Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем

Подождите немного. Документ загружается.

251

Из последнего равенства следует, что

[A, bc

∗

]

= 0

для всех натуральных k ≥ 4.

Следовательно, матрица Ψ(t) из (26) и ее обратная Ψ(t)

−1

прини-

мают вид:

Ψ(t) = I + m(t)[A, bc

∗

] −

m(t)

∗

b)bc

∗

Ψ(t)

−1

= I − m(t)[A, bc

∗

] −

m(t)

∗

b)bc

∗

С учетом последних равенств найдем

Ψ(t)

−1

AΨ(t) = A + m(t) {A[A, bc

∗

] − [A, bc

∗

]A}−

−m(t)

[A, bc

∗

]A[A, bc

∗

] −

∗

b)m(t)

[A(bc

∗

) + (bc

∗

)A]+

∗

b)m(t)

{[A, bc

∗

]A(bc

∗

) − (bc

∗

)A[A, bc

∗

]}.

(35)

Легко вычислить:

[A, bc

∗

]A[A, bc

∗

] = (c

∗

b)[A(bc

∗

) + (bc

∗

)A] − (c

∗

b)(bc

∗

)

[A, bc

∗

]A(bc

∗

) = −(c

∗

b)(bc

∗

)

(bc

∗

)A[A, bc

∗

] = (c

∗

b)(bc

∗

Используя последние равенства, выражение (35) можно записать

в виде

Ψ(t)

−1

AΨ(t) = A + m(t)[A, [A, bc

∗

]] −

3(c

∗

m(t)

[A(bc

∗

+(bc

∗

)A] + (c

∗

b)m(t)

(bc

∗

) − (c

∗

m(t)

(bc

∗

(36)

где [A, [A, bc

∗

]] — коммутатор матриц A и [A, bc

∗

]. С учетом (36),

система (28) принимает вид:

ξ =

A + m(t) [A, [A, bc

∗

]] −

3(c

∗

m(t)

[A(bc

∗

+(bc

∗

)A] + (c

∗

b)m(t)

(bc

∗

) − (c

∗

m(t)

(bc

∗

+ `

(t)[A, bc

∗

] + s

(t)bc

∗

}ξ.

(37)

Дальше, доказательство аналогично доказательству теоремы 1.

Выберем функцию s(t) ∈ M (см.(4)) так:

(t) = α, (38)

252

(t) = γω

cos ωt, (39)

где α, γ и ω — вещественные параметры. С учетом (39), из (8) нахо-

дим

`(t) = γω sin ωt + `

где `

— постоянная интегрирования, которая будет выбрана ниже.

В соответствии с (24) положим:

(t) = `

, (40)

(t) = γω sin ωt. (41)

С учетом (41), из (27) получаем

m(t) = −γ cos ωt + m

, (42)

где m

— постоянная интегрирования, которая будет выбрана ниже.

Заметим, что система (37), (38), (40), (42) с достаточно большим

параметром ω является системой с быстрым временем и имеет стан-

дартный вид:

ξ = D(ωt) ξ,

где D(τ) (τ = ωt) — матрица системы (37), (38), (40), (42) (т.е. выра-

жение, стоящее в фигурной скобке в (37) с учетом (38), (40), (42)).

Поэтому к этой системе можно применить теорему 3 из § 2.

Положив

3γ

∗

b, m

= 0,

вычислим матрицу

2π

D(τ) dτ.

Имеем

= A −

3γ

∗

b)bc

∗

A +

∗

b + α

∗

Возьмем теперь γ так, чтобы

= κ, (43)

где κ ≥ 0 — число, фигурирующее в теореме 2.

Тогда матрица D

есть матрица (32) и по условию теоремы 2 она

будет гурвицевой.

253

Следовательно, в силу теоремы 3 из § 2 система (37), (38), (40),

(42) равномерно экспоненциально устойчива при достаточно боль-

ших значениях ω. В силу лемм 2 и 1 последнее утверждение верно и

для системы (3).

Соотношения (33) и (34) вытекают из (4), (38), (39) и (43) соот-

ветственно. Теорема 2 доказана.

§ 5. Высокочастотная стабилизация двумерных

и трехмерных систем

Здесь мы рассмотрим примеры применения теорем 1 и 2 из § 4.

