Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем

Подождите немного. Документ загружается.

261

Дадим теперь определения устойчивости по Ляпунову и асимпто-

тической устойчивости тривиального решения x

≡ 0 дискретной си-

стемы (2), аналогичные соответствующим определениям для непре-

рывных систем (эти определения совпадают с данными в § 2, гл.IV

соответствующими определениями для неподвижной точки отобра-

жения H монодромии).

О п р е д е л е н и е 1. Т р и в и а л ь н о е р е ш е н и е x

≡ 0

системы (2) называется у с т о й ч и в ы м п о Л я п у н о в у , если

для любого δ > 0 существует число ε > 0 такое, что для любого

решения системы (2) с начальным условием x

, удовлетворяющим

условию |x

| < δ, выполняется соотношение

| < ε ∀k ∈ {0, 1, 2, ···}.

О п р е д е л е н и е 2. Т р и в и а л ь н о е р е ш е н и е x

≡ 0

системы (2) называется а с и м п т о т и ч е с к и у с т о й ч и в ы м (в

целом), если 1) оно устойчиво по Ляпунову и 2) все решения x

стремятся к нулю при k → +∞.

Из вида (3) общего решения системы (2) и оценок (7) и (8) вытека-

ет, что условия теоремы 1, очевидно, являются также необходимыми

и достаточными соответственно для асимптотической устойчиво-

сти и устойчивости по Ляпунову тривиального решения системы

(2) (см. также теорему 4 из § 2, гл.IV). Для удобства ссылок сфор-

мулируем этот факт.

Теорема 2. 1) Т р и в и а л ь н о е р е ш е н и е x

≡ 0 системы (2)

а с и м п т о т и ч е с к и у с т о й ч и в о (в целом) тогда и только то-

гда, когда все собственные числа λ

матрицы A удовлетворяют

условию: |λ

| < 1.

2) Т р и в и а л ь н о е р е ш е н и е x

≡ 0 системы (2) у с т о й ч и-

в о п о Л я п у н о в у тогда и только тогда, когда все собственные

числа матрицы A удовлетворяют условию: |λ

| ≤ 1, причем соб-

ственным числам, лежащим на единичной окружности, соответ-

ствуют простые жордановые клетки.

262

Замечание 1. Из теорем 1 и 2 следует, что (как и для линей-

ных однородных систем дифференциальных уравнений) для линей-

ной однородной дискретной системы (2) устойчивость по Ляпуно-

ву тривиального решения эквивалентна ограниченности всех реше-

ний этой системы, а асимптотическая устойчивость — стремле-

нию всех решений к нулю при k → +∞.

Замечание 2. Аналогично, как и для систем линейных диффе-

ренциальных уравнений, легко установить, что устойчивость по Ля-

пунову (асимптотическая устойчивость) тривиального решения

≡ 0 системы (2) эквивалентна устойчивости по Ляпунову (асимп-

тотической устойчивости) всех решений системы (2) (в последнем

случае говорят об устойчивости или асимптотической устойчивости

всей системы).

Теорема 2 сводит вопрос об асимптотической устойчивости систе-

мы (2) к следующему вопросу: когда корни характеристического

многочлена

∆(p) = det(pI −A) (p ∈ C),

матрицы A принадлежат единичному кругу |p| < 1 ?

Для ответа на этот вопрос достаточно заметить, что дробно-линей-

ное преобразование

λ =

p + 1

p − 1

, p ∈ C (p 6= 1)

переводит единичный круг |p| < 1 в левую полуплоскость Re λ < 0.

Поэтому характеристический многочлен ∆(p) заменится на дробно-

рациональную функцию

ψ(λ) = ∆

λ + 1

λ − 1

Вместо функции ψ(λ) можно рассматривать многочлен

χ(λ) = (λ − 1)

∆

λ + 1

λ − 1

имеющий те же самые нули в области Re λ < 0, что и функция ψ(λ).

