Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем
Подождите немного. Документ загружается.
281
Из последнего равенства, используя оценки (17), получаем:
kξ
(2)
K
k ≤ α
1
α
2
kξ
(1)
0
k · ||b
11
(r)|| · e
−λ
1
k
1
−λ
2
k
2
+
+α
2
β
1
kη
(1)
0
k · ||b
12
(r)|| · e
−λ
2
k
2
+κ
1
k
1
kη
(2)
K
k ≤ α
1
β
2
kη
(1)
0
k · ||b
21
(r)|| · e
−λ
1
k
1
+κ
2
k
2
.
Из последних оценок, в силу неравенств (12), имеем
kξ
(2)
K
k ≤ C
1
e
−T
, kη
(2)
K
k ≤ C
2
e
−T
,
где C
1
и C
2
— некоторые положительные константы. Отсюда при
достаточно большом T > 0 будем иметь
°
°
°
°
°
µ
ξ
(2)
K
η
(2)
K
¶
°
°
°
°
°
<
1
2
·
°
°
B
−1
2
°
°
−1
.
Следовательно,
kx
K
k =
°
°
°
°
°
B
−1
2
µ
ξ
(2)
K
η
(2)
K
¶
°
°
°
°
°
<
1
2
,
т.е. kJx
0
k < 1/2 ∀x
0
∈ E
1
.
Таким образом, отображение J за период K переводит единич-
ный шар E
1
в некоторое подмножество из шара E
1/2
радиуса 1/2 :
JE
1
⊂ E
1/2
.
Отсюда и из линейности отображения J (в чем легко можно убе-
диться) следует, что J есть сжимающий оператор:
kJxk <
1
2
kxk ∀x ∈ R
n
. (21)
Поэтому из (21) в силу периодичности матрицы s
k
и, следовательно,
матрицы A + bs
∗
k
c
∗
имеем
kJ
k
xk <
1
2
k
kxk ∀x ∈ R
n
,
откуда следует асимптотическая устойчивость неподвижной точки
x = 0 отображения J.
Очевидно, что асимптотическая устойчивость точки x = 0 отобра-
жения J эквивалентна асимптотической устойчивости нулевого ре-
шения x
k
≡ 0 системы (2) с матрицей (13).
Теорема 1 доказана.
282
3. Скалярный случай. Рассмотрим случай, когда в системе (1)
b и c — одностолбцовые векторы: b ∈ R
n
, c ∈ R
n
(u
k
— скалярный
вход, y
k
— скалярный выход).
Докажем сначала теорему, устанавливающую достаточное условие
выполнимости "условия вложения многообразий"(7).
Теорема 2. Пусть в системе (1) b ∈ R
n
, c ∈ R
n
, пара (A, b) пол-
ностью управляема, а пара (A, c) полностью наблюдаема. Пусть,
далее,
M
1
= M
2
, L
1
= L
2
,
dim M
1
= 1, dim L
1
= n − 1.
Тогда существует число σ
0
, такое, что при σ
k
≡ σ
0
выполнено
включение (7) при r = 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть h — ненулевой вектор, нормальный
к подпространству L
1
, т.е.
L
1
= {x ∈ R
n
: h
∗
x = 0}.
Из полной управляемости пары (A, b) следует полная управляемость
пары (A+ s
1
bc
∗
, b), а из полной наблюдаемости пары (A, b) (и, следо-
вательно, полной управляемости пары (A
∗
, b)) — полная наблюдае-
мость пары (A+s
1
bc
∗
, b) (см. следствие 1 теоремы из § 1, гл.II). Здесь
s
1
— число, для которого система (3) (где s
2
= s
1
)
x
k+1
= (A + s
1
bc
∗
)x
k
имеет устойчивое инвариантное многообразие L
1
= L
2
и инвариант-
ное (быть может, неустойчивое) многообразие M
1
= M
2
.
Покажем, что h
∗
b 6= 0, т.е. b /∈ L
1
. Предположим противное, т.е. b ∈
L
1
. Из инвариантности гиперплоскости L
1
относительно оператора
A + s
1
bc
∗
получим равенства
h
∗
b = 0, h
∗
(A + s
1
bc
∗
)b = 0, ··· , h
∗
(A + s
1
bc
∗
)
n−1
b = 0.
