Лекции - В.Л.Пантелеев Курс лекций Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

Сферическая система. Широта долгота и радиус-вектор. Система координат,

построенная на эллипсоиде. Геодезические координаты: широта, долгота и высота.

Связь между сферической, геодезической и декартовой системами координат.

Геодезические задачи решают на плоскости, если размеры площади невелики. Если

исследуемая часть поверхности занимает несколько градусов широты или долготы,

то необходимо учитывать и кривизну поверхности. В этом случае часто подходит и

шар. Для решения глобальных задач, в том числе и задач по космической геодезии в

качестве тела отсчета берут эллипсоид вращения. В частности на эллипсоиде

решают следующие задачи:

-- Уточнение формы и размеров общего земного эллипсоида (ОЗЭ).

-- Перенос направлений и расстояний с физической поверхности на эллипсоид.

-- Определение координат точек на поверхности референц-эллипсоида.

-- Определение расстояний между точками с заданными координатами.

-- Уточнение координат по мере уточнения элементов эллипсоида.

2.1 Декартовы системы координат

Введем две прямоугольные системы координат: локальную и глобальную.

Начало системы отсчета (точка Р) для локальной прямоугольной системы координат

выберем в точке наблюдения, лежащей на поверхности эллипсоида. Ось

РХ

направим на Север, ось

РУ

? на Восток, а ось по нормали к поверхности

эллипсоида вниз (по внутренней нормали). В этой системе координат

"горизонтальная" плоскость

ХРУ

не совпадает с плоскостью астрономического

горизонта.

Глобальную декартову геодезическую систему координат Oxyz строят так:

начало отсчета совмещают с центром ОЗЭ (не путать с центром масс Земли!),

плоскость xOy -- c плоскостью экватора. Ось

совмещают с линией пересечения

плоскости нулевого меридиана и плоскости экватора. Ось

пересекает экватор в

точке с долготой 90°. Ось Oz совпадает с осью вращения ОЗЭ. Эта ось не

обязательно совпадает с осью вращения Земли. Для трехосного ОЗЭ начало

координат берут в центре масс Земли, а оси -- совпадающими с главными осями

инерции. В этом случае плоскость xOy, вообще говоря, не будет лежать в плоскости

экватора.

2.2 Сферическая система координат

Телом отсчета для сферической системы координат является сфера с радиусом .

Начало этой системы координат совмещают с центром сферы. Координатами

являются геоцентрическая широта , долгота и радиус-вектор . Широтой

называется угол между радиусом-вектором и плоскостью экватора. Долгота есть угол

между плоскостью, проходящей через заданную точку и осью вращения (плоскость

меридиана) и плоскостью меридиана, принятого в качестве нулевого. Связь между

сферической системой и глобальной декартовой определяется формулами

(2.1)

В том случае, когда широта определяется как угол между плоскостью экватора и

отвесной линией

, сферическая система координат называется

астрономической

Широта и долгота, определенные в этой системе мы будем обозначать через

и .

2.3 Геодезическая система координат

С геодезической системой координат связывают понятия геодезической

широты, долготы и высоты. Геодезическая широта В есть угол, под которым

пересекается нормаль к поверхности эллипсоида с плоскостью экватора. Долгота -

- двугранный угол между плоскостью нулевого меридиана и плоскостью меридиана,

проходящего через заданную точку.

Геодезические широта и долгота отличаются от соответствующих астрономических

координат, связанных с отвесной линией, так как отвесная линия не совпадает с

нормалью к эллипсоиду. Отклонение отвесной линии можно спроецировать на две

плоскости: плоскость меридиана и плоскость первого вертикала. Нетрудно понять,

что обе эти составляющие можно определить через разности между

астрономическими и геодезическими координатами

(2.2)

Отклонения отвесной линии составляют, как правило, первые несколько секунд дуги.

Заметим, что геодезическая и геоцентрическая долготы совпадают. Обе они

определены как двугранный угол между плоскостью нулевого меридиана и

плоскостью, содержащей ось вращения и заданную точку. Геоцентрическая же

широта отличается от геодезической.

Рассмотрим точку

, лежащую вне ОЗЭ. Опустим из этой точки перпендикуляр на

поверхность эллипсоида и продолжим его до пересечения с экваториальной

плоскостью (

рис. 2). Проекцию точки на поверхность эллипсоида обозначим через

Тогда отрезок

есть геодезическая высота точки . Угол, под которым

упомянутый перпендикуляр пересекает плоскость экватора, есть геодезическая

широта

. Она относится как к точке , так и к точке . Геоцентрические широты

этих двух точек, как видно из рисунка, различаются. Геоцентрическая широта точки

угол между радиус-вектором этой точки и плоскостью экватора.

Рис. 2.

