Лекции - Моделирование систем

Подождите немного. Документ загружается.

Имитационное моделирование

структурой или уравнениями и требуется определить реакцию системы на

действующие силы;

- обратные задачи анализа, которые по известной реакции системы

требуют найти возмущения, заставившие рассматриваемую систему прий-

ти к данному состоянию и данной реакции;

- задачи синтеза, требующие нахождения таких параметров, при ко-

торых процессы в системе будут иметь желательный по каким-либо сооб-

ражениям характер;

- индуктивные задачи, решение которых имеет целью проверку гипо-

тез, уточнение уравнений, описывающих процессы, происходящие в сис-

теме, выяснение свойств этих элементов, отладка программ (алгоритмов)

для расчетов на компьютере.

Необходимость исследования системы, как совокупности множества

элементов, позволяет разделить процесс моделирования на две части:

- составление математических или физических моделей элементов;

- разработка схемы связей или схемы сопряжения элементов.

Необходимость схемы сопряжения очевидна, так как только такая

схема позволяет конструировать сложную систему и все возможные (на

взгляд исследователя) ситуации. Такая модель позволяет передавать вход-

ные воздействия или реакции элементов от одной модели элемента к дру-

гой вне зависимости от класса и структуры математических моделей эле-

ментов. Если представить математические модели отдельных элементов в

виде реализованных на доступном вычислительной машине языке про-

граммных модулей, то схеме сопряжения (в тех же терминах) будет соот-

ветствовать некоторый управляющий модуль, в набор функций которого

входит ввод данных, передача информации от одних программных моду-

лей другим (причем, иногда, в зависимости от смысла этой информации,

могут подключаться различные модули), представление результатов экс-

периментов в удобной для исследователя форме.

Очевидно, что, воспроизводя на такой модели различные общесис-

темные ситуации, мы как бы воспроизводим, подражаем, имитируем про-

цессы, имеющие место в системе, на моделях элементов при определенных

условиях, налагаемых на связи между ними. Исследования такого рода, то

есть исследования свойств всей системы на основе моделей ее элементов,

и называют имитационным моделированием.

Можно привести примеры использования имитации как единственно

возможного способа исследования из различных областей, в которых про-

исходит теоретическая проработка того или иного процесса, затем эта тео-

ретическая проработка подвергается проверке с использованием как ре-

ально существующих, так и предполагаемых данных и потом - эксплуата-

ции. Для некоторых объектов (в частности, автоматизированных систем

Имитационное моделирование

управления), у которых велика стоимость и продолжительность разработ-

ки, а также большое значение имеет то, насколько верно выбраны элемен-

ты таких объектов, несомненно огромное значение имеет возможность ис-

следования количественных, качественных и структурных свойств на ста-

дии проектирования.

Основное назначение имитационного моделирования проектируемой

системы состоит в воспроизведении и исследовании общесистемных си-

туаций, иными словами - в изучении поведения объекта под воздействием

управляющих команд или различного рода возмущений. Если мы знаем,

как поведет себя объект управления под воздействием той или иной ко-

манды, какова будет его реакция на то или иное решение системы управ-

ления, то практически уже будем знать, как нужно управлять этим объек-

том и какова будет эффективность знания о структуре и свойствах элемен-

тов системы. Получение этих знаний таким способом, а не на натурных

испытаниях, дает возможность значительно упростить, удешевить и уско-

рить разработку и внедрение системы жизнеобеспечения человека, так и

автоматизированной системы управления ею.

Использование имитационного моделирования при проектировании

систем является приложением к традиционным сферам практического ис-

пользования этого способа моделирования.

Вторым направлением является использование имитации в функцио-

нирующих автоматизированных системах обработки информации и управ-

ления как составной части математического обеспечения. Целью этих сис-

тем управления является подготовка информации, необходимой для при-

нятия тех или иных решений, формирование вариантов таких решений и, в

некоторых случаях, реализация этих решений. Учитывая вероятностный

характер процессов в автоматизированных системах обработки информа-

ции и управления, несовершенство имеющихся методов подготовки реше-

ний, а во многих случаях и недостаточное качество исходных данных,

представляется весьма целесообразным предварительная проверка сфор-

мированных вариантов решений (иными словами, предварительная оценка

показателей эффективности автоматизированных систем и поведения объ-

ектов управления под воздействием управляющих команд, вытекающих из

принятых решений). Здесь, очевидно, могут быть использованы те же ими-

тационные модели, что и на стадии проектирования, но имеющие большую

адекватность, чем в процессе разработки системы управления, так как

имитационная модель в этом случае будет по возможности максимально

адекватна функционирующей системе управления.

