Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем

Подождите немного. Документ загружается.

271

удовлетворяющих системе (1), из равенства входов и выходов:

(1)

= u

(2)

, y

(1)

= y

(2)

, k = 0, 1, 2, ··· , K

вытекает равенство состояний:

(1)

= x

(2)

, k = 0, 1, 2, ··· , K.

Как и в непрерывном случае в определении 2 можно считать

(2)

≡ 0, x

(2)

≡ 0, y

(2)

≡ 0 (k = 0, 1, 2, ··· , K).

Таким образом, система (1) полностью наблюдаема, если по из-

вестным значениям входа u

и выхода y

можно однозначно опреде-

лить состояние x

Здесь тоже, как выше было отмечено для полностью управляемой

системы (1), в отличие от непрерывного случая не гарантируется

возможность точного определения состояния системы за любое вре-

мя T . Требуется некоторое число тактов K, чтобы по наблюдениям

(измерениям) входов и выходов однозначно определить состояние си-

стемы.

Теорема 2. Для полной наблюдаемости системы (1) необходимо

и достаточно, чтобы было выполнено условие

rank (c, A

∗

c, ··· , A

∗

n−1

c) = n, (7)

т.е. чтобы пара (A, c) была полностью наблюдаема.

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Достаточность. Пусть выполне-

но условие (7). Из рекуррентных соотношений (1) последовательно

имеем:











= c

∗

= c

∗

= c

∗

+ c

∗

= c

∗

= c

∗

+ c

∗

Abu

+ c

∗

··· ··· ··· ··· ···

n−1

= c

∗

= c

∗

n−1

n−2

j=0

∗

n−j−1

272

Перепишем эту систему в виде:







∗

n−1







· x







− c

∗

− c

∗

Abu

− c

∗

n−1

−

n−2

j=0

∗

n−j−1







. (8)

Соотношение (8) есть система линейных алгебраических уравнений

с (n` × n)-матрицей







∗

n−1







относительно неизвестного вектора x

∈ R

Пусть теперь известны вход u

(k = 0, 1, 2, ··· , n − 2) и выход

(k = 0, 1, 2, ··· , n − 1). Тогда правая часть системы (8) тоже из-

вестна.

Система (8) однозначно разрешима относительно неизвестного век-

тора x

тогда и только, когда

rank







∗

n−1







= n, (9)

что эквивалентно условию (7). Поэтому из (8) можно найти одно-

значно начальное состояние x

при известных значениях входа u

и выхода y

. Определив начальное состояние x

по рекуррентным

равенствам (1), можно однозначно определить состояние x

в любой

последующий момент k ≥ 1. Следовательно, система (1) полностью

наблюдаема. Достаточность условия (7) установлена.

2) Необходимость условия (7) следует из того, что при его нару-

шении, т.е. нарушении условия (9), система (8) неоднозначно разре-

шима относительно x

при известной правой части, и, следовательно,

состояние x

(k ≥ 1) по соотношениям (1) определяется неоднознач-

но при известных значениях входа u

и выхода y

, т.е. система (1)

не является полностью наблюдаемой.

273

Заметим, что в качестве числа K, фигурирующего в определении

2, можно принять число n − 1. Теорема 2 доказана.

Замечание. Так как в силу теорем 1 и 2 полная управляемость

и полная наблюдаемость системы (1) равносильны полной управля-

емости и наблюдаемости пар (A, b) и (A, c) соответственно, а послед-

ние в силу теоремы 2 из § 3, гл.II — свойству невырожденности пе-

редаточной функции W (z) = c

∗

(A −zI)

−1

b, то, как и в непрерывном

случае, для полной управляемости и полной наблюдаемости системы

(1) необходимо и достаточно, чтобы её передаточная функция W(z)

была невырожденной.

3. Стабилизируемость.

Дадим сначала следующее определение, аналогичное соответству-

ющему определению в непрерывном случае.

О п р е д е л е н и е 3. Система (1) называется стабилизи-

руемой, если существует обратная связь (полная, т.е. c = I)

= s

∗

(k = 0, 1, 2, ···), (10)

где s — постоянная (n×m)-матрица такая, что замкнутая систе-

ма (1), (10), т.е. система

k+1

= (A + bs

∗

(k = 0, 1, 2, ···) (11)

асимптотически устойчива.

В силу теоремы 2 из § 1 система (1) стабилизируема тогда и только

тогда, когда существует постоянная (n×m)-матрица s такая, что все

собственные числа матрицы A + bs

∗

лежат внутри единичного круга

|p| < 1 (p ∈ C).

Имеет место аналог теоремы из § 4 главы III.

Теорема 3. (Теорема о стабилизации.) Пусть система (1)

полностью управляема. Тогда она стабилизируема.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу теоремы о стабилизации для

непрерывных систем (см. § 4, гл.III) по описанному там алгоритму

можно построить вещественную матрицу s порядка (n × m) такую,

чтобы все собственные числа матрицы A + bs

∗

располагались произ-

вольно в отрицательной полуоси вещественной прямой, в частности,

лежали внутри интервала (−1, 0). Тогда согласно теореме 2 из § 1

система (11) асимптотически устойчива. Теорема 3 доказана.