1. Двумерные системы (n = 2). Рассмотрим систему (п.1, § 9,

гл.IV)

˙x

= x

˙x

= −a

− a

− u, y = c

+ x

(1)

где a

, a

; c

— вещественные числа.

Предположим, что передаточная функция W (p) системы (1) невы-

рождена, т.е.

− a

+ a

6= 0. (2)

Из условий Рауса–Гурвица легко выводится, что стационарная

стабилизация u = αy (α = const) системы (1) возможна тогда и толь-

ко тогда, когда

> 0 или a

< a

, c

≤ 0.

Для системы (1) выполняется условие c

∗

b = −1 6= 0 (здесь

b = (0, −1)

∗

, c = (c

, 1)

∗

). Поэтому можно применить теорему 1 из

§ 4. Матрица (11) (см. § 4) здесь принимает вид:

0 1

−a

− αc

− κ(c

− a

+ a

) −a

− α

. (3)

Матрица (3) гурвицева тогда и только тогда, когда существуют зна-

чения параметров α ∈ R и κ ∈ [0, +∞) такие, что выполняются

неравенства:

+ α > 0, a

+ αc

+ κ(c

− a

+ a

) > 0. (4)

254

Очевидно, соотношения (4) выполнены, если выполнено по крайней

мере хотя бы одно из неравенств

> 0 или c

− a

+ a

> 0, c

≤ 0. (5)

Таким образом, в силу теоремы 1 из § 4, условие (5) достаточно для

существования стабилизирующего систему (1) управления

u = s(t)y,

где

s(t) = α + βω cos ωt,

причем β определяется из уравнения (13) § 4.

В силу теоремы 1 из § 8 при выполнении неравенства

− a

+ a

< 0 (c

≤ 0)

система (1) не может быть стабилизируема ни при какой обратной

связи вида u = s(t)y.

Итак, имеет место следующая

Теорема 1. Пусть передаточная функция W (p) системы (1) невы-

рождена, т.е. выполнено условие (2).

Тогда:

1) если выполнено хотя бы одно из неравенств (5), то существу-

ют числа β и κ ≥ 0, такие, что (см.(13) из § 4)

2π

−β sin t

dt = 2π

√

1 + κ,

и обратная связь

u = s(t)y, s(t) = α + βω cos ωt, (6)

где α — некоторая константа, а ω — достаточно большое число,

которая стабилизирует систему (1), т.е. замкнутая система (1),

(6) является равномерно экспоненциально устойчивой при доста-

точно больших ω;

2) если условие (5) не выполнено, то ни при каком выборе функ-

ции s(t) система (1), где u = s(t)y, не является экспоненциально

устойчивой.

255

Замечание. Таким образом, условие (5) является необходимым и

достаточным для существования такой обратной связи (6), которая

равномерно экспоненциально стабилизирует систему (1) (в классе M

непрерывных и периодических функций, удовлетворяющих услови-

ям (4) и (5) из § 4).

Это же условие (5), как мы видели в § 9, гл.IV, является также

необходимым и достаточным для стабилизируемости системы (2) в

другом классе кусочно-постоянных периодических функций s(t).

2. Трехмерные системы (n = 3). Рассмотрим систему (п.2, § 9,

гл.IV)







˙x

= x

˙x

= x

˙x

= −a

− a

− u,

y = x

, (7)

где a

, a

— вещественные числа.

Из условий Рауса–Гурвица выводим, что стационарная стабилиза-

ция (s(t) ≡ const) возможна тогда и только тогда, когда

> 0, a

> 0.

Для системы (7) выполняются равенства c

∗

b = c

∗

Ab = 0. При-

меним к ней теорему 2 из § 4. Матрица (32) из § 4 здесь принимает

вид:





0 1 0

0 0 1

−a

+ α + κa

−a

− 3κ −a





. (8)

Матрица (8) гурвицева тогда и только тогда, когда при некоторых

значениях параметров α ∈ R и κ ∈ [0, +∞) выполняются неравен-

ства

> 0, a

− α − κa

> 0,

+ 3κ) − a

+ α + κa

> 0

. (9)

Легко проверить, что такие значения параметров α ∈ R и κ ≥ 0,

которые удовлетворяют неравенствам (9), существуют, если a

> 0.

