Малыхин В.И. Математика в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

серия

основана

199В

г.

В.И.

МАЛЫХИН

МАТЕМАТИКА

ЭКОНОМИКЕ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва

ИНФРА-М

2000

УДК

330.115(075.8)

ББК

22.11.Я73

М20

«п

Малыхин

В.И.

Математика

экономике: Учебное посо-

/и

бие.

М.;

ИНФРА-М,

2000.

356

с.

(Серия «Высшее

обра-

зование»).

ISBN

5-86225-867-1.

Экономисту необходимо знать математику. Математический

аппарат

—

важный

инструмент экономического анализа, организа-

ции

управления.

Пособие составлено

виде

лекций,

объединенных

по

темам.

конце

каждой

лекции приведены решения типовых задач,

также

задания

для

самостоятельной работы.

Предназначено

для

студентов экономических факультетов вузов.

ББК

22.11.я73

ISBN

5-86225-867-1

В.И.

Малыхин,

1999

ВВЕДЕНИЕ

КАКУЮ

МАТЕМАТИКУ

И КАК

ДОЛЖЕН

ИЗУЧАТЬ

БУДУЩИЙ

ЭКОНОМИСТ

(МЕНЕДЖЕР)

Существуют

-два

взгляда

на

математику

и ее

роль среди других

наук

процессе обучения. Первый считает,

что

математика

— это

нечто

самостоятельное; самоценное. Второй

это

признает также,

но

основном считает математику инструментом, владение которым

по-

лезно

необходимо. Несомненно, математика имеет определенное

мировоззренческое

значение,

но для

специалистов

по

экономике,

управлению

—

«менеджеров»

математика является

большей

мере

инструментом анализа, организации, управления. Исходя

из

этого

написана данная книга.

Книга называется «Математика

экономике»

состоит

из

трех

частей,

соответствующих

трем

семестрам,

которых предполагается

изучение

математики

и ее

применения

экономике

финансах.

Первая

часть называется «Основы

линейной

алгебры

математическо-

го

анализа».

Вторая часть называется

«Математический

анализ

эко-

номическими

приложениями»

третья

—

«Теория

вероятностей

ста-

тистические

методы

экономике».

Книга

написана иначе,

чем

классические курсы высшей мате-

матики

для

вузов. Первое отличие

том,

что все

изучаемые математи-

ческие,

понятия иллюстрируются приложениями

из

экономики,

фи-

нансов, управления.

Эти

приложения

не

разрозненны. Фактически

эти

приложения охватывают важнейшие понятия, разделы

«Матема-

тической

экономики», «Финансовой математики»

(например,

тео-

рия

потребительского

спроса,

теория оптимального портфеля,

тео-

рия

принятия

решений группой

лиц и

т.п.). Часто

эти

приложения

выходят

на

первый план, т.е. показывается,

что

математические

по-

нятия

вводятся

изучаются ради экономических.

Это

—

вторая осо-

бенность книги. Третья особенность касается третьей части,

В ней

теория вероятностей

математическая статистика излагаются,

сущ-

ности, одновременно,

что

придает учебному материалу

сжатость,

концентрированное^,

Изложение полной

теории

некоторых

вопро-

сов не

предусматривается,

надежда

на

овладение

соответствующими

компьютерными программами

(например,

нет

теории

симплекс-ме-

тода,

однако вполне возможно

освоение

какого-нибудь пакета

по ли-

нейному

программированию

па

практических занятиях

или

самосто-

ятельно),

Многие доказательства опущены,

при

желании

их

легко

найти

более продвинутых курсах вузовской математики. Предусмо-

трены

необходимые контрольные мероприятия (что особенно

важно

для

заочного

вечернего обучения).

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ,

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МОДЕЛИ

Реальные

объекты слишком сложны, поэтому

для их

изучения

создают модели

—

копии изучаемых реальных объектов.

одной

сто-

роны,

модели должны быть доступны для изучения, в силу

чего

они

не

должны быть слишком сложными

—

значит,

они

неминуемо

будут

лишь

упрощенными копиями.