Последние равенства и полная управляемость пары (A + s
1
bc
∗
, b)
влекут за собой равенство h = 0, что противоречит выбору вектора
h 6= 0. Полученное противоречие доказывает неравенство h
∗
b 6= 0.
Возьмем произвольный ненулевой вектор d ∈ M
1
. Покажем, что
c
∗
d 6= 0. Предполагая противное, из инвариантности одномерного
283
пространства M
1
относительно оператора A + s
1
bc
∗
будем иметь ра-
венства
c
∗
d = 0, c
∗
(A + s
1
bc
∗
)d = 0, ··· , c
∗
(A + s
1
bc
∗
)
n−1
d = 0.
Последние равенства можно переписать так:
d
∗
c = 0, d
∗
(A + s
1
bc
∗
)
∗
c = 0, ··· , d
∗
(A + s
1
bc
∗
)
∗
n−1
c = 0.
Из этих равенств и полной наблюдаемости пары (A + s
1
bc
∗
, c) вы-
текает, что d = 0. Последнее противоречит выбору вектора d 6= 0.
Полученное противоречие доказывает неравенство c
∗
d 6= 0.
Рассмотрим теперь решение (9), (10) системы (6), где σ
k
≡ σ
0
, σ
0
∈
R, с начальным условием x
0
= d.
Из соотношения
h
∗
x
1
= h
∗
Ad + σ
0
· h
∗
b · c
∗
d (σ
0
∈ R), (22)
в силу неравенств h
∗
b 6= 0, c
∗
d 6= 0, определим значение σ
0
, для
которого выполнено условие (7) при r = 1 : h
∗
x
1
= 0. Здесь
x
1
= θ
1
0
d = (A + σ
0
bc
∗
)d
(в силу линейности преобразования θ
1
0
из условия θ
1
0
d ∈ L
1
(= L
2
)
следует включение (7)).
Из (22), где положено h
∗
x
1
= 0, имеем:
σ
0
= −
h
∗
Ad
h
∗
b · c
∗
d
.
Теорема 2 доказана.
Из теоремы 1 и теоремы 2 вытекает следующая
Теорема 3. Пусть в системе (1) b ∈ R
n
, c ∈ R
n
, пара (A, b) пол-
ностью управляема, а пара (A, c) полностью наблюдаема. Пусть,
далее,
M
1
= M
2
, L
1
= L
2
,
dim M
1
= 1, dim L
1
= n − 1,
κ
1
= κ
2
= κ, λ
1
= λ
2
= λ.
Тогда если выполнено неравенство
λ > κ, (23)
284
то существует K-периодическая числовая последовательность s
k
(s
k+K
= s
k
∀k = 0, 1, 2, ··· ; K ∈ N) такая, что система (2) явля-
ется асимптотически устойчивой.
Из теоремы 3 легко выводится
Теорема 4. Пусть в системе (1) b ∈ R
n
, c ∈ R
n
, пара (A, b)
полностью управляема, а пара (A, c) полностью наблюдаема. Пред-
положим, что существует число s
0
такое, что матрица
A + s
0
bc
∗
имеет n − 1 собственное значение ρ
j
, j = 1, 2, ··· , n − 1 (среди ко-
торых могут быть равные), лежащие внутри единичного круга:
|p| < 1, и для ее собственного значения ρ
n
выполнено неравенство
max
j
|ρ
n
· ρ
j
| < 1. (24)
Тогда существует периодическая числовая последовательность s
k
(k = 0, 1, 2, ···) такая, что система (2) является асимптотически
устойчивой.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через L
0
инвариантное
(n −1)-мерное подпространство, соответствующее собственным зна-
чениям ρ
j
(j = 0, 1, 2, ··· , n−1) матрицы (A+s
0
bc
∗
), лежащим внутри
единичного круга, а через M
0
— инвариантное одномерное подпро-
странство, соответствующее собственному числу ρ
n
(вообще говоря,
удовлетворяющее условию |ρ
n
| ≥ 1).