Таким образом, в силу теоремы 2 из § 4 условие a

> 0 является

достаточным для существования периодической функции s(t) ви-

да (33) из § 4 такой, что обратная связь u = s(t)y экспоненциально

стабилизирует систему (7).

256

Далее, поскольку

Tr(A + s(t)bc

∗

) = Tr A = −a

при любой функции s(t) (как периодической, так и непериодиче-

ской), то в силу следствия теоремы 2 из § 8, гл.IV система (7) при

любой обратной связи u = s(t)y не является асимптотически (и экс-

поненциально) устойчивой, если a

≤ 0.

Итак, справедлива

Теорема 2. 1) Если в системе (7) a

> 0, то существуют такие

числа α и κ, что

= κ,

и такая обратная связь

u = s(t)y(t), s(t) = α + γω

cos ωt, (10)

где α — некоторая константа, а ω — достаточно большое число,

что система (7), (10) равномерно экспоненциально устойчива при

достаточно больших ω.

2) Если a

≤ 0, то ни при какой функции s(t) экспоненциальная

стабилизация системы (13) с помощью обратной связи u = s(t)y

невозможна.

Замечание. Таким образом, условие a

> 0, которое является,

как мы видели в § 9, гл.IV, необходимым и достаточным для стабили-

зируемости системы (7) в классе кусочно-постоянных периодических

функций s(t), и здесь тоже необходимо и достаточно для существо-

вания обратной связи u = s(t)y вида (10) (из класса M), равномерно

экспоненциально стабилизирующей систему (7).

257

ГЛАВА VI

ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

Выше на протяжении всей книги мы рассматривали системы с

непрерывным временем. Основной математической моделью для опи-

сания таких систем ("вход–выход") служила система линейных диф-

ференциальных уравнений. Управление формировалось таким обра-

зом, чтобы оно позволяло предсказать состояние объекта или какую–

либо интересующую нас выходную характеристику в любой момент

времени (в принятой нами математической идеализации).

Однако во многих практических ситуациях (например, при управ-

лении сложными объектами) непрерывная модель – система диффе-

ренциальных уравнений — оказывается неадекватной для описания

соответствующих систем управления. В таких системах управления

информация о состоянии объекта управления поступает в некоторые

дискретные моменты времени t = t

, k = 0, 1, 2, ···, и при построе-

нии управления оказывается возможным предсказать состояние объ-

екта только в эти моменты времени t

. Любая текущая информация,

поступающая в течение работы объекта, также может охарактеризо-

вать его состояние только в те же моменты времени t

, а состояние

объекта в любые промежуточные моменты времени не определено.

Отметим, что к дискретным системам приводят также численные

методы решения дифференциальных уравнений, основанные на идее

дискретизации.

Здесь будет изложен дискретный аналог линейной теории, которая

была построена для непрерывных систем в главах II–IV.

§ 1. Линейные дискретные системы

1. Основная математическая модель. Для описания линейных

дискретных систем управления примем в качестве основной матема-

тической модели дискретную систему

k+1

= Ax

+ bu

, y

= c

∗

(k = 0, 1, 2, ···), (1)

258

где A, b и c — вещественные постоянные матрицы параметров поряд-

ков n × n, n × m и n × ` соответственно, x

— n-мерный вектор фа-

зовых переменных (переменных состояния), u

— m-мерный вектор

входных воздействий или управление, y

— `-мерный вектор выход-

ных переменных. В модели (1) u

, x

и y

(k = 0, 1, 2, ···) являются

последовательностями векторов в пространствах R

, R

и R

соот-

ветственно.

Очевидно, что состояние x

и выход y

однозначно определяются

из (1), если задать начальное состояние x

и вход u

(k = 0, 1, 2, ···)

(здесь мы видим полную аналогию с непрерывной моделью: система

(1) сходна с системой линейных дифференциальных уравнений, см.

§ 1, гл.I).

Под р е ш е н и е м с и с т е м ы (1) будем понимать любую тройку

, x

, y

) векторных последовательностей {u

}, {x

} и {y

} (k ∈

), для которой выполняются равенства (1) для всех k ∈ N

после

подстановки u

, x

и y

в уравнения (1). (Здесь N

= N ∪ {0}.)

