Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем

Подождите немного. Документ загружается.

231

где

α = inf

kxk=1

q(x), β = sup

kxk=1

q(x).

Для любого вектора ex ∈ R

, очевидно, ex/kexk — единичный вектор и

поэтому для него имеет место 4. Отсюда следует утверждение лем-

мы.

Замечание. На самом деле, в лемме

α = min

(Q), β = sup

(Q),

где λ

(Q), (j = 1, ··· , n) — собственные числа матрицы Q. Но для

дальнейшего это нам не понадобится.

Теорема 1. Пусть существует положительно определенная квад-

ратичная форма

V (x) = x

∗

Hx, x ∈ R

(H = H

∗

производная которой

V (x) в силу системы (1) удовлетворяет нера-

венству

V (x) ≤ −W (x), (5)

где

W (x) = x

∗

Gx, x ∈ R

(G = G

∗

)

— положительно определенная квадратичная форма.

Тогда тривиальное решение x(t) ≡ 0 системы (1) экспоненциаль-

но устойчиво при t → +∞.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу вышедоказанной леммы для квад-

ратичных форм V (x) и W (x) существуют соответственно числа

0 < α

< β

и 0 < α

< β

такие, что

· kxk

≤ V (x) ≤ β

kxk

, (6)

· kxk

≤ W (x) ≤ β

kxk

. (7)

Из неравенств (5)–(7) имеем

V ≤ −α

kxk

≤ −

V (x),

т.е.

V ≤ −2αV,

232

где α = −α

/2β

. Интегрируя последнее дифференциальное неравен-

ство, будем иметь

V (t) ≤ V (t

−2α(t−t

)

∀t ≥ t

, (8)

где V (t) ≡ V (x(t)), x(t) — решение уравнения (1) с начальным усло-

вием x(t

) = x

∈ R

). Используя оценку (8) и неравенства (6),

имеем

kx(t)k

≤

V (x(t)) ≤

kx(t

· e

−2α(t−t

)

(t ≥ t

)

т.е.

kx(t)k ≤ N · kx(t

)k · e

−α(t−t

)

∀t ≥ t

где N =

/α

. Следовательно, нулевое решение x(t) ≡ 0 экспонен-

циально устойчиво при t → +∞. Теорема доказана.

2. Теорема об экспоненциальной устойчивости линейной

системы с малым параметром.

Пусть дано векторное дифференциальное уравнение

˙x = εA(t)x, x ∈ R

, t ∈ [0, +∞), (9)

где ε > 0 — малый параметр, а матрица–функция A(t) ограничена и

непрерывна на промнежутке [0, +∞), и удовлетворяет условию

A(s) ds = tA

+ Q(t), (10)

причем A

— постоянная матрица, kQ(t)k ≤ m для всех t ∈ [0, +∞)

(m > 0 — константа).

Следующая теорема принадлежит В.А.Якубовичу.

Теорема 2. Пусть в усредненной системе ˙x = εA

x (x ∈ R

)

матрица A

гурвицева. Тогда система (9) экспоненциально устой-

чива при 0 ≤ ε ≤ ε

, где ε

— достаточно малое число.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим матрицу

(t) = I

+ εQ(t), (11)

где Q(t) — ограниченная матрица, удовлетворяющая условию (10)

— единичная (n × n)-матрица). Легко показать, что

det R

(t) = 1 + ε · Tr Q(t) +

k=2

(t)ε

, (12)

233

где α

(t) — некоторые ограниченные функции на [0, +∞). Действи-

тельно, пусть λ

(t), (j = 1, ··· , n) — собственные числа матрицы

Q(t) с учетом их кратностей. Тогда собственные числа матрицы R

(t)

равны 1 + ελ

(t), (j = 1, ··· , n). Поскольку определитель матрицы

(t) равен произведению собственных чисел, то

det R

(t) =

j=1

(1 + ελ

(t)) = 1 + ε

j=1

(t)+

+ε

1=j

(t)λ

(t) + ··· + ε

(λ

(t) ···λ

(t)).

(13)

Так как сумма собственных чисел

j=1

(t) равна следу матрицы

Q(t), то из (13) следует (12), где

(t) =

1=j

<···<j

(t) ···λ

(t) (k = 2, ··· , n).

причем α

(t) — ограниченные функции, так как матрица Q(t) огра-

ничена и, следовательно, ограничены λ

(t).