Таким образом, L
0
— это устойчивое инвариантное многообразие
((n − 1)-мерная гиперплоскость, на которой оператор A + s
0
bc
∗
дей-
ствует как сжатие не менее, чем в 1/ρ
∗
раз, где ρ
∗
= max
j
|ρ
j
|), а M
0
— инвариантное (вообще говоря, неустойчивое) многообразие (одно-
мерная прямая, на которой A + s
0
bc
∗
действует, вообще говоря, как
растяжение в |ρ
n
| раз).
Условие (24) означает, что сжатие в L
0
"сильнее", чем растяжение
в M
0
.
Примем
s
1
= s
2
: = s
0
; L
1
= L
2
: = L
0
, M
1
= M
2
: = M
0
.
285
Из условия (24) имеем
|ρ
n
| <
1
ρ
∗
(ρ
∗
= max
j
|ρ
j
| < 1).
Отсюда, полагая
κ
1
= ln |ρ
n
|, λ
1
= −ln ρ
∗
(κ
2
= κ
1
, λ
2
= λ
1
),
получаем условие (23) теоремы 3.
Таким образом, выполнены все условия теоремы 3. Поэтому суще-
ствует периодическая последовательность s
k
, для которой система
(2) асимптотически устойчива. Теорема 4 доказана.
4. Стабилизация систем второго порядка со скалярной об-
ратной связью.
Рассмотрим систему со скалярным входом и скалярным выходом
и с передаточной функцией
W (p) = c
∗
(A − pI)
−1
b =
δp + γ
p
2
+ αp + β
, (25)
где A — (2 × 2)-матрица, b ∈ R
2
, c ∈ R
2
, а α, β, γ, δ — некоторые
вещественные числа.
Предположим, что функция
W
(
p
)
невырождена (в ее представле-
нии числитель и знаменатель не имеют общих нулей), т.е.
γ
2
− αγδ + βδ
2
6= 0. (26)
Условие (26) является необходимым и достаточным условием полной
управляемости и полной наблюдаемости пар (A, b) и (A, c) соответ-
ственно (см. замечание к теоремам 1 и 2 § 2).
Систему с передаточной функцией (25) можно реализовать в фа-
зовом пространстве R
2
как систему вида (1) (ср. п.1, § 9, гл.IV):
(
x
(1)
k+1
= x
(2)
k
,
x
(2)
k+1
= −βx
(1)
k
− αx
(2)
k
− u
k
,
y
k
= γx
(1)
k
+ δx
(2)
k
. (27)
Здесь
A =
µ
0 1
−β −α
¶
, b =
µ
0
−1
¶
, c =
µ
γ
δ
¶
, x
k
=
µ
x
(1)
k
x
(2)
k
¶
,
u
k
и y
k
— скалярный вход и скалярный выход соответственно.
286
Применим теорему 4 к системе (27). Собственные числа ρ
1
и ρ
2
матрицы A + s
0
bc
∗
являются корнями многочлена
p
2
+ (α + s
0
δ)p + β + s
0
γ.
Условие (24): |ρ
1
· ρ
2
| < 1 сводится к выполнению неравенства
|β + s
0
γ| < 1.
При γ 6= 0 последнее неравенство выполнено при некотором зна-
чении s
0
(при γ = 0 имеем условие |β| < 1). Теперь заметим, что
условие γ 6= 0 эквивалентно неравенству W (0) 6= 0, а условие γ = 0
— неравенству |det A| < 1 (так как β = det A).
Таким образом, получаем следующий результат.
Теорема 5. Пусть выполнено неравенство (26). Предположим,
что справедливо по крайней мере одно из условий
W (0) 6= 0 или |det A| < 1. (28)
Тогда система (27) (с передаточной функцией (25)) стабилизи-
руема.
Замечание. Теорема 5 хорошо иллюстрирует для дискретных
систем преимущества нестационарной стабилизации (s
k
6≡ s
0
) пе-
ред стационарной (s
k
≡ s
0
). Действительно, сравнив, например, при
δ = 0 условия (28) нестационарной стабилизации системы (27) с необ-
ходимыми и достаточными условиями
|α| − 1 < β + s
0
γ < 1
(см. пример из п.2.1, § 1) стационарной стабилизации системы (27)
(u
k
= s
∗
k
y
k
, s
k
≡ s
0
) убеждаемся, что в последнем случае требуется
еще дополнительное условие: |α| < 2.