Как и в непрерывной модели, систему (1) можно представлять

себе как линейный блок (1), входом и выходом которого являются

векторы u

и y

соответственно, а вектор x

характеризует состояние

блока в дискретные моменты времени t

, t

, ···.

2. Свойства линейных дискретных систем.

2.1. Устойчивость. Рассмотрим сначала разомкнутую систему,

когда отсутствует входное воздействие: u

= 0 ∀k = 0, 1, 2, ···. Тогда

система (1) принимает вид (линейная дискретная однородная систе-

ма):

k+1

= Ax

(k = 0, 1, 2, ···). (2)

(A — постоянная (n × n)-матрица, x

∈ R

С системой вида (2) мы фактически уже встречались в § 2, гл.IV,

когда рассматривали отображение H за период (отображение моно-

дромии) для линейной системы ˙x = A(t)x (x ∈ R

) с периодиче-

ской матрицей A(t). Там мы видели, что устойчивость по Ляпунову

и асимптотическая устойчивость исходной линейной системы диф-

ференциальных уравнений ˙x = A(t)x равносильна соответственно

устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости нулево-

го решения x

= 0 (k = 0, 1, 2, ···) дискретной системы x

k+1

= Hx

259

Часто всевозможным свойствам решений непрерывных систем соот-

ветствуют аналогичные свойства связанных с ними дискретных си-

стем (получаемых, например, дискретизацией исходной непрерывной

системы или введением отображения за период для систем диффе-

ренциальных уравнений (не обязательно линейных) с периодической

по времени t правой частью) и, наоборот. Это служит еще одной до-

полнительной мотивацией для изучения дискретных систем.

Очевидно, что решение системы (2) с начальным условием x

име-

ет вид

= A

. (3)

Пусть B — матрица, подобная матрице A:

A = S

−1

BS, (4)

где S — некоторая невырожденная матрица. Тогда, подставляя зна-

чение (4) в (3), получим

= S

−1

BS · S

−1

BS · S

−1

B ···BS

| {z }

= S

−1

. (5)

В случае, когда матрица B является блочно–диагональной жор-

дановой матрицей, т.е.

B =







(λ

) 0

0 J

(λ

)







= diag[J

(λ

), ··· , J

(λ

)],

где J

(λ

) (j = 1, ··· , p) — клетки Жордана порядков `

, а λ

—

собственные числа матрицы A (не обязательно различные между со-

бой), соответствующие различным клеткам Жордана, матрица B

имеет очень простой вид (см. (27), § 2, гл.IV):







(λ

)

0 J

(λ

)







= diag[J

(λ

)

, ··· , J

(λ

)

]. (6)

260

Если все клетки Жордана J

(λ

) простые (`

= 1), т.е. сводятся к

одному элементу λ

, то матрица B

будет чисто диагонального вида:







0 λ







Для жордановой клетки (`

> 1)







1 0

0 λ







матрица J

(λ

)

имеет вид (28) из § 2, гл.IV. Используя последнее, с

учетом (6), из равенства

= S

−1

можно получить оценку нормы матрицы A

(см. (30) из § 2, гл.IV):

||A

|| ≤ C

(µα)

(µ > 1) (k = 0, 1, 2, ···), (7)

где α = max

|λ

|, C

— константа, зависящая от µ; причем если соб-

ственным значениям матрицы A, имеющим максимальный модуль

соответствуют простые жордановые клетки, то вместо (7) имеет ме-

сто оценка

||A

|| ≤ Cα

(k = 0, 1, 2, ···). (8)

Оценки (7), (8) аналогичны соответствующим оценкам для ||e

(см. лемму 2 из § 4, гл.I).

Используя оценки (7), (8) и вид (3) общего решения уравнения (2),

получаем следующий результат.

Теорема 1. 1) Для того чтобы все решения системы (2) стре-

мились к нулю при k → +∞, необходимо и достаточно, чтобы все

собственные значения λ

матрицы A были расположены внутри

единичного круга |p| < 1 (p ∈ C).

2) Для того чтобы все решения системы (2) были ограниченны-

ми, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения λ

матрицы A были расположены внутри замкнутого единичного кру-

га: |p| ≤ 1, причем собственным значениям, лежащим на окружно-

сти |λ| = 1, соответствовали простые жордановые клетки.