Лекции по курсу Математическая физика
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[−1, 1]
1
p
1 − x
2
f
h
−
T
2
,
T
2
i
f
exp
¡
i
2πk
T
t
¢
k ∈ Z
+∞
X
k=−∞
b
f
k
exp
³
i
2πk
T
t
´
= lim
n=+∞
n
X
k=−n
b
f
k
exp
³
i
2πk
T
t
´
,
b
f
k
=
1
T
T/2
Z
−T/2
f(t)exp
³
−i
2πk
T
t
´
dt. (2.4.1)
h
−
T
2
,
T
2
i
f
S
S
³
−
T
2
´
= S
³
T
2
´
=
f
³
−
T
2
+ 0
´
+ f
³
T
2
− 0
´
2
;
S(t) =
f(t − 0) + f(t + 0)
2
−
T
2
< t <
T
2
.
f
f
f
Re(f) Im(f)
f : R → C T. f
T
h
−
T
2
,
T
2
i
f
T
|t| ≤
T
2
f(t − 0) + f(t + 0)
2
=
+∞
X
k=−∞
b
f
k
· exp
³
i
2πk
T
t
´
, (2.4.2)
b
f
k
T
t ∈ R
f
f
T
ω
k
=
2πk
T
(k ∈ Z)
∆ω =
2π
T
¡
b
f
k
¢
+∞
k=−∞
f
T/2
Z
−T/2
|f
T
(t)|
2
dt = kf
T
k
2
=
+∞
X
k=−∞
|
b
f
k
|
2
· T
E = kf
T
k
2
f
T
(t) =
(
¯
¯
1 −
2t
τ
¯
¯
|t| ≤
τ
2
;
0
τ
2
< |t| ≤
T
2
.
−
T
2
−
τ
2
0
τ
2
T
2
b
f
k
=
1
T
T/2
Z
−T/2
f
T
(t) · exp
³
−i
2πk
T
t
´
dt =
1
T
τ/2
Z
−τ/2
¯
¯
¯
1 −
2t
τ
¯
¯
¯
· exp
³
−i
2πk
T
t
´
dt =
=
τ
T
·
1 − cos
³
ω
k
τ
2
´
³
ω
k
τ
2
´
2
³
ω
k
=
2πk
T
´
.
U
U(t − 0) + U(t + 0)
2
=
+∞
X
k=−∞
b
f
k
· exp
³
i
2πk
T
t
´
,
V
N
V (t) =
+N
X
k=−N
b
f
k
· exp
³
i
2πk
T
t
´
.
τ/T = 0.25
N = 5
f : R → C
R
T f
T
f
h
−
T
2
,
T
2
i
f
T
(t − 0) + f
T
(t + 0)
2
=
+∞
X
k=−∞
b
f
k
· exp
³
i
2πk
T
t
´
; |t| <
T
2
b
f
k
f
T
F (t) =
+∞
X
k=−∞
b
f
k
· exp
³
i
2πk
T
t
´
; t ∈ R .
f
|t| < T/2
−
3T
2
−
T
2
0
T
2
3T
2
f
T
T
F f
T = +∞
τ :
f(t) =
(
¯
¯
1 −
2t
τ
¯
¯
|t| ≤
τ
2
;
0 |t| >
τ
2
.
F
τ
T ∆ω =
2π
T
E
k
= |
b
f
k
|
2
ω
k
e
f(ω
k
) =
b
f
k
∆ω
=
τ
2π
·
1 − cos
³
ω
k
τ
2
´
³
ω
k
τ
2
´
2
.
f(t − 0) + f(t + 0)
2
=
+∞
X
k=−∞
e
f(ω
k
) · exp (iω
k
t) · ∆ω. (2.4.3)
+∞
Z
−∞
e
f(ω) · exp (iωt) dω, (2.4.4)
e
f(ω) =
τ
2π
·
1 − cos
³
ωτ
2
´
³
ωτ
2
´
2
=
1
2π
+∞
Z
−∞
f(t) · exp(−iωt) dt.
(T = +∞)
f : R → C
R
+∞
R
−∞
|f| < +∞
f(t − 0) + f(t + 0)
2
= V.P .
+∞
Z
−∞
e
f(ω) · exp (iωt) dω, (2.4.5)
e
f(ω) =
1
2π
+∞
Z
−∞
f(t) · exp (−iωt) dt. (2.4.6)
e
f
f
τ/T
−
4π
τ
0
4π
τ
ω
−
4π
τ
0
4π
τ
ω
τ/T = 0.25 τ/T = 0.125
1
2π
e
f(ω) =
+∞
Z
−∞
. . . ;
f(t − 0) + f(t + 0)
2
=
1
2π
· V.P.
+∞
Z
−∞
. . .
e
f(ω) =
1
√
2π
+∞
Z
−∞
. . . ;
f(t − 0) + f(t + 0)
2
=
1
√
2π
· V.P.
+∞
Z
−∞
. . .
+
−
e
f(ω) =
+∞
Z
−∞
f(t) · exp (iωt) dt;
f(t − 0) + f(t + 0)
2
=
1
2π
· V.P.
+∞
Z
−∞
e
f(ω) · exp (−iωt) dω.
f
+∞
R
0
|f| < +∞
f, Re(s) ≥ 0,
Re(s) = 0,
¡
Lf
¢
(s)
¯
¯
s=i ω
=
+∞
Z
−∞
f(t) · exp (−iωt) dt.
e
f(ω) =
+∞
Z
−∞
f(t) · exp (±iωt) dt,
^
(f
1
⊗ f
2
) =
e
f
1
·
e
f
2
.
`
I
0
-
-
-
0 y
k−1
y
k
J
k
z `
I
0
ϕ : [0, `] → R
z
Φ
1
(z) = I
0
· exp(−µz)
µ
Φ
2
(z) P
[0, `]
y
k−1
y
k
J
k
= [y
k−1
, y
k
]
y ∈ J
k
.
J
k
ϕ(y),
ϕ(y) · (y
k
− y
k−1
).
y
z,
ρ
2
· exp(−µ|z − y|) · ϕ(y) · (y
k
− y
k−1
)
ρ
1
2
m
k
≤ exp(−µ|z − y|) · ϕ(y) ≤ M
k
m
k
= inf
y∈J
k
©
exp(−µ|z − y|) · ϕ(y)
ª
, M
k
= sup
y∈J
k
©
exp(−µ|z − y|) · ϕ(y)
ª
.
z,
ρ
2
·
X
k
m
k
· (y
k
− y
k−1
) ≤ Φ
2
(z) ≤
ρ
2
·
X
k
M
k
· (y
k
− y
k−1
). (3.1.1)
P
ρ/2 · exp(−µ|z − y|) · ϕ(y)
Φ
2
(z) =
ρ
2
·
`
Z
0
exp(−µ|z − y|) · ϕ(y) dy.
ϕ(z) = Φ
1
(z) + Φ
2
(z)
ϕ(z) = I
0
· exp(−µz) +
ρ
2
·
`
Z
0
exp(−µ|z − y|) · ϕ(y) dy, z ∈ [0, `].
x(t) =
β
Z
α
K(t, τ)x(τ) dτ + f(t). (3.2.1)