Использование имитации в функционирующих автоматизированных

системах обработки информации и управления позволяет предвидеть бу-

дущее состояние предприятия, оценить его с помощью различных показа-

Имитационное моделирование

телей и выбрать такое управляющее воздействие, которое привело бы к

улучшению показателей функционирования объекта управления и системы

управления им. При моделировании общесистемных ситуаций важно знать

входные и выходные сигналы, временные и надежностные характеристики

составляющих исследуемой системы; для имитации внутренняя структура

и функционирование составляющих не имеет значения. Создание же мате-

матических (или физических) моделей этих составляющих требует, оче-

видно, как можно более полного знания о них.

Успех любого исследования во многом определяется правильностью

выбора методики его проведения. Для подавляющего большинства иссле-

дуемых систем методика построения имитационной модели сводится к

следующим двум группам этапов:

1) методология имитации - постановка задачи, подготовка данных,

построение модели, оценка адекватности.

2) организация имитационного эксперимента - планирование экспе-

римента, экспериментирование, обработка результатов, документирование.

4.2. Методология построения имитационных моделей и организа-

ция имитационных экспериментов.

Успех любого исследования во многом определяется правильностью

выдвигаемых предположений, что исследуемая проблема может быть ре-

шена наилучшим образом с помощью имитационного моделирования. Не-

сомненно, если задача может быть сведена к простой модели и решена

аналитически, нет никакой необходимости в имитации. Решение об ис-

пользовании того или иного метода или способа моделирования не должно

рассматриваться как окончательное. По мере накопления информации и

углубления понимания вопрос о правомерности применения имитации

следует подвергать переоценке.

Для того, чтобы найти приемлемое или оптимальное решение задачи,

необходимо сначала знать, в чем она состоит, то есть необходимо поста-

вить задачу. Следует отметить, что постановка задачи есть непрерывный

процесс, пронизывающий весь ход исследования.

Постановка задачи состоит в определении возможных стратегий и за-

дании этим набора управляемых параметров; определении характеристик

внешней среды, задавая набор внешних возмущений; определении набора

элементов и их взаимосвязей в исследуемой системе и задании структуры

системы; определении критерия выбора стратегии, задав тем самым цели и

определяя их относительную значимость.

4.2.1. Подготовка данных.

Имитационное моделирование

4.2.1.1. Составление описания модели.

Постановка задачи и выбор класса модели (см. рис. 2.1) представляют

именно те начальные этапы моделирования, которые базируются на изло-

женной в первой главе методологии системных исследований. В соответ-

ствии с этой методологией до решения задачи синтеза составляется описа-

ние объекта. Описание объекта представляет собой полное собрание ин-

формации об исследуемой системе, представленное в текстовой, таблич-

ной и графической форме. Каких-либо методик составления подобных

описаний, по всей видимости, и нет необходимости иметь. Здесь достаточ-

но руководствоваться методологией системных исследований, изложенной

выше, и тщательно и аккуратно документировать свои действия. Важным

здесь является другой момент – необходимо использовать тщательно вы-

веренную методику сбора, накопления и обработки данных, описывающих

процессы, имеющие место в объекте, и представленных в числовой форме.

Напомним, что в первой главе приведены требования, которым должны

удовлетворять числовые характеристики.

Операции сбора информации и предварительной обработки состоят в

организации получения данных на исследуемом объекте посредством три-

виального наблюдения и фиксации его результатов в таблицах, графиках и

на компьютерных носителях информации. В настоящее время эти опера-

ции выполняются с применением современных средств измерения процес-

сов, их фиксации, как с использованием вычислительной техники, так и с

помощью других технических средств [13]. Отметим, что в настоящее

время подавляющее большинство технических средств, предназначенных

для сбора данных обеспечивают их непосредственный ввод в персональ-

ный компьютер.

Важными вопросами при подготовке данных являются вопросы хра-

нения информации. Если речь идет о традиционном подходе к обработке

данных на персональном компьютере и эксплуатации баз данных и знаний

и систем управления ими, то этим вопросам посвящено достаточно много

как научной, так и учебной литературы. Эти вопросы постоянно обсужда-

ются в специальных периодических изданиях. И все это справедливо и

крайне важно, если речь идет о информации детерминированного характе-

ра. Будущий же инженер-системотехник будет иметь дело со сложными

системами, имеющими стохастическую природу. Любая система, в кото-

рой присутствует человек как элемент, носит вероятностный характер.

Возможность агрегировать статистические данные в форме оценок вероят-

ностных характеристик (гистограмм, оценок числовых характеристик и

т.п.) обусловливает возможность компактного хранения.

Имитационное моделирование

Приведем пример. Известно, что оценка математического ожидания

находится по формуле

∑

⋅=

где x

- значения выборки,

n - объем выборки.