Но с

другой

стороны,

выводы,

полу-

ченные

при их

изучении,

мы

хотим

распространить

на

реальные

объекты-прототипы,

следовательно,

модель должна отражать суще-

ственные

черты изучаемого реального объекта.

силу такой двойственности построение, составление моделей

во

многом является искусством.

Чем

удачнее будет подобрана, пост-

роена

модель,

чем

лучше

она

будет отражать существенные

черты

реального

объекта,

тем

успешнее будет

ее

исследование

полезнее

вытекающие

из

этого исследования выводы

рекомендации.

научном

исследовании используются самые различные моде-

ли:

натуральные

(например,

лаборатории строят маленький

ручеек

и над ним

возводят копию

ГЭС в

масштабе

:100)

абстрактные;

физические

(из

трансформаторов, сопротивлений, вольтметров

т.п.); математические

(из

переменных, функций, неравенств

т.п.).

•

Составление математических моделей

называется

математи-

ческим моделированием. Именно через составление математических

моделей применяется математика

научных

исследованиях,

других

науках.

Это

довольно ярко заметно

и в

экономической науке.

Фактически

математический аппарат

математические модели,

которых

он

применяется, излагаются

данной

книге,

сущности,

параллельно.

СТРУКТУРА

УЧЕБНОГО

ПОСОБИЯ

Книга

имеет следующую структуру: части, темы, разделы, пунк-

ты.

Автор

старался написать тексты реальных лекций

— по

объему,

по

удобству изложения

т.п. Номер раздела складывается

из

номера

темы

номера раздела

внутри

этой темы. Например,

раздел

2.1 —

это во 2-й

теме

1-й

раздел. Автор старался компоновать пункты

так,

чтобы

их

можно было взять

качестве

экзаменационных

или

зачет-

ных

вопросов.

каждом разделе помещены также решения типовых

задач

задачи

для

практических занятий

или

самостоятельного

ре-

шения. Рисунки, формулы, примеры, задачи нумеруются внутри

раздела,

при

ссылках

на них вне

данного раздела

к их

номеру внутри

раздела

добавляется указание номера раздела. Например, ссылка

на

формулу

(1) в

разделе

2.1 из

другого раздела выглядит так:

см.

фор-

мулу

(1) в

разделе

2.1.

Если

же

ссылка

делается

на

другую часть кни-

ги,

то

указывается

эта

часть.

контрольных работах приведены

текст

задания,

данные

для

одного варианта, решение задач этого варианта

и еще

данные

нескольких

вариантов.

ОБ

ИСПОЛЬЗОВАННОЙ

ЛИТЕРАТУРЕ

По

высшей математике имеется немало великолепных

книг,

автор

(который

и сам в

свое время

по ним

учился)

без

зазрения

со-

вести

широко использовал

их,

часто

без

прямых ссылок. Однако

специально

отмечу

«Лекции

по

высшей математике» В.Н.

Кирюшен-

кова,

любезно предоставленные

им

автору. Заранее приношу свои

извинения

за то, что

иногда оказалось неудобным цитирование

ав-

торства

(иногда неизвестного).

оправдание отмечу,

что

автор

и не

рассматривает

свое учебное пособие

как

научный труд

— это

лишь

добросовестная обработка необходимого материала

некоторой точ-

ки

зрения,

именно: какую математику

и как

должен изучать буду-

щий

экономист (менеджер)?

ЧАСТЬ

ОСНОВЫ

ЛИНЕЙНОЙ

АЛГЕБРЫ

ТаШ!^^

Тема

ВЕКТОРЫ

МАТРИЦЫ

ЭКОНОМИКЕ

1.1.

ВЕКТОРЫ

ДЕЙСТВИЯ

НИМИ

Начальные

сведения

векторах. Вектором

называется

упо-

рядоченный

набор чисел. Так,

(1, 3, 7)

есть вектор. Обозначим

его

кратко

тогда

Р=

(1,

7).

Числа

векторе

учетом

их

расположе-

ния

по

номеру

наборе называются

компонентами,

вектора. Так,

векторе

число

есть

1-я

компонента, число

3 -

2-я,

число

7 -

3-я

компонента. Число компонент вектора называется

его

размерно-

стью. Следовательно,

/>-,

трехмерный вектор.

