометрическое понимание интеграла состоит
в
сле-
дующем.
Как
известно,
значение производной
в
точке есть
тангенс
угла
наклона касательной
(п. 1,
раздел
5.1).
Йоэтому
найти
для
функ-
ции
У(х)
первообразную, значит, найти такую функцию
Дх),
Каса-
тельная
к
графику которой
в
точке
х
имеет тангенс угла
наклона^).
3.
ТЬблица
основных
интегралов.
Каждая формула
дифференци-
ального
исчисления,
устанавливающая,
что для
некоторой
функции
Дх)
производная есть
f(x),
дает
и
формулу интегрального
исчисле-
ния:
J/(x)dx
=
Дх)
+
с.
Возьмем следующие формулы дифференцирования
(п. 3,
раз-
дел
5.1):
1)С'=0;
2)(х«)'=са«-ь
з)
(я*)'
=
а*
•
In
а;
4)
И'=
е*;
5)
(1пх)'
=
1/х;
- 6)
(Iog
e
x)'
=
l/(xlnfl);
7)
(sin
х)'
=
cos х; 8)
(cos
х)'
=
-sin
х; 9)
(tg
х)'
=
I/cos
2
х;
10)(ctgx)'=~l/sm
2
x.
Используя
их,
получим следующие правила
интегрирования
(с
небольшими естественными изменениями):
1)
JO
•
ох
=
с;
2)
Jx°dx
«
х«
+
'/(а
+ 1) + с
(предполагается
а
ч*
-1);
3)
J^dx
=
ayin
a + с; 4)
Je*dx
=
e
v
-Ь
с;
5)
Jl/x
•
dx
«
In
|x| + с; б)
jl/x
dx
»
iog
o
x
• In a;
7)
Jcosx-
dx =
sinx
+ c; 8)
Jsin
x •
dx
=
-cosx
+ c;
9)Jl/cos
2
x-
dx
=
tgx
+
c;
10)
Jl/sin
2
x
•
dx=
-ctgx
+
c,
К
этим формулам добавим
еще
четыре, требующихся
довольно
часто:
И)
Jdx/(l
+
х
2
)
=arctgx
4-с;
12)
Jdx/(l
-
х
2
)
-
(l/2)ln
|(1 +
х)/(1
- х)| + с;
13)
Jdx//l-x
2
=
arcsin
x + с;
г
^_
14)
Jdx/Vx
2
+1
=
In
|x +
7х
2
+11
+
с.
156
При
использовании этих формул
полезно,
«мысленно» диффе-
ренцируя,
подбирать соответствующие интегралы, особенно коэф-
фициенты
пропорциональности
в
них.
Пример
5. a)
JVxdx
«
/х'/Чх.
Применив формулу
(2),
получим
1ДЗ/2)
-
л
3
/
1
-I-
с =
(2/3)^
+ с; б)
Je*dx
»
(1/3)^
+ с.
4.
Простейшие правила
интегрирования.
1.
Если
k
-
постоянная
и
/с
#
О,
то
Jw)dx
e
*
Ш«**
Действительно, согласно правилам дифференцирования, про-
изводная
правой
части
равна
(k
J/Wd*)'
-
*ЛО,
что
и
требовалось
доказать.
Таким образом, постоянный множитель можно выносить
из-под
знака интеграла,
-
2.
J№)
±
fi(*))d*
e
'№)d*
±
W*)to
Опять
дифференцируя
выражение
справа,
пол
^
аем
п
"°^"
т
^"
ральную
функцию слева,
что и
требовалось
доказать,
Следователъно,
неопределенный
интеграл
от
суммы
(разности) функций
равен
сум-
ме
(разности) интегралов
от
этих функций.
3.
Если
Lwto
= ВД
+с,
го
k«
+
»)
-
(1/«)Д«
+
*>+«;
Действительно,
исходное
соотношение
означает
что
£<*™
:
Но
тогда
((1/
в
)Д«
4=
W
+
с)'
=
Л«
+
*)
=^
да
+
ft)>
чт
°
И
Треб
°
валось
доказать,
г _
В
частном
случае, когда
а = 1
или
Ь - 0,
имеем
J/fr
+
*)d^
-
=
Пх
+ 4) + с,
1дда)Ф:
=
(1/в)Двх)
+
".
Пример
4.
Вычислим
несколько интегралов,
пользуясь
только
что
изложенными
правилами:
а)
W
- 3*
+
«d,
=
JtoM*
-
bdx
+
Jsdx
=
2Д?
-
(3/2*
+
S,
+
с;
б)
Jsin'xdx
=
J«l
-
co
S
2*)/2)dx
- V» -
(V4№
*
+
Ч
в)
Jo
-
«9(2
+
^)dx
-1(2
-
x
-
№
-
ax
-
*/a
-
^*
c;
D
!((x
H-
D/^)dx
-
JVTd,
+
Idx/V^
-
(V3)^"
+
2V^
+
c.
S.
Интегрирование
путем
замены
переменной.
В
основе
этого
ме-
тода
лежит следующее замечание.
