Лекции - Моделирование систем

Подождите немного. Документ загружается.

Модели и моделирование

(π-1) - компромисс между ожидаемой точностью (надежностью) ре-

зультатов моделирования и сложностью модели;

(π-2) - баланс мощностей, т.е.:

(π−2-а) - соразмерность систематической погрешности моделирования

(отклонения модели от описания системы) с погрешностью в задании па-

раметров описания (исходная неопределенность);

(π-2-б) - соответствие точностей отдельных элементов модели;

(π-2-в) - соответствие систематической погрешности моделирования и

случайной погрешности при интерпретации и усреднении результатов мо-

делирования.

Сложность модели, фигурирующая в первом принципе, характеризу-

ется, в конечном счете, временем и стоимостью конструирования модели и

экспериментирования с нею. При моделировании на компьютере слож-

ность явно выражается через требуемое быстродействие и оперативную

память машины и между этими параметрами также существует разумный

компромисс.

Балансируя точности в соответствии с принципом (π-2), необходимо

помнить, что при сравнительном исследовании вариантов системы дости-

гается уменьшение случайных погрешностей и компенсация неточностей

при задании параметров описания. Отсюда вытекает практическое прави-

ло:

(ρ-1) - следует изыскивать возможность параллельного моделирова-

ния конкурирующих вариантов проектируемой системы с оценкой разно-

сти или отношения соответствующих показателей.

Хотя принципы (π-1) и (π-2) естественно следуют из опыта проекти-

рования, теоретически не вызывают изменения и поэтому могут считаться

почти тривиальными, многие ошибки и неудачи практики моделирования

Модели и моделирование

являются прямым следствием нарушения этих принципов (в частности, из-

лишнего усложнения моделей). Поэтому оказывается правомерным непо-

средственное использование принципов (π-1) и (π-2) в качестве грубых

критериев правильности составления модели. Вместе с тем эти принципы

оказывают косвенное влияние на процесс построения модели, стимулируя

формирование других принципов и правил.

Практическая реализация принципов (π-1) и (π-2) возможна лишь при

наличии гибкой управляемой системы элементов модели, позволяющей

создать достаточное разнообразие вариантов модели, на которых ищется

компромисс или ведется выравнивание точностей. Это требование посту-

лируется как принцип:

(π-3) - достаточное разнообразие элементов модели.

Следующий принцип отражает тот факт, что построение модели есть

творческая задача, решаемая человеком:

(π-4) - наглядность модели для исследования и потребителя (заказчи-

ка).

Здесь фиксируется спорное с философских и терминологических по-

зиций, но психологически совершенно естественное свойство модели. Ра-

бота с наглядными, то есть привычными для исследователя (или коллекти-

ва) и заказчика представлениями, предупреждает ошибки и позволяет ис-

пользовать различные ассоциации при трактовке результатов исследова-

ния.

Принцип наглядности определяет наше отношение к эвристическим

правилам. Отказываясь от трактовки этих правил как элементов машинной

эвристической программы, заменяющей человеческую деятельность, мы

будем считать их скорее средством «предварительной настройки» мышле-

ния специалиста (или коллектива специалистов), строящего модель.

Модели и моделирование

(π-5) - блочное представление модели.

Предположим, что нами построена полная модель µ

, отражающая

все, содержащиеся в описании ω, сведения о системе. В соответствии с

принципом (π-5) для упрощения этой модели необходимо:

- находить группы тесно связанных элементов модели μ

(блоки), в

частности, блоки, допускающие аналитическое экспериментальное иссле-

дование, блоки, ранее исследовавшиеся методом моделирования или удоб-

ные для автономного (частичного) моделирования;

- принимать решение о существенности или несущественности каж-

дого блока для данной задачи и в соответствии с этим сохранить структуру

описания в пределах этого блока, заменять ее упрощенным эквивалентом

или удалять блок из модели.

Разделение на блоки неоднозначно и зависит от того, какие части сис-

темы ранее анализировались автономно, от имеющихся стандартных про-

грамм, от традиций исследователя и т. п. Однако при прочих равных усло-

виях здесь следует соблюдать правило:

(ρ-2) - обмен информацией между блоками должен быть по возмож-

ности минимальным.

Упрощение блочной структуры регламентируется несколькими эври-

стическими правилами.

При решении вопроса о допустимости удаления блока без замены его

эквивалентом полезно правило:

(ρ-3) - несущественными и подлежащими удалению считаются блоки

модели, мало влияющие на принятый критерий интерпретации результатов

моделирования.

Правила замены блоков упрощенными эквивалентами разделяются в

зависимости от характера взаимодействия этих блоков с оставшейся ча-

Модели и моделирование

стью системы.