274

Отметим, что, как и в непрерывном случае, из стабилизируемости

системы (1), вообще говоря, не следует ее управляемость.

Следствие 1. Вещественную матрицу s можно выбрать так,

чтобы процесс перехода решения x

в состояние x = 0 заканчивался

не более, чем за n тактов, где n — размерность фазового простран-

ства.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Выберем матрицу s так, чтобы матрица

A + bs

∗

имела характеристический полином p

(это можно сделать

по той же теореме о стабилизации из § 4, гл.III). Тогда по теореме

Гамильтона-Кэли [48]

(A + bs

∗

)

= 0. (12)

Из (11) следует, что

= (A + bs

∗

)

Отсюда, с учетом (12), имеем: x

= 0. Следствие 1 доказано.

Следствие 2. Пусть на систему (1) действует постоянное воз-

мущение w

≡ w, w = const — r-мерный вектор. Тогда существует

обратная связь

= s

∗

такая, что в системе

k+1

= Ax

+ bu

+ qw, u

= s

∗

(k = 0, 1, 2, ···), (13)

где q — некоторая постоянная (n × r)-матрица, не более чем за n

тактов устанавливается постоянное значение вектора состояния:

∞

= [I + (A + bs

∗

) + ··· + (A + bs

∗

)

n−1

]qw. (14)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из рекуррентных соотношений (13)

имеем

= A

+ qw,

= A

+ (A

+ I)qw,

= A

+ (A

+ A

+ I)qw,

··· ··· ··· ··· ··· ···

= A

+ (A

k−1

+ ··· + A

+ I)qw,

··· ··· ··· ··· ··· ··· ,

(15)

где введено обозначение A

:= A + bs

∗

275

В силу следствия 1

= 0.

Отсюда имеем

= 0 ∀k ≥ n. (16)

Учитывая (16), из формулы общего решения (15) системы (13) по-

лучаем, что

= (I + A

+ ··· + A

n−1

)qw ∀k ≥ n.

Следствие 2 доказано.

Замечание 1. Поскольку

(I − A

)

n−1

j=0

n−1

j=0

(I − A

) = I −A

и матрицу s можно выбрать такой, чтобы собственные числа мат-

рицы A

были отличны от 1, то выражение для x

∞

из (14) можно

записать так:

∞

= (I − A

)(I − A

)

−1

qw (A

= A + bs

∗

Замечание 2. Стабилизация системы (1) при неполной обратной

связи y

= c

∗

(c 6= I) рассмотрена в [147].

§ 3. Проблема Брокетта для линейных дискретных

систем управления

1. Постановка задачи. В главе IV мы рассмотрели проблему

Брокетта — проблему стабилизации линейных непрерывных систем

с помощью нестационарных линейных обратных связей. Дискретный

аналог этой проблемы можно сформулировать следующим образом.

П р о б л е м а Б р о к е т т а д л я д и с к р е т н ы х с и с т е м : дана

тройка матриц A, b, c; при каких условиях существует последова-

тельность матриц {s

}

∞

k=0

такая, ято линейная система управле-

ния

k+1

= Ax

+ bu

, y

= c

∗

(k = 0, 1, 2, . . .), (1)

276

где x

∈ R

, u

∈ R

, y

∈ R

, замкнутая обратной связью

= s

∗

т.е. система

k+1

= (A + bs

∗

(k = 0, 1, 2, . . .) (2)

является асимптотически устойчивой ? (Здесь A, b, c — веществен-

ные постоянные матрицы, размерности которых равны (n ×n), (n ×

m), (n × `) соответственно).

Ниже мы переносим на дискретный случай методику синтеза ста-

билизирующих матриц s

= s(k), разработанную в гл.IV для непре-

рывных систем. Далее будет показано, что для систем второго по-

рядка со скалярной обратной связью и невырожденной передаточной

функцией, удовлетворяющих одному из условий W (0) 6= 0,

|det A| < 1, проблема Брокетта всегда имеет положительное реше-

ние. При изложении будем следовать работе [97].

2. Основная теорема. Пусть существуют постоянные матрицы

(j)

(j = 1, 2) такие, что системы

k+1

= (A + bs

∗

(j)

∗

, x

∈ R

(j = 1, 2), (3)

обладают устойчивыми инвариантными линейными многообразиями

и инвариантными линейными многообразиями M

. Пусть, далее,

dim M

+ dim L

= n, M

∩ L

= {0}

и для положительных чисел λ

, κ

, α

, β

выполнены неравенства

(j)

k ≤ α

−λ

∀x

∈ L

, (4)

(j)

k ≤ β

∀x

∈ M

, (5)

где x

(j)

— решение системы (3) с начальным условием x

Пусть существует последовательность матриц {σ

}

∞

k=0

и целые

числа k

≥ 1 и r ≥ 1 такие, что для системы

k+1

= (A + bσ

∗

(6)

выполнено включение

⊂ L

, (7)

277

(как и в § 4, гл.IV будем называть (7) "условием вложения многооб-

разий"), где

r−1

j=0

(A + bσ

∗

). (8)

Заметим, что решение x

системы (6) с начальным условием x

= x

дается формулой:

= θ

, (9)

где

k−1

j=k

(A + bσ

∗

), k ≥ k

+ 1, θ

= I (10)

(здесь I — единичная матрица).

