Лекции по курсу Математическая физика
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y
0
(α) = 0
y
0
(α) − µ
α
· y(α) = 0 µ
α
> 0
β
µ y
0
(β) + µ
β
· y(β) = 0 µ
β
> 0
y = Y + P
2
P
2
−y
00
= f, y
0
(−1) = y
0
(1) = 0.
f(x) ≡ 1 y
0
(x) = −x + c c = const
c = −1 c = 1
f(x) = x, y
0
(x) = −x
2
/2 + c
c = 1/2 y(x) = −x
3
/6 + x/2 + c
1
c
1
D
L
[α, β]
D
L
Lφ ≡ −(p · φ
0
)
0
+ q · φ. (4.2.3)
Ly = f; y ∈ D
L
. (4.2.4)
D
L
(y(x) ≡ 0)
−y
00
= 0, y
0
(−1) = y
0
(1) = 0, y(x) = const.
λ
λ ·T
0
(−γ),
T
λ.
Lϕ = ν · ϕ; ϕ ∈ D
L
, (4.3.1)
ν
ϕ(x) ≡ 0
ϕ ∈ D
L
ν ϕ
L
L
y, z ∈ D
L
hLy, zi = hy, Lzi, (4.3.2)
h·, ·i [α, β]
[α, β]
hLy, zi =
β
Z
α
Ly · z =
β
Z
α
¡
−(p · y
0
)
0
+ q · y
¢
· z.
hLy, zi = −p(β) · y
0
(β) · z(β) + p(α) · y
0
(α) · z(α)+
+
β
Z
α
¡
p · y
0
· z
0
+ q · y · z
¢
.
z
hLy, zi =
β
Z
α
¡
p · y
0
· z
0
+ q · y · z
¢
. (4.3.3)
y
L
L
¡
ν
k
¢
+∞
k=1
ϕ
k
L
[α, β] k 6= m
β
Z
α
ϕ
k
· ϕ
m
= 0.
¡
ϕ
k
¢
+∞
k=1
[α, β]
Lϕ = ν · r · ϕ; ϕ ∈ D
L
, (4.3.4)
r [α, β]
L r.
q(x) ≥ 0, x ∈ [α, β]
[α, β]
q
L
ϕ,
hLϕ, ϕi = ν · kϕk
2
.
β
Z
α
¡
p · |ϕ
0
|
2
+ q · |ϕ|
2
¢
= ν · kϕk
2
.
p(x) > 0 q(x) ≥ 0
p(x) · |ϕ
0
(x)|
2
≡ 0, ϕ
0
(x) ≡ 0,
ϕ(α) = ϕ(β) = 0 ϕ(x) ≡ 0,
ν > 0 ¥
y =
+∞
X
k=1
by
k
· ϕ
k
. (4.4.1)
L
³
+∞
X
k=1
by
k
· ϕ
k
´
= f.
ϕ
m
D
L
³
+∞
X
k=1
by
k
· ϕ
k
´
, ϕ
m
E
= hf, ϕ
m
i, m ∈ N .
Lϕ
m
= ν
m
· ϕ
m
.
+∞
X
k=1
hby
k
· ϕ
k
, ν
m
· ϕ
m
i = hf, ϕ
m
i.
ν
m
by
m
· kϕ
m
k
2
= hf, ϕ
m
i, m ∈ N .
ν
k
y =
+∞
X
k=1
b
f
k
ν
k
· ϕ
k
, (4.4.2)
b
f
k
=
hf, ϕ
k
i
kϕ
k
k
2
=
³
β
Z
α
f · ϕ
k
´
Á
³
β
Z
α
|ϕ
k
|
2
´
. (4.4.3)
L r
b
f
k
b
f
k
=
³
β
Z
α
f · ϕ
k
´
Á
³
β
Z
α
r · |ϕ
k
|
2
´
.
y
00
+ y = −exp(2x), y(1) = y(2) = 0
−y
00
− y = exp(2x).
