Лекции - В.Л.Пантелеев Курс лекций Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

которая на поверхности эллипсоида принимает значения

(6.17)

При выводе формулы (

6.17) мы приняли во внимание, что .

Сравнивая левую и правую части формулы (

6.17) мы приходим к выводу, что

(6.18)

Итак, в формуле (

6.16) для потенциала притяжения эллипсоида отличные от нуля

только коэффициенты

и , поэтому строгое выражение для потенциала в

гиперболических координатах можно записать в виде

(6.19)

Остается определить функции

и . Как следует из уравнений (6.13),

функцию можно определить, решив второе из названных уравнений при

и при :

(6.20)

Полученным дифференциальным уравнениям удовлетворяют функции

в чем можно убедится простой подстановкой в уравнения (

6.20).

Избавимся теперь от гиперболических функций, полученных нами при решении

дифференциальных уравнений. Как мы уже говорили, переменная

определяет

семейство софокусных эллипсоидов. Возьмем некоторую точку на оси вращения

эллипсоида, находящуюся на расстоянии от центра. Тогда для этой точки ,

. Заменим переменную на :

(6.21)

Итак, потенциал притяжения в произвольной точке

вне эллипсоида имеет вид

(6.22)

Коэффициенты

и определим из краевого условия

Заметим, что , , после соответствующих

преобразований получим

(6.23)

Формулы (

6.22) и (6.23) определяют потенциал притяжения эллипсоидальным телом

материальной точки, лежащей на поверхности софокусного эллипсоида

Зная координаты точки и полуоси эллипсоида и легко определить

параметр

, а следовательно и малую полуось эллипсоида,

проходящего через заданную точку.

Из приведенных формул видно, что потенциал притяжения содержит лишь четыре

независимых параметра

и . Эти четыре параметра абсолютно строго

определяют потенциал притяжения эллипсоидальным телом материальной точки,

лежащей во вешнем пространстве, при любом распределении масс внутри тела

лишь бы его поверхность оставалась поверхностью уровня.

6.4.1 Связь коэффициентов разложения потенциала

притяжения с четырьмя фундаментальными

постоянными

Потенциал тела вращения при осевой симметрии распределения масс может быть

представлен в виде разложения по зональным гармоникам. Дополнительное

предположение о плоскости экватора как о плоскости симметрии приводит к тому,

что это разложение будет представлено только четными зональными гармониками:

(6.24)

Четность гармоник, возможно, не очевидна. Но обратимся к здравому смыслу. Если

эллипсоид вращения -- симметричное относительно экватора тело, то и массы его

должны быть распределены симметрично. В противном случае возникнет

"грушевидность", что приведет к тому, что поверхность эллипсоида перестанет быть

поверхностью уровня. Более корректные рассуждения проводятся с позиции теории

фигур равновесия небесных тел, в которой существование экватора, как плоскости

симметрии, доказано вполне строго.

Формула (

6.24) содержит бесконечное число параметров, хотя их должно быть

только четыре. Отсюда следует, что коэффициенты

можно выразить через

другие фундаментальные постоянные.

Не будем приводить здесь довольно громоздких выкладок, которые можно найти в

книге Л.П.Пеллинена "Высшая геодезия" М., Недра, 1978. Там показано, что

где

и соответственно первый и второй эксцентриситеты эллипсоида. Например,

Поскольку величина -- малая порядка сжатия, то коэффициенты для

гидростатически равновесного эллипсоида убывают с ростом

как степенная

функция

или . Отклонение от этого закона, которое часто можно

наблюдать на практике, говорит прежде всего о неравновесном состоянии планеты.

Лекция 7. Нормальное поле тяжести Земли

• 7.1 Формула Сомильяны

• 7.2 Нормальная сила тяжести

• 7.3 Вторые производные гравитационного потенциала

• 7.4 Вторые производные потенциала притяжения в околоземном пространстве

7.1 Формула Сомильяны

Итальянский геодезист Сомильяна (Somigliana) в 1929 году получил точную

формулу, показывающую распределение силы тяжести на уровенной поверхности

эллипсоида вращения. Вопреки правилам русского языка эта формулa вошла в

русскую литературу как формула Сомильяна, как если бы его фамилия была

Сомильян. Мы будем склонять его фамилию, поэтому должны назвать его формулу

именем Сомильяны.

Как мы видели, потенциал

притяжения

эллипсоида в эллипсоидальных координатах

имеет вид (формула (6.17)):

Потенциал

тяжести

отличается тем, что аддитивно включает в себя центробежный

потенциал

Таким образом

(7.1)

Учитывая, что

, получим

где обозначено

Для того, чтобы получить силу тяжести на поверхности эллипсоида ,

необходимо продифференцировать функцию вдоль координатной линии

Элемент дуги в этом случае равен , где --

коэффициент Ламе, который, в данном случае, равен

Таким образом, производную потенциала тяжести по нормали к поверхности

эллипсоида

можно записать так

где

Очевидно, что

, но , , поэтому

Теперь удельную силу тяжести на поверхности эллипсоида можно записать так

(7.2)

Мы получили искомую формулу для удельной силы тяжести на поверхности

уровенного эллипсоида. Однако нам необходимо избавиться от постоянных

. Заметим, что точка , соответствует полюсу эллипсоида, а

точка , -- экватору. Будем снабжать обозначение для силы тяжести

соответственно индексами и

. Из (7.2) получим

то есть

Теперь формулу (

7.2) можно переписать следующим образом

(7.3)

Для того, чтобы получить формулу Сомильяны в окончательном виде, необходимо от

эллипсоидальной системы координат перейти к геодезической. Сопоставим две

системы координат для точек поверхности эллипсоида

где

(см. лекцию 2, раздел 2.4).

