Лекции - В.Л.Пантелеев Курс лекций Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

8.2.1 Внутренняя проблема Дирихле

Допустим, что искомая функция задана на поверхности сферы значениями

. Разложим функцию в ряд Лапласа:

Внутренняя проблема Дирихле Внешняя проблема Дирихле

Искомым решением будет Решение уравнения Лапласа задают в виде

суммы шаровых функций второго рода

(8.7)

(8.8)

так как:

1. удовлетворяет уравнению

Лапласа, как шаровая функция

первого рода;

2. на сферической поверхности

радиуса

она равна .

Эта функция также:

1. удовлетворяет уравнению Лапласа

как шаровая функция второго рода;

2. на поверхности она равна

;

3. на бесконечности стремится к

нулю как

, что говорит о ее

регулярности на бесконечности.

8.3 Краевые задачи Неймана

На поверхности иногда заданы не значения функции, а ее нормальные производные.

Тогда это задача Неймана, которая также может быть и внутренней и внешней.

Краевое условие в этом случае имеет вид

Для сферы имеет место равенство

, поэтому краевое условие можно

записать так:

(8.9)

где -- функция Лапласа.

Поскольку

, для выполнения теоремы Гаусса для

гармонических функций о потоке необходимо, чтобы выполнялось условие

что эквивалентно условию

Внутренняя проблема Неймана Внешняя проблема Неймана

Нетрудно убедиться, что решением

внутренней проблемы Неймана будет

Эту проблему на сфере решает функция

(8.10)

(8.11)

Действительно, эта функция

гармоническая, так как состоит из суммы

шаровых функций первого рода, а

подстановка ее в краевое условие (

8.9)

убеждает нас, что оно выполняется.

В справедливости этого утверждения предлагаем

убедить самостоятельно.

8.4 Смешанная краевая задача

Эта задача, как и две предыдущие может быть и внутренняя, и внешняя. Рассмотрим

вариант внешней смешанной краевой задачи, имеющей отношение к теории фигуры

Земли. Краевым условием в этом случае будет линейная комбинация самой искомой

функции и ее нормальной производной на граничной поверхности

(8.12)

Снова решение будем искать в виде разложения по сферическим функциям

где

-- сферическая функция, подлежащая определению. Подставим это выражение в

краевое условие (

8.12):

Приравнивая сферические функции одинаковых степеней почленно, получим

Следовательно, решением внешней смешанной краевой задачи будет

(8.13)

8.5 Определение высот геоида

Мы убедились в том, что возмущающий потенциал является гармонической

функцией и на сфере выполняется краевой условие (

8.6). Это типичная внешняя

смешанная краевая задача. Чтобы ее решить, нужно представить смешанную

гравитационную аномалию рядом Лапласа

где

(8.14)

где

-- сферическое расстояние между точкой и элементом сферической поверхности

. Представим теперь правую часть уравнения (8.6), задающее краевое условие. Для

возмущающего потенциала справедливо разложение

, где

В классическом решении данной задачи, получившей название задачи Стокса,

предполагается, что масса эллипсоида равна массе реальной Земли, то есть

, а начало координат совпадает с центром масс планеты

Отсюда следует, что разложение возмущающего потенциала начинается с :

Пренебрегая квадратом сжатия, мы снова дифференцирование по нормали заменим

дифференцированием по радиус-вектору

Следовательно

Заметим, что при

, должно быть

а при

Итак, для того, чтобы решение задачи Стокса существовало необходимо, чтобы среднее

значение смешанных гравитационных аномалий равнялось нулю и, кроме того, должен

равняться нулю интеграл

. Теперь решение краевой задачи для возмущающего

потенциала принимает вид

(8.15)

Подставим сюда интегральную форму (

8.14) для функций Лапласа:

(8.16)

Поскольку интегрирование ведется по сфере радиуса в формуле (8.16) мы

полагали . Введем обозначение

(8.17)

и решение задачи Стокса принимает окончательный вид

(8.18)

Функцию

часто называют функцией Стокса. В (8.17) она задана в виде

разложения по степеням полиномов Лежандра от косинуса центрального расстояния

. Ее "компактный" вид следующий

Легко видеть, что точка -- особая. Здесь функция Стокса обращается в

бесконечность, тем не менее интеграл (

8.18) сходится, но при выполнении двух

указанных выше условий, которым должны удовлетворять гравитационные

аномалии. Используя формулу (8.1), которую часто называют

формулой Брунса

, из

возмущающего потенциала легко получить высоты геоида

(8.19)

8.6 Определение уклонений отвеса

Отвесная линия (вертикаль) совпадает с направление вектора силы тяжести g.

