Лекции - В.Л.Пантелеев Курс лекций Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

Наша поверхность уровня задана не разрешенной относительно вертикальной

координаты. Поэтому нам нужно получить формулу для кривизны сечения

поверхности, заданной в неявном виде. Продифференцируем зависимость

по одной из координат, например по . Тогда

Дифференцируя второй раз, получим:

Но точка есть точка касания, где , поэтому .

Используя обозначения Монжа, будем иметь

. Рассуждая аналогичным

образом, легко получим

, . Теперь формула Монжа принимает

вид

(7.9)

Рассмотрим важные частные случаи:

• Меридиональное сечение (A=0). Радиус кривизны: . Кривизна:

(7.10)

•

• Сечение в первом вертикале (А=90°). Радиус кривизны: . Кривизна:

(7.11)

•

Итак, вторые производные потенциала тяжести

определяют

кривизну (радиус кривизны) нормального сечения уровенной поверхности. Остается

выяснить физический или геометрический смысл еще трех вторых производных:

Поскольку

, то Горизонтальную компоненту этого

градиента называют

горизонтальным радиентом силы тяжести

, а вертикальную

компоненту -

вертикальным градиентом силы тяжести.

Выведем теперь формулу для вертикального градиента силы тяжести. Если точка

внешняя, то справедливо уравнение . Для внутренней точки уравнение

Лапласа для потенциала притяжения превращается в уравнение Пуассона, тогда

. Перепишем равенство в наших обозначениях

Из формул (7.10) и (7.11) следует, что , , поэтому

(7.12)

Мы видим, что для вычисления вертикального градиента силы тяжести необходимо

знать радиусы кривизны нормальных сечений уровенной поверхности, плотность и

угловую скорость вращения Земли. Наоборот, если нас интересует плотность пород,

окружающих точку наблюдения, нужно измерить вертикальный градиент силы

тяжести. Поэтому измерение вертикального градиента является очень важной

задачей для целей

гравитационной разведки

В заключении, приведем основные формулы для вторых производных нормального

потенциала. Как мы видели, поверхностью уровня в этом случае является эллипсоид

вращения. Радиус кривизны меридионального сечения эллипсоида равен

, а сечения в первом вертикале

(7.13)

Ограничиваясь малыми порядка сжатия, получим

(7.14)

где

нужно взять из нормальной формулы (7.5).

Заметим, что

-- достаточно малая величина. Основной

вклад в вертикальный градиент силы тяжести вносит

. Легко видеть, что вторые

производные потенциала по горизонтальным координатам приблизительно в два

раза меньше вертикального градиента силы тяжести и имеют противоположный знак.

Для того, чтобы привести численные значения коэффициентов в формулу (

7.14)

необходимо договорится о единицах измерения. В геофизике принято градиент силы

тяжести измерять в Этвешах, по имени венгерского ученого Лоранда Этвеша,

который создал прибор для измерения вторых производных гравитационного

потенциала. Установлено, что один Этвеш (1 Э) равен градиенту, соответствующему

0,0001

мГал/м

или в метрической системе единиц .

Прежде, чем привести численные значения, сделаем еще одно замечание. Со

времени Этвеша основным инструментом для измерения вторых производных

потенциала тяжести служит коромысло, на концах которого закреплены на разной

высоте массы. Ось вращения коромысла -- вертикальна. Неоднородность поля

тяжести создает момент, вращающий коромысло, который уравновешивается

моментом упругой силы. Не останавливаясь на подробностях ( это не предмет

обсуждения для нашего курса) укажем лишь, что с этим прибором можно получить

четыре параметра гравитационного поля

, , , .

Приведем численные значения, согласованные с нормальной формулой для силы

тяжести (см. Шокин П.Ф., "Гравиметрия" Геодезиздат, 1960)

(7.15)

При измерении элементов гравитационного поля в космическом пространстве

серьезной помехой является невесомость: пробное тело не взаимодействует с

опорой и сила, которая действует на пробное тело, не может быть измерена. Однако

невесомость, строго говоря, имеет место только в одной точке космического

аппарата: в центре масс. Если пробные тела разместить в разных точках

космического аппарата, то гравитационные силы будут действовать по-разному.

Дифференциальные измерения положения этих пробных тел позволяет получить

вторые производные гравитационного потенциала.

7.4 Вторые производные потенциала притяжения в

околоземном пространстве

Как мы уже говорили, главным препятствием для измерения силы тяжести на борту

космического аппарата служит невесомость. Однако существует принципиальная

возможность измерять элементы тензора вторых производных потенциала.

Пусть точка

есть точка, совпадающая с центром масс космического аппарата.