Таким образом, для того чтобы корни характеристического мно-

гочлена ∆(p) принадлежали единичному кругу |p| < 1 необходимо и

263

достаточно, чтобы многочлен χ(λ) был устойчивым, т.е. чтобы бы-

ли выполнены условия Рауса-Гурвица для многочлена χ(λ) (см.§ 2,

гл.III).

Пример. Приведем условия, когда корни многочлена 2-й степени

∆(p) = p

+ αp + β (α , β ∈ R)

лежат внутри единичного круга |p| < 1.

Элементарные выкладки приводят к следующему результату.

Корни многочлена ∆(p) = p

+ αp + β принадлежат единичному

кругу |p | < 1 тогда и только тогда, когда выполнены неравенства:

|α| − 1 < β < 1.

2.2. Пример. Числа Фибоначчи. Покажем, что переход от фор-

мулы (3) к формуле (5) часто бывает полезным при решении урав-

нения (2).

В качестве примера приведем, по-видимому, первую из рассмот-

ренных математиками дискретную систему вида (2). Леонардо Пи-

занский (Фибоначчи) в начале XIII века рассмотрел дискретное урав-

нение

= f

k−1

+ f

k−2

, k = 2, 3, ···

= f

= 1.

(9)

Это уравнение генерирует так называемые числа Фибоначчи f

. Най-

дем явные выражения для f

, используя описанный выше подход.

Введем обозначения:

k+1

, x

. (10)

Тогда уравнение (9) можно записать в виде системы (2) с матрицей

A =

0 1

1 1

Поскольку характеристический многочлен матрицы A имеет два

различных вещественных корня

1 +

√

, p

1 −

√

264

то жордановой формой матрицы A является матрица

B =

0 p

Матрица S, переводящая матрицу A в матрицу B, удовлетворяет

соотношению

SA = BS (det S 6= 0). (11)

Обозначим через s

(i = 1, 2; j = 1, 2) элементы матрицы S, так

что

S =

Из (11) получаем уравнения для определения неизвестных элементов

= p

+ s

= p

+ s

= p











. (12)

Из первого равенства последней системы следует, что s

6= 0 (в

противном случае имели бы det S = 0). Не умаляя общности, можно

считать, что s

= 1. Тогда равенства (12) выполнены при

= p

, s

= 1, s

= p

Таким образом,

S =

1 p

Используя правило нахождения обратной матрицы, получаем:

−1

− p

−p

−1 1

265

Из формулы (5) имеем

= S

−1

0 p

S ·

= −

√

−p

−1 1

¶µ

0 p

¶µ

1 + p

√

−p

1 −1

¶µ

0 p

¶µ

√

−p

k+2

+ p

k+2

− p

k+2

√

k+1

− p

k+1

k+2

− p

k+2

Отсюда, учитывая обозначения (10), получаем формулу для чисел

Фибоначчи f

√





1 +

√

k+1

−

1 −

√

k+1





Внимательный читатель здесь легко увидит полную аналогию с

интегрированием линейных однородных систем дифференциальных

уравнений путем приведения системы к канонической форме (с жор-

дановой матрицей коэффициентов системы) с последующим возвра-

щением к исходным переменным.

2.3. Линейные неоднородные дискретные системы. Такие

системы имеют вид

k+1

= Ax

+ f

, k = 0, 1, 2, ··· , (13)

где A — постоянная (n ×n)-матрица, x

∈ R

, f

∈ R

. Общее реше-

ние системы (13) можно найти последовательно (рекуррентно) под-

считывая вектор состояния x

в моменты 0, 1, 2, ···:

= Ax

+ f

= Ax

+ f

= A

+ Af

+ f

= Ax

+ f

= A

+ A

+ Af

+ f

··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

= A

n−1

j=0

n−j−1

··· ··· ··· ··· ··· ······

266

Таким образом, общее решение системы (13) имеет вид

= A

k−1

j=0

k−j−1

(k = 0, 1, 2, ···). (14)

Подставляя (14) в правую и левую части уравнения (13), убежда-

емся, что действительно формула (14) дает решение уравнения (13)

при любом заданном начальном условии x

∈ R

Замечание 1. Формулы (3) и (14) для общих решений соответ-

ственно уравнений (2) и (13) вполне аналогичны соответствующим

решениям

x(t) = e

и x(t) = e

A(t−τ)

f(τ) dτ

линейных дифференциальных уравнений

dx(t)

= Ax(t) и

dx(t)

= Ax(t) + f(t)

соответственно.