Множители

∑

x носят название достаточных статистик. Для

нахождения оценки математического ожидания нет необходимости хра-

нить сами значения выборки, а только их сумму и их количество.

Этот факт и может быть положен в основу особенно структуры хра-

нения статистической информации [31].

Для эффективного использования статистической информации при

моделировании сложных систем важно правильно оценить вероятностные

свойств. Это определит эффективность и достоверность получаемых ре-

зультатов.

Вероятностные свойства могут быть разделены на две группы. К пер-

вой группе отнесем такие характеристики, которые определяют физиче-

ские и временные свойства наблюдаемых процессов – стационарность и

периодичность. К ним же можно условно отнести и свойство нормально-

сти. Условность связана с тем, что соответствие выборочного распределе-

ния гауссовскому определяет не какие-то специальные свойства, такие как

стационарность и периодичность, а связана лишь с полнотой исследования

как такового нормального закона распределения вероятностей. Вторую

группу свойств составляют традиционные и изучаемые в курсе «Теория

вероятностей и математическая статистика» (или ему подобным) характе-

ристики – функция и плотность распределения вероятностей, числовые ха-

рактеристики и так далее.

Различают стационарность в широком и узком смысле. Второй вид

стационарности имеет скорее теоретическое, чем практическое значение.

Стационарностью в узком смысле называют случайный процесс x(t), у ко-

торого все конечномерные законы распределения вероятностей значений

x(t), x(t+1), … совпадают с соответствующими конечномерными законами

распределения вероятностей значений x(t+τ), x(t+τ+1), …. Это означает

совпадение всех соответствующих одно-, двух-, трех- и так далее мерных

плотностей и функций распределения, начальных, центральных и иных

моментов всех возможных (а их бесконечное количество) порядков как от-

дельных значений x(t), x(t+1), …, так и групп значений (смешанные мо-

менты). Ясно, что такие ограничения на практике просто не выполнимы.

Но с точки зрения теории случайных процессов, доказательства лемм, тео-

Имитационное моделирование

рем и иных утверждений понятие стационарного в узком смысле процесса

крайне важно.

Стационарным в широком смысле называют такой случайный про-

цесс, у которого при изменении начала координат параметра t не изменя-

ются начальные моменты первого и второго порядка [14,15,17,41]. То есть

постоянными должны быть математическое ожидание и дисперсия. При-

меры реальных физических процессов стационарных в широком смысле

могут быть приведены и известны в литературе. Частным видом стацио-

нарных случайных процессов являются эргодические процессы, у которых

статистические свойства не изменяются в зависимости от того, найдены

она по одной реализации (усреднением по времени) или определены по

множеству реализаций (усреднением по ансамблю реализаций) – рис. 4.1.

В математическом отношении это весьма полезное свойство, а для практи-

ческих целей оно является очень полезным потому, что обеспечивает су-

щественное уменьшение количества необходимых для статистической

обработки и, следовательно, для моделирования, наблюдений, так как,

если случайный процесс является эргодическим, то для оценки его ве-

роятностных свойств достаточно получить только одну реализацию.

t``

X(t,1)

t``

M[X(

•

,1)]

X(t,2)

M[X(

•

,2)]

X(t,k)

t``

M[X(

•

,k)]

M[X(t`,

•

)]

M[X(t``,

•

)]

Имитационное моделирование

Оценивание стационарности процессов играет важную роль, так как

методы анализа нестационарных процессов существенно более громоздки

в сравнении со стационарным случаем. Наиболее простой способ оценива-

ния стационарности реализации случайного процесса состоит в рассмотре-

нии физической сущности процесса, который породил эту реализацию. Ес-

ли основные физические условия, влияющие на исследуемый процесс, не

зависят от времени, то можно без дальнейших исследований полагать про-

цесс стационарным. На практике такие простые физические соображения

часто не дают возможности проверить и оценить количественно гипотезы

о стационарности [20]. Причем при попытке установить стационарность

процесса по одной реализации необходимо сделать также серьезные допу-

щения. Например, предположения о том, что длина реализации позволяет

учесть все низкочастотные составляющие процесса и ряд других. С учетом

этих допущений предлагается следующая последовательность действий

для количественной оценки стационарности в широком смысле случайного

процесса по одной его реализации [45]:

• вся реализация разбивается на N равных отрезков, причем

предполагается, что в различных отрезках наблюдения независимы;

• находятся первый и второй начальные моменты для каждого отрезка

и эти оценки располагаются по возрастанию номеров отрезков;

• последовательность начальных моментов проверяется на наличие

изменений во времени с помощью статистических критериев равен-

ства начальных моментов [20,37] или посредством проверки стати-

стических гипотез о случайности выборки [20].