Замечание. Если
Ш<И
Я
^
"
Ьс
'
то
JrtK^)P
(
W<te-cWd)
+ft
(2)
157
Действительно,
это
прямо вытекает
из
правила
дифференциро-
вания
сложной функции:
(G(p(z))
+
с)
'=
G
'(p(z))
• Р
'(z)
=
g(p(z))
•
р
'(г).
Пусть
требуется вычислить интеграл
jf[z)dz.
Если удается
в ка-
честве новой переменной выбрать
от z
такую функцию:
t
=p(z),
что-
бы
подынтегральное
выражение
приняло
видДг)^
=
g(p(z))'
р
'(z№>
где
g(f)
—
более удобная
для
интегрирования функция.
Тогда,
как
указано
выше,
достаточно
найти интеграл
jg(t)df-
G(t)
+
с,
чтобы
из
него подстановкой
/
=
n(z)
получить искомый
интеграл.
Обычно
пишут
просто
jf(z)dz
=
jg(t)dt
t
подразумевая,
что в
функции
от
/
в
интеграле
справа указанная замена произведена.
Найдем, например, интеграл Jsin
2
z * cos z • dz. Так как
d(sin
z)
~
- cos z
dz,
то,
полагая
t
=
sin-z,
получим интеграл
J
At/,
Этот
интеграл
равен
Г
3
/3.
Теперь
остается
вернуться
к
переменной
z,
подставляя
sin
z
вместо
t.
Получим
sin
3
z/
3
-
б.
Интегрирование
по
частям. Пусть
и
-J[x),
v
=
g(x)
—
функции
от
х,
имеющие непрерывные производные
и
=/'(*)
и
v
e
S
'(*)•
Тогда
по
правилу дифференцирования произведения
d(«v)
=
wdv
+
vdw
или
wdv
=
d(wv)
-
vdw.
Имеем
udv
=
d(wv)
-
vdw,
и так как
Jd(Mv)
=
uv,
то
окончательно
}udv~
uv -
Jvdw/
&'
Эта
формула выражает правило интегрирования
по
частям.
Пусть, например, требуется найти интеграл
)х
• cos x •
dx.
Поло-
жим,
и
~х,
cos х • dx
«
d(sin
х),
тогда
dw
=
dx,
v = sin x По
формуле
(3)
имеем:
jx-
cos
х-
dx
-xslnx-jsinx
•
dx-x-
sinx
+
cosx
+
^-
Заметим, наконец,
что
существует
еще
много формул
и
приемов
интегрирования различных функций
и
составлены весьма
обширные
таблицы
интегралов/т.е.
первообразных.
ЗАДАЧИ
,
Пользуясь
таблицей
простейших интегралов, найдите
интегралы.
1.
J<2x
+
l)
2
dx
(возведите сначала выражение
в
скобках
в
квадрат).
2.
J(2
-.x*)
2
dx
(аналогично).
158
3.
J(l +
jc
2
)/*
•
dx
(сначала почленно поделите).
4.
Jx>dx/0
+
x)
2
(преобразуйте
так:
xY(l
+
л?)
=
(х
2
+ 1 -
1)7(1
+
+
х»)»1
-
1/(1
+
*
1
)
и
т.д.).
5.
Jx*dx/(l
-
^)
(аналогично
4).
6.
Дх
2
+
3)ck/(x2
- 1)
(аналогично
4).
7.
J(l + sin
x-
cosx)dx.
8.
Используя правило
3 из п.
4,
найдите интегралы:
W<*
+ а);
1(2*
-
3)
lt
»dx;
W(2
+
Зх>);
Jdx/(2
-
Зх>).
9.
Используя
замену
переменной
(см.
п,
5),
найдите интегралы:
W/T^";
J^yTT7dx;
JxdV(3-^);
J^/(l
+^;
W/(^-2);
Jxe-^d*
Je-dx/(2
+
e*);
W(^
+
e-).
10.
Применяя
интегрирование
по
частям
(см.
п.
6),
Найдите
ин-
тегралы:
С
jlnx-dx;
jx-e-'dx;
Jx-cosx-dx;
Jarcsin
x
•
dx.
10.2.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ
И ЕГО
СВОЙСТВА
1.
Площадь
криволинейной
трапеции.
Вернемся
«Д^'
ления
площади криволинейной трапеции
(см.
п.
2
Р
а
^
л
^
lu
^'
e
Пусть
на
промежутке
[а.
Ь\
определена
^^^^^
Чия
,
&>W
.
Рассмотрим
фигуру
/ШСЯ
(рис.
I),
ограниченную
кри
Вой
Дх),
двумя вертикальными прямы-
ми
х~акх
=
Ьн
отрезком
[а,
Ь]
оси ОХ,
т.е.
криволинейную трапецию.
Разделим основание
АВ
трапеции
на
несколько частей точками
а
-х
й
<
х
{
-
<х
п
~Ьк
проведем
в
точках деления
вертикальные
отрезки.
В
результате
трапеция
разделится
на
несколько
по-
лосок
(см, рис.
1).
Заменим каждую
полоску
прямоугольником
с тем же ос-
нованием
и
высотой,
совпадающей
с
Гамакриволи-
одной
из
ординат
полоски, например
^^S^S^^^-
нейная
трапеция
заменится
при
этом
ступенчатюй
Ф
и
™£»
^нной
из
прямоугольников.