Замечание 2. В отличие от теории дифференциальных уравне-

ний ответы на вопросы о существовании, единственности и продол-

жаемости решений дискретных систем

k+1

= F (x

, k), k = 0, 1, 2, ···

являются очевидными и положительными. (Здесь F — некоторое

отображение прямого произведения R

× N

в R

2.4. Z-преобразование и передаточная функция. Для дис-

кретных систем часто используется Z-преобразование, являющееся

некоторым аналогом преобразования Лапласа для непрерывных си-

стем.

Рассмотрим множество M всех числовых последовательностей

)

∞

k=0

, возрастающих при k → +∞ не быстрее, чем d

, где d —

некоторое положительное число.

267

Определим Z-преобразование как оператор, определенный на мно-

жестве M по формуле

Z[(f

)] =

∞

k=0

−k

, z ∈ D, (15)

где D — внешность круга {p ∈ C : |p| ≤ d}.

Таким образом, Z-преобразование каждой последовательности

)

∞

k=0

из множества M ставит в соответствие функцию комплекс-

ного переменного

F (z) =

∞

k=0

−k

(z ∈ D).

Заметим, что часто в различных разделах математики использу-

ются производящие функции последовательностей

G(z) =

∞

k=0

Ясно, что G(z) = F (z

−1

Вместо числовых последовательностей можно рассмотреть мно-

жество всех векторных последовательностей (f

)

∞

k=0

, нормы которых

возрастают при k → +∞ не быстрее, чем d

. Тогда Z-преобразование

на множестве M всех таких векторных последовательностей опре-

деляется по той же формуле (15), что и для числовых последова-

тельностей.

Применим Z-преобразование к обеим частям уравнений (1) в пред-

положении, что начальное условие x

= 0:

∞

k=0

k+1

−k

= A

∞

k=0

−k

+ b

∞

k=0

−k

∞

k=0

−k

= c

∗

∞

k=0

−k

Из этих соотношений получаем:

˜y

= −c

∗

(A − zI)

−1

b˜u

где

˜u

= Z[(u

)], ˜y

= Z[(y

)].

Так же, как и в непрерывном случае, матричную функцию

W (z) = c

∗

(A − zI)

−1

268

называют передаточной функцией системы (1) от входа u

к выходу

(−y

Передаточная функция W (z) связывает Z-преобразования входа

и выхода линейного дискретного блока так же, как и в непрерывном

случае такая же функция W (p) связывала преобразования Лапласа

входа и выхода.

§ 2. Управляемость, наблюдаемость и стабилизируемость

Рассмотрим систему

k+1

= Ax

+ bu

, y = c

∗

(k = 0, 1, 2 ···), (1)

где A, b и c — вещественные постоянные (n×n)−, (n ×m)− и (n×`)-

матрицы, u

∈ R

, x

∈ R

, y ∈ R

1. Управляемость.

О п р е д е л е н и е 1. С и с т е м а (1) называет-

ся п о л н о с т ь ю у п р а в л я е м о й , если для любой пары векто-

ров v ∈ R

, z ∈ R

существуют натуральное число K ≤ n и век-

торная последовательность u

(управление) такие, что для реше-

ния x

(k = 0, 1, 2, ··· , K) системы (1) с этой последовательностью

(k = 0, 1, 2, ··· , K) и начальным условием x

= v выполнено ра-

венство x

= z.