ПЙПП

РИМе

усть

завод

ПРОИЗВОДИТ

мужские,

женские

детские

£££п

Л/";

л[

Да

ем

Г°

Р°

нзв

°Д<™а

V за год

можно записать

как

£u^,7v

бъе

Р°

изв

°Дства

за

год

мужских

велосипедов,

был

™

пооо

им

Например

СТЬ

объем

производства

1996

г.

об™

„„„„„

4000

>-^положим,

что

план

на

1997

г. на 10%

больше

44onT

nv^f

ДСТ8а

„

1996

тогда

этот

план

есть

вектор

Г„

(1100,

880,

ЛУИПИИ,«

торговая

Фирма

«Велосипеды» покупает половину

всей

про-

жим

что

пг?п;1°

ГДа

19%

На

купила

И/=

(

500

400

2000).

Предполо-

Гп

;Л%о/

Не

ГО

тр

елосипедных

заоода

^ъемы

производства

ко-

1600

ЯПШ

ШИ

000

800

400

°)'

0°°»>

600,

2000),

б7

(2000,

ТР

dnSS

Аа

ол

л?

завода

вместе

произвели

(4000,

300?,

000)

же

отметит'ГГп

°^о

еНСКИ

^"-

°°°

Детски

««осипоков.

Можно

так-

пелоп

™Т

п'гп?

fia

завод

Р°

изнел

Р^а

больше

велоси-

педов

каждого

вида,

чем 1-й

завод.

Приведенные

выше

векторы

К„

О О О и

тп

—

что

жно

оГ:

еТН

Mtt

T"^

nA3^bHbm"

p1xMe

pHHft-B

KTO

Геоть

„Т1

(Х

*>>

или

кратко

вект

°Р

^компонента

мепннй

Л™

а>

Произвольный

четырех-

Ж.

™

ЖНО

обозначить

(^„

*»

*„

^),

если

какое-

Гм^ьГйТкГр"

™

СЛО>

<""

-•

°^

ачает

ПРОИЗВОЛЬНЫЙ

т,

В^п1т,11

3аЮТДВуХ

ВДОВ

"«'«"/""-««/""С"

вешоры-столб-

пи

ы„

,пт^

ДеННЫе

6ШИ

век

™РЫ-отроки.

Векторы-строки

за-

сьш

ютсяnnlnv?

упорядоченной

"Р°ки,

векторы-столбцы запи-

сываются

виде

упорядоченного столбца (нумерация компонент век-

тора-столбца

идет

сверху),

например

3 . По

типографским

сообра-

жениям удобнее иметь

дело

векторами-строками.

Однако

иногда

необходимо использовать

векторы-столбцы.

Векторы широко используются

во

всех областях

науки,

в том

числе

экономической.

Многие

обозначения

при

использовании

векторов очень компактны,

при

этом

не

теряют

наглядности

и со-

держательности.

Примечание

Вообще-то

математике

понятие

«вектор»

много-

значно.

Уже в

школе

курсе

физики

вектор

понимался

как

направленный

отрезок

фиксированным

началом

(точкой

приложения

силы).

геомет-

рии

иногда

под

вектором

понимается

преобразование

плоскости

или

прост-

ранства

специального

вида

(перемещение).

дальнейшем

такое

понимание

вектора

иногда

будет

использоваться.

Примечание

2. В

математике

понятие

«вектор»

может

обозначать

упорядоченный

набор

не

только чисел,

но и

любых объектов, т.е. когда

1-я

компонента

вектора

обозначает

(или есть)

элемент

некоторого

множест-

ва

Af,,

2-я

компонента

—

элемент

множества

т.д.

Это

более

общее

по-

нятие

вектора

иногда

используется

нашем

курсе

далее.

Действия

векторами.

примере

1 мы уже

умножали вектор

на

число. Действительно,

2Q,.

этом

же

примере

мы

сложили

три

вектора

{

получили

их

сумму

Действия

векторами

очень

естественны

весьма напоминают обычные действия

числами.