Из равенства (12) следует, что при достаточно малом ε

> 0

det R

(t) > 1 − δ > 0 (14)

при 0 ≤ ε ≤ ε

и всех t ∈ [0, +∞), где δ > 0 — некоторое положи-

тельное число.

Сделаем в системе (9) замену переменных

x = R

(t)y, τ = εt (y ∈ R

), (15)

где R

(t) — матрица (11).

Имеем

= (R

(t))

−1

εA(t)R

(t) −

(t)

Отсюда, учитывая равенства (11) и

dQ(t)

= A(t) −A

и переходя к новому времени τ, получаем

dτ

= A

y + z(τ), (16)

где

z(τ ) = ε(R

(t))

−1

[A(t)Q(t) − Q(t)A

]y(τ). (17)

234

Заметим, что поскольку матрица R

(t) ограничена и удовлетворя-

ет условию (14), то преобразование (15) сохраняет свойство экспо-

ненциальной устойчивости, т.е. из устойчивости (экспоненциальной)

системы (9) следует устойчивость (экспоненциальная) системы (16),

(17) и, наоборот.

Будем искать функцию Ляпунова для системы (16), (17) в виде

квадратичной формы

V (y) = y

∗

P y, (18)

где симметрическая матрица P = P

∗

подлежит определению

Вычислим производную функции V (y) в силу системы (16), (17):

dτ

= ˙y

∗

P y + y

∗

P ˙y = y

∗

P + P A

)y + 2y

∗

P z. (19)

Пусть G = G

∗

< 0 — произвольная отрицательно определенная мат-

рица. Тогда, поскольку по условию теоремы 2 матрица A

гурвицева,

то по лемме 1 из § 7, гл.III существует положительно определенная

матрица P = P

∗

> 0 такая, что

∗

P + P A

= G (G < 0). (20)

Так как матрицы A(t) и Q(t) ограничены, то, очевидно, ограничена

также и матрица

(t) = (R

(t))

−1

[A(t)Q(t) − Q(t)A

Пусть

(t)k ≤ M при 0 ≤ ε ≤ ε

, t ∈ [0, +∞).

Отсюда и из (17) имеем

kz(τ )k ≤ εMky(τ)k.

Учитывая последнее неравенство и равенство (20), из (19) получаем

следующую оценку

dτ

≤ y

∗

Gy + 2εMkP k· kyk

или

dτ

≤ y

∗

(G + 2εMkP kI

)y. (21)

Так как G > 0, то существует такое число ε

= ε

(G), 0 < ε

≤ ε

что

G + 2εMkP kI

< 0 при 0 ≤ ε ≤ ε

. (22)

235

Отсюда и из оценки (21) следует, что функция V (y) из (18) удо-

влетворяет всем условиям теоремы 1. Следовательно, по теореме 1,

с учетом предложения 2, система (16), (17) и, значит, система (9)

экспоненциально устойчива (при t → +∞) при 0 ≤ ε ≤ ε

. Теорема

2 доказана.

Замечание 1. Поскольку значение ε

(G), найденное из условия

(19), зависит от выбора матрицы G, то возникает естественная за-

дача о максимизации ε

(G) по всем G < 0. Последняя задача ре-

шена В.А.Якубовичем. Приведем без доказательства этот результат:

в условиях теоремы 2 система (9) экспоненциально устойчива при

0 < ε < ε

∗

(≤ ε

), где

∗

= min(ε

, ε

∗∗

), ε

∗∗

= M

−1

inf

ω∈R

inf

keyk=1

k(iωI

− A

)eyk;

при этом ε

∗

≥ sup

G<0

(G).

Замечание 2. Как это легко видеть из доказательства теоремы

2, экспоненциальная устойчивость системы (9) будет равномерной

относительно ε ∈ [0, ε

3. Экспоненциальная устойчивость линейной системы с

большим параметром.

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение

˙x = A(ωt)x, x ∈ R

, t ∈ [0, +∞), (23)

с непрерывной и периодической с периодом T > 0 матричнозначной

функцией A : R → R

n×n

: τ → A(τ ), A(τ + T ) = A(T), где ω > 0 —

большой параметр.

Систему (23) иногда называют системой с быстрым временем.