Таким образом, система (1) полностью управляема, если суще-

ствует такое управление u

, что в некоторый момент K под его дей-

ствием достигается желаемое состояние x

= z при произвольном

начальном условии x

= v (v, z ∈ R

). Мы видим, что определение 1

аналогично соответствующему определению в непрерывном случае.

Как и в непрерывном случае в силу линейности системы (1) в

определении 1 можно считать z = 0.

Заметим, что в отличие от непрерывного случая здесь не гаранти-

руется возможность достижения конечного целевого состояния z за

любое время T . Требуется некоторое число тактов K, чтобы привести

систему в требуемое состояние z.

Теорема 1. (Критерий полной управляемости.) Система (1)

полностью управляема тогда и только тогда, когда

rank (b, Ab, ··· , A

n−1

b) = n, (2)

269

т.е. когда пара (A, b) полностью управляема.

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Достаточность. Пусть выполне-

но условие (2). Воспользовавшись формулой (14) из § 2, представим

состояние x

(k = n) в виде:

= A

n−1

j=0

n−j−1

. (3)

Пусть v и z — произвольные векторы из R

. Тогда полагая x

= v и

используя (3), получаем условие достижимости желаемого состояния

z ∈ R

n−1

+ A

n−2

+ ··· + Abu

n−2

+ bu

n−1

= z − A

которое можно переписать в виде

(b, Ab, ··· , A

n−1







n−1

n−2







= z − A

v. (4)

Соотношение (4) есть система линейных алгебраических уравнений

с (n × nm)-матрицей

(b, Ab, ··· , A

n−1

и свободным членом z − A

y относительно неизвестных m-мерных

векторов u

n−1

, u

n−2

, ··· , u

. В силу условия (2) система (4) имеет ре-

шение (при m = 1 — единственное, а при m > 1 — бесконечное мно-

жество; в последнем случае возьмем одно из них) u

n−1

, u

n−2

, ··· , u

Таким образом, если выполнено условие (2), то существует такое

управление (u

, u

, ··· , u

n−1

), которое переводит вектор состояния x

из состояния x

= v в состояние x

= z, т.е. система (1) полностью

управляема. Достаточность условия (2) установлена.

2) Необходимость. Пусть система (1) полностью управляема. Пред-

положим, что условие (2) не выполнено. Тогда согласно свойству

(V III

) полной управляемости (см. § 1, гл.II) существует неособая

270

матрица S такая, что

−1

AS =

0 A

−1

b =

|{z}

(5)

Сделаем в системе (1) замену переменных x

= Sξ

. В результате

получим

k+1

= S

−1

ASξ

+ S

−1

, y

= c

∗

Sξ

. (6)

Введя обозначение

(1)

(2)

где ξ

(1)

∈ R

, ξ

(2)

∈ R

, перепишем уравнения (6), с учетом (5),

следующим образом:

(

(1)

k+1

= A

(1)

+ A

(2)

+ b

(1)

(2)

k+1

= A

(2)

= c

∗

Sξ

где u

(1)

∈ R

Мы видим, что ξ

(2)

k+1

не зависит от управления u

. Поэтому за счет

выбора управления u

невозможно перевести вектор ξ

(2)

из произ-

вольной начальной точки ξ

(2)

= z

(2)

в произвольную конечную точку

(2)

= z

(2)

. Последнее означает, что система (1) неполностью управ-

ляема, вопреки условию. Полученное противоречие доказывает необ-

ходимость. Теорема 1 доказана.

2. Наблюдаемость. Перейдем теперь к понятию н а б л ю д а е м о-

с т и системы (1). Следующее определение аналогично соответству-

ющему определению в непрерывном случае.

О п р е д е л е н и е 2. Система (1) (или пара (A, c)) называет-

ся п о л н о с т ь ю н а б л ю д а е м о й , если существует натуральное

число K ≤ n (n — размерность фазового пространства R

) такое,

что для любых троек

(1)

, x

(1)

, y

(1)

), (u

(2)

, x

(2)

, y

(2)

), k = 0, 1, 2, ··· , K,