Можно

сказать,

что

действия

векторами являются естественным рас-

пространением

действий

над

числами

на

более широкую область.

Любой вектор можно

умножить

на

любое

число.

Для

этого

каж-

дая

компонента вектора умножается

на это

число

и эти

произведе-

ния

образуют

вектор-результат.

Умножим

вектор

(2, 3) на 3,

Получим вектор

(6,

9). Его

естественно обозначить

Умножим

вектор

(1000,

800,

4000)

на 2.

Получим вектор

(2000,

1600,

8000),

равный

Итак,

2Q,,

что и

послужило

нам

основанием

сказать выше,

что 3-й

велосипедный завод произвел

в 2

раза

больше велосипедов,

чем

1-Й, (Иногда, впрочем,

при

умножении

вектора

содержательный смысл вектора-результата теряется. Например,

при

умножении вектора

на 1/3 в

векторе-результате

2-я

компонента

не

целое

число

и ее

нельзя

трактовать

как

число

велосипедов.)

Любые

два

вектора одной размерности

можно

сложить.

Для

это-

го

складываются

первые компоненты, затем вторые

т.д.

Эти

суммы

образуют вектор-результат.

Сложим вектор

(1000,

800,

4000)

(2000, 1600, 8000).

Получим вектор

(3000,

2400,

12000).

Проверьте,

что-tf

3Q,.

Однако векторы разной размерности складывать нельзя.

Операции

умножения вектора

на

число

сложения векторов

обладают

следующими свойствами;

а)

сложение векторов

ассоциативно,

т.е.

(Х+

+ 2- Х + (Y+

-Ь

2) — это

свойство позволяет складывать любое конечное

число

векторов

(так,

примере

была найдена

сумма

трех

векторов

Q.-L

б)

сложение векторов распределительно

по

отношению

умно-

жению

на

число,

т.е.

ЦХ

У}

ХЛГ+

KY.

Не

будем описывать некоторые дальнейшие свойства операций

над

векторами, скажем лишь

еще раз о

сходстве операций

над

векто-

рами

обычными операциями

над

числами,

Но

есть

некоторые отличия операций

над

векторами

от

опе-

раций

над

числами. Так,

для

любых

чисел

а и Ъ

ч*

можно

узнать,

«во

сколько

раз»

больше

А,

т.е. найти

а/b.

Но для

двух

векторов

это

сделать,

общем, нельзя. Например,

для

Е~

(7, 1) и

N—

(1, 1) нет

такого

Я,

чтобы

WV.

Два

вектора называются

равными,

если

они

равны покомпонент-

но,

т.е. если равны

их

первые компоненты,

вторые

т.д.

Итак,

если

Х-

Ц,.,.,

я,,),

О,,...,

то Х=

если

только если

х,

—y

».,

~у

Как

видно

из

определения

равенства,

лишь

для

векторов оди-

наковой

размерности можно

говорить

равенстве

или

неравенстве

этих

векторов.

Для

векторов разной размерности говорить

об их ра-

венстве бессмысленно.

Пусть

X, Y —

векторы одинаковой

размерности,

тогда

если

только если

.,.,

>у

Например,

X >

если

Х-

- (6, 3, 0) и

К=

(5, 1, 0). Но

векторы

Хп

(5, 4, 0)

несравнимы;

ни

одно

из

возможных соотношений

ZHQ

верно

(еще одно отличие

от

чисел).

Иногда

вектор удобно записывать так:

Х~

(х),

где

обозначает

произвольную компоненту вектора

Описанные

действия

векторами были иллюстрированы

на

примере

векторов-строк. Действия

векторами-столбцами точно

такие

же, в

результате получаются,

конечно,

также

векторы-столб-

цы.

Пусть

Х~

1 ,

тогда

2ЛГесть

вектор

4 и

т.д. Векторы-строки

[о

векторы-столбцы одинаковой размерности связаны операцией

транспонирования.

Она

превращает вектор-строку

вектор-столбец

и,

наоборот, вектор-столбец

вектор-строку.