Выберем прямоугольную систему координат, связанную с космическим аппаратом

(сопровождающий трехгранник). Начало этой системы координат возьмем в точке .

Направления осей выберем следующим образом: ось

направим по касательной к

меридиану, проходящему через точку

, ось

-- на восток, а ось

-- в начало

сферической системы координат, то есть в центр Земли. Пусть

-- радиус-вектор

точки

, и -- соответственно геоцентрическая широта и долгота этой точки.

Тогда потенциал притяжения в этой точке будет равен

(7.16)

Здесь

и -- стоксовы постоянные. В данном случае мы центробежный член

не учитываем, так как речь идет о потенциале гравитационного притяжения, а не

тяжести.

Элементарные приращения декартовых координат, очевидно будут

(7.17)

Первые производные гравитационного потенциала по осям сопровождающего

трехгранника можно записать в виде дифференциального оператора

(7.18)

Обозначим

теперь формулу (

7.16) можно переписать так

(7.19)

Подставляя полученную формулу в (

7.18), будем иметь компоненты градиента

потенциала притяжения на расстоянии

от центра Земли

(7.20)

Чтобы получить вторые производные потенциала притяжения, необходимо каждую

из компонент силы притяжения продифференцировать по трем координатным осям.

При вычислении вторых производных нельзя пользоваться формулами линейной

связи элементарных приращений координат (

7.17), как мы это делали при

вычислении первых производных. Самый очевидный путь (но не самый легкий!) --

прямое дифференцирование функции

как неявную функцию переменных

. Однако он связан с громоздкими выкладками.

Наша цель -- показать как изменяются вторые производные потенциала с

увеличением расстояния до спутника. Поэтому ограничимся лишь второй

радиальной производной потенциала. Силовая линия для этой координаты -- прямая

линия, поэтому учитывать ее кривизну не требуется. Дифференцируя потенциал,

заданный формулой (

7.19), по координате , получим

(7.21)

Мы видим, что после дифференцирования каждый член разложения потенциала

приобретает коэффициент, растущий с увеличением степени как

Таким образом,

множитель указывает, что с повышением "частоты" увеличивается и

множитель, точно так же, как и при спектральном разложении функции времени.

Таким образом, дифференцирующий эффект увеличивает "верхние" гармоники

разложения потенциала.

Однако, одновременно с этим эффектом существует и "интегрирующий" эффект: с

увеличением расстояния

множитель уменьшает амплитуду гармоники.

Поэтому возникает вопрос, какие гармоники и на какой высоте следует определять

при планировании космического эксперимента.

Английский ученый Каула экспериментально показал, что амплитуды сферических

гармоник потенциала убывают с возрастанием степени

как . С другой стороны

амплитуды гармоник второй производной потенциала увеличиваются как

Следовательно гармоники вторых производных в широком диапазоне частот имеют

характер "белого шума". Но с увеличением высоты благодаря интегральному

эффекту верхний диапазон частот оказывается подавленным.

Выполним простейший расчет "частотной характеристики" преобразования

сферических гармоник потенциала в гармоники радиальной второй производной на

высоте

Пусть

, где -- высота полета спутника над планетой. В качестве

характеристики подавления гармоники степени

, очевидно, можно принять

Приведем таблицу значений

при различных высотах и степеней гармоник.

200 км 500 км 1000 км 5000 км

2 0.86 0.68 0.48 0.055

4 0.80 0.59 0.36 0.017

6 0.76 0.51 0.27 0.005

8 0.71 0.44 0.20 -

10 0.67 0.37 0.15 -

20 0.49 0.18 0.035 -

50 0.19 0.018 -- -

100 0.041 -- -- -

Таблица показывает, что для выполнения задачи измерения вторых производных

годятся лишь очень низкие спутники. Причем на высоте 200

км

от гармоник степени и

порядка 100 остается лишь около 4%. Это означает, что если на поверхности Земли

нас может удовлетворить точность 1% от амплитуды аномалий градиента, то в

космических условиях мы будем вынуждены требовать точность на два порядка

выше. Следовательно, в качестве приемлемой точности измерения мы должны

планировать чувствительность приборов не менее 0,001Э, что эквивалентно

градиенту

мГал/м

g/м

. Такой высокой чувствительности в земных

условиях вряд ли можно достигнуть. Однако в космосе, в условиях глубокого вакуума

и сверхнизких температурах надежда на успех остается.