(ρ-4) - удаляя оконечные блоки, составляющие описание взаимодей-

ствующего с моделируемой систематикой «потребителя» при формирова-

нии критерия интерпретации результатов моделирования.

Рассмотрим теперь способы замены блока, осуществляющего «воз-

действие» на исследуемую часть системы. Вообще говоря, это воздействие

зависит не только от структуры блока, но и от реакции со стороны иссле-

дуемой части. Поэтому характеристики воздействия в общем случае нельзя

однозначно определить при автономном исследовании блока и блок нельзя

заменить одним, не зависимым от исследуемой части, эквивалентом. В том

случае поведение исследуемой части следует изучать во всем этом диапа-

зоне, что приведет к многократному моделированию при различных зна-

чениях параметров воздействия в пределах диапазона.

(ρ-5) - блок модели µ

, осуществляющий воздействие на исследуемую

часть системы, в общем случае можно заменить множеством упрощенных

эквивалентов, не зависящих от исследуемой части. Каждый эквивалент

формирует одно из возможных воздействий в пределах заданного диапазо-

на, а моделирование проводится в нескольких (по числу воздействий) ва-

риантах.

Переход к множеству раздельно исследуемых моделей ведет к боль-

шим затратам машинного времени.

(ρ-6) - при упрощении блока, воздействующего на моделирующую

часть системы, следует сопоставить возможности:

- прямого упрощения замкнутого контура, образуемого этим блоком

и исследуемой частью системы, без разрыва обратной связи;

- построения вероятностного эквивалента с оценкой его статистиче-

ских характеристик путем автономного исследования упрощаемого блока;

Модели и моделирование

- замены блока наихудшим, по отношению к исследуемой части сис-

темы, воздействием.

При отсутствии этих возможностей следует пользоваться более об-

щим правилом (ρ-5).

Введем еще несколько правил и принципов моделирования. не нуж-

дающихся в особых пояснениях:

(π-6) - специализация моделей, постулирующий:

- целесообразность использования набора малых условных моделей,

предназначенных для анализа функционирования системы в узком диапа-

зоне;

- возможность неформального суждения о системе в целом по сово-

купности частных показателей, полученных на условных моделях.

(ρ-7) - для проверки соответствия модели µ полной модели µ

следует

попытаться построить условные модели µ

, i=1,2,…,n, эквивалентные в ти-

повых для проектируемой системы ситуациях, и выполнить сравнительное

исследование µ

в этих ситуациях. Близость полученных результатов

считается основанием для суждения о близости µ

и µ в соответствующих

ситуациях.

(ρ-8) - проверку соответствия модели µ и полной модели µ

следует

вести по сходимости результатов, получаемых на моделях возрастающей

сложности.

(ρ−9) - расчет допусков выполняется по наиболее простой модели,

включающей все неточные параметры описания.

Иерархическая структура сформированных выше рекомендаций зада-

ет скелет неформальных («правдоподобных») рассуждений, выполняемых

при построении модели.

В случае, если сходная с моделируемой системой ω система ω' нахо-

Модели и моделирование

дится в эксплуатации, контроль точности моделирования облегчается.

Вместо процента последовательного усложнения модели µ (правило (ρ-8)),

сходимость которого не гарантируется, можно использовать, например,

проверку сходной модели µ' по отдельным экспериментальным точкам

(правило (ρ-7)).

На рис. 2.2 приведена общая схема рассуждений. Сплошная стрелка

соединяет более общие принципы или правила с частными, его реализую-

щими. Пунктирная стрелка означает возможность использования принципа

или правила, на которое она направлена, при реализации другого принципа

или правила.

Рис. 2.2. Взаимосвязь принципов и правил моделирования.

2.3. Выводы по главе.

В данной главе нами рассмотрены общие определения моделей и мо-

делирования, известные виды моделей, их достоинства и недостатки и

один из существующих подходов к построению принципов и правил соз-

дания моделей.

Математические модели как один из методов моделирования является

наиболее мощным инструментом исследования сложных систем различной

природы. Опираясь на достижения современной математики, он обеспечи-

вает решение многих практических задач. Доставляя исследователю теоре-

тически подтвержденные и обоснованные решения, обладая мощнейшим

аппаратом решения задач, математическое моделирование, вместе с тем,

имеет и определенные недостатки. Связаны они ни сколько с объективны-

ми причинами, а скорее с постоянно продолжающимся процессом поста-

новки новых, все более сложных задач, что, в свою очередь, заставляет не-

прерывно развиваться и как таковую математику. И, конечно, сама матема-

тика, находясь в непрерывном развитии, не только предлагает практикам

все новые и новые методики и методы исследования, но и открывает воз-

можности изучения все более и более сложных объектов.