Из доказанной выше теоремы 2 следует

Теорема 3. Если усредненная система

˙x = A

x, x ∈ R

где

A(τ) dτ, (24)

236

асимптотически устойчива (т.е. матрица A

— гурвицева), то си-

стема (23) равномерно экспоненциально устойчива для всех

ω ≥ ω

, где ω

— достаточно большое положительное число.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Заменой времени ωt → t система (23)

легко сводится к системе

˙x = εA(t)x, A(t + T ) = A(t), x ∈ R

, t ∈ [0, +∞), (25)

с малым параметром ε > 0, где ε = 1/ω.

Система (25) — частный случай системы (9), рассмотренной в п.2.

Действительно, матрица A(t), очевидно, непрерывна и ограничена на

[0, +∞). Далее, представляя любое t > 0 в виде t = nT +s, 0 ≤ s < T

и учитывая периодичность матрицы A(t) будем иметь:

A(τ) dτ =

A(τ) dτ +

A(τ) dτ = n

A(τ) dτ +

A(τ) dτ =

= (nT + s)A

[A(τ) − A

] dτ = tA

+ Q(t),

где

Q(t) =

t−nT

[A(τ) − A

] dτ

матрица–функция, ограниченная на [0, +∞), поскольку

0 ≤ t − nT < T .

Согласно теореме 2 и замечания к ней система (25) равномерно

экспоненциально устойчива для всех ε ∈ [0, ε

], где ε

> 0, достаточ-

но мало, если матрица A

из (24) гурвицева. Отсюда следует утвер-

ждение теоремы 5.

§ 3. Высокочастотная стабилизация верхнего

положения равновесия маятника

Как и в гл.IV мы начнем с классической задачи стабилизации верх-

него положения равновесия маятника, но в отличие от § 3 гл.IV, по-

кажем возможность его высокочастотной стабилизации.

237

В § 3, гл.IV нами было получено уравнение малых колебаний (урав-

нение в вариациях) маятника около верхнего положения равновесия

с вибрирующей точкой подвеса. Оно имеет вид

θ + α

θ + (s(t) − ν

)θ = 0, (1)

где θ — угол отклонения, отсчитываемый от верхнего положения рав-

новесия, α — коэффициент трения, ν

g/` — собственная частота

малых колебаний (` — длина маятника, g — ускорение свободного па-

дения), s(t) = w(t)/`, w(t) — ускорение точки подвеса.

Будем рассматривать два различных класса стабилизирующих фу-

нкций s(t), а именно, кусочно-постоянные периодические функции

(с нулевым средним на периоде) с достаточно малым периодом T

([16,17])

s(t) =

−β при t ∈ [0,

β при t ∈ [

, 0),

s(t + T ) = s(t), (2)

и непрерывные периодические функции вида ([259,260])

s(t) = s

+ βω cos ωt (или s(t) = s

+ βω

cos ωt), (3)

где s

, β и ω — варьируемые параметры (ω — большой параметр).

1. Стабилизация с помощью кусочно-постоянных перио-

дических функций ([16,17]). Рассмотрим сначала стабилизацию

верхнего положения равновесия маятника с помощью функций ви-

да (2). Пусть амплитуда колебаний точки подвеса равна a(a ¿ `), а

ускорение w(t) точки подвеса постоянно в течение каждого полупе-

риода τ =

и равно

w(t) =

−c при t ∈ [0, τ),

c при t ∈ [τ, T ),

w(t + T ) = w(t) ∀t ∈ [0, +∞),

где c > 0 — константа.

Эквивалентная уравнению (1) система уравнений первого при-

ближения в окрестности верхнего положения равновесия имеет вид

(θ := x

˙x

= x

˙x

= −αx

− (s(t) − ν

(4)

Очевидно, что

a =

, β =

238

где β — варьируемый параметр в (2).

Еcли колебания точки подвеса достаточно быстры, то

β > ν

(так как β = 32a/`T

и T достаточно мало).

Пусть H — преобразование за время от 0 до T , осуществляемое

фазовым потоком системы (4). Очевидно, что преобразование H со-

стоит из произведения двух преобразований: H = H

, где H

—

преобразование за время от 0 до

, осуществляемое фазовым пото-

ком {f

} системы

˙x

= x

˙x

= −αx

+ (β + ν

(5)

(положение равновесия (x

= 0, x

= 0) — седло) т.е. H

= f

, а H

есть преобразование за время от

до T , осуществляемое фазовым

потоком {g

} системы

˙x

= x

˙x

= −αx

− (β −ν

(6)

(положение равновесия (x

= 0, x

= 0) — фокус) т.е. H

= g

(снача-

ла в промежутке времени [0,

] точки плоскости движутся по траек-

ториям системы (5), а затем в промежутке [

, T ] — по траекториям

системы (6)). Поскольку система (6) автономная и, следовательно,

сдвиг решения (вдоль оси t ) есть решение, то

= g

Найдем матрицы преобразований H

и H

(очевидно H

и H

—

линейные операторы).

