Лекции по курсу Математическая физика
Подождите немного. Документ загружается.
S
H
r
2
: ∆ → R
3
·
x
y
¸
r
2
−→
x
y
ω
H
(x, y)
,
Z
S
H
Z
hf
3
, dSi = −
Z
∆
Z
f
z
(x, y, ω
H
(x, y)) dxdy.
D
1
r
2
× D
2
r
2
=
−D
1
ω
H
−D
2
ω
H
1
,
S
H
V
Z
S
Z
hf
3
, dSi =
Z
∆
Z
³
f
z
(x, y, ω
B
(x, y)) − f
z
(x, y, ω
H
(x, y))
´
dxdy.
f
z
(x, y, ω
B
(x, y)) − f
z
(x, y, ω
H
(x, y)) =
ω
B
(x,y)
Z
ω
H
(x,y)
D
3
f
z
(x, y, z) dz.
Z
S
Z
hf
3
, dSi =
Z
∆
Z
Ã
Z
ω
B
(x,y)
ω
H
(x,y)
D
3
f
z
dz
!
dxdy =
ZZ
V
Z
D
3
f
z
dxdydz.
Z
S
Z
h
f
1
,
dS
i
=
ZZ
V
Z
D
1
f
x
dxdydz
;
Z
S
Z
h
f
2
,
dS
i
=
ZZ
V
Z
D
2
f
y
dxdydz.
Z
S
Z
hf, dSi =
ZZ
V
Z
(D
1
f
x
+ D
2
f
y
+ D
3
f
z
) dxdydz.
f
div(f) = Sp (Df) = D
1
f
x
+ D
2
f
y
+ D
3
f
z
.
R
S
R
hv, dSi
V
1
V
ZZ
V
Z
div(v) dxdydz = div(v)
cp
.
V
∂V
ZZ
V
Z
(D
1
f
x
+ D
2
f
y
+ D
3
f
z
) dxdydz =
Z
∂
Z
V
hf, dSi.
f ]a, b[
a b
b
Z
a
f
0
= f(b) − f(a).
S
∂S
f : R
3
→ R
3
rot(f) : R
3
→ R
3
rot(f) =
D
2
f
z
− D
3
f
y
D
3
f
x
− D
1
f
z
D
1
f
y
− D
2
f
x
.
F : R
2
→ R
2
·
x
y
¸
F
−→
·
F
x
(x, y)
F
y
(x, y)
¸
,
f : R
3
→ R
3
x
y
z
f
−→
F
x
(x, y)
F
y
(x, y)
0
.
rot(f) =
0
0
D
1
F
y
− D
2
F
x
= (D
1
F
y
− D
2
F
x
) · e
(3)
.
rot(F) = D
1
F
y
− D
2
F
x
.
f : R
3
→ R
3
rot(f)
div(rot(f)) = D
1
(rot(f))
1
+ D
2
(rot(f))
2
+ D
3
(rot(f))
3
=
= D
1
(D
2
f
z
− D
3
f
y
) + D
2
(D
3
f
x
− D
1
f
z
) + D
3
(D
1
f
y
− D
2
f
x
) ≡ 0.
f : R
3
→ R
3
S R
3
f S
∂S
Z
S
Z
hrot(f), dSi =
I
∂S
hf, dri.
∂S
f
f
q,
f = ∇q, (1.4.1)
rot(f) = rot(∇q) =
D
2
(∇q)
3
− D
3
(∇q)
2
D
3
(∇q)
1
− D
1
(∇q)
3
D
1
(∇q)
2
− D
2
(∇q)
1
=
D
2
D
3
q − D
3
D
2
q
D
3
D
1
q − D
1
D
3
q
D
1
D
2
q − D
2
D
1
q
≡ θ.
f
I
∂S
hf, dri =
Z
S
Z
hrot(f), dSi = 0. (1.4.2)
q
f
f
S,
·
x
y
¸
→
x
x
2
+ y
2
y
x
2
+ y
2
f :
x
y
z
→
x
x
2
+ y
2
y
x
2
+ y
2
0
.
f = ∇ϕ, ϕ
(x, y).