287
ЛИТЕРАТУРА
1. Айзерман М.А. Об одной проблеме, касающейся устойчивости
"в большом"динамических систем//Успехи математических наук.
1949. Т.4. Вып.4. С.186-188
2. Айзерман М.А. Теория автоматического регулирования двига-
телей. Уравнения движения и устойчивость. М.: ГИТТЛ, 1952.
3. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость ре-
гулируемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
4. Аксенов Г.С. К задаче стабилизации линейного объекта управ-
ления//Вестник ЛГУ. 1977. № 7. С.5-8.
5. Алимов Ю.И. Об устойчивости в целом равновесного состояния
нелинейных систем автоматического регулирования//Изв.вузов. Ра-
диофизика. 1959. Т.2. № 6.
6. Андреев Ю.Н. Управление линейными конечномерными объек-
тами. М.: Наука, 1976. 424с.
7. Андронов А.А. Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР, 1956.
539с.
8. Андронов А.А., Баутин Н.Н. Стабилизация курса нейтрального
самолета автопилотом с постоянной скоростью сервомотора и зоной
нечувствительности//Докл.АН СССР. 1945. Т.46. № 4.
10. Андронов А.А., Баутин Н.Н. Стабилизация курса нейтраль-
ного самолета при помощи автопилота с постоянной скоростью сер-
вомотора// Изв.АН СССР. Сер.техн.наук. 1953. № 3.
11. Андронов А.А., Баутин Н.Н. Теория стабилизации нейтраль-
ного самолета при помощи автопилота с постоянной скоростью сер-
вомотора//Изв.АН СССР. Сер.техн.наук. I часть: 1955. № 3; II часть:
1955. № 6.
12. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний.
М.: Физматгиз, 1959. 915с.
13. Андронов А.А., Вознесенский И.Н. О работах Д.К.Максвелла,
И.А.Вышнеградского и А.Стодолы в области теории регулирования.
М.: Изд-во АН СССР, 1949.
14. Андронов А., Майер А. Задача Вышнеградского в теории пря-
мого регулирования. I, II//Автоматика и телемеханика. 1947. № 5.
С.314-334; 1953. № 5.
288
15. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории ав-
томатического управления. С.-Петербург, 1999. 467с.
16. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
М.: Наука, 1971. 239с.
17. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.
М.: Наука, 1979. 431с.
18. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математиче-
ская теория конструирования систем управления. М.: Высшая шко-
ла, 1989. 447с.
19. Барабанов А.Т., Катковник В.Я., Нелепин Р.А., Хлыпало Е.И.,
Якубович В.А. Методы исследования нелинейных систем автомати-
ческого управления. М.: Наука, 1975. 447с.
20. Барбашин Е.А. Программное регулирование и теория опти-
мальных систем//Труды II-го Международного конгресса Между-
нар.федерации по автоматическому управлению (ИФАК). М.: Нау-
ка, 1965.
21. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука,
1967.
22. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилин-
дрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969. 367с.
23. Бардин Б.С., Маркеев А.П. Об устойчивости равновесия маят-
ника при вертикальных колебаниях точки подвеса//Прикл.матем. и
мех. 1995. Т.59, Вып.6. С.922-929.
24. Бедельбаев А.К. Устойчивость нелинейных систем автоматиче-
ского регулирования//Изв.АН СССР. Алма-Ата. 1960.
25. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией (пер.с англ.).
М.: Наука, 1964.
26. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы мате-
матической теории процессов управления. М.: ИЛ, 1962.
27. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и со-
временная теория управления. М.: Наука, 1969.
28. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического
регулирования. М.: Наука, 1966.
29. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Нау-
ка, 1971.
30. Блох З.Ш. Динамика линейных систем автоматического регу-
лирования машин. М.: Гостехиздат, 1952. 491с.
289
31. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические ме-
тоды в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963.
32. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управ-
ления. М.: Наука, 1969.