Установим связь между координатами точки

, сжатием эллипсоида и широтами

и . Поскольку точка лежит на поверхности эллипсоида, то ее прямоугольные

координаты

подчиняются уравнению эллипсоида вращения:

. Рассмотрим сечение . Тогда, как легко видеть,

. Чтобы определить , нужно найти угловой коэффициент нормали в

точке

. Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид

(2.3)

У нас , поэтому ,

Следовательно,

Определим отличие геоцентрической широты от геодезической . Имеем

очевидные равенства

(2.4)

Второй эксцентриситет эллипса, как мы знаем, определяется следующим образом

, поэтому

Для Земли второй эксцентриситет мал, поэтому, пренебрегая малыми второго

порядка относительно сжатия, получим

. Можно также считать, что

Учитывая сказанное, получим

Наибольшее отличие геодезической широты от геоцентрической достигается на

широте 45° и составляет

Связь глобальных декартовых координат с геоцентрическими определяется

формулами (

2.1). Определим теперь формулы, связывающие декартовы координаты

с геодезическими. Это означает, что бы должны определить координаты точки

через параметры эллипсоида и геодезические широту и долготу.

Поскольку , для определения координат , , точки достаточно, для

начала, определить только координаты

и , то есть все рассуждения проводить

только для сечения

. Обратимся к рис. 3.

Рис. 3.

Определим прямоугольные координаты точки

, расположенной на высоте

над

поверхностью эллипсоида. Сначала определим координаты проекции точки

на

поверхность эллипсоида (точка

). Ее координаты в сечении

Охz

равны

Индексом "0" мы отметили принадлежность координат к точке, лежащей на

поверхности эллипсоида. Как мы видели

поэтому

Остается определить радиус-вектор точки

. Воспользуемся уравнением эллипса и

выполним необходимые преобразования.

(2.5)

Выразим

и через и , для чего воспользуемся приведенными

выше формулами. Определим радиус-вектор точки

следовательно,

(2.6)

Обозначим

(2.7)

Теперь

(2.8)

Для произвольного сечения, проходящего через ось вращения

, будем иметь

(2.9)

Теперь поднимем точку

на высоту

и совместим ее с точкой . Прямоугольные

координаты изменятся на

(2.10)

Окончательно, теперь формулы для пересчета геодезических координат

прямоугольные примут вид

(2.11)

Здесь

, определенный формулой (2.7) имеет простой геометрический смысл: он

равен отрезку нормали, проходящей через точку

, от этой точки до точки

пересечения ее с осью вращения эллипсоида. Справедливость этого утверждения

предлагается доказать самостоятельно.

2.4 Эллипсоидальная система координат

Рассмотрим еще одну систему координат, имеющую приложение в теории

гравитационного потенциала:

Эти формулы содержат не три, а четыре переменные величины. Четвертая

переменная устанавливает семейство координатных поверхностей -- эллипсоидов.

Убедимся в этом. Проделаем простые преобразования:

Разделив первое уравнение на

а второе -- на , получим

Очевидно, что при

получим уравнение эллипсоида вращения

где

Поскольку , имеем , отсюда параметр имеет простой

физический смысл: он равен половине межфокусного расстояния. Понятно, что

изменяя

при условии , получим семейство софокусных эллипсоидов,

играющих важную роль в теории потенциала фигур равновесия Построим теперь

семейство координатных поверхностей

. Проделаем очевидные

преобразования

меняя

, получим семейство однополостных гиперболоидов вращения. Обозначив

, , получим уравнение гиперболоида в общепринятой форме.

Разделив

на

, получим . Изменяя , получим семейство плоскостей,

проходящее через ось

Оz

. Все три семейства поверхностей образуют взаимно

ортогональную систему.

Лекция 3. Основные формулы теории потенциала

• 3.1 Формулы Грина

• 3.2 Гармонические функции

• 3.3 Шаровые функции

Интеграл Дирихле, первая, вторая и третья формулы Грина. Гармонические функции

и их свойства, теоремы о гармонических функциях. Шаровые и сферические

функции. Дифференциальное уравнение для сферических функций и его решение.

В данном разделе перечислим без вывода основные формулы теории потенциала,

которые находят применение в теории фигуры Земли. Остановимся лишь на

некоторых, наиболее важных теоремах.

Введем векторный оператор набла :

, где -- единичные, взаимно ортогональные вектора. С

векторным оператором можно обращаться, как с обыкновенным вектором. Например,

скалярное произведение двух операторов набла дает оператор Лапласа:

Допустим, что в нашем распоряжении имеется некоторая скалярная функция

. Тогда

3.1 Формулы Грина

3.1.1 Формула Остроградского

С помощью оператора Лапласа интегрирование по объему можно заменить

интегрированием по поверхности. В дальнейшем для обозначения пределов

интегрирования мы будем использовать следующий прием. Все двукратные или

трехкратные интегралы мы будем изображать однократным интегралом. Под

интегралом будем использовать символ ( ) если интегрирование ведется по телу,

ограниченному поверхностью

, или просто значком , если интегрирование

ведется по поверхности

. С этими где оговорками формула Остроградского (3.1)

принимает вид

(3.1)

где

-- элемент объема, -- элемент поверхности, а буквой обозначена внешняя

нормаль.