В силу предложения 1 из § 3, гл.IV

= Ψ

(τ), H

= Ψ

(τ),

где Ψ

(t) и Ψ

(t) — нормированные фундаментальные матрицы ре-

шений систем (5) и (6) соответственно (Ψ

(0) = I, i = 1, 2).

Вычислим Ψ

(t) и Ψ

(t).

Общее решение системы (5) имеет вид

(t) = c

+ c

(t) = c

+ c

239

где λ

, λ

— корни характеристического уравнения p

+αp−(β+ν

) =

0 системы (5):

= −

+ k,

= −

− k, k

+ (β + ν

Обозначим ρ(t) =

exp

−

αt

Частное решение системы (5) с начальным условием x

(0) = 1,

(0) = 0:







(t) = ρ(t)

h³

1 +

1 −

−kt

(t) = ρ(t)

h³

1 +

´³

k −

−

1 −

´³

k +

−kt

Частное решение системы (5) с начальным условием x

(0) = 0,

(0) = 1:







(t) =

ρ(t)

− e

−kt

(t) = ρ(t)

h³

1 −

1 +

−kt

Теперь, составляя фундаментальную матрицу Ψ

(t) из найденных

частных решений и полагая в ней t = τ , получим

(τ) =

= ρ

(1 +

kτ

+ (1 −

−kτ

−1

sh kτ

(1 +

)(k −

kτ

− (1 −

)(k +

−kτ

(1 −

kτ

+ (1 +

−kτ

(Здесь sh — гиперболический синус, ρ

= ρ(τ)).

Характеристическое уравнение p

+ αp + (β − ν

) = 0 системы (6)

имеет комплексно-сопряженные корни

= −

+ iΩ, λ

= −

− iΩ,

Ω

= (β − ν

) −

если

< 4(β − ν

)

(последнее условие выполнено, если колебания точки подвеса маят-

ника достаточно быстры).

240

Общее решение системы (6):

(t) = 2ρ(t)(c

cos Ωt + c

sin Ωt),

(t) = 2ρ(t) [(c

Ω − c

α/2) cos Ωt − (c

α/2 + c

Ω) sin Ωt] .

Находим частные решения системы (6) с начальными условиями

(0) = 1, x

(0) = 0 и x

(0) = 0, x

(0) = 1. Ими будут соответствен-

но:

= 2ρ(t)(cos Ωt +

2Ω

sin Ωt),

= −2(Ω +

4Ω

)ρ(t) sin Ωt;

= 2Ω

−1

ρ(t) sin Ωt,

= 2ρ(t)

cos Ωt −

2Ω

sin Ωt

Составляем фундаментальную матрицуΨ

(t) и полагаем в ней t = τ.

Получим :

(τ) = 2ρ

cos Ωτ +

2Ω

sin Ωτ Ω

−1

sin Ωτ

−(Ω +

4Ω

) sin Ωτ cos Ωτ −

2Ω

sin Ωτ

В силу теоремы 4 из § 2, гл.IV преобразование H за время T асимпто-

тически устойчиво тогда и только тогда, когда собственные значения

(мультипликаторы) ρ

и ρ

матрицы

Ψ(T ) = Ψ

(τ) · Ψ

(τ) (τ =

преобразования H находятся внутри единичного круга:

|ρ

| < 1, j = 1, 2.

Для упрощения выкладок предположим, что трение в системе (4)

отсутствует, т.е.α = 0. Тогда очевидно, что

det Ψ(T ) = 1,

и мы можем воспользоваться теоремой 6 из § 2, гл.IV.

Условие устойчивости

|T r Ψ(T )| < 2

принимает вид

|2 cos Ωτ · ch kτ + (k/Ω − Ω/k) sin Ωτ · sh kτ | < 2 (7)

(Здесь sh и ch — гиперболические синус и косинус соответственно).

Введем безразмерные переменные ε и δ:

¿ 1, δ

¿ 1.