Лекции - В.Л.Пантелеев Курс лекций Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

5.5 Пределы Пуанкаре и Крудели для угловой скорости

вращения. Фигуры равновесия

Поверхность фигуры равновесия определяется формулой . Она

совпадает с поверхностью уровня. Потенциал тяжести на этой поверхности --

постоянная величина. Однако, для того, чтобы это тело существовало, необходимо,

чтобы сила тяжести была направлена внутрь этого тела. Иными словами,

нормальная производная потенциала (силовой функции) должна быть отрицательна:

. Применим формулу Остроградского

(5.25)

Внутри тела потенциал притяжения не является гармонической функцией, ибо

. Поэтому . Перепишем формулу (5.25) в виде

где М -- масса планеты, а Т -- ее объем. Условие сохранение планет, как твердого тела --

положительное значение силы тяжести, поэтому левая часть полученного равенства

отрицательна. Следовательно . Отсюда следует, что угловая скорость

планеты не может превосходить величины

, где -- средняя

плотность планеты. Это есть предел Пуанкаре для угловой скорости вращения планеты.

Для Земли

, , то есть предельный период

вращения для Земли составляет 4125

=1,14

час

Предел Пуанкаре не гарантирует устойчивость покоя всех тел, лежащих на

поверхности. Может так случиться, что

, но на отдельных участках

поверхности сила тяжести отрицательна, то есть направлена вверх! Устойчивость

покоя тел будет обеспечена, если поверхность уровня, совпадающая с поверхность

планеты, будет всегда выпуклой. Для этого условия итальянский ученый Крудели для

однородной планеты снизил предел для скорости вращения в

раз: .

Период вращения Земли согласно пределу Крудели не должен быть меньше

1,61

часа

Лекция 6. Нормальная Земля

• 6.1 Нормальный потенциал тяжести

• 6.2 Сфероид Клеро

• 6.3 Теорема Стокса

• 6.4 Гравитационный потенциал эллипсоида вращения

Термин

нормальная Земля

-- традиционный среди специалистов-геодезистов. Слово

нормальная

применительно к силе тяжести, высоте и т.п. означает, что данный

параметр является предсказуемым. Его можно вычислить по известным формулам.

Нормальная Земля -- это тело отсчета для построения карт высот, глубин морей и

т.д. Причем, это тело должно описываться достаточно простыми математическими

формулами и, кроме того, достаточно хорошо аппроксимировать физическую

поверхность планеты.

6.1 Нормальный потенциал тяжести

Общепризнанно, что наиболее удобным геометрическим телом для модели Земли

является общеземной эллипсоид (ОЗЭ) -- уровенный эллипсоид вращения. Его

гравитационный потенциал (потенциал тяжести!)

называют нормальным

потенциалам. Условие для выбора параметров нормальной Земли:

1. Центр масс и ось вращения нормальной Земли совпадают соответственно с центром

масс и осью вращения реальной Земли.

2. Угловая скорость вращения эллипсоида и реальной Земли совпадают.

3. Масса эллипсоида равна массе Земли.

4. Зональный коэффициент разложения потенциала второй степени реальной Земли

равен соответствующему коэффициенту нормальной Земли.

Обозначения параметров нормальной Земли мы будем отмечать верхним или

нижним индексом "0".

Итак, потенциал тяжести реальной Земли имеет вид

(6.1)

где

-- средний экваториальный радиус Земли. Учитывая, что потенциал эллипсоида

вращения содержит только зональные гармоники можно записать

(6.2)

Условие для выбора параметров нормальной Земли:

Эти четыре параметра подлежат уточнению, по мере накопления новых данных.

Астрономо-геодезические исследования нуждаются в единой системе

фундаментальных постоянных. Такая система обычно устанавливается на крупных

международных собраниях ученых. На Генеральной Ассамблее Международного

Астрономического Союза (МАС) в 1976 г принято

Несколько позже мы докажем замечательную теорему Стокса, которая утверждает,

что, если известна поверхность планеты, являющаяся поверхностью уровня, которая

охватывает все массы, известна также планетоцентрическая гравитационная

постоянная

и угловая скорость вращения , то гравитационное поле может

быть однозначно определено во внешнем пространстве. Число параметров,

определяющих эллипсоид вращения равно двум (большая и малая полуоси).