Лекция 8. Определение фигуры геоида

• 8.1 Возмущающий потенциал

• 8.2 Краевая задача Дирихле для сферы

• 8.3 Краевые задачи Неймана

• 8.4 Смешанная краевая задача

• 8.5 Определение высот геоида

• 8.6 Определение уклонений отвеса

8.1 Возмущающий потенциал

Среди специалистов по высей геодезии широко применяется термин

возмущающий

потенциал

, как разность между реальным и нормальным потенциалами в одной

точке. Нельзя сказать, что термин удачен. В небесной механике часто употребляется

термин

возмущающие силы

, возмущающая силовая функция, возмущения.

Возникает вопрос, что именно возмущает данная сила? Для небесной механики

ответ ясен -- закон движения тела, делает его отличным от кеплеровского,

невозмущенного. Правда, терминология московской и петербургской школ небесных

механиков различаются. Москвичи говорят функция возмущающая, а петербуржцы --

пертурбационная. Так что же "возмущает" возмущающий потенциал? Ответ -- ничего.

По-видимому прав австрийский геодезист Г.Мориц, который предлагает ввести

термин

аномалия потенциала

. Говорим же мы

аномалия силы тяжести

, имея в виду

разность реальной и нормальной силы тяжести! Но отдавая дань традиции, мы

будем употреблять термин возмущающий потенциал именно как разность реального

и нормального потенциалов тяжести или притяжения взятых в одной и той же точке.

Возьмем точку

на поверхности геоида

-- уровенной поверхности -- с координатами

, где геодезическая высота точки (расстояние от уровенной

поверхности

до эллипсоида

) Другими словами это высота геоида в точке . Две другие

координаты --

и соответственно геодезические широта и долгота (см. лекцию 2,

раздел

2.3). На поверхности эллипсоида точку с такими же значениями широты и

долготы будем обозначать буквой . Понятно, что высота этой точки равна нулю.

Сила тяжести в точке

Нормальная сила тяжести в точке :

Разность абсолютных значений этих векторов определяет

смешанную

гравитационную аномалию

Возмущающий потенциал в точке

(на эллипсоиде) равен

Однако, поскольку , получим

(8.1)

Определим смешанную аномалию

(8.2)

В первом слагаемом мы дифференцируем потенциал по внешней нормали к геоиду,

а во втором -- к эллипсоиду. Эти два направления, вообще говоря, не совпадают.

Правда, отличие не велико и ошибка составляет всего , то есть

величину порядка квадрата отклонения отвесной линии. Это существенно меньше

квадрата сжатия, поэтому в нашем приближении можно не делать различия в

направлениях отвесной линии и нормали к эллипсоиду.

"Опустим" значение силы тяжести из точки

в точку , применяя формулы

линейного приближения

(8.3)

Вертикальный градиент силы тяжести, как мы видели (см. лекцию 7, уравнение

(

7.12)), зависит от радиусов кривизны нормальных сечений и угловой скорости

вращения Земли

(8.4)

Пренебрегая малыми порядка

, можно пренебречь и членом . Кроме того,

поскольку

также малая величина (сравнению с ), можно не учитывать различия

между радиусами кривизны меридионального сечения и сечения в первом

вертикале. После упрощений, формула (8.3) принимает вид

(8.5)

Теперь смешанную аномалию можно записать так

Разность есть возмущающий потенциал в точке , а тот, в свою

очередь, связан с высотой геоида

формулой (8.1). Заменяя в этой формуле

реальное значение силы тяжести на нормальное, получим

. Теперь

смешанную аномалию можно выразить через возмущающий потенциал следующим

образом

(8.6)

Итак, задача определения фигуры геоида (поверхности уровня относительно

эллипсоида) сводится к определению гармонической функции

-- возмущающего

потенциала, который линейно связан с высотой геоида. Проблема интегрирования

уравнения Лапласа, при условии, что на заданной поверхности искомая функция

подчиняется некоторому условию, которое называют

краевым условием

принадлежит к большому классу краевых задач, с некоторыми из них мы и

познакомимся.

8.2 Краевая задача Дирихле для сферы

Попытаемся решить следующую задачу. Дано дифференциальное уравнение

Лапласа, определяющее функцию

, гармоническую в некоторой области,

ограниченной замкнутой поверхностью

. Все значения этой функции на границе

области, то есть на поверхности

, известны. Из всех решений уравнения Лапласа

требуется выбрать только те, которые удовлетворяют краевому условию. Решение

этой задачи существенным образом зависит от вида граничной поверхности.

Покажем, как она решается, если заданная поверхность -- сфера. В данной

формулировке имеем дело с

внутренней проблемой Дирихле.

Иногда требуется определить гармоническую функцию вне граничной поверхности.

Тогда это

внешняя проблема Дирихле