Она является нормалью к уровенной поверхности. С другой стороны нормаль к

эллипсоиду совпадает с направлением вектора нормальной силы тяжести. Эти две

нормали не совпадают. Между ними образуется угол, который геодезисты называют

уклонением отвеса

. Не будет ошибкой сказать и

отклонение отвесной линии

. Правда

возникает вопрос отклонение от чего? Чтобы таких вопросов не возникало, мы будем

употреблять геодезический термин.

Две упомянутые нормали, продолженные вверх, пересекаются с воображаемой

небесной сферой в точках, одна из которых будет астрономическим зенитом (или

просто зенитом), а другая -- геодезическим. Понятно, что и плоскости горизонта

астрономического и геодезического не совпадают. Договорились считать уклонения

отвеса положительным, если зенит смещается в северном или восточном

направлении.

Обратимся к локальной геодезической системе координат с началом в пункте

наблюдений (точка

). Горизонтальные оси

, как мы знаем из лекции 7,

лежат в плоскости, перпендикулярной к нормали к эллипсоиду. Одна из них

направлена на север, другая -- на восток. Ось

направлена вниз по внутренней

нормали к эллипсоиду. Нетрудно понять, что при положительных "горизонтальных"

компонентах вектора силы тяжести обе компоненты уклонения отвеса будут

отрицательны. Поэтому компоненты уклонения отвеса в плоскости меридиана и

первого вертикала соответственно определяют следующим образом

(8.20)

Из приведенных формул видно, что обе компоненты -- безразмерные величины, хотя

на практике они измеряются в угловых единицах. Дело в том, что уклонения отвеса

на Земле составляют секунды дуги, поэтому вместо тригонометрических формул,

связывающих уклонения отвеса с компонентами вектора силы тяжести, мы взяли

простое отношение.

С другой стороны

поэтому

(8.21)

Ранее мы видели, что , поэтому

(8.22)

Формула (

8.19) позволяет вычислить высоты геоида, если на поверхности Земли

заданы смешанные гравитационные аномалии. Принципиально не имеет значения, в

каких координатах заданы эти аномалии и в каких координатах практически ведется

интегрирование. Мы для этих целей будем применять геодезические координаты

. Перепишем формулу (8.19)

Интегрирование будем выполнять на сфере, а не на эллипсоиде. При этом можно

ожидать погрешность в определении высот геоида порядка сжатия. Пренебрегая

этими погрешностями, определим элементарные приращения для осей

поэтому

(8.23)

Теперь нужно вычислить производные

и . Для этого обратимся к

формулам сферической тригонометрии.

Рассмотрим сферический треугольник, который образуют дуги, соединяющие три

точки на сфере: точку

, в которой мы хотим определить уклонение отвеса, точку

-- полюс, и точку -- текущую точку на поверхности сферы, где расположен элемент

поверхности. Дуга

равна 90- , а дуга

равна 90- . Угол при точке равен

-- азимуту текущей точки Дуга

РР'

равна аргументу функции Стокса -- . Угол

при полюсе

равен разности долгот точки и точки , то есть . Используя

формулы сферической тригонометрии, несложно получить производные угла по

и по , входящие в формулы (8.23)

Подставим полученные выражения в (

8.23), получим

Запишем приведенный интеграл в виде двукратного интеграла. Элемент сферы

равен

, причем переменная изменяется от 0 до , а переменная

-- от 0 до . Получим

(8.24)

Эти формулы носят имя голландского ученого Венинг-Мейнеса. Как и в формулу

Стокса, определяющей высоту геоида точка

является устранимой особой

точкой.

На практике используют более сложные методики для вычисления уклонений отвеса

с использованием и гравиметрических и геодезических данных.

Лекция 9. Квазигеоид Молоденского

• 9.1 Критика классической теории Стокса

• 9.2 Система высот

• 9.3 Краевые условия задачи Молоденского

9.1 Критика классической теории Стокса

Применение формулы Стокса для определения высот геоида относительно общего

земного эллипсоида наталкивается на серьезные трудности. Во-первых, для

интегрирования необходимо, чтобы гравитационные аномалии были известны по

всей поверхности Земли, более двух третей которой покрыта морями и океанами.