Эта

операция

обозна-

чается верхним

индексом

Пусть

(2,

3),

тогда

£/

;

пусть

)

Я— I у I,

тогда

(0, 7).

Легко понять,

что

операция транспони-

рования,

осуществленная последовательно

дважды,

дает

исходный

вектор:

(А"

)

каков

бы ни был

вектор

X —

строка

или

столбец.

Скалярное произведение

.векторов.

ПустьX

(х

...,

*„)>

(у

—,

У,)

—

векторы одинаковой размерности, тогда число

ОД

+•••

*,Д

называется скалярным произведением векторов

Л",

У и

обозначается

ЛГ-

У.

Приведем

без

доказательств (они очень просты)

свойства

скалярного

произведения:

а)

Х<

У—

У-

X; б)

Х-

(Y+

—

-Х-

У +

Х-

в)

Х-

(КУ)^ЦХ-

для

любых векторов

Уи

лю-

бого

числа

К,

Линейные

пространства. Линейная зависимость

независимость

векторов.

Пусть

Л"

обозначает множество всех

n-мерных

векторов-

строк.

Заметим,

что это не

просто множество

—

несет определен-

•ную

структуру. Именно любой вектор

Хе

можно умножить

на лю-

бое

число

результат

—

вектор

"kX

есть

снова

элемент множест-

ва

R".

Сумма двух

даже любого конечного числа векторов

из

снова

есть элемент

Л".

Кроме того, операции умножения вектора

на

число

сложения векторов связаны друг

другом определенными

соотношениями

(см.

п. 2).

Во

множестве

есть

уникальный

вектор

0 = (0,

...,

0). Его

роль

вполне аналогична роли числа

0 во

множестве чисел. Так,

О•

о"

JT+

О*

Л'для

любого

Хе

R".

Вектор

удовлетворяющий неравенству

называется

не-

отрицательным.

Неотрицательный вектор

— это в

точности тот,

все

компоненты

которого неотрицательны. Вектор

(2, 3)

является

неот-

рицательным,

вектор (-2,

4) —

нет,

ибо его 1-я

компонента

не

является

неотрицательным

числом.

По

всем этим причинам

называют

и-мерным

числовым (или

арифметическим)

линейным пространством. Слово «числовое»

названии

линейного пространства

подчеркивает,

что

элементами

такого

пространства являются векторы, компоненты которых есть

числа.

Вектор

(й

()

,..,

)

называется

линейной

комбинацией векто-

ров

Л,

...„я,,,,),

...,

Я,

К,>

той

же

Размерности,

если

найдутся

числа

я,,...,

такие,

что В =

яД

-К..

Следовательно,

чтобы

узнать это, надо решить систему

из

линейных алгебраичес-

ких

уравнений (СЛАУ)

с п

неизвестными:

а,,л

+ ... +

1н

*|+...

«2я*л

*2'

_«„!*!+

...

«„,*,**„•

Узнаем,

например, является

ли

вектор

F-

(1, 6)

линейной ком-

бинацией векторов

Я,

(1,

2),

(0, 2).

Получаем

совсем

простую

СЛАУ:

f'i-1.

[2*!+2х

= б.

Ее

решение:

—

= 2.

Следовательно,

2Я

Система

векторов называется линейно

зависимо^

если какой-то

вектйр

системы есть линейная комбинация остальных векторов

си-

стемы,

линейно

независимой

противном случае,

т.е.

когда никакой

вектор

системы

не

является линейной комбинацией остальных век-

торов системы.

Например,

система

из

трех вышеприведенных векторов

линейно зависима,

ибо

F—

Я;

2Я

Пусть

Л—

какая-нибудь система векторов, тогда

ее

подсистема

называется базисом этой системы, если

линейно независима,

любой

вектор системы

есть линейная комбинация векторов

из

В.

•

Пусть

...,

£,,).

Если

8е

Л,

то Б

Х,Я,

+...

Х/„

при

некоторых

...,

Линейная комбинация

Х,#,

+...

\Е

называ-

ется

разложением

вектора

В по

векторам

,..,

числа

...,

называются

коэффициентами этого разложения.

Эти

коэффициенты называются координатами вектора

базисе

€.