С точки зрения моделирования систем, математическое моделирова-

ние, к сожалению, не позволяет пока исследовать сложные, в основном,

Математические

модели

системы

управления

Математические модели и системы управления

организационные системы. Связано это с тем, что названные системы на-

столько разнообразны и разнородны по возможностям математического

описания их элементов, что возникает задача объединения различных ма-

тематических аппаратов. В настоящее время данная задача решается по-

средством имитационного моделирования. А это численный эксперимент,

дающий частные результаты.

Очевидно, что наиболее продуктивные и глубокие результаты следует

ожидать от математического моделирования, но практические исследова-

ния сложных систем приводят к необходимости использования имитации.

По-видимому, это объективно параллельный процесс – развивается аппа-

рат математического моделирования, но одновременно усложняются и ис-

следуемые системы.

Далее мы будем рассматривать математическое моделирование не в

форме традиционного описания методик и методов, примеров и получен-

ных результатов, а совместим такое изложение с взаимной увязкой с ранее

и позднее изучаемыми дисциплинами учебного плана инженера-

системотехника. Такой подход основан на монографии Р. Ли [23].

Следуя Р. Ли, выделим пять крупных классов, решаемых с помощью

математического моделирования. Часть из них прямо связаны с решением

задач управления, а часть - обеспечивает решение задач анализа объектов

исследования. Но во всех случаях получаемый результат достигается с ус-

ловием его приближения к неким идеальным, желаемым состояниям. По-

иск оптимального решения - это, пожалуй, основная цель существования

большинства людей.

В самом общем виде типичную задачу оптимизации можно разложить

на следующие составляющие:

1. определение цели,

2. уяснение текущего положения по отношению к цели,

Математические модели и системы управления

3. описание внешних и внутренних факторов, влияющих на прошлое,

настоящее и будущее состояния системы,

4. составление наиболее приемлемой стратегии достижения цели.

Все эти составляющие в полном объеме находят отражение в описы-

ваемых ниже классах математических моделей.

3.1. Детерминированное управление.

Рассмотрим следующую задачу (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Детерминированное управление.

На приведенной схеме имеют место объект и измерительное устрой-

ство М. Последнее предназначено для фиксации выходного сигнала объек-

та x(t) в другой, необходимой и понятной исследователю форме – изме-

ренном сигнале z(t). Наличие и необходимость измерителя в данной задаче

не столь очевидно в сравнении с другими, рассматриваемыми ниже зада-

чами, когда на объект или измеритель воздействуют внешние помехи.

Входной сигнал объекта u(t) носит название управляющего и является вы-

ходным сигналом неизвестного устройства управления.

В задаче даны динамические соотношения, описывающие объект и

измеритель. Последнее означает, что исследователь обладает математиче-

ской моделью (динамическое соотношение), адекватно описывающей

функционирование объекта или измерителя. Иными словами, исследовате-

лю известно как объект перерабатывает управляющий сигнал u(t) в выход-

ной сигнал объекта x(t) или как измеритель перерабатывает свой входной

U(t)

Объект ?

X(t)

Z(t)

(t)

Математические модели и системы управления

сигнал x(t) в измеренный вход z(t). Знание характера отображения этих

преобразований во времени выражается в том, что все сигналы зависят от

времени t и сами соотношения названы динамическими.

Необходимо отыскать такое управление u(t), чтобы выход объекта x(t)

или измеренный выход z(t) были как можно ближе к желаемым x

(t) или

(t).

Конечно, термин «желаемый» невозможно определить математиче-

ски. Но как только данная (и любая рассматриваемая ниже) задача будет

конкретизироваться для реального объекта и измерителя, сразу же откры-

вается возможность количественно выразить желаемые значения x

(t) и

(t) и сформулировать критерий близости выходного или измеренного

сигнала к необходимым, желаемым значением.

Методы решения данного класса задач можно разделить на две кате-

гории – аналитические и численные. И они изучаются в курсе «Высшая

математика» и в специальном курсе «Вычислительная математика».

Отличие аналитических и численных методов является прямым отра-

жением тех отличий, которые разделяют математическое и имитационное

моделирование. Главное же отличие состоит в том, что если решение по-

лучено, то оно распространяется на целый класс задач, а не одну специфи-

ческую задачу. Именно это и придает большое теоретическое значение

аналитическим методам.

3.1.1. Аналитические методы.

Классическим аналитическим методом решения одного из вариантов

рассматриваемой задачи является задача дифференциального исчисления.

Рассмотрим скалярную функцию z=z(x,u) без ограничений, где x и u, соот-