(ϕ ◦ r)
0
= hf ◦ r, r
0
i,
(`)
(B)
Z
(A)
hf, dri =
β
Z
α
hf ◦ r, r
0
i(t) dt =
β
Z
α
(ϕ ◦ r)
0
(t) dt =
= (ϕ ◦ r)(t)
¯
¯
¯
β
α
= ϕ(B) − ϕ(A).
`
r : [0, T ] → R
3
x = a · cos(t) y = a · sin(t) z = 0
6
r
r
r -
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´3
x
y
t = 0
t = T
O
z
(`)
(B)
Z
(A)
hf, dri = T,
T = 2π
I
`
hf, dri = 2π.
` Oz,
ϕ
V R
3
,
u v
f = uv · e
(k)
, k = 1, 2 , 3.
div(f) = D
k
(uv) = D
k
u · v + u · D
k
v.
ZZ
V
Z
D
k
u · v = −
ZZ
V
Z
u · D
k
v +
Z
∂
Z
V
huv · e
(k)
, dSi.
u, v ∂V,
ZZ
V
Z
D
k
u · v = −
ZZ
V
Z
u · D
k
v. (1.5.1)
S R
2
,
u v
∂S,
f = uv · e
(k)
, k = 1, 2,
Z
S
Z
D
k
u · v = −
Z
S
Z
u · D
k
v.
z = x + iy.
` r : [α, β] → R
2
t
r
−→
·
x = ϕ(t)
y = ψ(t)
¸
.
w : [α, β] → C w(t) = ϕ(t) + i · ψ(t)
G ⊂ C ; f : G → C
f
`
Z
(`)
f(z)dz =
β
Z
α
f (w(t)) w
0
(t) dt.
f = F
1
+ i ·F
2
Z
(`)
f(z) dz =
β
Z
α
³
F
1
(w(t)) · ϕ
0
(t) − F
2
(w(t)) · ψ
0
(t)
´
dt+
+ i ·
β
Z
α
³
F
1
(w(t)) · ψ
0
(t) + F
2
(w(t)) · ϕ
0
(t)
´
dt.
f = F
1
+ i · F
2
[F
1
, −F
2
]
T
[F
2
, F
1
]
T
f
F
1
F
2
D
1
F
1
= D
2
F
2
, D
1
F
2
= −D
2
F
1
.
rot
³
·
F
1
−F
2
¸
´
= (−D
1
F
2
− D
2
F
1
) · e
(3)
≡ θ;
rot
³
·
F
2
F
1
¸
´
= (D
1
F
1
− D
2
F
2
) · e
(3)
≡ θ.
E : R
4
→ R
3
; H : R
4
→ R
3
,
E = [E
x
(x, y, z, t), E
y
(x, y, z, t), E
z
(x, y, z, t)]
T
H = [H
x
(x, y, z, t), H
y
(x, y, z, t), H
z
(x, y, z, t)]
T
E H
D = εE ε (3 × 3)
B = µH µ (3 × 3)
ε · I
3
µ · I
3
ε µ
I
3
rot div :
rot(E) = −
∂B
∂t
; rot(H) = j +
∂D
∂t
;
div(D) = ρ; div(B) ≡ 0.
ρ j
j = B = H ≡ θ.
rot(E) = θ; div(D) = ρ. (1.7.1)
E
E = −∇ϕ,
ϕ
−div(ε · ∇ϕ) = ρ.
−div(∇ϕ) =
ρ
ε
. (1.7.2)
div(∇ϕ) = D
1
D
1
ϕ + D
2
D
2
ϕ + D
3
D
3
ϕ,
4ϕ
− 4 ϕ = f,
@
@R
S
2
S
1
'
&
$
%
'
&
$
%
'
&
$
%
'
&
$
%
'
&
$
%
'
&
$
%
e
e
'
&
$
%
-
`
1
¡
¡
¡ª
`
2
S
1
, S
2
`
1
S
2
,
e =
I
`
1
hE, dri. (1.7.3)
rot(E) = −
∂B
∂t
,
e =
Z
S
2
Z
h−
∂B
∂t
, dSi
S
2
, S
2
B
`
2
S
2