33. Ботвинник М.М. Регулирование возбуждения и статическая
устойчивость синхронной машины. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1950.
34. Бромберг П.В. Устойчивость и колебания импульсных систем
регулирования. М.: Оборонгиз, 1953. 224с.
35. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами
с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.
36. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распреде-
ленными параметрами. М.: Наука, 1975.
37. Винер Н. Кибернетика. М.: Сов.радио, 1958.
38. Вознесенский И.Н. О регулировании машин с большим числом
регулируемых параметров//Автоматика и телемеханика. 1938. № 4-
5. С.65-78.
39. Воронов А.А. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость.
М.: Наука, 1979.
40. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Осо-
бые линейные и нелинейные системы. М.: Энергия, 1981.
41. Воронов А.А. Современное состояние и проблемы теории устой-
чивости//Автоматика и телемеханика. 1982. № 5. С.5-28.
42. Вышнеградский И.А. О регуляторах прямого действия//Изв.
Санкт-Петербургского технологического института. 1877. С.21-62//
Теория автоматического регулирования. М.: Изд-во АН СССР, 1949.
43. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптималь-
ных процессов. М.: Наука, 1971.
44. Габриелян М.С., Красовский Н.Н. К задаче о стабилизации ме-
ханической системы//Прикл.матем. и мех. 1964. Т.28. Вып.5.
45. Гальперин Е.А. К задаче о стабилизации управляемых систем//
Изв.АН СССР. Техн.кибернетика. 1964. № 6.
46. Гальперин Е.А., Красовский Н.Н. О стабилизации установив-
шихся движений нелинейных управляемых систем//Прикл.матем. и
мех. 1963. Т.27. Вып.6.
47. Гамкрелидзе Р.В. К теории оптимальных процессов в линейных
системах//Докл.АН СССР. 1957. Т.116. № 1.
48. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 571с.
290
49. Гантмахер Ф.Р., Якубович В.А. Абсолютная устойчивость не-
линейных регулируемых систем//Труды II Всесоюзного съезда по
теоретической и прикладной механике. М.: Наука, 1965.
50. Гелиг А.Х. Об устойчивости движения систем с неединствен-
ным положением равновесия//Докл.АН СССР. 1962. Т.147. № 3.
51. Гелиг А.Х. Об устойчивости нелинейных регулируемых систем
с бесконечным числом степеней свободы//Прикл.матем. и мех. 1966.
Т.30. Вып.4.
52. Гелиг А.Х. Стабилизация нелинейных систем с частотно-им-
пульсной модуляцией//Автоматика и телемеханика. 1967. № 6.
53. Гелиг А.Х. Устойчивость нелинейных импульсных систем//
Докл.АН СССР. 1968. Т.178. № 2.
54. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нели-
нейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука,
1978. 400с.
55. Гузенко П.Ю. Дискретное управление непрерывными хаотиче-
скими системами//Анализ и управление нелинейными колебатель-
ными системами/Под ред.Г.А.Леонова, А.Л.Фрадкова. СПб.: Наука
1998. С.53-84.
56. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчиво-
сти. М.: Наука, 1967. 473 с.
57. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирова-
ния. Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1963.
58. Дмитриев Ю.А. Абсолютная устойчивость систем с одним им-
пульсным регулятором//Докл.АН СССР. 1965. Т.160. № 3.
59. Дмитриев Ю.А. Асимптотическая устойчивость "в большом"
некоторых динамических систем//Труды семинара-симпозиума "Вто-
рой метод Ляпунова и его применение в энергетике". Ч.II. Новоси-
бирск: Наука, 1966.
60. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с пере-
менной структурой. М.: Наука, 1967. 336с.
61. Еругин Н.П. Некоторые общие вопросы теории устойчивости
движения//Прикл.матем. и мех. 1951. Т.15. Вып.2. С.227-236.
62. Еругин Н.П. Об одной задаче теории устойчивости систем авто-
матического регулирования//Прикл.матем. и мех.1952. Т.16. Вып.5.
63. Еругин Н.П. Методы Ляпунова и вопросы устойчивости в це-
лом//Прикл.матем. и мех. 1953. Т.17. Вып.4.