Тогда площадь полоски окажется
пр
ближенно
равной
площади заменяющего
ее
прямоугольника,
а
пло-
щадь
всей трапеции
—
площади этой ступенчатой фигуры.
Основание
f-ro
прямоугольника равно
Дх,
=х,
+!
-х,,
так
что
его
площадь
равна
f(x)&x
lf
а
площадь всей ступенчатой
фигуры
равна
л-1
£
Л*/)Дх,-
Итак,
площадь
Усамой
криволинейной трапеции
прибли-
/=о
л~1
женно
равна
£
Д;с,)Дх,.
/«о
При
безграничном убывании
всех
Ах,
к
нулю погрешность
этого
равенства
также стремится
к
нулю
и
точное значение площади
S
по-
лучается
как
предел
ШпЕЛ^дх,
(1)
при
стремлении всех
Дх,
к
нулю.
Для
обозначения сумм вида
£/•
Ах
(вернее,
их
пределов)
и
вве-
ден был
символ
lflx)dx
Так как
площадь, представляющая
это
пре-
дельное значение, есть
в то же
время
и
первообразная
для
функции
Л*)»
см. п. 2
раздела 10.1,
то
этим
же
символом стали
обозначать
и
первообразную
функцию
для
f(x).
Чтобы подчеркнуть,
что
речь
идет
ь
о
площади трапеции
от а до
Ь,
стали писать
}f(x)&x.
а
Само
существование площади трапеции
ADCB
также
связывают
с
существованием предела (1). Можно придумать такие
сложные
функции
Дх),
что
предела
(1) для них не
существует.
В
этом
случае
говорят,
что
трапеция
ADCB
не
имеет площади
—
интуитивно
можно
представить причину
в
том,
что
функция
fix) очень резко меняет
свои
значения
~
«прыгает»
вверх
и
вниз,
и ее
график
не
тонкая
кривая,
а
фактически «заметает» целую полосу.
2.
Определение определенного интеграла. Пусть
функция
Л*)
за
"
дана
в
некотором отрезке
[д,
Ь].
Разобьем отрезок несколькими точ-
ками
на
части.
Пусть
эти
точки
есть
а <
х
0
< ... <
х
п
~
Ь.
Обозначим
наибольшую
из
разностей
Дх,
-
х,+,
-х,через
X.
„
Выберем
в
каждом промежутке
[x
t
,
x,
+
I
]
произвольную
точку;/
п~\
и
составим сумму
а
=
£
Л^,)Дх,'
/»о
Говорят,
что
сумма
а
(являясь, понятно, переменной
величи-
ной)
при К
-**
0
имеет предел
S,
если
для
каждого
е > 0
найдется
160
такое
5 >
0,
что как
только
X
становится меньше
8
(т.е. промежу-
ток
[а,
Ь]
разбит
на
части
с
длинами, меньшими
8),
неравенство
\S~
о|
< е
выполняется
при
любом выборе чисел
£,.
Записывают
это
так:
S —
lim
o~.
х-»о
Определение. Если предел
Sсуммы
а при
Я
-»
0
существует,
то
он
называется определенным интегралом функции
Дх)
в
проме-
ь
жугке
от
о
до 6 и
обозначается
l/(*)d*.
Сама
функция
Л*)
при
этом
а
называется
интегрируемой
на
промежутке
[и,
А]>
При
этом числа
а и b
называются соответственно
нижним
и
йерхним
пределами интеграла.
При
фиксированных пределах опре-
деленный
интеграл
есть
постоянное число.
Это
определение определенного интеграла принадлежит Рима-
ну,
из-за
чего
этот
интеграл
и
называется
римановым.
Существуют
и
Другие
конструкции интегралов.
Нам они не
понадобятся.
Описанная
схема определения определенного интеграла исполь-
зуется
для его
приближенного вычисления. Отрезок интегрирования
проходится
с
каким-то
шагом
А и
находится
значение
суммы
2ЛУ/Г.
ь
Это
и
есть приближенное значение интеграла
№)dx
Дли
получения
а
более
точного
значения
надо
уменьшить
шаг А.
3.
Свойства
определенного
интеграла.
Некоторые
из
этих свойств
примем
без
доказательства.
1.
Интегрируемая
функция необходимо ограничена
(на
проме-
жутке
интегрирования),
~
„
а
_
Доказательство.
Пусть
функция
Л*)
не
ограничена
Тогда
ка-
ковы
бы ни
были малы промежутки деления
[*,,
х
+
J
на
каком-то
из
"их,
например
[х„
х
+
Л,
Функция
не
ограничена.
Значит;
она
лрннк-
«ает
на
этом
промежутке
сколь угодно большие
значения.^ледова-
тельно,
величина
Л^Дх,
может
быть сколь угодно большой
за
счет
й
"бора
точки
L
в
этом
промежутке.
Значит,
и
сумма
а
*«««***
делана
сколь
угодно
большой
и
потому
она не
имеет (конечного)
п
Редела.
161