Следовательно всего нам нужно знать четыре параметра, остальные определяются

через геоцентрическую гравитационную постоянную, угловую скорость вращения,

большую полуось и сжатие планеты. В формулу (

6.2) входят бесчисленное

множество параметров. Однако теория показывает, все стоксовы постоянные

определяются через уже упомянутые четыре параметра.

Поскольку последовательность

для гидростатически равновесных фигур

убывает достаточно быстро, часто в формуле (

6.2) для нормального потенциала

ограничиваются только первым членом суммы. Тогда нормальный потенциал

тяжести принимает вид

(6.3)

Отбрасывание малых членов в разложении потенциала приводит к тому, что

поверхность где -- постоянная величина, уже перестает, строго

говоря, быть эллипсоидом. Такую поверхность, близкую к сфере, называют

сфероидом

Перепишем уравнение сфероида в следующем виде

(6.4)

Введем обозначение

. Формула (6.4) теперь принимает вид

Поскольку

и -- малые величины, уравнение сфероида можно представить так

(6.5)

где

-- сжатие планеты. Пренебрегая величинами порядка , уравнение

сфероида (

6.4) можно упростить. Заметим, что

следовательно,

Сравнивая полученное выражение с (

6.5), получим

(6.6)

Таким образом, сжатие равновесной планеты зависит от стоксовой постоянной

и безразмерной угловой скорости вращения ,

которая имеет простой физический смысл: это отношение центробежной силы на

экваторе к величине, достаточно близкой к силе тяжести на экваторе. Такой

гидростатически равновесный сфероид носит название

сфероида Клеро

, по имени

французского математика, работавшего над теорией равновесных фигур планет.

Сжатие для сфероида Клеро можно записать и так

где

-- среднее значение из двух экваториальных моментов инерции.

Четырьмя фундаментальными постоянными, в данном случае, являются

При выводе формулы для сжатия планеты мы не пользовались никакими гипотезами

о ее строении. Клеро же рассматривал гидростатически равновесную модель,

полагая, что массы распределены в виде тонких сфероидальных слоев. Им

построена не только зависимость сжатия планеты от ее угловой скорости вращения,

но и сжатии внутренних слоев. Показано, что эти сжатия уменьшаются по мере

приближения к центру планеты.

Остается определить закон изменения силы тяжести с широтой на сфероиде Клеро

также с точностью до сжатия. Из формулы (

6.3) следует

Сила тяжести на экваторе

Сила тяжести на полюсе

Отношение иногда называют

гравитационное сжатие

. Из

приведенных выше формул следует

6.2 Сфероид Клеро

Эта теорема устанавливает связь геометрического и гравитационного сжатия с

угловой скоростью вращения планеты. Из приведенных формул следует, что

Заметим, что сумма геометрического и гравитационного сжатия

в первом

приближении

не зависит от второго гармонического коэффициента , а зависит

лишь от

, и .

6.3 Теорема Стокса

Эта теорема доказывает единственность внешней краевой задачи теории

потенциала. Другими словами, если некоторое тело равномерно вращается с

известной угловой скоростью, его поверхность, являющаяся поверхностью уровня,

которая охватывает всю массу, также известна, то потенциал тяжести и его первые

производные будут однозначно определены как на поверхности

, так и во всем

внешнем пространстве.

Теорема доказывается от противного. Предположим, что существует два различных

потенциала тяжести

и , которые принимают на поверхности постоянные

значения

и . Таким образом, , , где черта

сверху означает, что значения функции относятся к поверхности

. Поскольку

потенциал тяжести есть сумма потенциала тяготения и центробежного потенциала,

то

Обозначим разность . Полученная функция

гармоническая, так как потенциал притяжения -- гармоническая функция,

удовлетворяющая во внешнем пространстве уравнению Лапласа.