Теорема

Любая система

векторов

имеет хотя

бы

оЬип

базис.

Число

элементов

любом базисе

данной

системы одно

то же.

Координаты

любого вектора

базисе

определя-

ются

однозначно,

Теопема

2. В

пространстве

любая система векторов

количест-

ве

более

является линейно зависимой.

Пример

Укажем базис

пространстве

R",

Его

образуют

векторы

Я,

- (1, 0,

...,

0),

(О,

....

0),

....

= (0, 0,

....

1).

Докажем,

что

{£,,

....

}

есть базис.

Система

£—

линейно

независимая система. Действительно, пред-

положим,

что,

например,

есть

линейная комбинация

векторов

.-,

§,.

т.е.

Я,

+...

\Е.

Сравнивая первые

компоненты

вектора

Е.

линей-

ной

комбинации

+...

\Е

получаем противоречие:

• 0 * ... +

• 0,

т.е.

таких

X, не

существует,

Пусть

В =

(6.,

...,

)

—

произвольный

пектор

из

А".

Как

легко

ви-

деть,

В —

£,£",

+...

т.е.

вектор

представим

виде

линейной

комби-

нации

векторов

системы

£и

компоненты

вектора

есть

его

координаты

этом

базисе.

Пространство

товаров,

вектор

цен.

Под

товаром понимаются

некоторое благо

или

услуга, поступившие

продажу

определенное

время

и в

определенном

месте.

Будем

считать»

что

имеется

различ-

ных

товаров,

количество

/-го

товара обозначается

*,,

тогда некоторый

набор

товаров обозначается

Х~

...

х,)>

т.е. является

п-мерным

вектором.

Будем

рассматривать,

как

правило,

только

неотрицатель-

ные

количества товаров,

так что для

любого

...,

0 или

Множество всех

наборов

товаров

называется

пространством

товаров

С. Это

множество

называется

пространством

потому,

что в

нем

'можно

сложить любые

два

набора

умножить любой набор

то-

варов

на

любое

неотрицательное

число. Возможность умножения

набора

товаров

на

любое

неотрицательное

число отражает предполо-

жение

безграничной делимости

умножении товаров (т.е. товары

устроены

наподобие сахарного

песка,

а не

авианосцев).

дальнейшем предполагаем,

что

каждый товар имеет

цену.

Все

цены

предполагаются

строго

положительными.

Пусть

цена

единицы

f-ro

товара есть

/>,,

тогда вектор

Р-

(р,,

...,

р)

есть вектор цен.

Набор

товаров,

как

вектор, имеет

ту же

размерность,

что и

век-

тор

цен/Для

набора

товаров

Х~

(х) и

вектора

цен Р = (р) их

скаляр-

ное

произведение

Р~

Х-

+...

PJC

есть число, называемое ценой

набора

или

его

стоимостью,

будет обозначаться

с(Л).

ЗАДАЧИ

районе

три

обменных пункта валюты

от

одного

банка.

Об-

мен в них

идет только долларов

немецких марок

на

рубли. Каждый

вечер

остаток всех денег сдается

банк. Обозначим через

Л/,

вектор

денежных

средств,

сдаваемых

/-м

пунктом. Имеют

ли

смысл

(и ка-

кой

именно) векторы

Л/,

Л/

Л/,

Л/

Решение

ясно.

Но

далеко

не

всегда сложение

векторов

имеет

ясный

содержательный смысл.

приведенной задаче такой смысл

есть.

Но

если трехмерный вектор есть (размер бюста, окружность

талии,

объем

бедер),

то

трудно придать какой-нибудь содержатель-

ный

смысл сложению таких векторов.

2. При

нормальной

(X,

интенсивности работы велосипед-

ный

завод производит

месяц

}

—

(30,

40,

60)

мужских, женских

Детских

велосипедов,

при

интенсивности

производит

\(7,

велосипедов. (Будем округлять нецелые числа

до

целых,

при не-

обходимости.)

Сколько велосипедов производит завод

месяц

при

интенсивности

- 2; 3;

0,5;

0,6?

Второй

завод

при

производит