Лекции по курсу Математическая физика
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x [α, β] → R
f [α, β]
f(t) ≡ 0
K(t, τ) [α, β] × [α, β]
t = τ
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
α
β
τ
α β t
β
Z
α
K(t, τ)x(τ) dτ + f(t) = 0.
x = Ax + f, (3.2.2)
A
x : [α, β] → R
(Ax) (t) =
β
Z
α
K(t, τ)x(τ) dτ.
f(t) ≡ 0 =⇒ x(t) ≡ 0,
β
R
α
|K(t, τ)| dτ ≤ q < 1 t ∈ [α, β]
|(Ax) (t)| =
¯
¯
¯
β
Z
α
K(t, τ)x(τ) dτ
¯
¯
¯
≤
≤ max
τ∈[α,β]
¡
|x(τ)|
¢
·
β
Z
α
|K(t, τ)| dτ ≤ q · max
τ∈[α,β]
¡
|x(τ)|
¢
.
max
t∈[α,β]
¡
|(Ax) (t)|
¢
≤ q · max
t∈[α,β]
¡
|x(t)|
¢
. (3.2.3)
z
z = Az =⇒ max
t∈[α,β]
¡
|z(t)|
¢
≤ q · max
t∈[α,β]
¡
|z(t)|
¢
=⇒ z(t) ≡ 0.
[α, β] kxk
C
= max
t∈[α,β]
¡
|x(t)|
¢
x
kAxk
C
≤ q · kxk
C
K(t, τ) =
m
X
k=1
ϕ
k
(t)ψ
k
(τ),
ϕ
k
, ψ
k
; k = 1, . . . , m
[α, β]
x(t) =
m
X
k=1
ϕ
k
(t)
β
Z
α
x(τ)ψ
k
(τ) dτ + f(t)
x =
m
X
k=1
ϕ
k
· hx, ψ
k
i + f, (3.3.1)
hx, ψ
k
i =
β
R
α
x(τ)ψ
k
(τ) dτ
ψ
i
,
hx, ψ
i
i =
m
X
k=1
hϕ
k
, ψ
i
ihx, ψ
k
i + hf, ψ
i
i, i = 1, . . . , m
c
i
=
m
X
k=1
a
ik
c
k
+ b
i
, i = 1, . . . , m, (3.3.2)
a
ik
= hϕ
k
, ψ
i
i, b
i
= hf, ψ
i
i, c
i
= hx, ψ
i
i.
x c
c
x(t) =
m
X
k=1
c
k
ϕ
k
(t) + f(t) (3.3.3)
c = Ac + b (I
m
− A) c = b
(I
m
− A) c = θ
I
m
−A
x(t) =
1
Z
0
³
exp(−t)exp(τ) + exp(−2t)exp(2τ)
´
x(τ) dτ + 1.
ϕ
k
(t) = exp(−kt), ψ
k
(t) = exp(kt); k = 1, 2.
(
0 · c
1
+ (1/e − 1) · c
2
= e − 1
(1 − e) · c
1
+ 0 · c
2
=
e
2
− 1
2
.
c
1
= −
e + 1
2
c
2
= −e
x(t) = 1 −
e + 1
2
exp(−t) − e · exp(−2t).
K(t, τ) = 0 τ > t
x(t) =
t
Z
α
K(t, τ)x(τ) dτ + f(t). (3.4.1)
x
0
= a(t) · x + g(t), x(t
0
) = x
0
x
0
(τ) ≡ a(τ)x(τ) + g(τ) [t
0
, t]
x(t) =
t
Z
t
0
a(τ)x(τ) dτ +
³
x
0
+
t
Z
t
0
g(τ) dτ
´
,
z(t) =
t
Z
α
K(t, τ)z(τ) dτ (3.4.2)
M
= max
α≤τ≤t≤β
¡
|
K
(
t, τ
)
|
¢
z
|z(t)| ≤
t
Z
α
|K(t, τ)|· |z(τ )| dτ ≤
t
Z
α
M · kzk
C
dτ = M · kzk
C
· (t − α ).
|z(t)| ≤
t
Z
α
|K(t, τ)|· |z(τ )| dτ ≤
≤
t
Z
α
M · M · kzk
C
· (τ − α) dτ = M
2
· kzk
C
·
(t − α)
2
2!
.
k
|z(t)| ≤ M
k
· kzk
C
·
(t − α)
k
k!
.
k M
k
·
(β − α)
k
k!
<
1
2
|z(t)| ≤
1
2
·kzk
C
t ∈ [α, β] kzk
C
≤
1
2
·kzk
C
z(t) ≡ 0
K(t, τ) = g(t − τ )
α = 0
x(t) =
t
Z
0
g(t − τ)x(τ) dτ + f(t), 0 ≤ t ≤ β. (3.5.1)
g f
t < 0 t > β
x = g ⊗ x + f (⊗ ).
ex = eg ·ex+
e
f,
ex =
e
f
1 −
e
g
. (3.5.2)
β = +∞,
g f
g f
x(t) =
t
Z
0
exp(−(t − τ))x(τ) dτ + 1; 0 ≤ t < +∞.
g(t) = exp(−t) · δ
1
(t) =⇒ eg(s) =
1
s + 1
;
f(t) = δ
1
(t) =⇒
e
f(s) =
1
s
.
ex(s) =
s + 1
s
2
=
1
s
+
1
s
2
=⇒ x(t) = (1 + t) · δ
1
(t).
N [α, β]
t
k
= α + k · h; k = 0, . . . , N; h =
β − α
N
.
S
h
(t) = s
k
t
k
≤ t < t
k+1
. (3.6.1)
s
k
= h
N−1
X
m=0
K(t
k
, t
m
)s
m
+ f(t
k
); k = 0, . . . , N − 1. (3.6.2)
f [α, β];
h
0
,
h < h
0
s = [s
0
, . . . , s
N−1
]
T
.
C, h < h
0
|x(t
k
) − s
k
| ≤ C · h, k = 0, . . . , N − 1,
x
t ∈ [α, β] |x(t)−S
h
(t)| ≤ C·h,
S
h
`
¡
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@
@
@
@
@
@
T
`
T
0
u u u
x − ∆x x x + ∆x
∆Q
∆x x ∆t
∆Q
∆Q
1
= γ · ∆t · ∆x · S.
S γ
x + ∆x x
∆Q
2
= λ · ∆t · S ·
T (x + ∆x) − T (x)
∆x
. (4.1.1)
λ
∆Q
3
= λ · ∆t · S ·
T (x − ∆x) − T (x)
∆x
.
∆Q
1
+ ∆Q
2
+ ∆Q
3
= 0, (4.1.2)
λ·∆t·S·
T (x + ∆x) − T (x)
∆x
−λ·∆t·S·
T (x) − T (x − ∆x)
∆x
+γ·∆t·∆x·S = 0.
∆t · ∆x · S
−
λ
T (x + ∆x) − T (x)
∆x
− λ
T (x) − T (x − ∆x)
∆x
∆x
= γ.
∆x = 0
−(λ · T
0
)
0
= γ; T (0) = T
0
, T (`) = T
`
.
x λ · T
0
[α, β]
y
−(p · y
0
)
0
+ q · y = f, (4.2.1)
p
[α, β] q, f [α, β]
p = λ > 0 q = 0 f = γ
f
f = 0,
y
00
= r · y
0
+ s · y + g, (4.2.2)
r, s, g [α, β]
y
00
= −
p
0
p
· y
0
+
q
p
· y −
f
p
.
p
−
p
0
p
= r p(x) = exp
³
−
x
R
α
r
´
q = s · p f = −g · p
y(α) = 0
α