Применим первую формулу Грина (см. лекцию 3, раздел

3.1.2???) для случая, когда

и . Выберем, в качестве "тела" по которому нужно выполнить

интегрирование -- пространство, лежащее между поверхностью

и сферой с

очень большим радиусом, так чтобы наша поверхность была целиком внутри сферы.

Обозначим это пространство через . Теперь первая формула Грина будет

выглядеть следующим образом

(6.7)

Знак минус между интегралами в правой части полученной формулы означает лишь

то, что внешняя нормаль для одной поверхности является внутренней для другой

поверхности. Рассмотрим последний интеграл. Функция

на поверхности -

- постоянная величина, равная

, поэтому

Однако, поскольку функция Т является гармонической, интеграл по замкнутой поверхности

от нормальной производной, согласно теореме о потоке (см. лекцию 3, раздел

3.2.2), равен

нулю.

Рассмотрим теперь второй интеграл в правой части выражения (

6.7). Производная

по нормали к сфере есть производная по радиус-вектору. Поскольку для очень

большого радиуса исходное тело можно считать материальной точкой, то

Аналогично

, где -- постоянная величина. Отсюда следует

В левой части равенства (6.7) нужно положить , так как -- функция

гармоническая, поэтому это выражение принимает вид

Поскольку подынтегральное выражение не может быть отрицательным ни при каких

значениях координат, остается сделать вывод, что

-- постоянная величина во всем

внешнем пространстве. Но на сфере с бесконечно большим радиусом она равна

нулю и в силу непрерывности она равна нулю и на поверхности

. Таким образом

T(x,y,z)=0

во всем внешнем пространстве, то есть , что и

доказывает теорему.

6.4 Гравитационный потенциал эллипсоида вращения

Рассмотрим случай, когда уровенная поверхность есть эллипсоид вращения.

Уравнение этой поверхности в декартовых координатах имеет вид

Перейдем к гиперболической системе координат (см. лекцию 2, раздел

2.4)

Как мы видели, уравнение эллипсоида вращения с полуосями ,

имеет вид . Для определения потенциала притяжения на

поверхности уровенного эллипсоида

Итак, нам известен потенциал притяжения на поверхности эллипсоида. Требуется

определить его во всем внешнем пространстве. Поскольку потенциал притяжения --

гармоническая функция, она подчиняется дифференциальному уравнению Лапласа,

которое можно написать в виде

где -- коэффициенты Ламе. Определим их

(6.8)

Вычислим отношения коэффициентов Ламе, стоящие в дифференциальном

уравнении Лапласа

(6.9)

Итак, уравнение Лапласа для функции

принимает вид

(6.10)

Полученное дифференциальное уравнение линейно, поэтому будем искать решение

в виде суммы гармонических функций. В силу осевой симметрии эллипсоида

вращения и того, что граничные условия не зависят от переменной

-- аналога

долготы, то и решение уравнения не должно содержать этой переменной. Иными

словами ищем решение в виде

где

-- постоянные, которые нужно определить из краевых условий, а --

гармонические функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа

(6.11)

Как и в случае решения дифференциального уравнения для сферических функций,

будем искать решение в виде произведения двух функций, каждая из которых

является функцией одной переменной

(6.12)

Подставим решение, заданное в виде (6.12) в уравнение (6.11) и поделим

полученное уравнение на :

Полученное уравнение справедливо при любых значениях независимых переменных.

Это возможно лишь в том случае, когда обе части этого уравнения равны одной и

той же постоянной. Обозначим эту постоянную через

. Получим два

дифференциальных уравнения

(6.13)

Покажем, что первое из приведенных здесь уравнений при

есть

уравнение для полиномов Лежандра (см. лекцию 3, уравнения (

3.24)-(3.26)), то есть

(6.14)

Положим

, , тогда вместо первого из уравнений (6.13) будем

иметь

или

(6.15)

Уравнение (

6.15) совпадает с уравнением для полиномов Лежандра (см. лекцию 3,

формула (

3.24))

Итак, решением уравнения Лапласа в гиперболической системе координат будет

функция

(6.16)