α = 1 β = 2 p(x) ≡ 1 q(x) ≡ −1 f(x) = exp(2x)
−ϕ
00
− ϕ = ν · ϕ, ϕ(1) = ϕ(2) = 0.
−ϕ
00
= µ · ϕ, µ = ν + 1.
µ > 0.
ϕ(x) = Acos(γx) + B
sin(γx)
γ
, γ =
√
µ.
A B
cos(γ) · A +
sin(γ)
γ
· B = 0
cos(2γ) · A +
sin(2γ)
γ
· B = 0.
(4.4.4)
γ
sin(γ)
γ
= 0
γ
k
= kπ
¡
ν
k
= k
2
π
2
− 1
¢
, k ∈ N .
γ
k
A
k
= −sin(γ
k
) = 0, B
k
= γ
k
cos(γ
k
) = (−1)
k
· kπ.
ϕ
k
(x) = sin(kπ(x−1)); kϕ
k
k
2
= hϕ
k
, ϕ
k
i =
2
Z
1
sin
2
(kπ(x−1)) dx =
1
2
.
b
f
k
=
hf, ϕ
k
i
kϕ
k
k
2
= 2 ·
2
Z
1
exp(2x) · sin(kπ(x − 1)) dx = 2
(−1)
k
e
2
(e
2
− 1)
k
2
π
2
+ 4
,
y(x) = 2e
2
(e
2
− 1)
+∞
X
k=1
(−1)
k
(k
2
π
2
− 1)(k
2
π
2
+ 4)
· sin(kπ(x − 1)).
y
00
+
1
x
· y
0
+ y = 1, y(1) = y(2) = 0
−(x · y
0
)
0
− x · y = −x.
α = 1 β = 2 p(x) = x q(x) = −x f(x) = −x
Ly ≡ −(x · y
0
)
0
− x · y x
−(x · ϕ
0
)
0
− x · ϕ = ν · x · ϕ, ϕ(1) = ϕ(2) = 0.
−(x · ϕ
0
)
0
= (ν + 1) · x · ϕ.
ϕ(x) = AJ
0
(γx) + BY
0
(γx), γ =
√
ν + 1,
J
0
Y
0
½
ϕ(1) = J
0
(γ) · A + Y
0
(γ) · B = 0
ϕ(2) = J
0
(2γ) · A + Y
0
(2γ) · B = 0
J
0
(γ)·Y
0
(2γ)−J
0
(2γ)·Y
0
(γ) = 0
γ
1
γ
2
γ
3
γ
4
γ
5
γ
6
k γ
k
A
k
B
k
A
k
= Y
0
(γ
k
) B
k
= −J
0
(γ
k
)
ϕ
k
(x) = Y
0
(γ
k
) · J
0
(γ
k
x) − J
0
(γ
k
) · Y
0
(γ
k
x).
b
f
k
=
2
Z
1
¡
Y
0
(γ
k
) · J
0
(γ
k
x) − J
0
(γ
k
) · Y
0
(γ
k
x)
¢
· (−x) dx
2
Z
1
¡
Y
0
(γ
k
) · J
0
(γ
k
x) − J
0
(γ
k
) · Y
0
(γ
k
x)
¢
2
· x dx
x
2
2
³
¡
Y
0
(γ
k
) · J
0
(γ
k
x) − J
0
(γ
k
) · Y
0
(γ
k
x)
¢
2
+
+
¡
Y
0
(γ
k
) · J
1
(γ
k
x) − J
0
(γ
k
) · Y
1
(γ
k
x)
¢
2
´
¯
¯
¯
2
1
,
1
γ
k
(J
0
(γ
k
) · Y
1
(γ
k
x) − Y
0
(γ
k
) · J
1
(γ
k
x))
¯
¯
¯
2
1
.
J
1
Y
1
y(x) =
+∞
X
k=1
b
f
k
γ
2
k
− 1
·
¡
Y
0
(γ
k
) · J
0
(γ
k
x) − J
0
(γ
k
) · Y
0
(γ
k
x)
¢
.
sin(γ)
γ
= 0