Рассмотрим тест стационарности на примере (рис. 4.2) реализации

случайного процесса x(t), поставив целью доказательство стационарности

оценки первого начального момента – оценки математического ожидания.

Разделим интервал наблюдений (0,T] на 8 подынтервалов ∆

j=1,2,…,8. Оценим среднее (первый начальный момент) M

на каждом по-

дынтервале (рис. 4.2.а). Построим график зависимости оценки математиче-

ского ожидания от номера подынтервала (рис. 4.2.б).

M[X(•,1)]=M[X(•,2)]= … = M[X(•,k)] = … =

= M[X(t`,•)]= … M[X(t``,•)] = …

Рис. 4.1. Эргодический случайный процесс.

Имитационное моделирование

Для того, чтобы количественно доказать стационарность математиче-

ского ожидания, следует воспользоваться двумя возможностями. Первая

состоит в проверке статистических гипотез о попарном равенстве оценок

математического ожидания M

, j≠i, i,j=1,2,…,8. Если все (именно, все)

эти гипотезы будут приняты, то с уровнем значимости, при котором гипо-

тезы принимаются, следует считать процесс стационарным по математиче-

скому ожиданию. Вторая возможность состоит в реализации задачи рег-

рессионного анализа и нахождении коэффициентов регрессионного урав-

нения (например, линии регрессии – M=α⋅j+β). Затем проверяется стати-

стическая гипотеза о значимости коэффициента регрессии α=0. Если дан-

ная гипотеза при определенном уровне значимости принимается, то с этим

Рис. 4.2. Тест стационарности.

⋅

X(t)

Имитационное моделирование

же уровнем значимости можно считать случайный процесс стационарным

по математическому ожиданию.

Тест стационарности аналогично можно применять и для проверки

постоянства других вероятностных характеристик, например, дисперсии.

При реализации данного теста, как и в некоторых других случаях (на-

пример, при выборе величины класса гистограммы в математической ста-

тистике или при переводе процесса из непрерывной формы в дискретную),

возникает проблема выбора величины подынтервала ∆

. Рассмотрим эту

проблему в более широкой постановке.

Пусть зафиксированы наблюдения в непрерывной форме (рис. 4.3).

Для перевода в дискретную форму необходимо перевести в дискретный

вид значения на оси абсцисс (операция дискретизации) и на оси ординат

(операция квантования). Величины шагов дискретизации Δ

(t) и квантова-

ния Δ

(Х) должны выбираться, исходя из прямопротивоположных условий.

С одной стороны, эти шаги должны быть достаточно малыми с тем, чтобы

не утерять важных высокочастотных явлений. С другой стороны, они

должны быть достаточно большими для того, чтобы уменьшить объемы

обрабатываемых данных.

В завершение отметим, что в операции квантования имеет место и

еще одна задача – к какому уровню квантования x

(рис. 4.3) следует отне-

сти значение процесса X(t) в точке дискретизации. Простейший способ –

действовать по правилам округления, но в данном случае не учитывается

динамика процесса. И здесь мы можем обратиться к прогнозированию зна-

чений процесса (см. задачу оценки в главе 3).

Имитационное моделирование

Обнаружение в процессе периодических составляющих также позво-

ляет избежать ошибок при анализе данных и интерпретации результатов

этого анализа. Кроме того, знание характера и свойств периодических со-

ставляющих обеспечивает большую простоту в изучении процесса, и, в

конечном счете, способствует повышению эффективности моделирования.

Для проверки на наличие периодических составляющих используется

корреляционная функция и спектральная плотность [7,8,14,15,17,20,37,39,

41]. Наличие периодических составляющих в случайном процессе прояв-

ляется в виде ярко выраженных острых пиков в его спектральной плот-

ности. Тем не менее, эти всплески ошибочно могут быть приняты за час-

тотные свойства узкополосного случайного шума [37]. Желательно поэто-

му определить периодические составляющие для того, чтобы не путать их

с узкополосным случайным шумом, у которого спектральная плотность

конечна. Если периодичность имеет большие амплитуды, то их наличие в

процессе очевидно. Установление малоамплитудных составляющих про-

изводится наиболее эффективно с помощью методов, тесно связанных с

методами анализа чисто случайных процессов. Вообще говоря, не сущест-

вует методов анализа, позволяющих с полной уверенностью доказать на-

личие периодических составляющих. Поэтому проверки на периодичность

осуществляются параллельно с визуальным анализом реализаций и анали-

зом физических представлений о природе процесса. Впрочем, это отнюдь

Рис. 4.3. Дискретизация и квантование.

(X)

(t)

. . .

X(t)

(t)