Поскольку

( понятия долготы в геодезической и эллипсоидальной системах

координат совпадают), поэтому

Отсюда

Имеем очевидные выражения для связи

и :

После несложных упрощений, окончательно получим формулу Сомильяны

(7.4)

7.2 Нормальная сила тяжести

В геодезии и геофизике основной характеристикой гравитационного поля являются

гравитационные аномалии

, полученные как разность между наблюденным значением

удельной силы тяжести и предвычисленным. Однако сравнивать эти значения можно

только, в случае когда наблюденное и нормальное значения относятся к одной и той

же точке пространства. В действительности же нормальную силу тяжести относят к

общему земному эллипсоиду, а наблюденное -- к физической поверхности Земли.

Такие аномалии в геодезии именуют

смешанными

аномалиями. Иногда наблюденное

значение

редуцируют

, то есть вносят поправки, позволяющие вычислить значение

силы тяжести в другой точке или на другой поверхности. При этом используют ту или

иную гипотезу о строении верхних слоев Земли. В этом случае понятие

гравитационные аномалии уточняют, например

гравитационные аномалии в

редукции Фая

или

гравитационные аномалии в редукции Гленни.

Итак, нормальное значение силы тяжести относят к общему земному эллипсоиду,

которое можно вычислить по строгой формуле (7.4). Эта формула строгая лишь в

том случае, когда поверхность эллипсоида есть поверхность уровня, чего в

действительности нет. На практике в задачах геодезии и геофизики применяют

приближенную формулу для нормальной силы тяжести. Причем численные значения

коэффициентов, входящие в эту формулу, утверждают на Генеральной ассамблее

Международного Союза геодезии и геофизики.

Вернемся к формуле Сомильяны. Упростим ее, отбрасывая малые величины порядка

куба сжатия. Введем в обращение понятия геометрического сжатия

гравитационного сжатия . Обе величины мы будем считать одного

порядка малости. В формуле Сомильяны мы должны заменить

величиной

, а вместо взять :

Разлагая полученное выражение в степенной ряд относительно и , будем иметь

Поскольку , полученная формула принимает вид

Итак, сила тяжести на поверхности эллипсоида вращения (уровенного) с точностью

до малых второй степени относительно сжатия может быть представлена формулой

(7.5)

численные значения коэффициентов

определяются эмпирически. На

Генеральной Ассамблее Международного Союза, состоявшейся в Москве в 1971

году рекомендованы следующие значения (сила тяжести -- в миллигалах)

7.3 Вторые производные гравитационного потенциала

Гравитационный потенциал, а вернее силовая функция для удельной силы тяжести

является непрерывной функцией. Принимающей единственное значение в каждой

точке пространства. Поверхности равного потенциала (эквипотенциальные

поверхности) как угодно плотно заполняют внешнее пространство, нигде не

пересекаясь. Вектор силы тяжести в точке

направлен перпендикулярно к

эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку. Таким образом,

гравитационный потенциал во внешнем пространстве образует силовое поле. Оно

пронизано силовыми линиями, причем направление силы тяжести совпадает с

касательной к силовой линии.

Из сказанного следует, что силовые линии не могут пересекаться, так как в точке

пересечения не может существовать два вектора силы тяжести. Вектор силы тяжести

(удельной) можно записать следующим образом

где

-- орты, направленные соответственно вдоль осей PX, PY иPZ. Очевидно, что

составляющие вектора силы тяжести суть первые производные потенциала тяжести

В геодезической и геофизической практике рассматривают также и вторые

производные гравитационного потенциала, которые отмечают двойными нижними

индексами

Вторые производные потенциала можно изобразить в виде квадратной матрицы

Полученная матрица имеет 9 элементов, но не все они независимы. Совершенно очевидно,

что , , . Кроме того, след этой матрицы есть

лапласиан, поэтому

(7.6)

Остается 5 независимых элементов этой матрицы, которая представляет собой

тензор вторых производных гравитационного потенциала

Рассуждения можно продолжить и дальше, образуя третьи производные, четвертые

и т.д. Но уже третьи производные нельзя изобразить в виде матрицы: это будет куб

размером 3х3, который на двухмерном листе бумаги изобразить трудно. Совершенно

невозможно изобразить в виде геометрических фигур производные более высоких

порядков. Это будут

тензоры

высоких валентностей.

Эквипотенциальную поверхность в окрестности точки

можно

аппроксимировать плоскостью -- это будет касательная плоскость -- эллипсоидом,

гиперболоидом и другими поверхностями второго порядка. В последнем случае

уравнение этой поверхности будет иметь вид

(7.7)

Уравнение касательной плоскости получим, отбрасывая в (7.7) квадратичную форму

(7.8)

где

. Величины -- суть компоненты

вектора силы тяжести. Изменяя постоянную

, получим семейство плоскостей,

параллельных той, что проходит через точку

Для упрощения выкладок, часто направление местной геодезической системы

выбирают следующим образом: ось

направляют на север, ось

-- строго на

восток, а ось

совпадает с вектором силы тяжести и направлена вертикально вниз.

В этом случае

. Уравнение(7.8) принимает вид

. Обозначим приращение высоты буквой , получим формулу для

вычисления приращения потенциала

, которую часто называют формулой

Брунса.

Определим кривизну нормального сечения уровенной поверхности

. Решим это уравнение относительно переменной :

. Тогда радиус кривизны в точке по формуле Монжа определяется

формулой , где -- угол, который образует ось

с плоскостью нормального сечения. В данной формуле буквами обозначены

вторые производные