При этих предположениях имеет место следующая

Теорема 1. (Основная теорема.) Пусть выполнено неравен-

ство

> κ

. (11)

Тогда существует K-периодическая матрица s

k+K

= s

∀k = 0, 1, 2, ··· ; K ∈ N) такая, что система (2) является асимп-

тотически устойчивой.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Идея доказательства такая же, как и

в непрерывном случае.

1) Из условия (11) следует, что для любого числа T > 0 при до-

статочно больших натуральных k

выполнены неравенства

< k

< −

Отсюда следует, что имеют место следующие неравенства

−λ

+ κ

< −T

−λ

+ κ

< −T

. (12)

2) Определим периодическую матрицу s

следующим образом:







при k ∈ [0, k

k−k

при k ∈ [k

, k

+ r),

при k ∈ [k

+ r, k

+ k

+ r), s

k+K

= s

(13)

278

где K : = k

+r (здесь обозначение k ∈ [α, β) означает, что k при-

нимает лишь целочисленные значения, принадлежащие промежутку

[α, β)).

Покажем, что при достаточно больших значениях K система (2)

с матрицей вида (13) будет асимптотически устойчивой.

3) Введем в рассмотрение отображение за период K: J : R

→ R

(аналогичное отображению монодромии H в непрерывном случае),

определенное следующим образом:

= x

∀x

∈ R

где x

— значение при k = K решения x

уравнения (2) с начальным

условием x

Возьмем единичный шар E

= {x : kxk ≤ 1} в R

и докажем, что

⊂ E

1/2

где E

1/2

= {x : kxk ≤

}, т.е. все решения x

системы (1) с началь-

ными данными из шара E

при k = K попадают в шар E

1/2

Так как

= (A + bs

∗

)

∈ R

) (j = 1, 2)

— решение уравнения (3) с начальным условием x

, а

k−1

j=k

(A + bσ

∗

j−k

∗

≥ k

+ 1

— решение системы

k+1

= (A + bσ

∗

k−k

∗

(k ≥ k

+ 1)

с начальным условием x

, то отображение J представляет собой

композицию трех отображений (обозначим их через f

, ϑ

, g

= (A + bs

∗

)

, ϑ

+r−1

j=k

(A + bσ

∗

j−k

∗

= (A + bs

∗

)

так что

J = g

· ϑ

· f

;

J : x

−→ x

∈ R

279

где

= f

, x

= ϑ

, x

= g

Принимая во внимание (8), получаем равенство

= θ

Очевидно, что g

= g

. С учетом последних двух соотношений

имеем

= Jx

= g

· θ

· f

∀x

∈ R

. (14)

4) С помощью невырожденного линейного преобразования пере-

менных

(j)

= B

x (j = 1, 2), (15)

где ξ

(j)

∈ R

, η

(j)

∈ R

, n

= dim L

, n

= dim M

, B

— неособая

матрица, приведем систему (2) к следующему виду

(

(j)

k+1

= P

(j)

k+1

= Q

(j)

(j = 1, 2).

(16)

Не умаляя общности, будем считать, что

kξ

(j)

k ≤ α

kξ

(j)

−λ

kη

(j)

k ≤ β

kη

(j)

)

(17)

Действительно, оценив норму решений уравнений (16) получим:

kξ

(j)

k = kP

(j)

k ≤ ||P

|| · kξ

(j)

k ≤ α

kξ

(j)

kη

(j)

k = kQ

(j)

k ≤ ||Q

|| · kη

(j)

k ≤ β

kη

(j)

причем ρ

< 1, так как L

— устойчивое инвариантное многообразие,

а µ

≥ 1, так как M

— инвариантное, вообще говоря, неустойчивое

многообразие.

Положив

−λ

= ln ρ

, κ

= ln µ

будем иметь соотношения (17).

Так как

= θ

280

то отсюда, учитывая (15), получаем

(2)

= B

−1

(1)

. (18)

В силу условия (7) для любого x

∈ M

= x

, x

∈ L

. (19)

С учетом (15) имеем:

, B

Используя последние соотношения, из (19) получаем

= B

−1

Отсюда выводим, что матрица B

−1

имеет следующую структуру

−1

(r) b

(r)

(r) 0

|{z}

(20)

Далее, из системы (16) (в новых координатах) будем иметь:

(1)

0 Q

¶µ

(1)

(2)

0 Q

¶µ

(2)

где

(1)

= B

(2)

= B

Отсюда, учитывая (18) и (20), соотношение (14) перепишем (в но-

вых координатах) так:

(2)

0 Q

¶µ

(r) b

(r)

(r) 0

¶µ

0 Q

¶µ

(1)