Лекции по курсу Математическая физика
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Z
Ω
−div(λ · ∇ u) · φ =
Z
Ω
f · φ. (5.4.1)
Z
Ω
−div(λ · ∇u) · φ = −
n
X
k=1
Z
Ω
D
k
(λ · D
k
u) · φ =
=
n
X
k=1
Z
Ω
λ · D
k
u · D
k
φ =
Z
Ω
λh∇u, ∇φi =
Z
Ω
f · φ.
{φ
k
}, k = 1, . . . , N, ∂Ω
φ = φ
m
m = 1, . . . , N
a
mk
=
Z
Ω
λh∇φ
m
, ∇φ
k
i, m, k = 1, . . . , N, (5.4.3)
b
m
=
Z
Ω
f · φ
m
, m = 1, . . . , N. (5.4.4)
A
N
Ω
Ω ]0, a[×]0, b[,
Π
ij
(x, y) = Π
i
(x) · Π
j
(y)
Π
ij
]x
i−1
, x
i+1
[×]y
j−1
, y
j+1
[ i j
Z
Ω
λh∇Π
ij
, ∇Π
κµ
i; κ = i − 1, i, i + 1; µ = j − 1, j, j + 1,
A
e
e
e
e
e
e
e
e
x
y
j−1
y
j
y
j+1
x
i−1
x
i
x
i+1
Ω
Ω
e
Π
ij
e
e
e
e
e
ex
@
@
@
@
@
@
@
@
@
y
j
− h
y
j
y
j
+ h
x
i
− h x
i
x
i
+ h
Ω ⊂ R
2
λ Ω f
Ω. u
bu(x, y) =
X
i,j
c
ij
·
e
Π
ij
(x, y)
i, j
|bu(x
i
, y
j
) − u(x
i
, y
j
)| ≤ C · h,
h C
λ f
n > 2
∆t
∆Q
1
+ ∆Q
2
+ ∆Q
3
= c · ∆x · S · (T (t + ∆t, x) − T (t, x)) (6.1.1)
c
∆Q
1
∆Q
2
∆Q
3
c · ∆x · S · (T (t + ∆t, x) − T (t, x)) = λ · ∆t · S ·
T (τ, x + ∆x) − T ( τ, x)
∆x
−
−λ · ∆t · S ·
T (τ, x) − T (τ, x − ∆x)
∆x
+ γ · ∆t · ∆x · S. (6.1.2)
τ ]t, t + ∆t[
τ t t + ∆t.
∆t ·∆x ·S
(∆t = ∆x = 0)
T
c · D
t
T = D
x
(λ · D
x
T ) + γ (6.1.3)
λ c t
x
3·10
8
∆x
∆t
b b
∩∩∩∩
x x + ∆x
L C
u(x + ∆x, τ
1
) − u(x, τ
1
) = −L · ∆x
i(t + ∆t, ξ
1
) − i(t, ξ
1
)
∆t
.
i(x + ∆x, τ
2
) − i(x, τ
2
) = −C · ∆x
u(t + ∆t, ξ
2
) − u(t, ξ
2
)
∆t
.
τ
k
ξ
k
k = 1, 2
]t, t +∆t[ ]x, x + ∆x[ ξ
k
x x+∆x τ
k
t t + ∆ t
∆x
u i ∆t = ∆x = 0
(
−D
t
i =
1
L
· D
x
u;
D
x
i = −C · D
t
u.
i
x t
C · D
2
tt
u = D
x
³
1
L
· D
x
u
´
(6.1.4)
L C t,
x
L C
D
2
tt
u = v
2
· D
2
xx
u (6.1.5)
v =
1
√
LC
u(x, t) = ϕ(x + vt) + ψ(x − vt),
ϕ ψ
- x
x
x
t = 0
t = t
0
t = 2t
0
-
-¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
@
@
@
@
@
@
@
@
@
ϕ(x + vt)
v
ψ(x − vt) v
r · D
t
u = div(λ · ∇u) + f, (6.2.1)
λ r
λ
f
f = γ
t ∈ ]0, T
0
], x ∈ Ω, Ω
R
n
n 1 2 3
λ r
D
t
u = a
2
4 u +
f
r
¡
a =
r
λ
r
¢
.
u(x, 0)
¯
¯
x∈Ω
= u
0
(x) (6.2.2)
r · D
2
tt
u = div(λ · ∇u) + f, (6.2.3)
λ, r f
λ r
D
2
tt
u = v
2
· 4u +
f
r
¡
v =
r
λ
r
¢
.
t ∈ [0, T
0
], x ∈ Ω, Ω
R
n
n = 1,
u(x, 0)
¯
¯
x∈Ω
= u
0
(x), D
t
u(x, 0)
¯
¯
x∈Ω
= u
1
(x),
Ω
r ≡ 1
t ∈ ]0, T
0
]
D
t
u = div(λ · ∇u) + f (6.3.1)
φ, ∂Ω
Z
Ω
D
t
u · φ =
Z
Ω
(div( λ · ∇u) + f) · φ.
Z
Ω
D
t
u · φ = −
Z
Ω
λh∇u, ∇φi +
Z
Ω
f · φ. (6.3.2)
t ∈ ]0, T
0
] t = 0
Z
Ω
u
¯
¯
t=0
· φ =
Z
Ω
u
0
· φ. (6.3.3)
{φ
k
}, k = 1, . . . , N, ∂Ω
{φ
k
},
bu(x, t) =
N
X
k=1
c
k
(t) · φ
k
(x). (6.3.4)
φ = φ
m
, m = 1, . . . , N,
c
k
c
0
(t) = −A · c(t) + b(t); c(0) = c
(0)
. (6.3.5)
c
(0)
m
=
Z
Ω
u
0
· φ
m
, m = 1, . . . , N.
c(t) = exp
¡
−At
¢
· c
(0)
+
t
Z
0
exp
¡
−A(t − τ)
¢
· b(τ)dτ, (6.3.6)
N bu
{φ
k
} N
−div( λ · ∇ϕ) = ν · ϕ, ϕ
¯
¯
¯
∂Ω
= 0, (6.3.7)
A
A = diag[ν
1
, . . . , ν
N
]