Измерение силы тяжести на поверхности океанов стало возможно лишь в ХХ

столетии.

В 1922-1929 годы голландский ученый Ф.А.Венинг-Мейнес работал над созданием

аппаратуры для измерения силы тяжести на подвижном основании. Наконец, в 1929

году им был создан окончательный вариант маятникового прибора с которым Венинг-

Мейнес совершил плавание на подводной лодке в акваторию юго-восточной Азии,

где в то время у Голландии были колонии. Точность гравиметрической съемки

ученый оценил в 3-4

мГал

, что было достаточно для изучения состояния земной коры

в том регионе. На основании этих данных предложил новую теорию изостазии.

Уже в 1930 году заведующий кафедрой гравиметрии механико-математического

факультета МГУ профессор Л.В.Сорокин совершил первое плавание в Черном море

также на подводной лодке с оригинальной аппаратурой, изготовленной в мастерских

ГАИШ. В 1954 году силами института ВНИИГеофизика был создан первый в мире

морской гравиметр, а в 1955 году прошел морские испытания на подводной лодке во

время плавания вокруг Новой Земли. Результаты убедительно показали, что

точность гравиметра не уступает точности маятникового прибора, требует гораздо

более простой обработки наблюдений. Маятниковые приборы наземной

гравиметрии, как известно, были вытеснены гравиметрами, то же произошло и с

морскими приборами. Морские гравиметры сейчас являются основными

инструментами морской гравиметрии. Все меньше и меньше остается "белых" пятен

на Земле, где сила тяжести неизвестна

Вторая проблема -- более серьезная. Теория Стокса требует, чтобы

все

массы

лежали под уровенной поверхностью, называемой геоидом. Кроме того, измерения

силы тяжести выполняются на физической поверхности, не совпадающей с геоидом.

Задача состоит в том, чтобы в измеренной значение внести такие поправки, которые

бы перенесли все массы под уровень моря, не изменяя самой уровенной

поверхности, а сила тяжести оказалась бы отнесенной к уровню моря (геоиду). Эта

проблема широко обсуждалась в научной литературе и получила название

проблемы

регуляризации Земли

Оказалось, что для успешного решения проблемы регуляризации необходимо знать

внутреннее строение Земли. В научный спор о том, как решать проблему

регуляризации, в 50-х годах вмешался М.С.Молоденский, который доказал, что

различные варианты решения практически эквивалентны, но они не решают задачу

вполне строго. Он предложил строгое решение задачи определения фигуры Земли.

При этом определяются высоты не поверхности, которую мы называем геоидом, а

другой поверхности, достаточно близкой к геоиду, которую он назвал

квазигеоидом

М.С. Молоденский разработал теорию построения квазиеоида, предложил алгоритмы

приближенного решения проблемы. Во-первых, редукция (перенос) силы тяжести или

потенциала выполняется в линейном приближении. Во-вторых, хотя все измерения и

редукции относятся к физической поверхности или к эллипсоиду, интегрирование

малых функций, где это требуется, выполняется по сфере (сферическое

приближение).

Молоденского.

Конечно, теория Молоденского не окончательная. Она

постоянно совершенствуется его учениками. В Советском Союзе возникла школа

Молоденского, которая широко известна не только у нас, но и за рубежом.

9.2 Система высот

Определить фигуру какой-либо поверхности -- это значит определить расстояния

каждой точки этой поверхности до тела отсчета, за которое берется эллипсоид

вращения. Эти расстояния обычно называют геодезическими высотами. Понятие

высоты, на первый взгляд, не требует уточнения. Однако это не так.

М.С.Молоденский разработал целую систему высот для геодезии.

Допустим, что имеем две точки

и , причем точка выше точки . Если

соединить эти точки каналом и пустить воду, куда она потечет? Кажется вполне

естественным ответ: из точки

к точке . Однако это не совсем так. Весь вопрос в

том, как проходит уровенная поверхность через эти точки. Если обе точки лежат на

одной уровенной поверхности, то вода никуда не потечет. Если уровенная

поверхность, проходящая через точку

окажется под уровенной поверхностью

точки

, то будет наблюдаться обратная картина: вода потечет от точки к точке

. Таким образом, для гидротехнических сооружений система геодезических высот

оказывается непригодной.

В геодезии высоты определяют нивелированием. Нивелир -- это оптическая труба,

визирная линия которой устанавливается строго горизонтально с помощью

достаточно высоко чувствительного уровня. Чтобы определить превышение одной